Działania na potęgach

(1)

(2)

Na prezentacji przerobimy wybrane przykłady z pierwszego tematu z podręcznika/zbioru.

Cały ten temat jest powtórzeniem materiału z 1. klasy. Omówimy niektóry podpunkty z zadań 1.1 - 1.6 ze zbioru. Jako pracę domową proszę przerobić samodzielnie pozostałe podpunkty. Na wejściówce będzie zadania podobne do tych ćwiczeń.

Tomasz Lechowski Batory 3LO 17 sierpnia 2019 2 / 16

(3)

Na prezentacji przerobimy wybrane przykłady z pierwszego tematu z podręcznika/zbioru. Cały ten temat jest powtórzeniem materiału z 1.

klasy. Omówimy niektóry podpunkty z zadań 1.1 - 1.6 ze zbioru.

Jako pracę domową proszę przerobić samodzielnie pozostałe podpunkty. Na wejściówce będzie zadania podobne do tych ćwiczeń.

(4)

klasy. Omówimy niektóry podpunkty z zadań 1.1 - 1.6 ze zbioru. Jako pracę domową proszę przerobić samodzielnie pozostałe podpunkty.

Na wejściówce będzie zadania podobne do tych ćwiczeń.

(5)

klasy. Omówimy niektóry podpunkty z zadań 1.1 - 1.6 ze zbioru. Jako pracę domową proszę przerobić samodzielnie pozostałe podpunkty. Na wejściówce będzie zadania podobne do tych ćwiczeń.

(6)

Zadanie 1.1 (c)

Chcemy obliczyć wartość:

p113²− 112²+^p89²− 80² =

Najpierw przypomnienie. Jeśli ktoś zapisze:

= (113 − 112) + (89 − 80)

czyli ”skróci” pierwiastek z kwadratem (pomimo tego, że pod

pierwiastkiem mamy odejmowanie), to na sprawdzianie otrzymuje od razu 1%.

(7)

Zadanie 1.1 (c)

p113²− 112²+^p89²− 80² = Najpierw przypomnienie.

Jeśli ktoś zapisze:

= (113 − 112) + (89 − 80)

(8)

Zadanie 1.1 (c)

p113²− 112²+^p89²− 80² = Najpierw przypomnienie. Jeśli ktoś zapisze:

= (113 − 112) + (89 − 80)

(9)

Zadanie 1.1 (c)

p113²− 112²+^p89²− 80² = Musimy podejść do tego inaczej.

Teoretycznie można obliczyć, ile to jest 113² i 112², a potem wykonać odejmowanie. Bez kalkulatora jest to jednak uciążliwe. Lepiej zastosować wzór na różnicę kwadratów:

= q

(113 − 112)(113 + 112) + q

(89 − 80)(89 + 80) = Teraz obliczenia już są proste:

=

√

1 · 225 +

√

9 · 169 = otrzymujemy:

= 15 + 3 · 13 = 15 + 39 = 54

(10)

Zadanie 1.1 (c)

p113²− 112²+^p89²− 80² =

Musimy podejść do tego inaczej. Teoretycznie można obliczyć, ile to jest 113² i 112², a potem wykonać odejmowanie. Bez kalkulatora jest to jednak uciążliwe.

Lepiej zastosować wzór na różnicę kwadratów:

= q

(113 − 112)(113 + 112) + q

=

√

1 · 225 +

√

= 15 + 3 · 13 = 15 + 39 = 54

(11)

Zadanie 1.1 (c)

p113²− 112²+^p89²− 80² =

Musimy podejść do tego inaczej. Teoretycznie można obliczyć, ile to jest 113² i 112², a potem wykonać odejmowanie. Bez kalkulatora jest to jednak uciążliwe. Lepiej zastosować wzór na różnicę kwadratów:

= q

(113 − 112)(113 + 112) + q

=

√

1 · 225 +

√

= 15 + 3 · 13 = 15 + 39 = 54

(12)

Zadanie 1.1 (c)

p113²− 112²+^p89²− 80² =

= q

(113 − 112)(113 + 112) + q

(89 − 80)(89 + 80) =

Teraz obliczenia już są proste:

=

√

1 · 225 +

√

= 15 + 3 · 13 = 15 + 39 = 54

(13)

Zadanie 1.1 (c)

p113²− 112²+^p89²− 80² =

= q

(113 − 112)(113 + 112) + q

=

√

1 · 225 +

√

= 15 + 3 · 13 = 15 + 39 = 54

(14)

