Elementarny dowód istnienia dzielnika pierwszego pierwotnego liczby an—bn

ROCZNIKI POLSKIEGO T O W A R Z YS TW A MATEMATYCZNEGO SER IA I : PRACE MATEMATYCZNE IV (1960)

A. R otkiewicz (Warszawa)

Elementarny d ow ód istnienia dzielnika pierwszego pierwotnego liczb y an—bn

W poniższych rozważaniach będą występowały tylko liczby całko­

wite nienjemne. Literami a, b , m, n, x będziemy oznaczali liczby natu­

ralne.

D efinicja . Liczbę naturalną к nazywać będziemy dzielnikiem pier­

wotnym liczby an—bn wtedy i tylko wtedy, gdy k\an—bn i k ^ a x — bx dla 0 < x < n.

L emat 1. Jeżeli a = ga[modpx), b = gp(modpx), gdzie p jest liczbą pierwszą nieparzystą, A > 1, i g jest pierwiastkiem pierwotnym liczby px, to ma to, żeby px\an — bn, potrzeba i wystarcza, aby

(1) n\a — |S| = k(p(pA), gdzie к = 0 , 1 , 2 , . . .

D ow ód . Przypuśćmy, że a = ga(mo<ipx), b = <//?(modpA); wtedy an = <jfWa(modpA), bn = gnfi(m.oó.px). Wobec (g, p) — X dla a > będzie gan — 9fin = gpn(gn{fl~®— 1) = gn(a~ fl— l(m o d p A) i na to, żeby px\an — bn, potrzeba i wystarcza, aby

(2) i = 0 (modpA).

Wobec tego, że g jest pierwiastkiem pierwotnym liczby px, kongruen- cja (2) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

(3) n(a — j8) = k<p(px), gdzie к — 0 ,1 , 2, ...

Gdyby > a, to otrzymalibyśmy

(4) n( p — a) = kcp{px), gdzie к = 0, 1, 2, ...

Z (3) i (4) wynika natychmiast (1).

L emat 2. Jeżeli (a,b) = 1, p jest liczbą pierwszą nieparzystą, A > 1, e > 1 i px jest dzielnikiem pierwotnym liczby an — bn, px+1'\-an — bn, to na to, żeby px+8\ax — bx, potrzeba i wystarcza, aby

(5) np*\x.

22 A. Kotkiewicz

D o w ó d . Niech g będzie pierwiastkiem pierwotnym liczby pA+e, wtedy, wobec e > 1, g jest także pierwiastkiem pierwotnym liczb px i pA+1. Ponieważ (a, b) = 1, p\an — bn, więc {a, p) = (b, p) = 1. Istnieją zatem takie liczby całkowite a, (3 że

(6) a = 0a(modpA+e), b = (/(m od p A+e), skąd

(7) a = #a(modpA), b = <^(modpA), (8) a = ^a(modpA+l), й = <j^(modpA+1).

Ponieważ px\an — bn, więc na mocy lematu 1 z kongruencji (7) wynika

(9) n\a — 0\ = k0<p{px),

gdzie 7c0 jest pewną ustaloną liczbą całkowitą > 0. Zauważmy, że (k0, p) = 1. Istotnie, gdyby (Tc0, p) Ф 1, to k0 = kxp, gdzie kx > 0, i ze wzoru (9) otrzymalibyśmy, że n|a — /3| = &x<p(pA+1), skąd na mocy le­

matu 1 i wobec kongruencji (8) byłoby px+1\an — bn wbrew założeniu, że px+1'^an — bn. Gdyby { n , k 0) = d > 1, to z (9) otrzymalibyśmy, że

n k0 ,

d i e - / , i = - j 4’ { p )

i na mocy lematu 1 byłoby px\an,d—bn>d dla d > 1, wbrew założeniu, że px jest dzielnikiem pierwotnym liczby an — bn. Zatem

(10) n\a — p\ = kQ<p{px), gdzie (k0, p) = (w, fc0) = 1 .

Na mocy lematu 1 na to, żeby px+e\ax — bx, potrzeba i wystarcza, aby x\a — P\ = k(p(px+e), gdzie fe = 0 , 1 , 2 , . . .

Zauważmy, że ~k Ф 0. Rzeczywiście, gdyby к = 0, to |a — /ł| = 0 i wobec (8) byłoby px+1\a — b, wbrew założeniu, że pA+lvbaft — bn. Zatem (11) x\a —p\ = Ictfo{px+e), gdzie kx = 1 , 2 , ...

