Wydziaª Fizyki
Obserwatorium Astronomi zne
Izabela Kowalska-Lesz zy«ska
Astro zy zne zastosowania detek ji
ukªadów podwójny h obiektów
zwarty h w fala h grawita yjny h.
Rozprawa doktorska
na kierunku Astronomia
w zakresie astro zyki teorety znej
Pra a wykonana pod kierunkiem
prof. dra hab. Tomasza Bulika
(Obserwatorium Astronomi zne UW)
Warszawa, 2013
1. Wstp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Fale grawita yjne i i h ¹ródªa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Równania Einsteina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1. Zlinearyzowane równaniaEinsteina. . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Wªasno± i fal grawita yjny h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. ródªa fal grawita yjny h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1. ródªa kosmologi zne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2. ródªa astro zy zne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3. Emisja fal grawita yjny h wukªadzie podwójnym. . . . . . . . 21
3. Detektory fal grawita yjny h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1. Detektory rezonansowe.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Detektory interferometry zne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1. VIRGO/advVIRGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2. LIGO/advLIGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3. GEO600.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.4. KAGRA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.5. ET. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.6. DECIGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.7. LISA/eLISA/NGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Eks entry zno±¢ ukªadów podwójny h obiektów zwarty h.. . . . . 45
4.1. Model popula ji ukªadówpodwójny h. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Ewolu ja orbity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3. Po z¡tkowe wªa± iwo± i popula ji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5. Sto hasty zne tªo fal grawita yjny h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1. Gwiazdy popula ji III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1.1. Modelgwiazd.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.2. Tªo fal grawita yjny h - wyprowadzenie. . . . . . . . . . . . . 67
5.1.3. Tªo fal grawita yjny h - wyniki. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2. Gwiazdy popula ji I i II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.1. Modelgwiazd.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.2. Tªo fal grawita yjny h - wyprowadzenie. . . . . . . . . . . . . 75
5.2.3. Tªo fal grawita yjny h - wyniki. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6. Wyzna zanieparametrówkosmologi zny hitempaforma jigwiazd. 83 6.1. Symula japopula jiobiektów zwarty h. . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.1. Symula ja obserwa ji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1.2. Siatkamodeli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2. Wyniki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3. O ena dokªadno± i wyzna zenia parametrów. . . . . . . . . . . . . . . 95
7. Podsumowanie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Dodatek A.Normaliza ja tempa koales en ji. . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.1. Polaryza ja fal grawita yjny h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Sygnaª po hodz¡ y odzlewaj¡ y h siobiektówzwarty h. . . . . . . 20
2.3. Ukªad podwójny obiektówzwarty h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Widmo - ukªad dªugo-»yj¡ y.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5. Widmo - ukªad krótko-»yj¡ y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1. Mapa detektorówrezonansowy h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. S hemat budowy interferometru.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3. Naziemne detektory interferometry zne- krzywe zuªo± i. . . . . . . . 37
3.4. Kosmi zne detektory interferometry zne- krzywe zuªo± i. . . . . . . 38
