GAL II*

GAL II*

seria 1, na 4.03.2020

Rozwiązania zadań oznaczonych ♦ należy opisać na kartce, dokładnie i czytelnie. Rozwiązania pozostałych zadań wystarczy przygotować do przedstawienia przy tablicy.

Zadanie 1. ♦

Niech A będzie macierzą kwadratową nad k taką, że A^T = −A.

1. Niech k = C. Wyznacz wszystkie wartości, jakie może przyjmować det A, w zależności od n.

2. Niech k = R i n będzie parzyste. Czy det A może przyjąć dowolną wartość dodatnią?

3. Co się dzieje, jeśli n jest nieparzyste i weźmiemy ciało k charakterystyki 2?

Zadanie 2. ♦

1. Wykaż, że w kategorii FinVectk skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem k monomor- fizmy (wg kategoryjnej definicji) to różnowartościowe przekształcenia liniowe.

2. Wyznacz wszystkie morfizmy w kategorii zbiorów Set, które są epimorfizmami (tzn. spełniają kategoryjną definicję epimorfizmu).

Zadanie 3.

Niech A będzie macierzą kwadratową n × n. Wykaż, że jeśli dla każdej macierzy B kwadratowej n × n zachodzi AB = BA, to A = cI dla pewnego c.

Zadanie 4.

Weźmy diagram A−→ B^f −→ C. Wykaż, że jeśli f, g są monomorfizmami, to gf również. Wykaż, że jeśli gf jest^g monomorfizmem, to f też, a g niekoniecznie. Jak brzmią analogiczne własności dla epimorfizmów?

Zadanie 5.

Oblicz wyznacznik















1 1 1 . . . 1

1 ²₁
3 1

. . . ⁿ₁
1 ³₂
4

2

. . . ⁿ⁺¹₂
... ... ... ... . . . 1 _n−1ⁿ
n+1

n−1

. . . ²ⁿ⁻²_n−1















1