Zadanie 1.1 (c)

p113²− 112²+^p89²− 80² =

= q

(113 − 112)(113 + 112) + q

=

√

1 · 225 +

√

9 · 169 =

otrzymujemy:

= 15 + 3 · 13 = 15 + 39 = 54

(15)

Zadanie 1.1 (c)

p113²− 112²+^p89²− 80² =

= q

(113 − 112)(113 + 112) + q

=

√

1 · 225 +

√

= 15 + 3 · 13 = 15 + 39 = 54

(16)

Zadanie 1.1 (d)

p666²+ 888²=

Znów, jeśli ktoś zapisze:

= 666 + 888

czyli ”skróci” pierwiastek z kwadratem (pomimo dodawania pod pierwiastkiem), to na sprawdzianie otrzymuje oczywiście 1%.

(17)

Zadanie 1.1 (d)

p666²+ 888²= Znów, jeśli ktoś zapisze:

= 666 + 888

czyli ”skróci” pierwiastek z kwadratem (pomimo dodawania pod pierwiastkiem), to na sprawdzianie otrzymuje oczywiście 1%.

(18)

Zadanie 1.1 (d)

p666²+ 888²=

Możemy coś wyciągnąć przed nawias (pod pierwiastkiem):

= q

222²(3²+ 4²) = W nawiasie mamy proste działania, obliczamy:

=

√

222²· 25 = 222 · 5 = 1110

(19)

Zadanie 1.1 (d)

p666²+ 888²=

= q

=

√

222²· 25 = 222 · 5 = 1110

(20)

Zadanie 1.1 (d)

p666²+ 888²=

= q

222²(3²+ 4²) =

W nawiasie mamy proste działania, obliczamy:

=

√

222²· 25 = 222 · 5 = 1110

(21)

Zadanie 1.1 (d)

p666²+ 888²=

= q

=

√

222²· 25 = 222 · 5 = 1110

(22)

Zadanie 1.1 (d)

Tutaj krótkie przypomnienie:

666²= (222 · 3)²= 222²· 3²

i analogicznie dla 888², czyli można wyciągnąć 222² przed nawias.

(23)

Zadanie 1.1 (d)

Tutaj krótkie przypomnienie:

666² = (222 · 3)²= 222²· 3²

i analogicznie dla 888², czyli można wyciągnąć 222² przed nawias.

(24)

Zadanie 1.2 (d)

Mamy liczbę:

x = 81⁻³⁴ ·√ 12

√3

72 =

Najpierw wyciągnijmy co się da przed pierwiastki:

= 81⁻³⁴ · 2√ 3 2√³

9 =

(Mamy √³

72 =√³

8 · 9 = 2√³

9) Dalej skracamy dwójki i widzimy przy tym, że wszystko można będzie zapisać jako potęgi 3:

= 81⁻³⁴·√ 3

√3

9 = 3⁻³· 3¹² 3²³

(25)

Zadanie 1.2 (d)

Mamy liczbę:

x = 81⁻³⁴ ·√ 12

√3

72 =

= 81⁻³⁴ · 2√ 3 2√³

9 =

(Mamy √³

72 =√³

8 · 9 = 2√³

= 81⁻³⁴·√ 3

√3

9 = 3⁻³· 3¹² 3²³

(26)

Zadanie 1.2 (d)

Mamy liczbę:

x = 81⁻³⁴ ·√ 12

√3

72 =

= 81⁻³⁴ · 2√ 3 2√³

9 =

(Mamy √³

72 =√³

8 · 9 = 2√³ 9)

Dalej skracamy dwójki i widzimy przy tym, że wszystko można będzie zapisać jako potęgi 3:

= 81⁻³⁴·√ 3

√3

9 = 3⁻³· 3¹² 3²³

(27)

Zadanie 1.2 (d)

Mamy liczbę:

x = 81⁻³⁴ ·√ 12

√3

72 =

= 81⁻³⁴ · 2√ 3 2√³

9 =

(Mamy √³

72 =√³

8 · 9 = 2√³

= 81⁻³⁴·√ 3

√3

9 = 3⁻³· 3¹² 3²³

(28)

Zadanie 1.2 (d)

Mamy liczbę:

x = 81⁻³⁴ ·√ 12

√3

72 =

= 81⁻³⁴ · 2√ 3 2√³

9 =

(Mamy √³

72 =√³

8 · 9 = 2√³

= 81⁻³⁴ ·√ 3

√3

9 = 3⁻³· 3¹² 3²³

(29)

Zadanie 1.2 (d)

3⁻³· 3¹² 3²³

=

Teraz to już tylko działania na potęgach:

