Dyskretny rozkad jednostajny

1

Podstawowe informacje o rozkładzie jednostajnym dyskretnym

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa. c, n - całkowite; n > 0 n k X P( = )=1 k = c, c + 1, c + 2, ..., c + n - 1 Funkcja charakterystyczna.

(

)

(

it

)

ict e n e e t − − = 1 1 ) ( int

ϕ

Parametry: Wartość oczekiwana EX = c + (n - 1)/2; Wariancja D2X = (n2 - 1)/12 Odchylenie standardowe 12 1 -n DX 2 = Momenty zwykłe ) 1 ( 6 1 ) 1 2 ( 3 2 2 2 + − + − + = n c n c c m

Uwaga. W dowodzie korzystamy z równości:

6 ) 1 2 )( 1 ( 1 2 = + +

∑

= n n n i n i ) 5 , 0 5 , 1 ( 4 ) 1 6 6 ( ) 1 2 ( 2 2 2 2 3 3 + − + + − + − + = n c n c c n c c c m ) 1 2 ( 30 1 ) 1 3 2 ( 30 ) 1 6 6 ( 10 ) 1 2 ( 15 6 2 2 2 2 2 3 4 4 + − + − + − + + − + − + = n c n c c n c c c n c c c m Momenty centralne 0 3 =

µ

240 ) 7 3 )( 1 ( 2 2 4 − − = n n

µ

Współczynnik asymetrii a = 0 Kurioza (wsk. kurtozy) k = -1,2 - 2,4/(n2 - 1) Generowanie liczb losowych o tym rozkładzie:

 

nr c x_i = _i +

2

Podstawowe informacje o rozkładzie jednostajnym ciągłym

Rozkład którego gęstość jest stała w pewnym przedziale nazywamy jednostajnym. Gęstość rozkładu jednostajnego w (a, b)

f x

_b

_a

x

a b

x

a b

( )

( ;

)

( ;

)

=

₋

∈

∉









1

0

Ponieważ gęstość ta ma oś symetrii w punkcie x = (a + b)/2 to EX = (a+b)/2 Dowód, że D2X = (b – a)2/12 Najpierw obliczymy EX2 3 2 2 3 3 1 3 1 1 3 3 3 2 2 2 b a a ab b a b x a b dx a b x EX b a b a + + =       − − = − = − =

_∫

Zatem

(

)

12 2 3 2 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 a ab b a b b a EX EX X D  = −      ₊ − + + = − = Funkcja charakterystyczna.

(

b a

)

t i e e t iat ibt − − = ) (

ϕ

Momenty zwykłe       + − − = + + 1 1 1 1 k a b a b m k k k k = 1, 2, .... Momenty centralne 0 = k

µ

k = 1, 3, 5, ....

)

1

(

2

)

(

+

−

=

k

a

b

k k k

µ

k = 2, 4, 6, .... Współczynnik asymetrii a = 0 Kurioza (wsk. kurtozy) k = -1,2 Mediana = x0,5 = (a+b)/2

3

Zależności między momentami zwykłymi i centralnymi.

∑

=





−









=

k i i i k k

m

i

k

m

0 1

µ

w szczególności 2 1 2 2 m m =

µ

+ , 3 1 1 2 3 3 3 m m m =µ + µ + , 4 1 2 1 2 1 3 4 4 4 m 6 m m m =µ + µ + µ + ,

( )

∑

=





−









−

=

k i i i k i k

m

m

i

k

0 1

1

µ

w szczególności 2 1 2 2 =m −m µ , 3 1 1 2 3 3 =m −3m m +2m µ , 4 1 2 1 2 1 3 4 4 =m −4mm +6m m −3m µ ,

Kwantylem rzędu p (0 < p < 1) zmiennej losowej X o dystrybuancie

F nazywamy liczbę xp, taką, że

( )

_{≤ ≤}

( )

+

p

p p F x

x F

Zauważmy, że dla zmiennej losowej ciągłej xp wyznaczymy z równości

( )

x p F _p =

Kwantyl rzędu 0,5 nazywamy medianą.

Kwantyle rzędu 0,25 ; 0,5; 0,75 nazywamy kwartylami (drugi kwartyl jest medianą).

Kwantyle istnieją dla każdej zmiennej losowej, lecz nie zawsze są wyznaczone jednoznacznie.