Ciągi o skończonej Ж-wariacji

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961)

J.

(Poznań)

Ciągi o skończonej Ж-wariacji

1

. Mech M (u) będzie funkcją parzystą, przyjmującą wartość

dla u =

, ciągłą, niemalejącą dla u >

i różną od zera dla и Ф

; funkcję taką będziemy w dalszym ciągu krótko nazywali monofoniczną M-funkcją.

Jeżeli M (u) jest nadto wypukła, będziemy ją nazywali wypukłą M-funkcją.

Mech f(t) będzie funkcją, określoną w przedziale <a, &>. L. O. Young [9] określił ilf-wariację funkcji f{t) w przedziale (a,

> wzorem

gdzie л przebiega wszystkie podziały ж: a = t0 < < ... < tm = b prze­

działu <a, b} (por. także [5]).

W rozważaniach niniejszych określę M-wariację ciągu x = {an}

oraz zbadam przestrzenie ciągów o skończonej M-wariacji. Określenie Jf-wariacji ciągu wprowadzone zostanie w ten sposób, by dla funkcji schodkowych Jf-wariacja funkcji była równa Jf-wariacji ciągu jej kolej­

nych wartości z ostatnią wartością powtarzającą się w okresie. Piszemy mianowicie

gdzie supremum bierze się po wszystkich rosnących ciągach liczb natural­

nych {%}. Wielkość wM(x) nazywamy M-wariacją ciągu x — {«„}, a ciągi, dla których wM(x) < oo nazywamy ciągami o skończonej 31-wariacji.

1.1. Każdy ciąg o skończonej 31-wariacji, gdzie 31 (u) jest monotoniczną M-funkcją, jest zbieżny.

Gdyby an. -> g i am. -> g', gdzie. ciągi {%} i {щ } są rozłączne, to oznaczając przez {r*} ustawiony w sposób rosnący ciąg {%} {w j, mielibyśmy £ M ( a r. — ач _х) < oo, więc аг. — аЧ 1 -> 0, skąd g = g'. Gdyby an -*■ ± оо, to przy pewnym rosnącym ciągu wskaźników {%} byłoby

>

, skąd ^ М ( а п. - а п._J = oo.

1.2. Obliczymy teraz wariację pewnych specjalnych ciągów.

m

^

( /; a, b) = sup £ M i f i t j - f i t i . j ] n

oo

1.21. Jeżeli M (u) jest wypukłą M-funkcją, a ciąg so = {an} jest mono­

foniczny, to wM(oo) = M {ax — g).

Zauważmy, że nierówność wM{oo) > M (ax — g) prawdziwa jest dla dowolnej monotonicznej M -funkcji, gdy bowiem dobrać n x —

, a n 2 przy danym

>

tak duże, by \an,2 —

<

gdzie

= liman, to wM( x ) ^

> M (ax

anz) > M{\ax

g\

skąd wobec ciągłości M(u), wM(oo) >

^ M (ax — g). Na odwrót, nierówność M (ax — g ) p w M(so) dla wypukłej Ж-funkcji wynika z relacji

i l i <Ьщ— ащ_х

М (ащ- д ) хл

/ j \®гц ani_xI ^ M (ax g),

gdzie JT' oznacza sumowanie po takich i, że an Ф ач -

1.22. Jeżeli Ж {u) jest monofoniczną M-funkcją i ciąg so = {an} spełnia

oo

warunek ax ^ a3 ^ a

> ..., a2 < a^ < a6 < .. . , to wM{x) — ]? M (% — %_i).

г =2

Twierdzenie pozostanie prawdziwe, jeżeli zmienić wszędzie nierów­

ności na przeciwne.

O ciągu {an} możemy bez zmniejszenia ogólności dowodu założyć, że jest zbieżny do zera. Istotnie, gdyby ciąg {af) był zbieżny do g Ф 0, to wystarczyłoby rozważyć ciąg {an~ g }. Jeśliby natomiast ciąg {an}

był rozbieżny, tj. a2n_x -*> g i a2n

g', g

g' > —

to na mocy

byłoby wM (so) =

a z drugiej strony, oczywiście M ( a ^ ai_x) — °°>

czyli 1.22 byłoby prawdziwe. Założymy więc w dalszym ciągu, że an 0.

