Liga zadaniowa dla maturzystów – ETAP V MATEMATYKA

Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

Liga zadaniowa dla maturzystów – ETAP V MATEMATYKA

10 kwietnia 2021 – 23 kwietnia 2021

WA ˙ ZNE INFORMACJE

• Test wielokrotnego wyboru (mo˙ze by´c wi˛ecej ni˙z jedna poprawna odpowied´z; wszyst- kie odpowiedzi mog ˛ a by´c fałszywe).

• Link do karty odpowiedzi znajduje si˛e na stronie zzk.egrp.pl/liga_zadaniowa.php.

• Za ka˙zdy poprawnie rozwi ˛ azany podpunkt uzyskuje si˛e 1 punkt.

• Za ka˙zde w pełni poprawnie rozwi ˛ azane zadanie uzyskuje si˛e 1000 punktów.

ZADANIA

1 . Płaszczyzna została podzielona na dwa rozł ˛ aczne i niepuste zbiory A i B.

(a) Dla ka ˙zdej liczby r ∈ _R

mo ˙zna znale´z´c dwa punkty nale ˙z ˛ ace do A lub dwa punkty nale ˙z ˛ ace do B takie, ˙ze ich odległo´s´c wynosi r;

(b) Mo ˙zna wskaza´c tak ˛ a liczb ˛e r ∈ _R

, dla której nie ma pary punktów zbioru A ani pary punktów zbioru B odległych o r;

(c) Dla ka ˙zdej liczby r ∈ _R

mo ˙zna wskaza´c w zbiorze A dwa punkty, które s ˛ a odległe o r;

2 . W ciemnym korytarzu le ˙zy sterta usypana z n ró ˙znych par butów (n > 10). Nale ˙zy po omacku wylosowa´c dwa buty.

(a) Prawdopodobie ´nstwo wylosowania butów nale ˙z ˛ acych do jednej pary wynosi

; (b) Prawdopodobie ´nstwo wylosowania dwóch lewych butów jest mniejsze od

;

(c) Prawdopodobie ´nstwo wylosowania dwóch butów na t ˛e sam ˛ a nog ˛e wynosi

; 3 . Dane s ˛ a trzy liczby: a = 2 + √

2, b = 6 + 5 √

2, c = 9 + 8 √ 2.

(a) Mo ˙zna wskaza´c ci ˛ ag arytmetyczny, którego pewnymi wyrazami s ˛ a liczby a, b, c;

(b) Je´sli mo ˙zna wskaza´c ci ˛ ag arytmetyczny, którego pewnymi wyrazami s ˛ a liczby a, b, c, to istnieje tylko jeden taki ci ˛ ag;

(c) Nie istnieje ci ˛ ag arymentyczny, którego pewnymi wyrazami s ˛ a liczby a, b, c;

4 . W ci ˛ agu arytmetycznym a

= 2, a

= 7, a

= 12, . . .

(a) pewien wyraz jest kwadratem nieparzystej liczby naturalnej;

(b) pewien wyraz jest kwadratem liczby naturalnej;

(c) ˙zaden wyraz nie jest kwadratem liczby naturalnej;

5 . Dany jest rosn ˛ acy ci ˛ ag arytmetyczny ( a

) o wyrazach b ˛ed ˛ acych liczbami naturalnymi.

(a) Zachodzi równo´s´c a

+ a

> 297;

(b) W ci ˛ agu mo ˙zna wskaza´c wyraz, którego zapis dziesi ˛etny rozpoczyna si ˛e od cyfry 9;

(c) W ci ˛ agu mo ˙zna wskaza´c wyraz o numerze n > 2000, który ma takie same ostatnie dwie

cyfry jak wyraz a

;