1. Liczby zespolone

1. Liczby zespolone

Definicja 1.1

Liczbę postaci z =x+y⋅ j, gdzie x,y∈R oraz j = −1, nazywamy liczbą

zespoloną. Liczbę j nazywamy jednostką urojoną. Postać z =x+y⋅ j nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej.

Definicja 1.2

Niech z =x+y⋅ j. Wówczas

→ liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z , co zapisujemy x

z=

Re ,

→ liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z , co zapisujemy y

z=

Im .

Definicja 1.3

Liczbę zespoloną z określoną wzorem j y x z = − ⋅

nazywamy sprzęŜeniem liczby zespolonej z= x+ y⋅ j. Mówimy teŜ, Ŝe z jest liczbą sprzęŜoną do z .

Przykład 1.1

2+3j =2−3j, 1− j =1+ j, j=−j, −2=−2.

Wprowadzimy teraz działania na liczbach zespolonych

Dodawanie liczb zespolonych Niech z1 =x1+ y1⋅ j, z2 =x2 + y2⋅ j. Wtedy

(

^{y y}

)

^j

x x z

z1+ 2 =( 1 + 2)+ 1+ 2 ⋅ Przykład 1.2

(

¹+^2j

) (

+ ²+^3j

) (

= ¹+²

) (

+ ²+³

)

^j=³+^5j,

(

¹+ j

)

+⁽¹− j⁾=²,

(

¹+ ^j

) (

+ −¹+ ^j

)

=^2j.

Odejmowanie liczb zespolonych Niech z1 =x1+ y1⋅ j, z2 =x2 + y2⋅ j. Wtedy

(

^{y y}

)

^j

x x z

z1 − 2 =( 1− 2)+ 1 − 2 ⋅ Przykład 1.3

(

^1+2j

) (

^{− 2+3j}

) (

^{= 1−2}

) (

^{+ 2−3}

)

^{j=−1− j,}

(

¹+ ^j

)

−⁽¹− ^j)=^2j,

(

¹+ j

) (

− −¹+ j

)

=².

MnoŜenie liczb zespolonych Niech z1 =x1+ y1⋅ j, z2 =x2 + y2⋅ j. Wtedy

(

^{x y x y}

)

^j

y y x x z

z1⋅ 2 =( 1 2 − 1 2)+ 1 2 + 2 1 ⋅ Przykład 1.4

(

^1+2j

) (

^{⋅ 2+3j}

) (

^{= 1⋅2−2⋅3}

) (

^{+ 1⋅3+2⋅2}

)

^j=−4+7j,

(

¹+ j

)

⋅⁽¹− j⁾=²,

(

¹+ j

) (

⋅ −¹+ j

)

=−².

Dzielenie liczb zespolonych Niech z1 =x1+ y1⋅ j, z2 =x2 + y2⋅ j. Wtedy

2 2

2 1

2 1

z z

z z z z

⋅

= ⋅

Przykład 1.5

( )

(

^jj

) (

^jj

)

^{j j}

j j

13 1 13

8 13 8 3 2 3 2

) 3 2 ( 2 1 3 2

2

1 = + = +

−

⋅ +

−

⋅

= + +

+ ,

( )

(

^jj

) (

^jj

)

^{j j}

j

j = =

+

⋅

−

+

⋅

= +

− +

2 2 1

1

) 1 ( 1 1

1 ,

( )

(

^jj

) (

^jj

)

^{j j}

j

j = − =−

−

−

⋅ +

−

−

−

⋅

= + +

− +

2 2 1

1

) 1 ( 1 1

1 .

Definicja 1.4

Modułem liczby zespolonej z= x+ y⋅ j nazywamy liczbę rzeczywistą z określoną wzorem

2

2 y

x

z = +

Przykład 1.6

j

z=−1+3 , z = (−1)² +3² = 10, j

z=− , z = 0² +(−1)² =1,

−5−12j = (−5)² +(−12)² = 169 =13.

