... E-optymalność układów PBB z dwiema klasami partnerów*

He n r y k Br ze sk w in ie w ic z

Poznań

E-optymalność układów PBB z dwiema klasami partnerów*

(Praca wpłynęła do Redakcji 1987.09.01)

1. Streszczenie. W pracy zamieszczono warunek fs-optymalności układów PBB (częściowo zrównoważonych bloków) z dwiema klasami partnerów.

Warunek ten jest wyrażony poprzez parametry układu, przy czym wymagana jest znajomość co najmniej jednej kolumny macierzy incydencji. Ograniczając się jednak do binarnych układów PBB z równoreplikowanymi obiektami, można rozstrzygnąć o £-optymalności bez znajomości macierzy incydencji.

Scharakteryzowano przy tym kontrasty obiektowe, które decydują o E- optymalności układu. Szczególnym przypadkiem uzyskanych w pracy wyni- ków są kryteria £-optymalności układów PBIB (częściowo zrównoważonych niekompletnych bloków) z dwiema klasami partnerów, podane przez Chenga (1980) i Constantine’a (1982).

2. Oznaczenia, definicje, wiadomości wstępne. Niech

(... kb oznacza klasę spójnych układów blokowych o v obiektach i pojemnościach bloków równych odpowiednio ..., kb. Układowi blokowemu deQVtkltmmmikb przypo- rządkujemy macierz

(2.1) Cd = diag {rdl, ..., rdv} - Nd diag {kdl1, ..., k^ 1} Nd,

gdzie Nd = (ndij) jest macierzą incydencji układu d, rdi - liczbą replikacji /- tego obiektu w d, a kdj — pojemnością (wielkością) j-tego bloku w d.

Ponadto diag {rdl,...,ddv) i diag {kdi1, ..., k ^ 1} są macierzami diagonalnymi, o elementach diagonalnych równych odpowiednio składowym wektora repli- kacji r = {rdl, ..., rdv)' oraz odwrotnościom składowych wektora pojemności bloków k =(kdi, ..., kdby, (•)' oznacza natomiast transpozycję macierzy, bę-

Problem MR 1.1 2/1/5.

dącej argumentem. Wartości własne macierzy Cd można uporządkować na- stępująco:

0 = PdO < A li ^ Pd 2 ^ ^ P d v - i •

Mówimy, że układ d'eQv k l jest E-optymalny w rozważanej klasie jeżeli pd>x ^ pdX dla dowolnych układów d

QvJii< kb.

Wiadomo, że spośród znormalizowanych kontrastów obiektowych, esty- mowalnych w poszczególnych układach blokowych z klasy Qv>kl... kb z naj- większymi wariancjami, najmniejszą wariancję ma kontrast pochodzący z układu ^-optymalnego.

Zdefiniujemy układy PBIB oraz PBB z dwiema klasami partnerów, które to układy dla uproszczenia oznaczać będziemy odpowiednio przez PBIB(2) oraz PBB(2). Układy te definiuje się w oparciu o macierze partnerów A0 = I, A1? A2, które są binarnymi macierzami spełniającymi warunki:

a

; = A„ £ A, = 11', A,1 =n,l

A,-Aj = Y, Pij A, dla i,j,l = 0, 1, 2, 1=0

przy czym I oznacza macierz jednostkową, a 1 — kolumnowy wektor jedynek. Dodajmy, że nif i = 1, 2, oznacza liczbę i-tych partnerów dowolnego obiektu s, a plu, i, j, 1 = 1,2, liczbę obiektów, które są i-tymi partnerami z obiektem s oraz ./-tymi partnerami z obiektem s', przy czym obiekty s i s' muszą być /-tymi partnerami (obiekty s i s' są /-tymi partnerami, jeżeli element stojący na przecięciu się s-tego wiersza i s-tej kolumny macierzy Aj wynosi 1).

Układ blokowy o binarnej macierzy incydencji N nazywamy układem PBIB(2), jeżeli NI = rl, N'l = ki oraz

(2.2) NN' = £ Af,

i = o

gdzie X0 = r, a Xx i A2 są liczbami naturalnymi. Macierz (2.2) ma następujące wartości własne (patrz np. Raghavarao, 1971):

Qo = rk,

(2.3) t?i =

—j {( —y + \/d)(Ai — X2) + Xx +X2},

02

= r - i { ( - y - y / A ) { X i~ X 2) + Xl +X2},

gdzie y = pj2- P i

, a A = y2 + 2(pf2 + p\2) + 1. Zauważmy też, że ^ <g2

wtedy i tylko wtedy, gdy Xx > X2.

