1
PODSTAWOWE ROZKŁADY SKOKOWE Rozpatrujemy jednowymiarowe rozkłady skokowe.
Przypomnienie.
Zmienna losowa ma rozkład skokowy (dyskretny) gdy ma skończony lub przeliczalny zbiór wartości.
Rozkłady skokowe najczęściej określamy przez podanie funkcji prawdopodobieństwa. Najprostsza (ze względu na liczebność zbioru wartości) funkcja prawdopodobieństwa ma jednoelementowy zbiór wartości.
Rozkład jednopunktowy Określamy:
P(X = c) = 1 gdzie c ustalona liczba. Wtedy
Wartość oczekiwana
EX = c; Wariancja
D2X = 0 (tylko ten rozkład ma zerową wariancję !!!)
Problem.
Na płycie układu cyfrowego jest 16 punktów kontrolnych. W czterech z nich jest stan 1 w pozostałych stan 0. Wybieramy losowo jeden z 16-tu punktów, jakie jest prawdopodobieństwo trafienia na stan 1?
Problemy tego typu (obserwujemy jedno z dwóch zdarzeń) modelujemy rozkładem dwupunktowym.
Rozkład dwupunktowy (zerojedynkowy)
Niech p ( , )0 1 będzie ustaloną liczbą. Określamy:
P(X = 0) = q, P(X = 1) = p ; gdzie q = 1 – p. Umowa:
0 - porażka, q - prawdopodobieństwo porażki, 1 - sukces, p - prawdopodobieństwo sukcesu,
Wartość oczekiwana EX = p, Wariancja D2X = pq Momenty zwykłe p m m m2 3 4 Momenty centralne ) ( 3 pq qp , 4 pq (1 3pq) Współczynnik asymetrii pq p q a
2 Kurtoza 3 1 pq k Funkcja charakterystyczna it pe q t) ( , Rozwiązanie Problemu:
Szukane prawdopodobieństwo to prawdopodobieństwo sukcesu p. Obliczamy p stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa p = 4/16 = 0,25.
Rozkład ten jest wykorzystywany np. w statystycznej kontroli jakości. Można np. przyjąć, że X = 0 gdy wyrób dobry, X = 1 gdy wyrób jest wadliwy, wtedy p = P(X = 1) traktujemy jako wadliwość wyrobu.
Problem.
Prawdopodobieństwo uszkodzenia komputera przed upływem gwarancji wynosi 0,2. Firma zakupiła 6 jednakowych komputerów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przed upływem gwarancji 2 komputery ulegną uszkodzeniu. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych komputerów przed upływem gwarancji?.
Zakładamy, że komputery te są eksploatowane w tych samych warunkach i psują się niezależnie.
Problemy tego typu (powtarzamy wielokrotnie, niezależnie doświadczenie w tych samych warunkach - próby Bernoulliego) modelujemy rozkładem dwumianowym.
Rozkład dwumianowy
Dla danych p ( , )0 1 , nN określamy funkcję prawdopodobieństwa
P X k n k p q k n k ( ) gdzie q = 1 – p (wzór Bernoulliego) k = 0, 1, 2, ... , n.
Zauważmy, że gdy n = 1 to rozkład dwumianowy jest rozkładem zerojedynkowym. Sprawdzenie poprawności:
1 ) ( 0 0
n n k k n k n k q p q p k n k X PJeśli przyjmiemy, że n oznacza liczbę niezależnych doświadczeń z których każde kończy się jednym z dwóch wyników: „sukcesem" (z prawdopodobieństwem p w każdym doświadczeniu) lub „porażką” i zmienna losowa X oznacza liczbę „sukcesów” to powyższy wzór wyznacza prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w n doświadczeniach (próbach).
Własność
Rozkład dwumianowy jest sumą n niezależnych rozkładów zerojedynkowych o tym samym parametrze p.
3
Jakub Bernoulli (1654 - 1705) - szwajcarski matematyk i fizyk.