= 3⁻³⁺¹²⁻²³ = 3⁻¹⁹⁶

(30)

Zadanie 1.2 (d)

3⁻³· 3¹² 3²³

= Teraz to już tylko działania na potęgach:

= 3⁻³⁺¹²⁻²³ = 3⁻¹⁹⁶

(31)

Zadanie 1.2 (d)

3⁻³· 3¹² 3²³

= Teraz to już tylko działania na potęgach:

= 3⁻³⁺¹²⁻²³ = 3⁻¹⁹⁶

(32)

Zadanie 1.3 (b)

Mamy dwie liczby

x = 5⁻²⁰+ 5⁻¹⁹

125⁻⁶ oraz y = 6⁻¹⁴+ 12 · (¹₆)¹⁵ (0.5)¹⁴· (¹₃)¹⁵

Trzeba obliczyć, jakim procentem x jest y . Zaczniemy od uproszczenia tych liczb. Najpierw x , wyciągniemy co się da przed nawias w liczniku, a mianownik zapiszemy jako potęgę 5:

x = 5⁻²⁰+ 5⁻¹⁹

125⁻⁶ = 5⁻²⁰(1 + 5)

5⁻¹⁸ = 5⁻²· 6 = 6 25

(33)

Zadanie 1.3 (b)

Mamy dwie liczby

x = 5⁻²⁰+ 5⁻¹⁹

125⁻⁶ oraz y = 6⁻¹⁴+ 12 · (¹₆)¹⁵ (0.5)¹⁴· (¹₃)¹⁵ Trzeba obliczyć, jakim procentem x jest y .

Zaczniemy od uproszczenia tych liczb. Najpierw x , wyciągniemy co się da przed nawias w liczniku, a mianownik zapiszemy jako potęgę 5:

x = 5⁻²⁰+ 5⁻¹⁹

125⁻⁶ = 5⁻²⁰(1 + 5)

5⁻¹⁸ = 5⁻²· 6 = 6 25

(34)

Zadanie 1.3 (b)

Mamy dwie liczby

x = 5⁻²⁰+ 5⁻¹⁹

125⁻⁶ oraz y = 6⁻¹⁴+ 12 · (¹₆)¹⁵ (0.5)¹⁴· (¹₃)¹⁵

Trzeba obliczyć, jakim procentem x jest y . Zaczniemy od uproszczenia tych liczb.

Najpierw x , wyciągniemy co się da przed nawias w liczniku, a mianownik zapiszemy jako potęgę 5:

x = 5⁻²⁰+ 5⁻¹⁹

125⁻⁶ = 5⁻²⁰(1 + 5)

5⁻¹⁸ = 5⁻²· 6 = 6 25

(35)

Zadanie 1.3 (b)

Mamy dwie liczby

x = 5⁻²⁰+ 5⁻¹⁹

125⁻⁶ oraz y = 6⁻¹⁴+ 12 · (¹₆)¹⁵ (0.5)¹⁴· (¹₃)¹⁵

x = 5⁻²⁰+ 5⁻¹⁹

125⁻⁶ = 5⁻²⁰(1 + 5)

5⁻¹⁸ = 5⁻²· 6 = 6 25

(36)

Zadanie 1.3 (b)

Mamy dwie liczby

x = 5⁻²⁰+ 5⁻¹⁹

125⁻⁶ oraz y = 6⁻¹⁴+ 12 · (¹₆)¹⁵ (0.5)¹⁴· (¹₃)¹⁵

x = 5⁻²⁰+ 5⁻¹⁹

125⁻⁶ = 5⁻²⁰(1 + 5)

5⁻¹⁸ = 5⁻²· 6 = 6 25

(37)

Zadanie 1.3 (b)

Teraz zajmiemy się y .

Najpierw pozbędziemy się ułamków: y = 6⁻¹⁴+ 12 · (¹₆)¹⁵

(0.5)¹⁴· (¹₃)¹⁵ = 6⁻¹⁴+ 12 · 6⁻¹⁵ 2⁻¹⁴· 3⁻¹⁵ =

Teraz z licznika wyciągniemy co się da przed nawias, a w mianowniku spróbujemy dojść do potęgi 6:

= 6⁻¹⁴(1 + 2)

2 · 2⁻¹⁵· 3⁻¹⁵ = 6⁻¹⁴· 3 2 · 6⁻¹⁵ = 9

(38)

Zadanie 1.3 (b)

