1. Liczby zespolone

1. Liczby zespolone

Definicja

Liczbę postaci z =x+iy, gdzie x,y∈R oraz i= −1, nazywamy liczbą

zespoloną. Liczbę i nazywamy jednostką urojoną. Postać z=x+iy nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej.

Definicja

Niech z =x+iy. Wówczas

1. liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z , co zapisujemy x

z=

Re ,

2. liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z , co zapisujemy y

z=

Im .

Dodawanie liczb zespolonych

Niech z₁ =x₁+iy₁^, z2 = x2 +iy2^{. Wtedy}

(

1 2

)

2 1 2

1 z (x x ) i y y

z + = + + +

Przykład

(

¹+²ⁱ

) (

+ ²+³ⁱ

) (

= ¹+²

) (

+^{i 2}+³

)

=³+⁵ⁱ Odejmowanie liczb zespolonych

Niech z₁ =x₁+iy₁^, z2 = x2 +iy2^{. Wtedy}

(

1 2

)

2 1 2

1 z (x x ) i y y

z − = − + −

Przykład

(

1+2ⁱ

) (

− 2+3ⁱ

) (

= 1−2

) (

+ⁱ 2−3

)

=−1−ⁱ MnoŜenie liczb zespolonych

Niech z₁ =x₁+iy₁^, z2 = x2 +iy2^{. Wtedy}

(

1 2 2 1

)

2 1 2 1 2

1 z (x x y y ) i x y x y

z ⋅ = − + +

Przykład

(

¹+²ⁱ

) (

⋅ ²+³ⁱ

) (

= ¹⋅²−²⋅³

) (

+ⁱ¹⋅³+²⋅²

)

=−⁴−⁷ⁱ Definicja

Liczbę zespoloną z określoną wzorem iy x z = − nazywamy sprzęŜeniem liczby zespolonej z=x+iy. Przykłady

2+3i=2−3i^, 1−i=1+i, i=−i^. Dzielenie liczb zespolonych

Niech z₁ =x₁+iy₁^, z2 = x2 +iy2^{. Wtedy}

2 2

2 1 2 1

z z

z z z z

⋅

= ⋅

Przykład

( )

(

ⁱⁱ

) (

ⁱⁱ

)

^{i i}

i i

13 1 13

8 13 8 3 2 3 2

) 3 2 ( 2 1 3 2

2

1 = + = +

−

⋅ +

−

⋅

= + + +

Definicja

Modułem liczby zespolonej z= x+iy nazywamy liczbę rzeczywistą z określoną wzorem

2

2 y

x

z = +

Przykłady

i

z=−1+3 , z = (−1)² +3² = 10 i

z=− , z = 0² +(−1)² =1 i

z=−5−12 , z = (−5)² +(−12)² = 169 =13

Definicja

Argumentem liczby zespolonej z =x+iy nazywamy liczbę rzeczywistą ϕ spełniającą układ równań









=

= z y z x

ϕ ϕ

sin cos

Argumentem głównym liczby zespolonej z nazywamy argument

ϕ

tej liczby spełniający nierówności ⁰≤ϕ≤²π . Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy symbolem argz. KaŜdy argument ϕ liczby zespolonej z ma postać

π

ϕ =^argz+^2k , gdzie k∈Z . Przykłady

i

z=−1+ , z = 2,









=

= −

2 sin 1

2 cos 1

ϕ

ϕ ϕ

4

π

^2k

π

3 +

= , 4

π

argz = 3 ,

=2

z , z =2,





=

= 0 sin

1 cos

ϕ

ϕ ϕ

=⁰+^2k

π

, argz =0,

−1

=

z , z =1,





−

=

= 1 sin

0 cos

ϕ

ϕ ϕ

=

π

+^2k

π

, argz =

π

.

Definicja

WyraŜenie postaci

(

^cos

ϕ

^isin

ϕ )

r

z = ⋅ +

gdzie r = z jest modułem liczby z , a

ϕ

jest argumentem tej liczby, nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Przykłady

i

z=−1+ ,

( π

4

π )

3 4

3 sin

cos

2 i

z = ⋅ + ^,

=2

z , ^z =²⋅

(

^cos0+^isin0

)

^,

−1

=

z , ^z =^cosπ +^isinπ.

Twierdzenie

JeŜeli ^z1 =^r1⋅

(

cos

ϕ

1+ⁱsin

ϕ

1

)

^{, z}2 =^r2⋅

(

cos

ϕ

2 +ⁱsin

ϕ

2

)

^{, to}

( ) ( )

[

1 2 1 2

]

2 1 2

1⋅z =rr ⋅ cos

ϕ

+

ϕ

+isin

ϕ

+

ϕ

z ,

( ) ( )

[

1 2 1 2

]

2 1 2

1 = ⋅ cos

ϕ

−

ϕ

+isin

ϕ

−

ϕ

r r z

z .

Potęgowanie liczb zespolonych

Niech ^z =^r⋅

(

^cos

ϕ

+^isin

ϕ )

^{oraz n}∈^N. Wtedy

(

ⁿ

ϕ

^{i n}

ϕ )

r

zⁿ = ⁿ⋅ cos + sin ^. PowyŜszy wzór nosi nazwę wzoru de Moivre’a.

Przykłady i

z=−1+ ,

( ^π

4

^π )

3 4

3 sin

cos

2 i

z = ⋅ + ^{, z4 =4⋅}

(

^cos3

^π

^+isin3

^π )

^=−4,

=2

z , ^z =²⋅

(

^cos0+^isin0

)

^{, z3 =8⋅}

(

^cos0+isin0

)

^=8,

−1

=

z , ^z =^cosπ +^isinπ, ^{z2 =1⋅}

(

^cos2

π

^+isin2

π )

^=1.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Niech ^z =^r⋅

(

^cos

ϕ

+^isin

ϕ )

^{oraz n}∈^N. Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z jest postaci



 



 + + +

⋅

= n

i k n

r k

z_k ⁿ ϕ π ϕ ² π

2 sin cos

gdzie k =0,1,K,n−1. Przykłady

=2

z , n=3, ^z =²⋅

(

^cos0+^isin0

)

^,

( )

³

3

0 = 2⋅ cos0+isin0 = 2

z ,

(

^{23 23}

)

³

(

^{21 23}

)

3

1 2 cos isin 2 i

z = ⋅ ^π + ^π = ⋅ − + ^,

(

^{43 43}

)

³

(

^{12 23}

)

3

2 2 cos isin 2 i

z = ⋅ ^π + ^π = ⋅ − − ^.

−1

=

z , n=4, ^z =^cosπ +^isinπ, i

i

z 2

2 2 sin 2

cos_{4 4}

0 = ^π + ^π = + ,

i i

z 2

2 2 sin 2

cos³₄ ³₄

1 = ^π + ^π =− + ,

i i

z 2

2 2 sin 2

cos⁵₄ ⁵₄

2 = ^π + ^π =− − ,

i i

z 2

2 2 sin 2

cos⁷₄ ⁷₄

3 = ^π + ^π = − .