Wykresy funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego dla n = 20. Dla p = 0,05 - Seria 1,
Dla p = 0,25 - Seria 2, Dla p = 0,5 - Seria 3, Dla p = 0,75 - Seria 4, Dla p = 0,95 - Seria 5,
4 Wartość oczekiwana EX = np, Wariancja D2X = npq Momenty zwykłe ) 1 ) 1 (( 2 np n p m ) 1 ) 1 ( 3 ) 2 )( 1 (( 2 3 np n n p n p m ) 1 ) 1 ( 7 ) 2 )( 1 ( 6 ) 3 )( 2 )( 1 (( 3 2 4 np n n n p n n p n p m Momenty centralne ) ( 3 npq qp , 4 npq(13pq(n2)) Współczynnik asymetrii npq p q a Kurtoza 3 6 1 npq pq k Funkcja charakterystyczna
it
n pe q t) ( , WłasnośćDla rozkładu dwumianowego zachodzi zależność rekurencyjna ) ( 1 ) 1 ( P X k q p k k n k X P P(X )0 qn Rozwiązanie Problemu:
Przyjmujemy, że sukcesem jest uszkodzenie komputera przed upływem gwarancji. X – liczba uszkodzonych komputerów przed upływem gwarancji,
P X( ) , , , , , 2 6 2 0 2 0 8 15 0 04 0 4096 0 24576 2 4
Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X można przedstawić w tabelce:
xk 0 1 2 3 4 5 6
pk 0,2621 0,3932 0,2458 0,0819 0,0154 0,0015 0,0001
Zauważmy, że najbardziej prawdopodobną liczba uszkodzonych komputerów jest 1. Przykład
Rzucamy 4 razy kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w co najmniej 3 rzutach liczba oczek będzie podzielna przez 3?
Szukane prawdopodobieństwo to
5 Zatem 81 8 81 2 4 3 2 3 1 3 4 ) 3 ( 1 3 X P 81 1 81 1 1 3 2 3 1 4 4 ) 4 ( 0 4 X P 9 1 81 1 81 8 ) 4 ( ) 3 ( ) 3 (X P X P X P Przykład
Obliczymy wartość oczekiwaną rozkładu dwumianowego.
np q p np q p k n k n np q p k n k n k q p k n k EX n n k k n k n k k n k n k k n k
1 1 1 1 0 ) ( )! ( )! 1 ( )! 1 ( )! ( ! ! II sposób.Rozkład dwumianowy jest sumą n niezależnych rozkładów zerojedynkowych Xi o tym
samym parametrze p zatem
np EX X E EX n i i n i i
1 1Analogicznie obliczymy wariancję rozkładu dwumianowego (korzystamy z niezależności).
npq X D X D X D n i i n i i
1 2 1 2 2 Problem.Rzucamy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w trzech pierwszych rzutach wypadnie orzeł a w czwartym rzucie reszka.
Jest to problem wyznaczenia prawdopodobieństwa liczby prób poprzedzających pierwszy sukces, problemy tego typu modelujemy rozkładem geometrycznym.