Z (10) wynika, że |a — p\ = к0(р(рх)/п. Wstawiając tę wartość do (11) otrzymujemy x = kxnpe/k0, gdzie = 1 , 2 , . . . , a ponieważ (fc0, n) =

= (&o, p) = 1, więc x = lnp% gdzie l — 1, 2 , ..., czyli wp*|a?, c. b. d. o.

L emat 3. Jeżeli (a,b) = 1 i Jc jest dzielnikiem, pierwotnym liczby ad — bd, to z tego, że k\an — bn, wynika, że d\n.

D o w ó d . Zauważmy, że {к, a) = (к , b) — 1. W samej rzeczy, gdyby np. (k, a) = s > 1, to wobec tego, ż3 k\ad - bd, liczba s byłaby dzielnikiem b i (a, b) > «, wbrew założeniu, że ( « , 6) = 1.

Przypuśćmy, że an — bn(modk). Gdyby d ^ n , to n = dl + r, gdzie 0 < r < d, ? > 1 i

(13) adlar = bdlor{m.odk)-,

Dzielnik pierwotny liczby an — bn

23

ponieważ ad = bd(m.odk), więc adl = bdl(m.o&k) i z kongruencji (13) otrzymalibyśmy, że adlar = adlbr(mod&), skąd wobec (a, fc) = 1 byłoby k\ar — br dla 0 < r < d, wbrew założeniu, że к jest dzielnikiem pierwotnym liczby ad — bd.

L emat 4. Jeżeli (a, b) = 1, n > 1 i p jest dzielnikiem pierwszym pierwotnym liczby an — bn, to p ma formę nk-f-1.

D o w ód. Niech p będzie dzielnikiem pierwszym pierwotnym liczby an — bn. Ponieważ n > 1, więc p jest nieparzyste. Wobec (a, b) = 1 1 p\an — bn mamy (a, p) = ( b,p) = 1, więc z twierdzenia Fermata wynika, że p\dP~x— 1 i p|6p_1—1, skąd — a ponieważ p jest dzielni­

kiem pierwotnym liczby an — bn, więc z lematu 3 wynika, że n\p —1 i p ma formę nk-\-l.

T wierdzenie 1. Jeżeli a ,b i n są liczbami naturalnymi, a > b, (a, b) —

= 1, to liczba an — bn dla n > 2 ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy pierwotny z wyjątkiem przypadku a = 2, b = 1, n = 6 ([1], [2J).

D o w ód. Weźmy liczbę

/»(<*, ь) = / 7

г|го

gdzie (a,b) = 1, a > b, n > 2, a p oznacza funkcję Mobiusa. Ponieważ funkcja Mobiusa może przyjmować wyłącznie wartości 0 ,1, —1, więc liczba fn[a, b) rozkłada się na iloczyn liczb pierwszych występujących w pewnych wykładnikach potęgowych, które są liczbami całkowitymi Ф 0. Zauważmy, że dla n > 2, (a, b) = 1 i a > b, liczba 2 wchodzi do wspomnianego iloczynu wtedy i tylko wtedy, gdy n = 2A (gdzie Я =

= 2 ,3 , ...) i ab jest liczbą nieparzystą. Wykładnik z jakim liczba 2 wcho­

dzi wtedy do wspomnianego iloczynu ró wny j jst 1. W sam3j rzeczy, przy­

puśćmy, że n ma dzielnik pierwszy nieparzysty. Udowodnimy, że wtedy 2 nie jest czynnikiem tego iloczynu. Niech n = pxk, gdzie (p, k) — 1, Я > 1. Ponieważ

/ 7 6d) f (fc/d> = f j [ / Г (adi- b dY mli)Yim =

d\k d\k i\m

= [ [ ( « ? - = f b n ( « , b ) , i [km

więc

Ш « , Ь ) = [ ] l A « \ b Y m ■

i\k

Wobec (a,b) = 1 jest (a4, &*) = 1. skąd wynika, że albo obydwie liczby

аъ i bx są nieparzyste, albo jedna z nich jest parzysta, a druga nieparzysta.

24 A. Rotkiewicz

Gdy obie są nieparzyste, to liczba /Рл(а4, &г) = c^~l aF~2 yl ... + yv~l {x = <й>А-1, у = feipA_1) jest liczbą nieparzystą jako suma nieparzystej liczby składników i liczba 2 nie jest czynnikiem wspomnianego iloczynu.