Definicja 1.5

Argumentem liczby zespolonej z =x+y⋅ j nazywamy liczbę rzeczywistą ϕ spełniającą układ równań









=

= z y z x

ϕ ϕ

sin cos

Argumentem głównym liczby zespolonej z nazywamy argument

ϕ

tej liczby spełniający nierówności ⁰≤ϕ<²π . Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy symbolem argz. KaŜdy argument ϕ liczby zespolonej z ma postać

π

ϕ=^argz+^2k , gdzie k∈Z (k =0,±1,±2,....)

Przykład 1.7

j

z=−1+ , z = 2,









=

= −

2 sin 1

2 cos 1

ϕ

ϕ ϕ

4

π

^2k

π

3 +

= , 4

π

argz= 3 ,

=2

z , z =2,





=

= 0 sin

1 cos

ϕ

ϕ ϕ

=⁰+^2k

π

, argz=0,

j

z=− , z =1,





−

=

= 1 sin

0 cos

ϕ

ϕ ϕ

2

π

^2k

π

3 +

= , 2

π

argz= 3 .

Definicja 1.6

WyraŜenie postaci

(

^cos

ϕ

^jsin

ϕ )

r

z= ⋅ +

gdzie r = z jest modułem liczby zespolonej z , a

ϕ

jest argumentem tej liczby, nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Przykład 1.8

j

z=−1+ ,

( ^π

4

^π )

3 4

3 sin

cos

2 j

z = ⋅ + ^,

=2

z , ^{z =2⋅}

(

^{cos0+ jsin0}

)

^,

j

z=− ,

π

2

π

3 2

3 sin

cos j

z = + .

Twierdzenie 1.1

JeŜeli ^z1 =^r1⋅

(

cos

ϕ

1+ ^jsin

ϕ

1

)

^{, z}2 =^r2 ⋅

(

cos

ϕ

2 + ^jsin

ϕ

2

)

^{, to}

( ) ( )

[

1 2 1 2

]

2 1 2

1⋅z =rr ⋅ cos

ϕ

+

ϕ

+ jsin

ϕ

+

ϕ

z ,

( ) ( )

[

1 2 1 2

]

2 1

2

1 = ⋅ cos

ϕ

−

ϕ

+ jsin

ϕ

−

ϕ

r r z

z .

Potęgowanie liczb zespolonych Niech ^z =^r⋅

(

^cos

ϕ

+ ^jsin

ϕ )

^{oraz n}∈^N. Wtedy

(

ⁿ

ϕ

^{j n}

ϕ )

r

zⁿ = ⁿ⋅ cos + sin ^. PowyŜszy wzór nosi nazwę wzoru de Moivre’a.

Przykład 1.9 j

z=−1+ ,

( π

4

π )

3 4

3 sin

cos

2 j

z = ⋅ + ^{, z4 =4⋅}

(

^cos3

π

^{+ jsin3}

π )

^=−4,

=2

z , ^z =²⋅

(

^cos0+ ^jsin0

)

^{, z3 =8⋅}

(

^{cos0+ jsin0}

)

^=8,

j

z=− , ^z =^cos₂³

π

+ ^jsin₂³

π

, ^{z = ⋅}

(

^{π + j} 2^π

)

^=−j

15 2

5 15

sin cos

1 .

Z wzoru de Moivre’a wynika zaleŜność

(

^j

)

ⁿ

n j

nϕ ^sin ϕ ^cosϕ ^sinϕ

cos + = + .

Przyjmując n=2 mamy

(

^{ϕ ϕ}

)

^{ϕ ϕ ϕ ϕ}

ϕ

ϕ ^{sin2 cos sin cos sin 2sin cos} 2

cos + j = + j ² = ² − ² + j⋅ ,

skąd otrzymujemy znane wzory

ϕ ϕ

ϕ ^{cos2 sin2} 2

cos = − , ^sin2ϕ =^2sinϕ^cosϕ. Przyjmując n=3 mamy

(

^{ϕ ϕ}

)

^{ϕ ϕ ϕ}

(

^{ϕ ϕ ϕ}

)