3.5. ET - s hematkon gura ji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1. Ewolu ja eks entry zno± i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2. Parametrypo z¡tkowe BNS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3. Parametrypo z¡tkowe NSBH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4. Parametrypo z¡tkowe BBH.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5. Rozkªad eks entry zno± i BNS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6. Rozkªad eks entry zno± i NSBH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.7. Rozkªad eks entry zno± i BBH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1. Po z¡tkowe parametryukªadów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2. Tªo falgrawita yjny h - popula ja III. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3. Tempo koales en ji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4. Gsto±¢ energii falgrawita yjny h - skªadowe. . . . . . . . . . . . . . 78
5.5. Tªo falgrawita yjny h - popula ja I i II. . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6. Tªo falgrawita yjny h - popula ja I, II i III. . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1. HistogramMchirp dany h wej± iowy h. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2. Tempoforma ji gwiazdi tempokoales en ji. . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3. Symulowane obserwa je. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4. SFR dlaró»ny h warto± i parametrówci d. . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5. SFR - wynikisymula ji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.6. Kosmologia- wyniki symula ji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.7. SFR - wynikisymula jidlaN1 = 103 obserwa ji. . . . . . . . . . . . . 100
6.8. SFR - wynikisymula jidlaN2 = 103 obserwa ji. . . . . . . . . . . . . 101
6.9. Kosmologia- wyniki symula jidlaN1 = 103 obserwa ji. . . . . . . . . 102
6.10.Kosmologia- wyniki symula jidlaN2 = 103 obserwa ji. . . . . . . . . 103
6.11.SFR - wynikisymula jidlaN = 102 obserwa ji . . . . . . . . . . . . 104
6.12.Kosmologia- wyniki symula jidlaN = 102 obserwa ji . . . . . . . . 105
6.13.SFR - wynikisymula jidlaN = 104 obserwa ji . . . . . . . . . . . . 106
6.14.Kosmologia- wyniki symula jidlaN = 104 obserwa ji . . . . . . . . 107
6.15.SFR - o ena dokªadno± i - N = 103 obserwa ji. . . . . . . . . . . . . 108
6.16.Kosmologia- o ena dokªadno± i - N = 103 obserwa ji.. . . . . . . . . 109
6.17.SFR - o ena dokªadno± i - N = 102 obserwa ji. . . . . . . . . . . . . 110
6.18.SFR - o ena dokªadno± i - N = 104 obserwa ji. . . . . . . . . . . . . 111
6.19.Kosmologia- o ena dokªadno± i - N = 102 obserwa ji.. . . . . . . . . 114
6.20.Kosmologia- o ena dokªadno± i - N = 104 obserwa ji.. . . . . . . . . 115
6.21.O ena dokªadno± i wfunk ji li zby obserwa ji. . . . . . . . . . . . . . 116
4.1. Lista modeli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Statysty zne parametrypopula ji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3. Udziaª ukªadów odu»ej eks entry zno± i. . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4. Parametrydopasowania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1. Listamodeli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2. Li zba o zekiwany h koales en ji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1. Wyzna zone przedziaªy ufno± i rozkªadów parametrów. . . . . . . . . 112
A.1. Li zba rozwa»any h ukªadów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Przede wszystkim podzikowania nale»¡si mojemupromotorowi- prof. dr hab.
Tomaszowi Bulikowi. Bez jego zasu, zaanga»owania i nieo enionej pomo y mery-
tory znej, pra a ta nie mogªaby powsta¢. Jego wyj¡tkowy entuzjazm i niegasn¡ y
optymizm sprawiª, »e lata naszej doty h zasowej wspóªpra y byªy niezwykle przy-
jemn¡ przygod¡.
Pragn podzikowa¢ osobom, z którymi miaªam okazj pra owa¢, za i h pomo ,
ierpliwo±¢ i zas jaki mipo±wi ili. W sz zególno± i, dr hab. Doro ie Rosi«skiejza
dªugie,konstruktywne dyskusje i okazan¡ »y zliwo±¢, Tani Regimbau zawspóªpra
i pomo merytory zn¡ oraz dr hab. Krzysztofowi Bel zy«skiemu za udostpnienie
kodu numery znego StarTra k, którego wynikiwdu»ej mierzestanowi¡ baz mojej
pra y doktorskiej.
Dzikuj te» moim kole»ankom i kolegom z Obserwatorium Astronomi znego,
dziki którym atmosfera w miejs u naszej pra y jest tak pozytywna. W sz zególno-
± i h iaªamwyrazi¢swoj¡wdzi zno±¢ ZuzannieKostrzewie-Rutkowskieji Markowi
Cie±larowi,którzytak zstopomagalimirozwi¡zywa¢rozmaiteproblemyte hni zne
napotykane w zasie pisanianiniejszej pra y.
Sz zególnepodzikowanianale»¡simojemum»owiMar inowi,któryodsamego
po z¡tku okazywaª du»o wspar ia i wyrozumiaªo± i.