Gdy tylko jedna z liczb аг, Ъг jest nieparzysta, to d — b% jest nieparzyste i /* (« , Ъ ) = П (аг—Ь1)^п11) nie zawiera dwójki w rozwinięciu na iloczyn

i\n

liczb pierwszych. Dla n — 2A, A > 2, dla ab nieparzystego mamy /n(a, b) = a2A-1 + 62A_1 = (aaA_2)2+ (i2A_2)2 i liczba fn(a,b), jako suma kwadratów dwu liczb nieparzystych względnie pierwszych, zawiera 2 z wykładnikiem równym 1. W dalszym ciągu przypuśćmy, że an — bn dla n > 2, («,&) = ! , a > b, nie ma dzielnika pierwszego pierwotnego.

Niech p będzie liczbą pierwszą będącą czynnikiem wspomnianego na początku dowodu iloczynu. Wtedy oczywiście p\cł — b% dla pewnego i\n i p jest dzielnikiem pierwotnym liczby ad—bd, gdzie d < n .

Rozróżnimy dwa przypadki: 1° (n, p) = 1 i 2° ( n, p) = p.

Zauważmy, że w przypadku 1° jest p Ф 2. Rzeczywiście, gdyby p = 2, to na mocy uwagi poczynionej na początku dowodu byłoby n = 2a, gdzie A > 1 i (n, p) = 2, wbrew założeniu, że (p, n) = 1. Liczba p jest więc liczbą pierwszą nieparzystą. Niech px\ad—bd,p*+1'\*ad— bd. Na mocy lematu 3 spośród liczb аг — Ьг w liczbie f] (аг — Ьг)^п/г) te i tylko

i ,n

te są podzielne przez p, dla których d\i, mają więc postać akd — bkd, gdzie M\n. Ponieważ założyliśmy, że (n, p) = 1, więc na mocy lematu 3 liczba adk—bdk jest podzielna przez taką samą potęgę p co liczba ad—bd. W ten sposób wykładnik z jakim wystąpi p w liczbie [ ] ( аг — Ьъ)^п/г) wynosi

i\n

gdyż d < n i p nie wchodzi do wspomnianego iloczynu. Niech (n, p) = p.

Udowodnimy, że wtedy p jest największym dzielnikiem pierwszym n i wchodzi do wspomnianego iloczynu z wykładnikiem 1. Jest to prawdziwe dla p = 2 na mocy uwagi wspomnianej na początku dowodu. Przy­

puśćmy, że p jest liczbą pierwszą nieparzystą. Ponieważ p jest dziel­

nikiem pierwszym pierwotnym liczby ad—bd, więc na mocy lematu 4 ma formę dfc+1, skąd wynika, że (d, p) = 1 i n = pkdl, gdzie (d, p) =

= (p, l) = 1, Tc ^ 1.

Niech px\ad—bd, px+1'\'ad— bd oraz f(i) = a dla pa\i, pa+1>M , a > 0.

Na mocy lematu 2 wykładnik z jakim wystąpi p w iloczynie f ] (аг — ól)/ł(n/l)

• i\n

wynosi

a =

pij) +

⁼

SfwĄj)-

d<»

D zielnik pierwotny liczby an — bn

25

Ponieważ p(a) = 0, gdy a jest podzielne przez kwadrat > 1, więc n(n[i) = 0 dla i

a = f{dpk 1m1)p

Dla l ^ 1 ostatnie sumy są równe zeru, dla 1 = 1 mamy a = k —

— (fc—1) = 1 i p wchodzi zatem do wspomnianego iloczynu z wykładni­

kiem 1, i to tylko wtedy, gdy n = pkd, a ponieważ p ma formę d&+1, więc wtedy p jest największym dzielnikiem pierwszym liczby n. W ten sposób we wszystkich przypadkach, dla których fn{a, 6) > p, gdzie p jest największym dzielnikiem pierwszym liczby n, liczba an — bn musi posiadać dzielnik pierwszy pierwotny. Tak jest dla n > 2, a > b, (a, b) = 1, z wyjątkiem przypadku, gdy n = 6, a = 2, 6 = 1. Dowodzi tego następujący rachunek.

Niech n = pl1...j%k, p x < p 2 < ... < pk, a > 6. Będzie ad — bd =

= (a — 6)(ad_1+ . . . + 6d_1) > ad_1, ad—bd < a d, <p(n) = ^d/ji(njd), gdzie d|n

<p(n) oznacza funkcję Gaussa, a wobec p,(d) = 2&_1 jest H>{n ld) —

_ 1 i ^(c?) = 1 A«(n./d)=1

A d|n.