Rozkład geometryczny
X - liczba prób Bernoulliego poprzedzających pierwszy sukces
k
pq
k
X
P
(
)
q = 1 - p k = 0, 1, 2, ... Sprawdzenie poprawności1
1
)
(
0 0
q
p
pq
k
X
P
k k k6
Wykresy funkcji prawdopodobieństwa rozkładu geometrycznego. Dla p = 0,25 - Seria 1, Dla p = 0,5 - Seria 2, Dla p = 0,75 - Seria 3, Wartość oczekiwana EX = q/p, Wariancja D2X = q/p2 Momenty zwykłe 2 2 ) 1 ( p q q m 3 2 3 ) 1 4 ( p q q q m 4 2 3 4 ) 1 11 11 ( p q q q q m Momenty centralne 3 3 ) 1 ( p q q , 4 2 4 ) 1 7 ( p q q q Współczynnik asymetrii q q a1 Kurtoza 9 2 q p k Funkcja charakterystyczna
7 it qe p t 1 ) ( , Własność
Dla rozkładu geometrycznego zachodzi zależność rekurencyjna ) ( ) 1 (X k qP X k P P(X )0 p Przykład
Obliczymy wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu geometrycznego. Dla szeregu geometrycznego mamy
x
x
k k
1
1
0Po zróżniczkowaniu tej równości otrzymamy (1)
2 1 11
1
x
kx
k k
Po kolejnym zróżniczkowaniu otrzymamy (2)
3 1 21
2
)
1
(
x
x
k
k
k k
Korzystając z równości (1) mamy
p
q
q
pq
kq
pq
kpq
EX
k k k k
2 1 1 01
1
Korzystając z równości (2) mamy
2 2 3 2 1 1 1 2 2 0 2 22
1
2
)
1
(
p
qp
q
p
q
q
pq
kq
pq
q
k
k
pq
pq
k
X
E
k k k k k k
Wtedy
2 2 2 2 2 2 2 22
)
(
p
q
p
qp
q
p
q
p
qp
q
EX
X
E
X
D
Rozwiązanie Problemu:Przyjmujemy, że sukcesem jest wyrzucenie reszki. X - liczba rzutów poprzedzających pierwszy sukces
0625 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 ) 3 (X 3 4 P Przykład
Odbieramy wielokrotnie sygnał binarny z satelity. Prawdopodobieństwo, że sygnał będzie zakłócony wynosi 0,01. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy zakłócony sygnał odbierzemy wśród 200 początkowych odebranych sygnałów.
Przyjmujemy, że sukcesem jest odebranie zakłóconego sygnału.
X - liczba niezakłóconych sygnałów poprzedzających pierwszy zakłócony sygnał. 0,864667 99 , 0 1 1 99 , 0 1 99 , 0 01 , 0 01 , 0 99 , 0 ) 199 ( 199 199 199 0
k k X P8
Problem.
System poczty elektronicznej WAT ma średnio 3 awarie na kwartał. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu roku będzie 10 awarii tego systemu.
Zakładając długotrwałą jednorodność średniej liczby awarii możemy modelować ten problem rozkładem Poissona.
Rozkład Poissona
Dla > 0 określamy funkcję prawdopodobieństwa
P X
k
k
e
k(
)
!
k = 0, 1, 2, ...(wartości tych prawdopodobieństw zawiera tablica rozkładu Poissona)
Siméon Denis Poisson (1781–1840), francuski mechanik teoretyk, fizyk i matematyk. W matematyce zajmował się całkami oznaczonymi, równaniami różnicowymi i różniczkowymi oraz teorią prawdopodobieństwa.
Sprawdzenie poprawności 1 ! ! ) ( 0 0 0
e e k e e k k X P k k k k k9
Wykresy funkcji prawdopodobieństwa rozkładu Poissona. Dla = 0,5 - Seria 1, Dla = 2 - Seria 2, Dla = 10 - Seria 3, Wartość oczekiwana EX = , Wariancja D2X = Momenty zwykłe 2 2 m 3 2 3 3 m 4 3 2 4 7 6 m Momenty centralne 3 , 4 32 Współczynnik asymetrii 1 a Kurtoza 3 1 k Funkcja charakterystyczna
1
) (t eeit
, PrzykładObliczymy wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu Poissona.
e e k e e k k EX k k k k 1 1 0 ! ( 1)!10
(
1
)
!
)
1
(
)!
1
(
!
1 0 0 2 2
j j k k k kj
j
e
k
k
e
e
k
k
X
E
WtedyD
2X
E
X
2
(EX
)
2
(
1
)
2
WłasnośćDla rozkładu Poissona zachodzi zależność ) ( 1 ) 1 ( P X k k k X P e X P( 0) Własność
dla > 9 rozkład Poissona można przybliżać rozkładem N(, ), zachodzi wtedy
0,5 5 , 0 ) (X k k k P
gdzie - dystrybuanta rozkładu N(0, 1) Rozwiązanie Problemu:
W ciągu roku średnio będzie = 12 awarii. X - liczba awarii w ciągu roku.
