działania. Węzły pierwsze.

(1)

Arytmetyka splotów: suma spójna splotów, własności tego działania. Węzły pierwsze.

Piotr Krzywda gr. 10B2

(2)

Na początek trochę podstawowych pojęć…

(3)

Teoria węzłów

(4)

Topologia

(5)

Topologia – przykład 1

(6)

Rozwiązanie

(7)

Topologia – przykład 2

A B

(8)

Węzeł potocznie

Najprostszy z węzłów, część składowa innych węzłów.

(9)

Przykłady węzłów rozumianych potocznie

Ósemka z pętlą

Węzeł Ratowniczy (tatrzański)

Zderzakowy

(10)

Węzeł w matematyce

(11)

Przykłady węzłów

Węzeł trywialny Trójlistnik

Węzeł oznaczany jako 6³ (duża szóstka, mała trójka)

(12)

Splot

Najprostszy splot to splot Hopfa Splot Witeheada

(13)

Ciekawy przykład splotu

(14)

A teraz, do głównego tematu, czyli…

(15)

Arytmetyka

(16)

Zasadnicze Twierdzenie Arytmetyki

(17)

Węzły w arytmetyce

(18)

Operacje sumy spójnej

X=0

D ₂ D ₁

(19)

X=0

D ₂ D ₁

(20)

X=0

D ₂ D ₁

(21)

Suma dwóch węzłów jest określona

(22)

Suma spójna dwóch trójlistników

(23)

Inny przykład sumy spójnej węzłów

(24)

(25)

Monoid

(26)

Grupa



(27)

Zagadka 1

(28)

Zagadka 2

(29)

Rozkład węzła

∑

α ∑ β

∑

∑ ∑

α β

(30)

∑ α

β

Rozkład węzła

(31)

Trywialny rozkład węzła

(32)

(33)

Węzeł pierwszy

(34)

Węzły pierwsze do sześciu skrzyżowań

Nazwa węzła Węzeł

Zapis Alexandera-

Briggs’a

Zapis Dowker- Thistlethwaite

Zapis Dowker’a

Zapis Conway’a

Trywialny 0₁ 0a1 — —

Trójlistnik 3₁ 3a1 4 6 2 [3]

Ósemka 4₁ 4a1 4 6 8 2 [22]

Pięciornik 5₁ 5a2 6 8 10 2 4 [5]

(35)

Węzły pierwsze do sześciu skrzyżowań

Nazwa węzła Węzeł

Zapis Alexandera-

Briggs’a

Zapis Dowker- Thistlethwaite

Zapis Dowker’a

Zapis Conway’a

Trzy półskrętny 5₂ 5a1 4 8 10 2 6 [32]

Portowy 6₁ 6a3 4 8 12 10 2

6 [42]

Węzeł 6₂ 6₂ 6a2 4 8 10 12 2

6 [312]

Węzeł 6₃ 6₃ 6a1 4 8 10 2 12

6 [2112]

(36)

Węzły pierwsze o siedmiu skrzyżowaniach

Węzeł Zapis Alexandera- Briggs’a

Zapis Dowker-

Thistlethwaite Zapis Dowker’a Zapis Conway’a

7₁ knot 7a7 8 10 12 14 2 4 6 [7]

7₂ 7a4 4 10 14 12 2 8 6 [52]

7₃ 7a5 6 10 12 14 2 4 8 [43]

7₄ knot 7a6 6 10 12 14 4 2 8 [313]

(37)

Węzeł Zapis Alexandera- Briggs’a

Zapis Dowker-

Thistlethwaite Zapis Dowker’a Zapis Conway’a

7₅ 7a3 4 10 12 14 2 8 6 [322]

7₆ 7a2 4 8 12 2 14 6 10 [2212]

7₇ 7a1 4 8 10 12 2 14 6 [21112]

Węzły pierwsze o siedmiu skrzyżowaniach

(38)

Węzły pierwsze o większej liczbie skrzyżowań

Węzłów pierwszych o ośmiu skrzyżowaniach

Węzłów pierwszych o dziewięciu skrzyżowaniach

Węzłów pierwszych o dziesięciu skrzyżowaniach

10₁₂₀ 9₄₇

8₂₁

(39)

Przykłady węzłów pierwszych o 8 skrzyżowaniach

8₁

8₁₂

8₁₉

8₁₅

(40)

9₁

9₄₁

9₃₅

(41)

10₁₁₆

10₇₅

10₆₀ 10₁₂₃

(42)

Liczba węzłów pierwszych

(43)

Liczba węzłów pierwszych

(44)

Jednoznaczność rozkładu na węzłów na węzły pierwsze

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

Bibliografia

• Stefan Jackowski „Topologia 1” Pomocnik studenta, Zintegrowane notatki do wykładu na Wydziale MIM UW, 2013

• Krzysztof Pawałowski, „Wielomiany Jonesa wezłów i splotów” Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, 2013

• Kunio Murasugi „Knot theory and its applications”, 1993

• http://bwr.uw.edu.pl/24.06.2013

• http://www.snipview.com/q/Unfibered_knots_and_links

• http://cspsp.pl/grw/sprzetwysok/wezly/wezly.htm

• http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/zadania/index26.html

• http://pfm.wmi.amu.edu.pl/index.php/zdjecia/item/44-krotki-wstep-do-teorii- wezlow-cz-iv-arytmetyka-wezlow

• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_knots

(51)

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