Niech {%} będzie dowolnym ciągiem wskaźników i niech przy pewnym к naturalnym będzie nk — nk_x > 1. Z przyjętych założeń wynika wówczas łatwo nierówność \аПк—-пПк_х\ <

— а„л_1|, skąd

n k - ■ -

Ж {a,ik ^ M (ank_1+1 ^ M (ai ai_x),

i = n k _ x+ l

więc

CO OO

У М (аПк — аПк_х) < У М(а{~ а {_х),

г— 2

oo

со dowodzi nierówności wM(so) < ]?Ж(аг— %_i)- Nierówność przeciwna jest oczywista.

1.3. Zauważmy, że zachodzą następujące związki między wariacją

funkcji, a wariacją ciągu: ' , '

Ciągi o skończonej M-wariacji

1.31. Jeżeli f(t) jest funkcją, określoną w przedziale (a, oo), schod­

kową w każdym przedziale skończonym, tj. istnieją ciągi a == tQ < tx <

<

< ... < tn -> oo о ш a? = {<*n} tafcie, śe a?(i) = an dla tn_x < i < t n, to VM (/) =■ w M{x) dla dowolnej monotonicznej M-funkcji. Przy tym VM (/) =

<->00

Innymi słowy, zachodzi wzór

к

(*) wM(a?)= lim snp У M (ащ- an.^x).

fc->00 n x< . . . < n k

Ponieważ ciąg pod znakiem granicy jest niemalejący i wyrazy jego są < wM(x), więc granica istnieje i trzeba tylko wykazać, że jest ^ wM{x).

Gdy wM{x) =

to przy danym К > O istnieje ciąg wskaźników п г <

00

< n z < ... taki, że У М (ап. — an. ) > 2K, a stąd przy pewnym k,

к i г г

(а,ч — ащ_х) > К. Gdy natomiast wM{x) <

to przy danym

>

dobieramy ciąg wskaźników {щ} taki, by (an.— ащ_х) > wM(x) — |e.

Ponieważ szereg po lewej stronie ostatniej nierówności jest zbieżny, więc

oo к

przy pewnym к mamy ^ M (an.— ^ ® stąd (a,n

i) >

fc+l

> W M ( X ) — E.

1.32. Niech M(u) będzie monotoniczną M-funkcją, spełniającą warunek M{u)-\-M{v) < xM (u-\-v) dla u , v > O (1). Niech f(t) będzie liniąlam aną w (a,

tj. załóżmy, że istnieje ciąg a — t0 < tx < ... < t.n ->

taki, że f(t) jest funkcją liniową w każdym z przedziałów (ti_1

o r a z

i —

,

, . . . Wówczas pisząc VM(f) = lim V M(f; a, t) i x =■ {an}, mamy

<—> oo

wM{

) < VM{f) <

Ze względu na wzór 1.31, (*), wystarczy udowodnić, że nierówności powyższe zachodzą w przedziale <a, in> przy dowolnym ustalonym n, tj. że wM{ x ') ^ V M(f', a ,tn) < *wM(#'), gdzie V = {ax, . . . , an, ^w+i, an+1 To ostatnie można udowodnić uogólniając metodę, wprowadzoną w [

], twierdzenie

.

, gdzie dowód przeprowadzony jest w przypadku M(u) =

=

i-

2. Jasne jest, że dla dwóch ciągów różniących się o stałą wariacja ich różnicy jest zerem; innymi słowy, х Ф O nie pociąga wM(x) Ф O, czyli Ж-wariacja nie jest modularem w sensie [

]. Chcąc by ciągi o skoń­

czonej M-wariacji tworzyły przestrzeń modularną, wychodzimy wobec

167

(l) Każda monotoniczną M-funkcja spełnia powyższy warunek ze stałą x — 2.

1.1 z przestrzeni X — c ciągów zbieżnych, w której określamy dla x —

= е(я) = % И + И т|й п|.

n—<-00

Jasne jest, że

jest modularem w sensie [

], tj.

= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

—

oraz

dla a, /3 > O, a+/S = 1. Piszemy =

<

= {

:

-> O pociąga

->

}, ujf = {

) <

przy pewnym f c >

},

= {х ех м 'а -*■ O pociąga wM(ax) -* 0}. Zbiory vM i vM są wypukłe, а V

i ь'м są przestrzeniami liniowymi. W przestrzeni v*M, zwanej prze­

strzenią modularną, .określa się JP-normę wzorem |[ж||^ = inf{e >

: д{х/е) < e}. Jeżeli fnhkcja M{u) jest wypukła, to = inf{e > 0:

Q{xfe) <

} określa w v*M Б -normę równoważną normie [J \\M (patrz [4], [7]). Prócz zbieżności normowej, wprowadza się zbieżność modu­

larną mówiąc, że ciąg {xn} jest modularnie zbieżny do x, gdy д[к(хп—х) ] -*

0 przy pewnej stałej к >

, zależnej od ciągu {xn}. Poza wyżej wprowa­

dzonymi przestrzeniami mówić będziemy również o przestrzeniach v0M =

= vM r\ cQ,

= vM r\ e0, v*M — c0 i v*M —

e0.