347 , 0 ! 10 12 ) 10 ( 10 10 e X
P (odczyt z tablicy rozkładu Poissona)
Rozkład Poissona (możliwość odczytu w tablicy) może dla dużych n (praktycznie n 30) i małych p (praktycznie p 0,2) przybliżać rozkład dwumianowy (przybliżenie Poissona)
p
n
e
k
q
p
k
n
k k n k
gdzie
!
Uzasadnienie. k n k k n k k n kp
p
p
k
k
n
n
n
n
p
p
k
n
k
n
q
p
k
n
)
1
(
)
1
(
!
)
1
)...(
2
)(
1
(
)
1
(
)!
(
!
!
podstawiamy n p k n k k k n k k k n kn
n
k
n
k
n
n
n
n
n
n
n
k
k
n
n
n
n
q
p
k
n
1
1
!
)
1
)...(
2
)(
1
(
1
1
!
)
1
)...(
2
)(
1
(
11
Gdy spełnione są założenia, to
- pierwszy i ostatni czynnik dążą do 1, - trzeci czynnik dąży do e,
Stąd
e
k
q
p
k
n
k k n k!
PrzykładW pudełku jest 400 żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich jest 5 żarówek wadliwych, jeśli wadliwość produkcji takich żarówek wynosi 0,5%?
Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych żarówek w tym pudełku? Zastosujemy przybliżenie Poissona,
n p 400 0 005 , 2.W tablicy rozkładu Poissona (tablica I) odczytamy, że: P(X = 5) = 0,0361
Również w tablicy rozkładu Poissona odczytamy, że najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych żarówek w tym pudełku to 1 lub 2 (dla obu tych liczb prawdopodobieństwo jest równe 0,2707).
Rozkład Poissona - tablica wartości funkcji prawdopodobieństwa.
P X k k e k ( ) ! \ k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 0,9048 8187 7408 6703 6065 5488 4966 4493 4066 3679 2231 1353 0821 0498 0302 0183 0111 0067 0025 0009 0003 0001 0000 0,0905 1637 2222 2681 3033 3293 3476 3595 3659 3679 3347 2707 2052 1494 1057 0733 0500 0337 0149 0064 0027 0011 0005 0,0045 0164 0333 0536 0758 0988 1217 1438 1646 1839 2510 2707 2565 2240 1850 1465 1125 0842 0446 0223 0107 0050 0023 0,0002 0011 0033 0027 0126 0198 0284 0383 0494 0613 1255 1804 2138 2240 2158 1954 1687 1404 0892 0521 0286 0150 0076 0,0000 0001 0003 0007 0016 0030 0050 0077 0111 0153 0471 0902 1336 1680 1888 1954 1898 1755 1339 0912 0573 0337 0189 0,0000 0000 0001 0002 0004 0007 0012 0020 0031 0141 0361 0668 1008 1322 1563 1708 1755 1606 1277 0916 0607 0378 0,0000 0000 0000 0001 0002 0003 0005 0035 0120 0278 0504 0771 1042 1281 1462 1606 1490 1221 0911 0631 0,0000 0000 0000 0001 0008 0034 0099 0216 0385 0595 0824 1044 1377 1490 1396 1171 0901 0,0000 0001 0009 0031 0081 0169 0298 0463 0653 1033 1304 1396 1318 1126 0,0000 0002 0009 0027 0066 0132 0232 0363 0688 1014 1241 1318 1251 0,0000 0002 0008 0023 0053 0104 0181 0413 0710 0993 1186 1251 0,0000 0002 0007 0019 0043 0082 0225 0452 0722 0970 1137
12 \ k 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 0,0001 0002 0006 0016 0034 0113 0264 0481 0728 0948 0,0000 0001 0002 0006 0013 0052 0142 0296 0504 0729 0,0000 0001 0002 0005 0022 0071 0169 0324 0521 0,0000 0001 0002 0009 0033 0090 0194 0347 0,0000 0000 0003 0014 0045 0109 0217 0,0001 0006 0021 0058 0128 0,0000 0002 0009 0029 0017 0,0001 0004 0014 0037 0,0000 0002 0006 0019 0,0001 0003 0009 0,0000 0001 0004 0,0000 0002 0,0001 Problem.