Nowo zesnaastro zykarozwijasiwbardzoszybkimtempie. Nastpujelawinowy
wzrostdostpnejmo yobli zeniowej, opozwalana orazbardziejskomplikowanesy-
mula jenumery zne. Rozwój teorety znejgaªziastro zykijest te»napdzany przez
oraz dokªadniejsze i lepsze obserwa je. Wikszo±¢ zjawisk obserwa yjny h mo»emy
ju» wyja±ni¢ za pomo ¡ naszy h teorii i modeli. Caªa wspóª zesna astronomia na-
stawiona jest na zdobywanie oraz wikszej ilo± i informa ji o obiekta h, które ju»
znamy. Jedno ze±nie znajdujemy si u progu epokowego wydarzenia jakim niew¡t-
pliwiebdziewykry iefalgrawita yjny h. Promieniowaniegrawita yjne, wynikaj¡ e
zrówna«Ogólnej TeoriiWzgldno± i(OTW), powinno wypeªnia¢ aªynasz Wsze h-
±wiat. Fale te powstaj¡ wskutek zaburzenia samej zasoprzestrzeni. Bd¡ zupeªnie
niezale»nym¹ródªeminforma jioznany hnam obiekta h,atak»emog¡ujawni¢zja-
wiskanieobserwowanedotejporywpa±mieelektromagnety znym. Falegrawita yjne
bardzosªabo oddziaªuj¡ z materi¡. Zjednej strony jest to wada, gdy» detek ja tego
promieniowania jest trudnym zadaniem, które do tej pory nie zako« zyªo si suk e-
sem. Z drugiej za± jest to ogromna zaleta, dziki której do ieraj¡ e do nas fale nie
ulegaj¡dyspersjianiabsorp ji. Pozwolitonabezpo±rednieniebadaniewewntrzny h
rejonówzapadaj¡ y hsigwiazd,sz zegóªówwybu husupernowej,amo»enawetza-
obserwujemy fale powstaªe tu» po Wielkim Wybu hu. Dodatkowo spodziewamy si
szeregu zjawisk,który h jesz zenieznamy. Otworzenieoknagrawita yjnegostworzy
zupeªnie nowe mo»liwo± ii pozwolisiga¢ dalej ni»kiedykolwiek. Pierwsze obserwa-
je w nowym pa±mie fal elektromagnety zny h zawsze owo owaªy w lawin nowy h
odkry¢. Tak te» bdzie wprzypadku fal grawita yjny h.
Czekaj¡ na pierwsz¡ detek j, ±rodowisko astro zy zne opra owuje algorytmy,
które pozwol¡ nietylko na efektywne odkrywanie fal grawita yjny h, ale te» na wy-
zna zanie parametrów zy zny h ¹ródeª. Gªównym obiektem zainteresowa« niniej-
szej pra y s¡ ukªady podwójne obiektów zwarty h jako ¹ródªa fal grawita yjny h.
Spodziewamy si, »e bd¡ one jednym z najlepszy h i najsilniejszy h ¹ródeª pro-
mieniowania grawita yjnego. Pra a porusza trzy zagadnienia zwi¡zane z t¡ klas¡
obiektów.
Pierwszymzni hjest problemeks entry zno± iorbityukªadówpodwójny h oraz
jej wpªyw na obserwowany sygnaª. W rozdziale 4 analizujemy rozkªad eks entry z-
s¡ dlatrze h typówdetektorów, które s¡ ju» naetapie projektu (ET, DECIGO) lub
budowy (AdvVIRGO, AdvLIGO).
Druga z±¢ zawarta jestwrozdziale5,gdzie pokazujemywynikiobli ze«sto ha-
sty znegotªafalgrawita yjny hpo hodz¡ egooddu»ej próbkiukªadówpodwójny h.
Wynikiprzedstawiones¡dla±rodowiskoró»ny hmetali zno± ia horazuwzgldniaj¡
wpªyw eks entry zno± i orbity.
