5. Obci¡»enie i ryzyko estymatorów

Statystyka matematyczna (4 zas., 2011/2012)

5. Obci¡»enie i ryzyko estymatorów

Zad. 5.1 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie dwumianowym B(n, p), gdzie p ∈ (0, 1) jest nieznanym parametrem. Dla dowolnych, ustalonych a, b, c, znale¹¢

estymator nieobci¡»ony parametru θ = ap² + bp + c.

Zad. 5.2 Niech X = (X1, . . . , X_n) b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu N (µ, σ²). Dobierz staª¡ k tak, aby estymator

T (X) = k

n−1

X

i=1

E(X_i+1− X_i)² byª nieobci¡»onym estymatorem parametru σ².

Zad. 5.3 Niech X = (X1, . . . , X_n) b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu Poissona P(λ) oraz

ˆ g(X) =

 1 − 1

n



n

P

i=1

Xi

b¦dzie estymatorem funkcji g(λ) = e^−λ. Poka», »e:

(a) ˆg(X) jest estymatorem nieobci¡»onym,

(b) ryzyko ±redniokwadratowe estymatora ˆg(X) wynosi e^−2λ(e^λ/n− 1). Zad. 5.4 Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu U(0, θ).

(a) Dla jakich warto±ci parametrów α, β estymatory T₁(X₁, . . . , X_n) = αX_n:n, T₂(X₁, . . . , X_n) = β

n

n

X

i=1

X_i, parametru θ s¡ nieobci¡»one?

(b) Porównaj obydwa nieobci¡»one estymatory w sensie ryzyka ±redniokwadrato- wego.

Zad. 5.5 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu o g¦sto±ci f (x) = m

1 − mx^2m−11−m1_(0,1)(x), 0 < m < 1.

Który z estymatorów

ˆ

g1(X) = ¯X, ˆg2(X) = ¯X − 3,

nale»y przyj¡¢ za oszacowanie nieznanego parametru m, je»eli za kryterium przyj- miemy ryzyko ±redniokwadratowe?

1