Układ blokowy o macierzy incydencji N, dla którego macierz (2.1) spełnia warunek

(2.4) C

i= 0

nazywamy układem PBB(2). Bezpośrednio z (2.4) i (2.1) widać, że a, ^ 0 dla i = 1,2. Układy PBB(2) stanowią rozszerzenie klasycznych układów PBIB(2), przy czym a0 = r(k — l)//c, a a, = — kjk, i = 1,2. Z (2.2) i (2.3) wynika, że wartości własne macierzy (2.4) są postaci

Ho = 0,

(2.5) Hi = « o -i{ (-7 + s/d)(a1- a 2) + a1+a2}, Hi = flo -i{ (-y -v /^ )(« i-fl2 ) + fli + fl2}»

przy czym Hi < Hi wtedy i tylko wtedy, gdy ax > a2.

3. Wyniki. £-optymalność układów PBIB(2) rozważana jest w wielu pracach, między innymi w pracach Chenga (1980) i Constantine’a (1982).

Bazują one na pewnych warunkach dostatecznych £-optymalności układów blokowych, w których k =

Chcąc podjąć temat E-optymalności układów PBB(2), trzeba wpierw przedstawić twierdzenie wolne od powyższego ograni- czenia.

Niech m (1 < m < v) oznacza liczbę obiektów występującą w którym- kolwiek bloku układu deQVtk k . Niech ponadto maxkdj= max kdj.

lśjśb

Przyjmijmy

V {z rdi (max kdj - 1) - max kdj(kdl- \ ) } (3-D P r(m) = --- --- --- , max kdj m(v — m)

gdzie dla prostoty zakładamy, że pierwszy blok ma dokładnie m różnych obiektów o numerach 1, 2, ..., m. Przyjmijmy też

(3.2) /\(U = v min rdi (max kdj — 1) ma xkdj(v — 1) gdzie minrdl = min rdi.

W pracy Brzeskwiniewicza (1983) udowodniono, że układ blokowy

d'eQv ki spełniający dla pewnego m (1 < m < v) warunek

(3.3) = P M

jest układem ^-optymalnym (w klasie

W odniesieniu do układów PBB(2) można sformułować

Tw ie r d z e n ie 1.

Układ PBB(2),

którym dla pewnego m zachodzi warunek («i ~ a2)( - y- y/A) + al + a2 = 2 \a0- J>r{m)J,

gdy at < a2, albo

(al - a 2) ( - y + x /A) + al +a2 = 2 \a0- , gdy ay ^ a2, jest układem E-optymalnym.

D o wód. Z (2.5) widać bezpośrednio, że pdl = p2, gdy ax ^ a2, oraz że pd.l = gdy a! < a 2. Stąd oraz z (3.1) i (3.2) wynika teza twierdzenia.

Wiadomo (patrz np. Raghavarao, 1971), że układy PBIB(2) dzielą się na poszczególne klasy. Ponieważ podział ten zależy wyłącznie od postaci macie- rzy partnerów A,, więc zastosować go można także w układach PBB(2).

Dla poszczególnych klas układów PBB(2) wielkości y i A dadzą się łatwo obliczyć: i tak w układach grup podzielnych, w których v = mn, nx = n— 1, n2 = n(m— 1), mamy y = n — 1 i d = n2. W układach trójkątnych, w których v — n(n—\)/2,

, — 2(n — 2), n2 = (n — 2)(n — 3)/2, dostajemy y = n — 5 oraz d = ( n —2)2. Dla układów kwadratu łacińskiego L, z i ograniczeniami z r = .s’2, 2 ^ ^ s, ny = i (s — 1) oraz n2 = {s — i + 1) • (s — 1) wielkość y = s — 2i + 1, a A — s2. Wreszcie dla układów cyklicznych, w których v = 4t+l, ny =

= n2 = 2r, mamy y = 0 oraz A = v.

4.

Uzupełnienia.