Teraz zajmiemy się y . Najpierw pozbędziemy się ułamków:

y = 6⁻¹⁴+ 12 · (¹₆)¹⁵

(0.5)¹⁴· (¹₃)¹⁵ = 6⁻¹⁴+ 12 · 6⁻¹⁵ 2⁻¹⁴· 3⁻¹⁵ =

= 6⁻¹⁴(1 + 2)

2 · 2⁻¹⁵· 3⁻¹⁵ = 6⁻¹⁴· 3 2 · 6⁻¹⁵ = 9

(39)

Zadanie 1.3 (b)

y = 6⁻¹⁴+ 12 · (¹₆)¹⁵

(0.5)¹⁴· (¹₃)¹⁵ = 6⁻¹⁴+ 12 · 6⁻¹⁵ 2⁻¹⁴· 3⁻¹⁵ =

= 6⁻¹⁴(1 + 2)

2 · 2⁻¹⁵· 3⁻¹⁵ = 6⁻¹⁴· 3 2 · 6⁻¹⁵ = 9

(40)

Zadanie 1.3 (b)

y = 6⁻¹⁴+ 12 · (¹₆)¹⁵

(0.5)¹⁴· (¹₃)¹⁵ = 6⁻¹⁴+ 12 · 6⁻¹⁵ 2⁻¹⁴· 3⁻¹⁵ =

= 6⁻¹⁴(1 + 2)

2 · 2⁻¹⁵· 3⁻¹⁵ = 6⁻¹⁴· 3 2 · 6⁻¹⁵ = 9

(41)

Zadanie 1.3 (b)

y = 6⁻¹⁴+ 12 · (¹₆)¹⁵

(0.5)¹⁴· (¹₃)¹⁵ = 6⁻¹⁴+ 12 · 6⁻¹⁵ 2⁻¹⁴· 3⁻¹⁵ =

= 6⁻¹⁴(1 + 2)

2 · 2⁻¹⁵· 3⁻¹⁵ = 6⁻¹⁴· 3 2 · 6⁻¹⁵ = 9

(42)

Zadanie 1.3 (b)

Teraz trzeba określić jakim procentem liczby ₂₅⁶ jest liczba 9:

9

6 25

· 100% = 9 ·25

6 · 100% = 3750%

(43)

Zadanie 1.4 (b)

Mamy dwie liczby

m = 4¹²− 9⁶ oraz n = 2¹²+ 3⁶

Chcemy ustalić, która jest większa. Przyjrzyjmy się liczbie m, zastosujmy wzór na różnicę kwadratów:

m = 4¹²− 9⁶= (2¹²− 3⁶)(2¹²+ 3⁶) = (2¹²− 3⁶) · n

Ale przecież 2¹²− 3⁶= 4⁶− 3⁶, a to jest na pewno większe od 1. Czyli m > n.

(44)

Zadanie 1.4 (b)

Mamy dwie liczby

m = 4¹²− 9⁶ oraz n = 2¹²+ 3⁶ Chcemy ustalić, która jest większa.

Przyjrzyjmy się liczbie m, zastosujmy wzór na różnicę kwadratów:

m = 4¹²− 9⁶= (2¹²− 3⁶)(2¹²+ 3⁶) = (2¹²− 3⁶) · n

(45)

Zadanie 1.4 (b)

Mamy dwie liczby

m = 4¹²− 9⁶ oraz n = 2¹²+ 3⁶

m = 4¹²− 9⁶= (2¹²− 3⁶)(2¹²+ 3⁶) = (2¹²− 3⁶) · n

(46)

Zadanie 1.4 (b)

Mamy dwie liczby

m = 4¹²− 9⁶ oraz n = 2¹²+ 3⁶

m = 4¹²− 9⁶ = (2¹²− 3⁶)(2¹²+ 3⁶) = (2¹²− 3⁶) · n

(47)

Zadanie 1.4 (b)

Mamy dwie liczby

m = 4¹²− 9⁶ oraz n = 2¹²+ 3⁶

m = 4¹²− 9⁶ = (2¹²− 3⁶)(2¹²+ 3⁶) = (2¹²− 3⁶) · n

(48)

Zadanie 1.5 (d)

Mamy obliczyć:

(1.25)⁻¹− ³ s 8

27

⁻²

=

To raczej proste zadanie. (1.25)⁻¹ = (⁵₄)⁻¹= ⁴₅. Natomiast ^q³ ₂₇⁸ = ²₃. Czyli otrzymujemy:

=

4 5 −2

3

⁻²

=

2 15

⁻²

= 225

4 = 56.25

(49)

Zadanie 1.5 (d)

Mamy obliczyć:

(1.25)⁻¹− ³ s 8

27

⁻²

= To raczej proste zadanie.