Gra polega na skreśleniu 6 liczb spośród 49. Uczestnik gry wygrywa gdy wśród wylosowanych przez organizatora 6 liczb są co najmniej 3 wytypowane przez gracza. Obliczyć prawdopodobieństwo, że gracz wygra?.
Problemy tego typu (losowanie bez zwracania gdy wśród elementów jest pewien wyróżniony podzbiór) modelujemy rozkładem hipergeometrycznym.
Rozkład hipergeometryczny
Dla danej liczby obiektów N z których M ma określoną własność losujemy n elementów bez zwracania. X - liczba wylosowanych obiektów o określonej własności określamy funkcję prawdopodobieństwa n N k n M N k M k X P( )
gdzie n, N, M to liczby całkowite nieujemne, M ≤ N, n ≤ N, max(0, M + n - N) ≤ k ≤ min(M, n)
Sprawdzenie poprawności:
Korzystamy z twierdzenia Vandermonda
n b a k n b k a n k 0 wtedy13 1 1 ) ( 0 0 0
n N n N k n M N k M n N n N k n M N k M k X P n k n k n k Wartość oczekiwana EX = Mn/N, Wariancja D2X = ) 1 ( ) )( ( 2 N N n N M N nM Momenty zwykłe 1 1 ) 1 )( 1 ( 2 N M n N nM m 1 1 ) 1 )( 1 ( 3 ) 2 )( 1 ( ) 2 )( 1 )( 2 )( 1 ( 3 N M n N N M M n n N nM m 1 1 ) 1 )( 1 ( 7 ) 2 )( 1 ( ) 2 )( 1 )( 2 )( 1 ( 6 ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 3 )( 2 )( 1 )( 3 )( 2 )( 1 ( 4 N M n N N M M n n N N N M M M n n n N nM m Momenty centralne ) 2 )( 1 ( ) 2 )( )( 2 )( ( 3 3 N N N n N n N M N M N nM ,
( 1) 6 ( ) 3 ( )( ( )( 6) 2 )
) 3 )( 2 )( 1 ( ) )( ( 3 2 2 4 4 N N nN N n M N M n N n N N N N N N n N M N nM Współczynnik asymetrii ) )( ( ) 2 ( 1 ) 2 )( 2 ( n N M N nM N N n N M N a Kurtoza 3 6 ) 1 ( ) 6 5 )( ( 6 ) ( ) ( 6 ) 1 ( ) )( 3 )( 2 ( ) 1 ( 2 2 N N N n N n M N M n N n N N n N N N n N N k WłasnośćDla rozkładu hipergeometrycznego zachodzi zależność
N M n k
k k M k n k X P k X P ) ( 1) 1 1 ( Rozwiązanie Problemu: W tym przypadku n = 6, N = 49, M =6. X – liczba odgadniętych liczb,14 wtedy n N k n M N k M k X P( )
Prawdopodobieństwa dla k od 3 do 6 można przedstawić w tabelce:
k 3 4 5 6
pk 0,017650403867 0,000968619724 0,000018449900 0,000000071511
Suma tych prawdopodobieństw wynosi około 0,018637545002 i jest to szukane prawdopodobieństwo.
.
Przykład
Obliczymy wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu hipergeometrycznego.
N nM n N j n M N j M N nM n N k n M N k M N nM n N k n M N k M k EX n j n k n k
1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Ostatnia równość wynika z przytoczonego wyżej twierdzenia Vandermonda. Obliczymy wariancję rozkładu hipergeometrycznego.