ϕ

ϕ ^{sin3 cos sin 3 cos3 3cos sin2 3cos2 sin sin3} 3

cos + j = + j = − + j⋅ − ,

skąd otrzymujemy wzory

ϕ ϕ ϕ

ϕ ^{cos3 3cos sin2} 3

cos = − , ^sin3ϕ =^3cos2ϕ^sinϕ−^sin3ϕ. Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Niech ^z =^r⋅

(

^cos

ϕ

+ ^jsin

ϕ )

^{oraz n}∈^N. Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z jest postaci



 



 + + +

⋅

= n

j k n

r k

z_k ⁿ ϕ π ϕ ² π

2 sin cos

gdzie k =0,1,K,n−1. Przykład 1.10

j

z=2 , n=3, z =2⋅

(

cos^π2 + jsin^π2

)

,

(

^j

) (

^j

)

z₀ =³ 2⋅ cos^π₆ + sin^π₆ =³ 2⋅ ₂³ + ₂^{1 ,}

(

^j

) (

^j

)

z₁ =³ 2⋅ cos⁵₆^π + sin⁵₆^π =³ 2⋅ − ₂³ +¹₂ ^,

(

^j

)

^j

z₂ =³ 2⋅ cos⁹₆^π + sin⁹₆^π =−³ 2

−1

=

z , n=4, ^z =^cosπ + ^jsinπ ,

2 2 2

sin 2

cos_{4 4}

0 j j

z = ^π + ^π = + ,

2 2 2

sin 2 cos³₄ ³₄

1 j j

z = ^π + ^π =− + ,

2 2 2

sin 2 cos⁵₄ ⁵₄

2 j j

z = ^π + ^π =− − ,

2 2 2

sin 2 cos⁷₄ ⁷₄

3 j j

z = ^π + ^π = − .

Definicja 1.7

Niech ϕ∈R. Liczbę zespoloną ^cosϕ+ ^jsinϕ oznaczamy symbolem e^jϕ, gdzie 72

,

≈2

e - stała Eulera, czyli

ϕ ϕ

ϕ cos jsin

e^j = + .

Przykład 1.11

j j

e^j2 =cos^π₂ + sin^π₂ =

π

, 1 sin

cos + =−

= π π

π j

e^j .

Twierdzenie 1.2

Niech x∈R. Wtedy zachodzą wzory

cos 2

jx

jx e

x e

+ −

= ,

j e x e

jx jx

sin 2

− −

= ^.

Przykład 1.12

2 2 cos 2 1 4

2 sin 2

2 2 2

2 e e x

j e x e

jx jx

jx

jx = −

−

−

= +







 −

= ^{− −} ,

2 2 cos 2 1 4

2 cos 2

2 2 2

2 e e e e x

x

jx jx

jx

jx  = + + = +







 +

= ^{− −} .

Definicja 1.8

WyraŜenie postaci

ϕ

ej

r z = ⋅

gdzie r = z jest modułem liczby zespolonej z , a ϕ jest argumentem tej liczby, nazywamy postacią wykładniczną liczby zespolonej.

Przykład 1.13

j

z=−1+ , z e^{4 j}

3

2

π

⋅

= ,

=2

z , z =2⋅e^0j,

j

z=− , z e ^{2 j}

3π

= .

Uwaga 1.1

UŜywa się takŜe symbolu ‘exp’ . Wtedy mamy

[ ]

^{ϕ ϕ ϕ}

ϕ exp j cos jsin

e^j = = + .

Wobec powyŜszego moŜemy zapisać

[ ]

^π

π

j e

z ^{4 j} ₄³

3

exp 2

2⋅ =

= ,

[ ]

^π

π

j e

z ^{2 j} ₂³

3

=exp

= .

Uwaga 1.2

Niech z =r⋅e^jϕ oraz n∈N^. Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z jest postaci



 +

⋅

= j

n r k

z_k ⁿ ϕ ² π

exp ,

gdzie k =0,1,K,n−1. Przykład 1.14

j

z=2 , n=3, ^z =2⋅exp

[ ]

^π2 ^j ,

[ ]

^j

z₀ =³ 2⋅exp ^π₆ ^{, z}

[ ]

6 ^j 3 5

1 = 2⋅exp ^{π , z}

[ ]

2 ^j

3 3

2 = 2⋅exp ^{π .}