Przykłady wyżej określonych przestrzeni otrzymujemy, biorąc M(u) = \u\v przy p >

. W szczególności, przy p = 1, przestrzeń voM —

= vlM z normą || ||#лг jest izometryczna z przestrzenią l szeregów bez­

względnie zbieżnych, a przy p >

otrzymujemy, po prostej modyfikacji definicji, przestrzenie Jamesa (por. [2] i [3]).

2.1.

—

dla monofonicznej M-funkeji wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek (Д2) dla małych u, tj. gdy istnieją liczby dodatnie a i x takie, że dla

< ^ < a, M(2u) < xM{u).

Analogicznie, voM = v$M wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek (A2) dla małych u.

Zakładając (Д2) dla małych u i biorąc ciąg x = {an}er*M, mamy kxevM przy pewnym к >

. Mech \an\ < Б przy n —

,

, . . . oraz niech m — [ —ln fe/ln 2 ]+ l. Wówczas wM(x) < x(2mK) x(2m~1K ) ...

. . . x(2K )w M(kx)

gdzie x(a') oznacza liczbę dodatnią taką, że dla 0 < u < a', M(2u) < x(a')M (u) (por. [5], 1.02, str. 13).

Na odwrót, przypuśćmy teraz, że warunek (Д2) dla małych u nie jest spełniony, skąd przy pewnym ciągu {un} malejącym do zera, M (un) <

< 1 jnz oraz M(2un) > n 2M (un). Mech kn — sup{&: kM (un) < I fn 2, к cał­

kowite}; oczywiście

n 2 < knM (un) < 1 In2, a stąd £ k nM (un) < JTl fn* <

<

ponadto ]?knM (2un) > j£ n % knM (un) —

(por.

str.

gdzie ten fragment dowodu przebiega analogicznie). Określamy teraz ciąg {an} jak następuje:

1

° ciąg {a2n_2} jest nierosnący, ciąg {a2n} jest niemalejący,

2

l®Ai+ft2+ Щ j ~

,

, ... , kj; i —

= 2 , 3 , . . .

Ciągi o skończonej M-wariacji 169

Widoczne jest, ż^e '2M {an — an_l) = ]?knM (un) < oo, a ]?M [2(an —

oo 2 2 2

— <*n-i)] = £ hnM (2un) =

Stąd wynika na podstawie 1.22, że dla

2

x — {ямЬ

<

i Wjif(

») =

więc ^ ^ v*M.

2.2. Przestrzenie v*M i v*M oraz v*M i v*M są mocno modularnie zupełne, więc przestrzenie

i v£м S(l również normowo zupełne, dla dowolnej mono- tonicznej M-funkcji.

Mocna modularna zupełność v*M oznacza, że jeżeli

(xn—xm) -* O przy m , n -+

xm, x n ev*Mi to istnieje aje-y^takie, że g[k(xn—x)] ->

przy n ->

gdzie Tc jest stałą dodatnią niezależną od ciągu {xn}. Z mocnej modularnej zupełności ^ wynika mocna modularna zupełność v*M oraz normowa zupełność v% (por. [

], 1.11 i 1.21). Dla dowodu twierdzenia

weźmy ciąg {xp}, xp = {a{p)}, spełniający warunek o{xp—xq) -> O przy p , q -*

Oczywiście lim affi = g(p) -> g przy p -* oo oraz przy

n - > OO

danym e

istnieje N takie, że wM(xp — xq) < M (|e) dla p,q> JSf. Stąd

1

dla p , q > N

przy dowolnym ciągu {%}, więc tym bardziej \a{p) — a f^ < \а ^ — а(р \ <

< \e + I a(p — g(p) | + | g{p) — | + | af* — g{ą) |. Można również przyj ąć, że

— g{9)\ < i e dla p , q > N . Ustalmy teraz p , q > N i obieramy takie j, by — < |e i \а{^ — д{а)\ < \e. Wówczas \ a W - a f*| < e dla p , q > N i dla dowolnego i, a stąd a f ] -» at przy p -+

dla każdego i, przy czym oczywiście at -> g przy i

gdyż |a< —gr| < <

P)| +

-f- \aiP) — + |#(p) — g\. Z wyżej wypisanych nierówności jest ponadto jasne, że dla p > N , wM{xp—x) < МЦе), gdzie x — {an}, a stąd już łatwo wynika xev*M i

(

—

) -» O przy p

Przejście od przestrzeni V

, v*M do < v , «од/ jest jasne.