Trze imzagadnieniemjestmo»liwo±¢wykorzystaniaprzyszªy hobserwa jifalgra-
wita yjny h doodtworzenia parametrówkosmologi zny h b¡d¹ wªasno± i samej po-
pula ji gwiazdowej(tempoforma jigwiazd,rozkªadmas). Wrozdziale6zakªadamy,
»e mamy dodyspozy ji pewn¡ li zb obserwowany h ukªadówpodwójny h,dla któ-
ry hznanes¡masyoraz i h stosuneksygnaªu doszumu. Dodatkowomusimy ustali¢
kosmologi oraz tempo forma ji gwiazd, które doprowadziªy do powstania wªa±nie
taki h obserwa ji. Nastpnie próbujemy odtworzy¢ parametry kosmologi zne lub
ksztaªt funk ji tempa forma ji gwiazd. Tworzymy siatk modeli, która próbkuje
przestrze« poszukiwany h parametrów. Wybórmodelu, którego parametrynajlepiej
pasuj¡ doobserwa ji, nastpujepoprzezzastosowanie metody najwikszejwiarygod-
no± i. Badamy wpªyw li zby dostepny h obserwa ji, jak równie» losowo± i próbki
obserwa yjnej nadokªadno±¢ wyzna zenia parametrów.
2.1. Równania Einsteina.
Na po z¡tku XX wieku Albert Einstein opublikowaª seri przeªomowy h pra
doty z¡ y h zasuiprzestrzeni. Postulowaªon, »e byty tenies¡odsiebie niezale»ne
(jak to ma miejs e w zy e newtonowskiej), ale tworz¡ wspólnie struktur zwan¡
dzi± zasoprzestrzeni¡. W rama hty h rozwa»a« powstaªa STW (Sz zególna Teoria
Wzgldno± i),zapomo ¡którejmo»emyopisywa¢ru hobiektóww zterowymiarowej
przestrzeni. Zmatematy znegopunktuwidzenia zasoprzestrze«mogªaby¢dowolnie
zakrzywiona, owido zne jest wposta i metryki.
Wswy h pra a hdoty z¡ y hnatury grawita ji(Einstein 1916)Einsteinuto»sa-
miaª j¡ z ow¡ krzywizn¡ zasoprzestrzeni. Z jednej strony obe no±¢ masy i energii
zakrzywiaªa zasoprzestrze«,zdrugiejza±tozakrzywieniewpªywaªonasposóbwjaki
poruszaj¡ si masywne z¡stki. Swoj¡ teori, któr¡ dzi± nazywamy OTW (Ogólna
Teoria Wzgldno± i), Einstein wyraziª w posta i elegan kiego i na pozór prostego
wzoru:
Rαβ − 1
2gαβR = 8πTαβ, (2.1)
gdzieRαβ jesttensoremRi iego,RjestskalaremRi iego,gαβopisujemetryk zaso-
przestrzeni,a Tαβ jest tensorem energii-pdu. Równaniezapisane jest w jednostka h geometry zny h, w który h staªa grawita ji oraz prdko±¢ ±wiatªa s¡to»samo± iowo
równe 1.
Lewastronarównaniaopisujekrzywizn zasoprzestrzeni,pod zasgdyprawaod-
powiadazaopis ¹ródeªmasyienergii. Wogólnymprzypadkujesttoukªad dziesi iu
nieliniowy h równa« ró»ni zkowy h z¡stkowy h, które nie maj¡ anality znego roz-
wi¡zania. Tylko sze±¢ z ty h równa« jest od siebie niezale»ny h ze wzgldu na swo-
bod wyboru ukªadu wspóªrzdny h. Do wykonania niezbdny h obli ze« u»ywa si
skomplikowanegoaparatumatematy znegojakimjestgeometriaró»ni zkowa. Ka»de
zagadnienie w OTW wymaga wie oddzielnego podej± ia i szeregu zaªo»e«, które
uprasz zaj¡ równaniaEinsteina.
W niniejszej sek ji przeanalizujemy niewielkie zaburzenie zasoprzestrzeni gene-
rowane przezsªabe, nierelatywisty zne ¹ródªo. Dodatkowoopis metryki bdzie obej-
mowaªobszarzna znieoddalonyod¹ródªa,gdziepolegrawita yjnejestbardzosªabe.
W taki h warunka h mo»emy zapisa¢ metryk jako sum pªaskiej metryki oraz nie-
wielkiego zaburzenia:
gαβ = ηαβ + hαβ, (2.2)
gdzie hαβ jest owymmaªym zaburzeniem, a
ηαβ =
−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
(2.3)
jest metryk¡Minkowskiego.