4.1. Określimy teraz wektory, wyznaczające kontrasty obiektowe estymo- walne z największą wariancją w rozważanym układzie PBB(2), tak aby wariancja ta nie przekraczała wariancji „najgorzej” estymowalnych kontra- stów w innych układach blokowych z klasy Qvk k . Macierz C postaci (2.4) można (Brzeskwiniewicz, 1977) równoważnie przedtawić jako C = £ jU, X,,

i = 1

gdzie ^ są wartościami własnymi macierzy C, X, są zaś macierzami idempo- tentnymi. Wspomniane wektory scharakteryzujemy przez podanie macierzy X! i X2, przy czym jeśli pd>y = py, to wektory te są kombinacjami liniowymi kolumn (wierszy) macierzy Xl9 a jeśli pd-y — p2, to są one kombinacjami kolumn (wierszy) macierzy X2. Z kolei, jak wynika z prac Bose’go i Mesnera (1959) oraz Brzeskwiniewicza (1977), Xf są kombinacjami liniowymi macierzy partnerów i dla poszczególnych klas układów PBB(2) przedstawiają się następująco:

1° Dla układów grup podzielnych

Xy = \m(n— 1) A0 —mAi )/v, X2 = \(m- 1) A0 + (m - 1) A y - A 2}/v,

przy czym rzędy macierzy Xy i X2 wynoszą odpowiednio

= m(n— 1)

i a2 = m— 1.

2° Dla układów trójkątnych mamy:

Xj = 2 {n{n — 3)/2A0 — n(n — 3)/2(n — 2) A x + n(n — 2) A2}/n(n — 1),

X2 = 2 |(n - 1) A0 + (n -4 ) {n - l)/2 (n - 2) At - 2 (n - 1 )/(n - 2) A2 )/n (n - 1), a i = n{n — 3)/2 oraz a2 = n—1.

3° W układach typu kwadratu łacińskiego, z i ograniczeniami:

Xx = \i{s — 1) A0 + (s — i) Ai — i A2}/s2,

X2 = {(s —i+ l)(s— 1) A0—(s —i+ l)Aj +(i — 1) A2]/

2, aj = i(s — 1) i a2 = ( s -i+ 1)(s — 1),

4° W układach cyklicznych:

X, = |2rA0H l + xA )/2A ,+ (-l + > )/2 A 2<M X2 = |2tA0 + ( - l + N/^)/2A1- ( l + v/»)/2A2}/i)>

ai = a

=

4.2. Podamy teraz, dla poszczególnych klas układów PBB(2), nierówności na i a2 wystarczające na to, aby układ był E-optymalny. Bazować będziemy przy tym:

(a) na znanej nierówności (patrz Kageyama, 1981) udv^ 1 ^ maxrdi, słusznej dla dowolnego układu blokowego;

(b) na tym, że wielkości at w układzie PBB(2) są kombinacjami liniowymi wartości własnych nx i fi2, co w prosty sposób wynika np. z pracy Bose’go i Mesnera (1959), przy czym współczynniki dadzą się łatwo wyliczyć dla poszczególnych klas układów;

(c) na wzorze (3.3) i twierdzeniu 1.

Nierówności te uzależnione będą od wielkości Pr(m), obliczonej według wzoru (3.1) lub gdy m = 1, wzoru (3.2). Wymagana jest przy tym znajomość co najmniej jednego bloku. Chcąc się od tego uwolnić, można ograniczyć się do układów binarnych, spełniających warunek r = rl. Wówczas bowiem

^ rdi = mr, a min rdi = r, niezależnie od rozmieszczenia obiektów w blo- kach.

Przebiegnijmy raz jeszcze poszczególne klasy układów PBB(2), pomijając zdegenerowany przypadek ax = a2:

1° W układach grup podzielnych ax = v~l 1 — +(m— 1)//2J oraz a2 = 2; stąd, dla ax < a 2, jeśli

u-1 1 — mmaxr, + (m— l)Pr(m)] < ax ^ —v~l Pr{m)

oraz a2 = - v ~ l Pr(m),

to układ jest £-optymalny. Gdy ax > a2, wtedy odpowiednie nierówności prowadzą do sprzeczności: ax = a2 = —v~1Pr(m). Stąd też nic nie można powiedzieć o £-optymalności takich układów.

2° W układach trójkątnych

ax = \ - n ( n - 3 ) fi1+ (n -4 )( n -\)n 2}/\n(n-l)(n-2)}

oraz

a2 = 2 \nnx —2(n— l)/i2] /\n(n— l)(n —2)].

