sttt s S = n n V ˆV V ˆ ˆ  =−  1;exp tft

Statystyka Matematyczna, 2008/2009 - Ćwiczenia 11 Rozkład wykładniczy

Zadanie 1

Znajdź prawdopodobieństwo, Ŝe pobierając dwuelementową próbkę prostą z rozkładu wykładniczego zadanego parametrem τ, jedną ze zmiennych otrzymamy większą od parametru τ, a drugą mniejszą?

Zadanie 2

Wkręcamy do Ŝyrandola dwie Ŝarówki, których czasy pracy określone są rozkładem wykładniczym.

Oczekiwany czas pracy jednej Ŝarówki wynosi τ₁, a drugiej τ₂ > τ₁. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe Ŝarówka o dłuŜszym czasie Ŝycia przepali się wcześniej, jeśli Ŝarówki przepalają się w sposób niezaleŜny jedna od drugiej?

Zadanie 3

Funkcja gęstości czasu t oczekiwania na rozpad jądra promieniotwórczego zadana jest rozkładem wykładniczym

(

;

)

¹exp t

f t τ

τ τ

 

= − 

 ^{, gdzie} τ jest tzw. czasem Ŝycia jądra promieniotwórczego. Ile wynosi

prawdopodobieństwo p rozpadu jądra w przedziale czasu [0; T]? W celu określenia parametru τ, obserwujemy znaną liczbę n wszystkich jąder, z których k rozpadło się w przedziale czasu od zera do T. Znajdź estymator wielkości τ i jego niepewność. Jaki warunek musi spełniać związek między τ i T, aby niepewność względna pomiaru wielkości τ była minimalna? Jaka jest wtedy ta niepewność? Przyjmij, Ŝe czas T jest znany ściśle.

Zadanie 4

Zjawisko podlegające rozkładowi wykładniczemu obserwujemy w równych przedziałach czasowych [t_k; t_{k – 1}], gdzie t_k = t_k–1 + ∆, t₀ = 0, k = 1, 2, .... Podaj prawdopodobieństwo jego obserwacji w k-tym przedziale.

Zadanie 5

Dana jest próbka prosta n-elementowa czasów t_i z rozkładu wykładniczego o nieznanym parametrze czasu Ŝycia τ. Z danych tych moŜemy skonstruować estymator ˆτ=t tego parametru, wyraŜony przez średnią arytmetyczną oraz jego niepewność, daną niepewnością s_τˆ średniej arytmetycznej. WykaŜ, Ŝe wariancja V

( )

τˆ estymatora τˆ wynosi V

( )

τˆ =τ² n. PokaŜ, Ŝe estymator S_τ²ˆ =τˆ²

(

n+1

)

jest takŜe nieobciąŜonym estymatorem wariancji V

( )

τˆ ^. Który z estymatorów: s_τ²_{ˆ czy teŜ} ²_ˆ

Sτ, wybierzesz?

Wskazówka 1: Rozkład fn(t;τ) zmiennej losowej t będącej sumą n statystycznie niezaleŜnych zmiennych losowych t_i, i = 1, 2, ..., n, kaŜda z rozkładu wykładniczego o tym samym parametrze τ, dany jest związkiem

( )

( )

1 1

; exp

1 !

n n

t t

f t τ n

τ τ τ

  −  

=   − 

−    .

Wskazówka 2: Wariancja kwadratu niepewności s_t pojedynczego pomiaru wynosi

( )

^{t2 1}

^{( )}

⁴

₍

^{n 3}₁

₎

²

^{( )}

V V

n n n

= − − −

−

s t t t _.