Stosując tę samą metodę dowodu, co w

.

, łatwo stwierdzić, że 2.21. Jeżeli xn = {a(ll)}ev% dąży modularnie do. xQ = { a j ev*M przy pewnej monotonicznej M-funkcji, to -> a{ przy n -*■

jednostajnie

dla i =

,

, . . . oraz lim ajn) -* lim ai.

i—>oo ⁱ—>oo

Ponieważ zbieżność normowa pociąga modularną (por. [

], tw.

1

.

, str. 52), więc w powyższym twierdzeniu zbieżność modularną można zastąpić zbieżnością normową.

2.22. Przy dowolnej wypukłej M-funkcji, B-przestrzenie v*M i v%M są izomorficzne.

Przyporządkujmy elementowi x = ax, a2, as, ..., lim a* = a, prze-

i-> O o

strzeni v*M element у — а, a — a1, а — аг, ... przestrzeni vlM. Wystarczy

wykazać, że jeżeli ||%,||*M 0, to \\yp\\*M 0. Obierzmy £ > 0 i niech 7j = e/fl + lf f J f ,! ( l) - j- l] } , gdzie M _x(u) jest funkcją odwrotną do M(u).

Mech nadto N będzie takie, by < ?? dla p > N . Wówczas V 71 r l an) ~ «Ш Л

sup У J f +

iH) f ń ' '4 >

I i Mi

< i ,

gdzie xp = {а\р)}, g{p) = lima}23*. Ponieważ M[(a{p) — g^p))h ] < Мм(®р1у) <

i-* oo

< 1 (patrz dowód 1.21), więc \a(p)\/rj < J f_ !(l)-f 1 dla p > N . Stąd wM{yph)

W

( f ) ‘ i + J f [ J f _

-( l) + l]

l - f J f [ J f _ i ( l ) +

] [ {n{i < i dla p > W, czyli Ы * м < e.

2.3. Dla dowolnej monofonicznej M-funkcji, jeżeli x — {an} evM, en jest n-tym wektorem jednostkowym, a e0 —

,

,

, . oraz sn = ge0-{-

+ («i—g)e%+ . .. + («„ — g)en, gdzie g = lim e», to Q (x -s n)-+

рт?/

i ТЬ—>OG

П -* oo.

Dla dowodu zauważmy, że

OO

o ( x - s r) = wM (x - sr) = sup [ M (a ~ g) -p Ж (а*. - «**_,)],

{Щ} i=k(r)+1

gdzie &(r) = ińf{i: щ ^ r , i — liczba naturalna}.

Ponieważ oczywiście nk{r) > r, więc sup3f-(e„w . — </) < sup Ж (%— g) ->

przy r -» oo niezależnie od ciągu {%}. Jasne jest, że ciąg £(# — sr) jest niemałejący, więc zbieżny. Przypuśćmy, że lim g(x — sr) >

; niech

»’->00

przy pewnym у > 0 będzie g(x — sr) >4»/ dla r = 1 , 2 , . . . Wówczas ze zbieżności sup Ж (a ^ .. — #) ->

jednostajnej ze względu na {%} wynika,

(иг) ^ ,

irb

i •

że dla każdego r istnieje ciąg wskaźników { n \ taki, że

V M ( a n(r) - a n {r) ) > 2 f ] ,

jm—d г г — 1

i = k { r ) + i

czyli dla odpowiednio dużego l(r),

У W

г “ г —1

г=/<;(**) Ч-l

Ciągi o skończonej M-wariacji 171

Zdefiniujemy teraz przez indukcję rosnący ciąg wskaźników n0, n 1, n 2, ... Piszemy mianowicie sr — l(l) — lc{l) oraz щ = wSJ\)+< dla i — 0 ,

, . .. , sx. Wówczas

^ M (ащ- а п._г) > rj.

i=l

Przypuśćmy teraz, że określiliśmy już liczby Sj, s2, .. ., sm_! i n x, n 2, ..., n*m- v gdzie

= tak, by

ak

M. {ащ —an._x)

*=ак-1+1

dla fc = l , 2 , . . . , m —1; tu taj piszemy s0 = 0. Określimy liczbę sm oraz liczby щ przy sm_x< i ^ sm. Obierzmy r = nam^ +

. Wówczas n$r) > п0т_х.

