Luty 2013

(1)

pobrano z www. sqlmedia.pl pobrano z www. sqlmedia.pl

1 Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli

w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

KOD PESEL

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY

1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1-12). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego próbny egzamin.

2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym.

3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby punktów.

4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem.

5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.

6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.

7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL.

9. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora.

We współpracy

Luty 2013

Czas pracy:

180 minut

Liczba punktów do uzyskania: 50

pobrano z www. sqlmedia.pl

(2)

2

Rozwiąż równanie: ʹ ^ଶݔ െ ʹ ^ଶݔ ݔ ൌ ͳ െ ݔǡ w przedziale ݔ א ۃͲǡʹߨۄ.

(3)

3

Dany jest czworokąt ܣܤܥܦǤ Niech ܵ będzie punktem przecięcia jego przekątnych.

Udowodnij, że czworokąt ܣܤܥܦ można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy,

gdy ^ȁ஺ௌȁ

ȁ஽ௌȁ ൌ^ȁ஻ௌȁ_ȁ஼ௌȁ. pobrano z www. sqlmedia.pl

(4)

4 Dane są funkcje ݂ሺݔሻ ൌ^ଶ௫ା௕_௔௫ାଵ oraz ݃ሺݔሻ ൌ^௔௫ା௖_௔௫ାଵ, o których wiadomo, że ich wykresy mają punkt wspólny ܲሺെͻǡ^ଵଵ_ଵଷሻǡ a miejscem zerowym funkcji ݃ jest liczba:-^ହ_ଷ. Wyznacz wartości

parametrów ܽǡ ܾǡ ܿǤ

(5)

5 Narysuj wykres funkcji ݂ሺݔሻ ൌୡ୭ୱ ௫ାȁ௦௜௡௫ȁ

௖௢௦௫ dla ݔ א ቀെ^ଷగ_ଶ ǡ െ^గ_ଶቁ ׫ ቀെ_ଶ^గǡ^గ_ଶቁ ׫ ቀ^గ_ଶǡ^ଷగ_ଶቁǤ

Podaj zbiór rozwiązań nierówności Ͳ ൑ ݂ሺݔሻ ൏ ʹǤ

(6)

6 Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa ͷʹ. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy ʹǡdo drugiej ͳʹǡ a do trzeciej ͸ǡ to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.

(7)

7 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden z boków ma długość 6, a kąty do niego

przyległe mają miaryͶͷ^° i ͳͲͷ^°. Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia

okręgu opisanego na podstawie. Oblicz objętość ostrosłupa. Wynik podaj w postaci ܽ ൅ ܾξܿ,

gdzie ܽǡ ܾǡ ܿ są liczbami wymiernymi.

(8)

8

Dany jest wielomian ܹሺݔሻ stopnia ݊ ൐ ʹ, którego suma wszystkich współczynników jest

równa 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta

ܴሺݔሻz dzielenia tego wielomianu przez wielomian ܲሺݔሻ ൌ ሺݔ ൅ ͳሻሺݔ െ ͳሻ jest równa

ܴሺݔሻ ൌ ʹݔ ൅ ʹ.

(9)

9 Narysuj wykres funkcji ݂ሺݔሻ ൌ ݈݋݃_ଶሺെݔ^ଷെ ͷݔ^ଶെ ͵ݔ ൅ ͻሻ െ ݈݋݃_ଶቀെ^ଵ_ଶݔ^ଶെ ݔ ൅^ଷ_ଶቁǤ

(10)

10

Ze zbioru liczb ሼͳǡʹǡ͵ǡͶǡͷǡ͸ǡ͹ǡͺሽ wybieramy losowo jednocześnie cztery liczby. Oblicz

prawdopodobieństwo zdarzenia ܣ polegającego na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą

będzie ͵ lub największą wylosowaną liczbą będzie ͹.

(11)

11

Punkty ܤ ൌ ሺͷǡ͸ሻ i ܥ ൌ ሺͲǡ͸ሻ są wierzchołkami trapezu równoramiennego ܣܤܥܦ, którego

podstawy ܣܤ i ܥܦ są prostopadłe do prostej ݇ o równaniu ݕ ൌ െ^ଵ_ଶݔ ൅ ͳǤ Oblicz współrzędne

pozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt ܦ należy do prostej ݇.

(12)

12

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych ܽǡ ܾǡ ܿ א ܴzachodzi nierówność

ܽ^ଶ൅ Ͷܾ^ଶ ൅ ͵ܿ^ଶ൅ ͳ͵ ൒ ʹܽ ൅ ͳʹܾ ൅ ͸ܿ.

(13)

13

W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości ͵ i ͷ, zaś odcinek łączący

środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku ͷǣ ͳͳ. Oblicz długości podstaw trapezu.

(14)

14 pobrano z www. sqlmedia.pl

(15)

15 pobrano z www. sqlmedia.pl

(16)

16

WYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY

Punkty

0 1 2 3 4 5

1

o o o o o

2

o o o o o

3

o o o o o

4

o o o o o

5

o o o o o

6

o o o o o o

7

o o o o o

8

o o o o o o

9

o o o o o

10

o o o o o o

11

o o o o

12

o o o o o

SUMA

PUNKTÓW