Lew¡stronrównania2.1obli zamyzdokªadno± i¡dowyrazówliniowy h. Dodat-
kowezªo»eniemówi¡ e,»ew¹ródleniewystpuj¡prdko± irelatywisty zne,prowadzi
do stwierdzenia, »e dominuj¡ ¡ skªadow¡ tensora energii-pdu bdzie ta zwi¡zana z
mas¡ spo zynkow¡. Ostatnia opera ja jak¡ nale»y wykona¢ jest wybór e howania
(wygodnego ukªadu wspóªrzdny h), który ograni zy li zb stopni swobody naszego
ukªadu. Najwygodniejszewydaje si e howanie Lorentza,które implikujespeªnienie
przez zaburzenie metrykinastpuj¡ ego warunku:
∂hβα(x)
∂xβ − 1 2
∂hββ(x)
∂xα = 0. (2.4)
Warunek 2.4 zna znie si uprasz za je±li zamiast amplitudy hαβ wprowadzimy am- plitud zodwró onym ±ladem:
hαβ ≡ hαβ − 1
2ηαβh, (2.5)
gdzieh = hγγ. Wykorzystuj¡ takiwybór wspóªrzdny h mo»emy zapisa¢zlinearyzo- wane równaniaEinsteina jako:
hαβ = −16πTαβ, (2.6)
gdzie = −∂2/∂t2 +−→
▽2 ozna za dalamber jan i jest dobrze znanym operatorem wystpuj¡ ymwrównania hfalowy h. Takaposta¢równaniaEinsteinabardzoprzy-
pominaanalogi znerównaniafaloweznanezelektromagnetyzmu. I h rozwi¡zywanie
jest standardowym problemem w zy e. Z rozwa»a« na temat rozwini ia liniowego
równa« Einsteina bezpo±rednio wynika równanie falowe, którego rozwi¡zaniem jest
falagrawita yjna. A zatem zysto teorety zne przeksztaª enia pozwalaj¡ wierzy¢,»e
falegrawita yjne fakty znie powinny istnie¢.
2.2. Wªasno± i fal grawita yjny h.
Falegrawita yjnetozaburzenia zasoprzestrzeni,któreroz hodz¡sizprdko± i¡
±wiatªa. S¡ falamipoprze znymi oraz posiadaj¡ dwie polaryza je. Wtym wzgldzie
bardzoprzypominaj¡faleelektromagnety zne, ho¢wystpuj¡midzynimizna z¡ e
ró»ni e.
Rozwini ie równa« do wyrazów pierwszego rzdu sprawia, »e wystpuje linio-
wo±¢ i h rozwi¡za«. A zatem liniowa kombina ja zaburze« metryki równie» bdzie
speªniaªate uprosz zone równania. Co zatym idzie, ka»de sªabe zaburzeniemetryki
mo»na zapisa¢ jako liniow¡ kombina j dwó h niezale»ny h polaryza ji. Czsto wy-
magatojednakwybraniawygodnego ukªaduwspóªrzdny hlub dokonania pewny h
przeksztaª e« wspóªrzdny h. Polaryza je fal grawita yjny h s¡ obró one wzgldem
siebie o 45◦ (w przypadku fal elektromagnety zny h polaryza je ró»ni¡ si o 90◦).
Jedna z ni h nazywana jest polaryza j¡ + (plus), a druga x (krzy»). Aby lepiej
zobrazowa¢jakwygl¡daj¡ obiepolaryza je przeanalizujemywpªyw jakibdziemiaªa
prze hodz¡ a spolaryzowana fala na masy próbne uªo»one w pier± ie«. Sytua ja ta
przedstawionajestnarysunku2.1. Kolejneobrazkinatymrysunkupokazuj¡sekwen-
jru hówjakiwykonuj¡masypróbne. Falaprzy hodzizkierunkuprostopadªegodo
pªasz zyzny pier± ienia. Efektwido zny narysunkujestmo no przesadzony,aby do-
brzezobrazowa¢za hodz¡ ezjawisko. W rze zywisto± izmiany odlegªo± iwywoªane