2
2 2 2 )) 1 ( (X X EX EX E EX EX X D ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )) 1 ( ( 2 1 2 0
N N M M n n n N j n M N j M N N M M n n n N k n M N k M N N M M n n n N k n M N k M k k X X E n j n k n kOstatnia równość wynika też z przytoczonego wyżej twierdzenia Vandermonda. Wtedy ) 1 ( ) )( ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 N N n N M N nM N nM N nM N N M M n n X D
15
Problem.
Rzucamy symetryczną kostką sześcienną. Rzuty wykonujemy aż wypadnie 6 oczek dwa razy (nie koniecznie kolejno). Obliczyć prawdopodobieństwo, że nie uda nam się to w pięciu rzutach a uda w szóstym rzucie.
Jest to problem wyznaczenia prawdopodobieństwa gdy wykonujemy ciąg prób Bernoulliego lecz nie narzucamy z góry liczby prób lecz liczbę pożądanych sukcesów, problemy tego typu modelujemy rozkładem ujemnym dwumianowym.
Rozkład ujemny dwumianowy.
Niech m - liczba pożądanych sukcesów.
X - liczba prób Bernoulliego poprzedzających m sukcesów.
Dla danych p ( , )0 1 , m N określamy funkcję prawdopodobieństwa
k m q p k m k k X P ) 1 ( gdzie q = 1 – p k = 0, 1, 2, ...
Zauważmy, że gdy m = 1 to rozkład ujemny dwumianowy jest rozkładem geometrycznym. Uwaga.
Określając uogólnienie symbolu Newtona
! ) 1 )....( 2 )( 1 ( k k c c c c k c c ,R kN oraz 1 0 c
możemy wprost udowodnić, że
k m k k m k 1 ) 1 (
i zapisać funkcję prawdopodobieństwa rozkładu ujemnego dwumianowego w postaci
k m q p k m k X P( ) ( ) Sprawdzenie poprawności:
Chcemy udowodnić, że ( ) 1 ( ) 1
0 0 0
k k m k k m k q p k m q p k m k k X PKorzystając z twierdzenia dwumianowego
0 ) ( k k r k r y x k r y x , gdzie , 0, 1 y x y R r mamy
0 ) ( ) 1 ( k k m q k m qi mnożąc obie strony przez pm otrzymamy potrzebną równość. Własność
Rozkład ujemny dwumianowy jest sumą m niezależnych rozkładów geometrycznych o tym samym parametrze p.
16 Wartość oczekiwana EX = mq/p, Wariancja D2X = mq/p2 Momenty zwykłe 2 2 ) 1 ( p mq mq m 3 2 2 3 ) 1 ) 1 3 ( ( p q m q m mq m 4 2 2 3 3 4 ) 1 ) 4 7 ( ) 1 4 6 ( ( p q m q m m q m mq m Momenty centralne 3 3 ) 1 ( p q mq , 4 2 4 ) 1 ) 4 3 ( ( p q m q mq Współczynnik asymetrii mq q a 1 Kurtoza 3 6 2 m mq p k Funkcja charakterystyczna m it qe p t 1 ) ( , Własność
Dla rozkładu ujemnego dwumianowego zachodzi zależność k k m k X P k X P( ) ( 1) 1 P(X )0 pm Przykład
Obliczymy wartość oczekiwaną rozkładu dwumianowego.
Rozkład ujemny dwumianowy jest sumą m niezależnych rozkładów geometrycznych Xi o tym
samym parametrze p zatem
p mq EX X E EX m i i m i i
1 1Analogicznie obliczymy wariancję rozkładu ujemnego dwumianowego (korzystamy z niezależności). 2 1 2 1 2 2 p mq X D X D X D m i i m i i
Rozwiązanie Problemu:Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 1/6, chcemy uzyskać dwa sukcesy dopiero w szóstym rzucie. Zatem 5 2 6 5 6 1 5 1 2 5 ) 5 ( X P 0,06698
17
Przykład. Zadanie Banacha o zapałkach.