Napiszmy sm = Z ( r ) - f c ( r ) + l i nam_1+i = <?)+*_! przy i =

,

, . . . , sm.

Wówczas

Zatem

°m 4r)

У] M (an.~ a ni l) > £ M{aĄr)~-aĄr)^ >r).

^~am—

+ ^ ъ=к(г

oo oo om

У, M{aH- an._x) = M(an. ~ a n._x) = 'oo,

,^=al W“ 1 t= J "ł* 1

wbrew temu, że

2.31. Przy oznaczeniach 2.3, elementy e0) ex, e2) ... stanowią bazę modularną w v*M, tj. dla każdego xcv*M ciąg {sn} jest modularnie zbieżny do a?;

nadto elementy e3, exi e2, ... stanowią bazę w sensie normy w vM, a jeśli M{u) spełnia warunek (A2) dla małych u , to stanowią bazę w sensie normy w v*M.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla przestrzeni v3M i »

tym, ге tutaj elementami bazowymi są ex, <?2, ...

Przestrzenie v*M i v£M są zawsze mocno modularnie ośrodkowe (por.

[4], [7]), a gdy M (u) spełnia warunek (Д2) dla małych u , są normowo ośrod­

kowe.

Zauważymy tylko, że jeżeli x = {an}evM, to dla każdego e > 0 istnieje ciąg liczb wymiernych w — {wn} taki, że g (x—w ) < e. W tym celu wystarczy dobrać {wn} tak, by ax — wx ^ a 3—w3^ a 5—w5^ . . . , a2—w2 <

< ax — Wi < a6 — w6■< ... oraz by M { a n - w n— an_x-\-wn_x) < ej2n i za­

stosować

.

.

2.32. Jeżeli M (u) jest wypukłą M-funkcją, spełniającą warunek

(Д2) dla małych u, to przestrzenie Banacha v*M i v*M nie są refleksywne.

n

Pisząc % = O, at ==

dla i =

,

, . . . , mamy || ад,'|*м = 1 / i f _ i(1), o

gdzie M_i{u) jest funkcją odwrotną do M(u). Stąd, gdyby któraś z prze-

oo oo

strzeni v*M lub v*M była refleksywna, to szereg at eL = byłby nor-

0 1

mowo zbieżny (patrz [2], tw. 1, str. 519). To jednak jest sprzeczne z równoś-

«

cią prawdziwą dla dowolnych

< p < q.

v

2.4. Jeżeli wypukła M-funkcja M (u) spełnia warunek (Д2) dla małych i

u oraz j M (u)u~2 du <

to druga sprzężona przestrzeni V

M jest o

izomorficzna z v* M, więc i z v£M.

Udowodnimy najpierw, że w przestrzeni funkcjonałów liniowych V

, sprzężonej z v%M, funkcjonały £* określone równościami

£ś(fy) =

dla i = j ,

dla i Ф у, i , j =

,

, . ?

sthnowią bazę. W tym celu wystarczy wykazać, że jeżeli oraz

OO

llfll»

= sup{f(a?):

o przy n ->

(por.

n

[2], tw. 3, str. 522). By wykazać to nie wprost, przypuśćmy, że przy

OO

pewnym e > 0, |j£|jw > e dla każdego n. Obierzmy xncvlM, xn = ffjb ^e.t П tak, by \\xn\UM =

i И хп) > e- Następnie obierzmy liczby całkowite

= Po < Pi < Pz < • • • tak, by

Niech

У b f n~ ^ x)ei \*M г

<

/

^ .

Pn

i—Pjl— J "i" 1

oczywiście \\xn—%л_

+

||*л/ < г /2 р ||г. Udowodnimy teraz, że szereg x = 00

= jest zbieżny normowo w v*M. Pisząc a-t = b[Vn~l+1) dla p n_x <

1

< i » = 1 , 2 , 3 , . . . , mamy x = f£ a nenjn = {an/n}. Zauważmy, i

że ciąg {an} jest ograniczony, skąd anjn ->

. Rzeczywiście, mamy wM(xn) <

< \\xn\\*M = 1, a ponieważ M{b(-l)) < wM(x'n), więc М (а^ — Ж(&?й_

+

))< 1 . Niech \an\ < К , 0 < a <

i niech {%} będzie dowolnym rosnącym cią­

giem wskaźników.