(1.25)⁻¹ = (⁵₄)⁻¹= ⁴₅. Natomiast ^q³ ₂₇⁸ = ²₃. Czyli otrzymujemy:

=

4 5 −2

3

⁻²

=

2 15

⁻²

= 225

4 = 56.25

(50)

Zadanie 1.5 (d)

Mamy obliczyć:

(1.25)⁻¹− ³ s 8

27

⁻²

= To raczej proste zadanie. (1.25)⁻¹ = (⁵₄)⁻¹= ⁴₅.

Natomiast ^q³ ₂₇⁸ = ²₃. Czyli otrzymujemy:

=

4 5 −2

3

⁻²

=

2 15

⁻²

= 225

4 = 56.25

(51)

Zadanie 1.5 (d)

Mamy obliczyć:

(1.25)⁻¹− ³ s 8

27

⁻²

=

To raczej proste zadanie. (1.25)⁻¹ = (⁵₄)⁻¹= ⁴₅. Natomiast ^q³ ₂₇⁸ = ²₃.

Czyli otrzymujemy:

=

4 5 −2

3

⁻²

=

2 15

⁻²

= 225

4 = 56.25

(52)

Zadanie 1.5 (d)

Mamy obliczyć:

(1.25)⁻¹− ³ s 8

27

⁻²

=

4 5 −2

3

⁻²

=

2 15

⁻²

= 225

4 = 56.25

(53)

Zadanie 1.5 (d)

Mamy obliczyć:

(1.25)⁻¹− ³ s 8

27

⁻²

=

4 5 −2

3

⁻²

=

2 15

⁻²

= 225

4 = 56.25

(54)

Zadanie 1.6 (d)

Mamy obliczyć:

125²³ − (0.2)⁻¹

(0.5)⁻² · (0.2)⁻³

³₄

=

W liczniku mamy 125²³ = 25 oraz (0.2)⁻¹ = 5, w mianowniku mamy (0.5)⁻² = 4. Dalej mamy (0.2)⁻³ = 125, czyli po uproszczeniu mamy:

=

25 − 5 4 · 125

³₄

= 625³⁴ = 5³= 125

(55)

Zadanie 1.6 (d)

Mamy obliczyć:

125²³ − (0.2)⁻¹

(0.5)⁻² · (0.2)⁻³

³₄

= W liczniku mamy 125²³ = 25 oraz (0.2)⁻¹ = 5,

w mianowniku mamy (0.5)⁻² = 4. Dalej mamy (0.2)⁻³ = 125, czyli po uproszczeniu mamy:

=

25 − 5 4 · 125

³₄

= 625³⁴ = 5³= 125

(56)

Zadanie 1.6 (d)

Mamy obliczyć:

125²³ − (0.2)⁻¹

(0.5)⁻² · (0.2)⁻³

³₄

=

W liczniku mamy 125²³ = 25 oraz (0.2)⁻¹ = 5, w mianowniku mamy (0.5)⁻² = 4.

Dalej mamy (0.2)⁻³ = 125, czyli po uproszczeniu mamy:

=

25 − 5 4 · 125

³₄

= 625³⁴ = 5³= 125

(57)

Zadanie 1.6 (d)

Mamy obliczyć:

125²³ − (0.2)⁻¹

(0.5)⁻² · (0.2)⁻³

³₄

=

W liczniku mamy 125²³ = 25 oraz (0.2)⁻¹ = 5, w mianowniku mamy (0.5)⁻² = 4. Dalej mamy (0.2)⁻³ = 125,

czyli po uproszczeniu mamy:

=

25 − 5 4 · 125

³₄

= 625³⁴ = 5³= 125

(58)

Zadanie 1.6 (d)

Mamy obliczyć:

125²³ − (0.2)⁻¹

(0.5)⁻² · (0.2)⁻³

³₄

=

W liczniku mamy 125²³ = 25 oraz (0.2)⁻¹ = 5, w mianowniku mamy (0.5)⁻² = 4. Dalej mamy (0.2)⁻³ = 125, czyli po uproszczeniu mamy:

=

25 − 5 4 · 125

³₄

= 625³⁴ = 5³= 125

(59)

Wejściówka

Na wejściówce będzie zadanie podobne do któregos z przykładów od 1.1 do 1.6.

Proszę samodzielnie przerobić podpunkty, których nie ma na prezentacji.

(60)

Wejściówka

Na wejściówce będzie zadanie podobne do któregos z przykładów od 1.1 do 1.6. Proszę samodzielnie przerobić podpunkty, których nie ma na prezentacji.