/„(<*, i) = [ j ( a ‘ - b Y m =

i\n

П (ad- b d) П ad~l

fi(njd)= 1______________ n(njd) = l_______

/ 7 (аЙ1- 6 Й1) / 7

n(njdx) = - l ^(w/£?1) = - l

f ] ( a Y nld> / 7 e " 1 -

d /и. ^(n/d)=l

czyli (14)

2 1 dfi(n/d) 2 —t*(nIa)

= « S|n ' ' 'a /*4 *> -1 ' ' ' = 1 > *,

/„(a , 6) > 2**> _2fc —1

Ponieważ dla 2 < w ^ 6 mamy Ip ?1-1 PtŁ~1---Pkk~1{Pi—l) ( p 2—1 )...

...{pic—1) > 2ft_1, czyli \<p{ri) > 2fc_1, skąd <p(w) > |ę>(w)+2fc” 1, zatem dla 2 < п ф Ъ zachodzi nierówność

(15) * <p{n)-2k- 1 ^<p{n)l2.

Z drugiej strony, <p(w) = pfc—1 wtedy i tylko wtedy, gdy w = 2pk lub n = pk. Dlatego z wyjątkiem przypadków, gdy n = 2pk i n = pkl jest <p{n)l2 > ри- l i wobec (15) z (14) wynika, że fn{a, 6) > 2Vk~l >

dla pk > 3, gdyż według małego twierdzenia Fermata mamy pfc|2Pfc_1 —i

dla pk > 3 . .

26 A. Rotkiewicz

Pozostały do zbadania przypadki, gdy n = pk, n = 2pk, gdzie n > 2. Gdy n = pk, wtedy /n(a, 6) = aPk~l -\- aPk~2b + . .. + bVk~l > 2P*-1 >

> pk. Dla n — 2pk mamy f2pjc{a, 6) = аРк~г —aPk~2b + ... + 6P*-1 >

> aPk~2 > 2P*~2 > z wyjątkiem przypadku, gdy pk — 3, gdyż Зрл|2р*-1 —1 dla pk > 3. Gdy pk = 3, to n = 6 i fn(a, b) = f6(a, b) =

= a2 —ab-\-b2 = {a —b)2Jr ab > 3 z wyjątkiem przypadku, gdy n = 2, 6 = 1, co kończy dowód twierdzenia 1.

Zauważmy, że dla dowolnych liczb naturalnych a , b , n przy a > 6, w > 1, gdy r oznacza liczbę różnych dzielników pierwszych liczby w, mamy:

(16) { a - b f ~ l a*™'2* '1 < /ft(a, b) < {а -Ь )~ 2Г~1-а^п)+2Г~1.

Istotnie, niech będzie n > 1. Wobec a > b mamy:

adl- b di = ( « - 6 ) ( a di - 1 + adl" 26 + ... + 6<ii - 1) > ( a - 6 ) a dl_1

Ponieważ

zatem

/»(«» b)

2 1 и <*.)1 = Z м й*>| = 2’" 1>

H(njd\)

=

”

f ] ( a t - b Y * ® =

П (o'*1

Ą n j d i ) = l

_________

f ] ( a ^ - b * * 2) /i(n/d2) = - l

Ąn/di) П di)=i\ a I (*=*). ^A

fi(n/d2) = - l

П *

— Г V < ”> = (a—b f r~l dpt-ni~ir~1.

a ] Podobnie

/п(л, 6)

J7 {ad' - b dl)

H {n j d i ) = l

_________

/ 7 (ad2 - b**)

t*(n l<k) = ~ 1

П adl

M(n/di)=i______

П (“=*)<*

M(n/d2)=-i\ а I { а - Ъ ) ~ 2Г~ 1а ^ +2Г~\

T wierdzenie 2. Dla n > 1 istnieje liczba pierwsza formy nk-\~l mniejsza od 2?,(n)+2r’~ , gdzie r oznacza ilość dzielników pierwszych n.

D o w ó d . Na mocy dowodu twierdzenia 1 liczba fn(2 , 1 ) dla n > 2 (n Ф 6) posiada dzielnik pierwszy pn formy n k+ 1. Kładąc w nierówno­

ści (16) a = 2, 6 = 1 widzimy, że / я( 2 , 1) < 2’’(n)+2r_1, skąd wynika, że

pn < 2,,(n)+2r-1. Dia n = 2,6 szukanymi liczbami pierwszymi są 3 i 7,

gdyż 3 < 2V^ +1) 7 < 2 ^ +1.

Dzielnik pierwotny liczby an — bn

27

W

. Dla n > 6 istnieje liczba pierwsza form y n k Ą -1 m niejsza od 5?,(w)/2.