Ciągi o skończonej M-wariacji ₁₇₃

Wówczas

00 oo

skąd wM(x) <

czyli x e v*M i zbieżność szeregu x

JT

xn/n wynika z twierdzenia 2.3. Z drugiej strony, £(®n) = £ « ) — £(®»—®n) > f (< ) —

— Ilflliltó —®»II*

> ł e ? więc

co jest sprzeczne z tym, że xcv%M.

Mech teraz rj e щм • Podobnie ja.k przy dowodzie (iii) w [2], str.

oo

525, łatwo stwierdzić, że jeżeli £ег&г i I — tj.

(f) =

gdzie сг- = rjdi), to

gdzie || ||*M oznacza normę w vfM, przy czym

*

—

*

sensie równości zbiorów. Wystarczy więc zauważyć, że jeżeli ||а?р||*м -* O, to ||®p||*if -* 0.

Obierzmy «

i niech rj =

+ Ж

(

)] oraz niech N będzie takie, by dla p

JVT,

Wówczas,, jak można sprawdzić przy pomocy rozumowania podobnego do użytego w dowodzie

.

, \\хр\\*м < e dla p > N .

2.41. Z 2.4. wynika, że przestrzeń v%M jest przy przyjętych na M (u) założeniach nierefleksywną przestrzenią Banacha, izomorficzną ze swoją drugą sprzężoną. Co więcej, jeżeli vfM oznacza odwzorowanie kanoniczne przestrzeni v%M w щм , to wymiar liniowy przestrzeni ilorazowej I^*

jest równy 1, a stąd według [1], tw. 1, str. 78, przestrzeń v*M przy zało­

żeniach 2.4 na funkcję M (u) nie jest izomorficzna ze swoim kwadratem kartezjańskim.

[1] C. B e s s a g a , A. P e łc z y ń s k i, Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian squares I , Bull. Acad. Polon. Sci. 8 (1960), str. 77-80.

[2] R. C. J a m e s, Bases .and reflexivity of Banach spaces, Annals of Math. 62 (I960), str. 618-527.

OO 00

Hx) = ^ £(®»)/» ^ £ el2n = °°>

i i

Prace cytowane

[3] — A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space.

Proc. Nat. Acad. Sci. 37 (1951), etr. 174-177.

[4] J. M u sie la k , Some remarks on modular spaces connected with strong sum- mability, Math. Student 27 (1959), str. 129-136.

[5] J. M u sie la k and W. O rlicz, On generalized variations (I), Studia Math.

18 (1959), str. 11-41.

[6] — On modular spaces, ibidem 18 (1959), str. 49-65.

[7] — Some remarks on modular spaces, Bull. Acad. Polon. Sci. 7 (1959), str.

661-668.

[8] J. M u sie la k and Z. S e m a d e n i, Some classes of Banach spaces depending on a parameter, Studia Math. 20 (1961), str. 271-284.

[9] L. C. Y o u n g , General inequalities for Stieltjes integrals and the convergence of Fourier series, Math. Annalen 115 (1938), str. 581-612.

1 0 . Му с е л я к (Познань)

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ С КОНЕЧНОЙ Ж-ВАРИАЦИЕЙ

Р Е З Ю М Е

Пусть М(и) — непрерывная четная функция, неубывающая для и > О, Ж(0) = 0, М(и) > 0 для и Ф 0; х — {af} — произвольная сходящаяся после­

довательность. Число

0 0

ад*(as) = sup £

{ Щ} г = 1

называем Ж-вариацией последовательности {а*}.

Пусть q(x) — w m(as) + lim |а*|; тогда q(x) — модуляр в смысле определения

i —> оо

из [6]. В настоящей работе исследуется некоторые свойства модулярных про­

странств определенных при помощи модуляра q(x).

J. Mu s i e l a k (Poznań)

SEQUENCES OF FINITE Ж-VARIATION

S U M M A R Y

Given a convergent sequence x = {ai}, the value

* CO

w m(x) = sup 2 M {ащ —a n ^ f ) , {Щ} i=l

where M (u) is an even continuous function, non-decreasing for и > О, Ж (0) = О, Ж (и) > 0 for и Ф 0, is called the Ж -variation of the sequence {ai}. Writing q(x) —

— Wjif(as)+ lim \a%\, q{x) is a modular in the sense of [6]. Properties of the modular

*—>00

spaces defined by means of this modular are investigated.