Pewien matematyk do zapalania papierosów posługiwał się dwoma pudełkami zapałek (jedno w lewej kieszeni i jedno w prawej kieszeni), wyciągając je na chybił-trafił. Po pewnym czasie stwierdził, że jedno jest puste. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w drugim pudełku jest wtedy k zapałek, jeżeli początkowo w każdym pudełku było n zapałek?
Przyjmijmy, że sukcesem jest wybór lewej kieszeni, p = 0,5. Zatem n - k porażek poprzedza n + 1 sukces. To samo stosuje się do drugiej kieszeni, zatem szukane prawdopodobieństwo
wynosi n n k n k n k n k n n k n 1 2 2 2 5 , 0 5 , 0 1 1 2
Np. gdy n = 50 i k = 10 to szukane prawdopodobieństwo wynosi 0,048363. Problem.
Spośród 100 ponumerowanych losów wybieramy jeden. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany los o numerze 13?.
Jest to problem wyznaczenia prawdopodobieństwa gdy losujemy jeden element bez preferencji, tzn. wybór każdego elementu jest tak samo prawdopodobny. Problemy tego typu modelujemy rozkładem dyskretnym jednostajnym.
Rozkład dyskretny jednostajny.
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa. c, n - całkowite; n > 0 n k X P( )1 k = c, c + 1, c + 2, ..., c + n - 1 Parametry: Wartość oczekiwana EX = c + (n - 1)/2; Wariancja D2X = (n2 - 1)/12 Odchylenie standardowe 12 1 -n DX 2 Momenty zwykłe ) 1 ( 6 1 ) 1 2 ( 3 2 2 2 n c n c c m ) 5 , 0 5 , 1 ( 4 ) 1 6 6 ( ) 1 2 ( 2 2 2 2 3 3 n c n c c n c c c m ) 1 2 ( 30 1 ) 1 3 2 ( 30 ) 1 6 6 ( 10 ) 1 2 ( 15 6 2 2 2 2 2 3 4 4 n c n c c n c c c n c c c m Momenty centralne 0 3 240 ) 7 3 )( 1 ( 2 2 4 n n Współczynnik asymetrii a = 0
18 Kurtoza k = 1,8 - 2,4/(n2 - 1) Funkcja charakterystyczna.
it
ict e n e e t 1 1 ) ( int Rozwiązanie Problemu:X - numer wylosowanego losu. Zbiór wartości jest 100 elementowy więc każdy los może być wybrany z prawdopodobieństwem 0,01.
Zatem P( X 13)0,01.
Pytania kontrolne.
1. Szczególnym przypadkiem rozkładu dwumianowego jest rozkład ... . 2. Szczególnym przypadkiem rozkładu ujemnego dwumianowego jest rozkład ... . 3. Rozkład dwumianowy jest symetryczny dla p = ... .
4. Zbiór wartości zmiennej losowej o rozkładzie Poissona to zbiór ... . 5. Funkcja prawdopodobieństwa rozkładu geometrycznego ma największą wartość dla k = ... Pytania testowe.
1. Rozpatrujemy zdarzenie (3 < X < 5).
Dla którego z rozkładów Poissona z parametrem prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest najmniejsze:
A = 2 B = 0,5 C = 1,5 D = 0,25 2. Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać
P X k k k k ( ) 25 1 5 4 5 25
k = 0, 1, ..., 25. Wartość oczekiwana EX wynosi:
A 5 B 1/3 C 15 D 2/3
3. Rozpatrujemy zdarzenie (-1 < X < 1). Dla którego z rozkładów dwumianowych z parametrem n = 10 i p prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest najmniejsze: A p = 0,8 B p = 0,85 C p = 0,95 D p = 0,9
4. Rozpatrujemy zdarzenie (-1 < X < 1). Dla którego z rozkładów geometrycznych z parametrem p prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest najmniejsze:
A p = 0,1 B p = 0,5 C p = 0,75 D p = 0,9
5. Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego z parametrem n = 10 wynosi 2. Wtedy dystrybuanta tego rozkładu jest równe:
A 0,2 B 1 C 1,6 D 20