D o w ó d . D la 6 < n < 9 0 w n iosek z a c h o d z i, co ła tw o sp ra w d z ić b ezp o śre d n io . № e c h b ę d z ie n > 9 0 . J eżeli d la p ew n eg o n je st ^ 2 %r, to 5<r(n) ^ 4:m . 22r = 2 2v>(n>’ 22r, sk ą d 5 ” (n)/2 ^ 2”<w)+2r~ 1 i w o b e c tw ie r ­ d zen ia 2 w n io sek z a c h o d z i.

N ie ró w n o ść ( f ) ^ > 2 аГ d la r = 1 , n > 9 0 z a c h o d z i, g d y ż >

> © 9° ł > 2 21. P o d o b n ie p r z y r = 2 m a m y ( J ) ^ > (|)9° 'łS = © 3° > 2 2\

D la r — 3 , w o b e c n > 9 0 je s t q>(n) > 9 0 ( l — ( l — ( l - = 2 4 i <p(n) >

> 2 6 , sk ą d ( Г П) > O 26 > 2 23.

D la r = 4 w n io se k t a k ż e z a c h o d z i, g d y ż 2 - ( 2 * 3 * 5 * 7 ) - j - l — 4 2 1 je st lic z b ą p ierw szą < 5 105. J e ż e li z a ś n Ф 2 * 3 - 5 - 7 , to<p(w) > ę ? ( 2 * 3 '5 * 7 ) =

= 4 8 ; © ' » > © ■ * > 2**.

P r z y r = 5 m a m y : rp{n) > ę > ( 2 * 3 * 5 * 7 * l l ) = 4 8 0 , (3Г (П) > (i)480 > 2 25.

P r z y p u ś ć m y , że n ieró w n o ść > 2 2*" z a c h o d z i, g d y n p o sia d a r > 5 r ó ż n y c h d z ie ln ik ó w p ie r w sz y c h . D la lic z b y n a tu ra ln e j n p o sia d a ją c e j

■r-f.l r ó ż n y c h d z ie ln ik ó w p ie r w sz y c h b ę d z ie w t e d y : n = т Ф р^1, g d zie m p o sia d a r r ó ż n y c h d z ie ln ik ó w p ie r w sz y c h , pr+1 > 1 3 i

> (2 ‘*г) 12 > 2*r+1. Z a t e m n a m o c y in d u k c ji n ieró w n o ść > 2 аГ z a ­ ch o d zi d la k a żd e g o r > 5 , co k o ń c z y n a sz d o w ó d .

Prace cytowane

[1] G. B i r k h o f f and H. S. V a n d i v e r , On the integral divisors of an— bn, Annals of Math. (2) 5 (1904), str. 173-180.

[2] A . 8. B a n g , Thaltheoretiske Undersogelser, Tidsskrift for Math. (5), 4 (1886), str. 7 0 -8 0 , 130-137.

А. Р

(Варшава)

Э Л Е М Е Н Т А Р Н О Е Д О К А ЗА ТЕ Л Ь С ТВ О С УЩ Е С Т В О В А Н И Я ПРОСТОГО Д Е Л И Т Е Л Я

РЕЗЮМЕ

Статья содержит элементарное доказательство следующей теоремы, дока­

занной в 1904 г. Г. Биркгоффом и Г. Вандивером (смотри [1]):

Если а, Ь,п, натуральные числа а > Ь, ( а , Ь) = \,п > 2, тогда число ап — Ьп, за исключением случая а = 2, b = 1, п = 6, имеет по крайней мере хоть один простой делитель р, который не делит никакого из чисел ат — Ьт при т =

= 1, 2 , . . . , п — 1, причем п\р — 1.

28 A. Rotkiewicz

Теорема эта имеет многие применения в теории чисел, а прилагаемое дока­

зательство проще доказательства данного Биркгоффом и Вандивером. Теорема при b — 1 была доказана в 1886 г. Бангом (см. [2]). Кроме того даны две оценки наименьшего простого числа формы пк + 1.

A . R

(Warszawa)

E L E M E N T A R Y P R O O F OF T H E E X IS T E N C E OF T H E P R IM E D IV ISO R

S U M M A R Y

The elementary proof of the following theorem, proved for the first time in 1904 by G-. Birkhoff and H. S. Vandiver (see [1]), is given:

I f a, b, n are natural numbers, a > b, (a, b) = 1, n > 2, then the number an— bn, excluding the ease a = 2, b = 1, n = 6, has at least one prime divisor p which does not divide any of numbers am— bm for m = 1 , 2 , . . . , n — 1 and n\p — 1.

This theorem has many applications in the theory of numbers, and the proof given here is simpler than that givon by Birkhoff and Vandiver. For b = 1 the theorem was proved in 1886 by Bang (see [2]).

Moreover, two estimations of the least prime number of the form wfc + 1 are

given.