Analiza II, ISIM Lista zada« nr 2
wersja 2.0
1. Poka», »e je»eli f jest caªkowalna, to dla ka»dego c ∈ R funkcja c · f jest równie» caªkowalna
oraz ∫ b
a
cf (x)dx = c
∫ b
a
f (x)dx
2. Udowodnij, »e je»eli f i g s¡ caªkowalne na przedziale [a, b] oraz f(x) ≤ g(x), to
∫ b
a
f (x)dx≤
∫ b
a
g(x)dx.
3. Poka», »e je»eli funkcja f jest caªkowalna na przedziale [a, b], to f jest równie» caªkowalna na przedziaªach [a, c], [c, b] dla ka»dego c ∈ [a, b] oraz
∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx
4. Poka», »e je»eli funkcja f jest caªkowalna oraz |f(x)| ≤ M dla ka»dego x ∈ [a, b], to ∫ b
a
f (x)dx
≤ M(b − a) 5. Oblicz caªki przy pomocy granicy odpowiednich sum caªkowych
∫ π
2
0
sin xdx
∫ a
b
dx
x2, 0 < b < a
∫ 1
0
axdx (a > 0)
∫ e
1
lnx
x dx, (wsk.: ti= ekn),
∫ 10
1
e2xdx,
∫ 2
1
dx
x , (wsk.: ti = 2nk) 6. Udowodnij oszacowania
∫ π
2
0
sin x
x dx < 2 1 5 <
∫ 2 1
1
x2+ 1dx < 1 2 5 <
∫ 3
1
xxdx < 31,
∫ 2
1
1
xdx < 3 4.
7. Funkcja g(x) ró»ni si¦ od funkcji caªkowalnej f(x) jedynie w sko«czenie wielu punktach prze- dziaªu [a, b]. Poka», »e funkcja g jest te» caªkowalna oraz ponadto∫b
af (x)dx =∫b
a g(x)dx.
8. Zbadaj caªkowalno±¢ poni»szych funkcji i je»eli potra sz, to oblicz warto±¢ caªki:
(a) f(x) =
{ x dla 0 ≤ x ≤ 1,
−x2 dla 1 < x ≤ 2.
(a) f(x) =
{ sin x dla 0 ≤ x ≤ π, cos x dla π < x ≤ 2π.
(a) f(x) =
1 dla −1 ≤ x ≤ 0 i x /∈ Q,
−1 dla 0 < x ≤ 1 i x /∈ Q 0 dla −1 ≤ x ≤ 1 i x ∈ Q
9. Oblicz podane granice przy pomocy caªek Riemanna odpowiednich funkcji
nlim→∞
( 1 n2 + 2
n2 + ... + n− 1 n2
)
, lim
n→∞
1 n
( sinπ
n+2π
n + ... + sin(n− 1)π n
) ,
nlim→∞n
( 1
(n + 1)2 + 1
(n + 2)2 + ... + 1 (2n)2
)
, lim
n→∞
12015+ 22015+ ... + n2015 n2016
10. Udowodnij
nlim→∞
( 1
n + 1+ 1
n + 2+ ... + 1 2n
)
= log 2.
11. Oblicz
nlim→∞
n
√(2n)!
n!nn
Wskazówka: Oblicz granic¦ logarytmu podanego wyra»enia przy pomocy caªki Riemanna odpowiedniej funkcji.
12. Korzystaj¡c z odpowiednich sum caªkowych, oblicz granice ci¡gów an=
∑2n k=n
1
k, bn=
∑3n k=n+1
1
k, cn= n2
∑n k=1
1 n3+ k3.
13. Wiedz¡c, »e funkcja f : [−1, 1] → R jest caªkowalna, wyka» caªkowalno±¢ funkcji g(x) =
f (|x|) i poka», »e ∫ 1
−1g(x)dx = 2
∫ 1
0
f (x)dx.
14. Poka», »e ∫ 2π
0
sin2xdx =
∫ 2π
0
cos2xdx = π
15. Poka», »e je»eli funkcja f jest wypukªa na odcinku [a, b], to jest te» caªkowalna.
16. Poka», »e je»eli f(x) jest ci¡gª¡ i nieujemn¡ funkcj¡ na przedziale [a, b], to
plim→∞
( ∫ b a
f (x)pdx )1
p
= max{f(x) : a ≤ x ≤ b}.
17. Oblicz podan¡ granic¦ przy pomocy caªki Riemanna odpowiedniej funkcji:
nlim→∞
( 21n
n + 1 + 22n
n + (1/2)+ ... + 2nn n + (1/n)
)
18. Co jest wi¦ksze∫π
0 esin2xdx czy 3π2 ?
19. Poka», »e ka»da funkcja wypukªa na przedziale (a, b) jest ci¡gªa.
