Podaj przykªady zbiorów otwartych w X z topologia indukowana z R oraz przykªady zbiorów otwartych w X/ ∼ z topologia ilorazowa. Z jaka podprzestrzenia homeomorczna jest przestrze« X/ ∼?

Topologia II: ¢wiczenia 4

1. Niech X = [0, 1] ∪ [2, 3]. W zbiorze X wprowadzamy relacje ∼ w nastepujacy sposób:

1 ∼ 2,

[x] = {x} ∀x ∈ X \ {1, 2}.

Podaj przykªady zbiorów otwartych w X z topologia indukowana z R oraz przykªady zbiorów otwartych w X/ ∼ z topologia ilorazowa. Z jaka podprzestrzenia homeomorczna jest przestrze« X/ ∼?

2. W R wprowadzamy relacje ∼:

x ∼ y ⇐⇒ (x = y ∨ x, y ∈ [0, 5)).

Uzasadnij, »e odwzorowanie π : R → R/ ∼, π(x) = [x] nie jest ani otwarte ani domkniete.

3. W R rozwa»my relacje:

x ∼ x

⇐⇒ x − x

∈ Q.

Scharakteryzuj topologie ilorazowa na R/ ∼.

4. Rozwa»my kwadrat X = [0, 1] × [0, 1] z topologia indukowana z R

. W X wprowadzamy relacje ∼ dla której:

(x, 0) ∼ (x

, 1) ∧ (0, y) ∼ (0, y

).

Opisz jak wygladaja typowe zbiory otwarte w X/ ∼. Z jaka prze- strzenia homeomorczna jest przestrze« w ten sposób uzyskana?

5. Niech X = D

= {(x, y) ∈ R

|x

+ y

≤ 1} bedzie dyskiem jednost- kowym na pªaszczy¹nie. Uto»samiamy punkty z okregu zewnetrznego x

+ y

= 1 . Jak wygladaja w tej przestrzeni typowe zbiory otwarte i ich przeciwobrazy (ze wzgledu na odwzorowanie ilorazowe)? Z jaka przestrzenia homeomorczna jest przestrze« w ten sposób uzyskana?

6. Przypu±¢my, »e na Y mamy dana topologie ilorazowa wzgledem od- wzorowania f : X → Y . Poka», »e jest to najsilniejsza topologia, przy której funkcja f jest ciagªa.

7. Przypu±¢my, »e na Y mamy topologie ilorazowa wzgledem odwzorowa- nia f : X → Y . Poka», »e podzbiór A zawarty w Y jest domkniety wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór f

(A) jest domkniety w X.

1