Stąd £-optymalny jest układ, w którym ax <a2,

| — n(n — 3)maxri + (n — 4)(n — 1) Pr(m)\/e ^ ax ^ — v~1 Pr(m) oraz

— f P r(m) ^ a2 ^ 2{nmaxri — 2(n— l)P r(m)}/c,

gdzie e = n(n— l)(n — 2). W przypadku ax > a2 dochodzimy do sprzecznych nierówności na ax i a2.

30 W układach typu kwadratu łacińskiego L, mamy ax = s~2 ! ( s - 0 p i- ( s - i + l)p2]

oraz

a2 = s~2

Stąd układ jest £-optymalny, jeżeli ax > a2,

s~2 !(s - 0 Pr(m) - ( s - i + 1 ) max r,-} ^ ax ^ —s~2Pr(m) oraz

— s~2 Pr(m) ^ a2 ^ s~2 \ - i PT(m) + (i — l)maxrf],

nic natomiast nie można powiedzieć o £-optymalności układów, gdy ax <a2.

4° Dla układów cyklicznych

ax = v ~ 1 \ ( - l - ^ v ) m + ( - U - ^ v ) p 2}/2 oraz

a2 = v~i {(-1 + ^ ) / / ! + ( - 1 - ^ ) ^ } / 2- Zatem, gdy ax < a2,

v~l {(— 1 — yjv) max rt + (— 1 + y/v) PT (m) J/2 ^ ax < — v~1 Pr (m) oraz

— v~1 P r{m) ^ a2 < iT 1 {(— 14- yfv)maxr,• + (— 1 — ^fv)P r(m)}/2,

wtedy układ jest £-optymalny. Otwarty jest natomiast‘przypadek ax > a 2.

5. Przykład. Weźmy pod uwagę układ blokowy o macierzy incydencji 1 1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

którego macierz C liczona zgodnie z wzorem (2.1), przyjmie postać C = l A o- i A 1+0A2,

przy czym A0 jest macierzą jednostkową stopnia 10,

0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 > A2 — 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 0 0 0

Łatwo można sprawdzić, że binarne macierze A0, Aj i A2 spełniają wszystkie, wyszczególnione w rozdziale drugim warunki. Stąd N jest macierzą incy- dencji układu PBB(2), przy tym należy on (por. Raghavarao, 1971) do układów trójkątnych z n — 5, v = 10, ni = 6, n2 = 3, y — 0 oraz A = 9.

Zgodnie z twierdzeniem 1 sprawdzamy, czy

(5.1) (a1- a 2) ( - y - v/?)-ł-a1+fl2 = 2 1a0- P r(m)}.

Podstawiając a0 = ■§, a1 = a2 = 0 oraz (por. wzór (3.1)) PM) = 10 14 ^- 2 ⁽ 4 ^— 1 ^{) —} 4 ⁽ 4 ^— 1 ^)}

4 ^- 4-6 ^{4’ 5}

stwierdzamy, że obydwie strony w (5.1) są sobie równe i wynoszą (co jest mniej ważne) Tym samym rozważany układ jest ^-optymalny w klasie układów ^

,

,

.

,

,

,

,

• Oznacza to, że wśród unormowanych kontrastów obiektowych, estymowalnych w poszczególnych układach blokowych z owej klasy z największymi wariancjami najmniejszą wariancję ma kontrast wystę- pujący w rozważanym przez nas układzie blokowym.

Klasa unormowanych, „najgorzej” estymowalnych kontrastów obiekto- wych w interesującym nas układzie blokowym wyznaczona jest (patrz para- graf 4.1) przez unormowane wektory, będące kombinacjami liniowymi ko- lumn (lub wierszy) macierzy

^2 = I A 0+

3 A

A 2.

O £-optymalności rozpatrywanego układu świadczy także, że at (= — i) i a2 (=0) spełniają nierówności:

- I

^ « i ^ ~ ^ : oraz ^ u2 ^ podane w paragrafie 4.2.

Prace cytowane

R. C. Bose, D. M. M esner, On linear associative algebras corresponding to association schems of partially balanced designs, Ann. Math. Statist. 30 (1959), 21 -38.

H. B rzesk w in iew icz , Znajdowanie macierzy partnerów w układzie częściowo zrównoważonym bloków niekompletnych. Siódme Colloquium Metodologiczne z Agro-Biometrii (1977), 418 - 435.

H. B rzesk w in iew icz , On the E-optimality of block designs with unequal block sizes. Raport 10/83 (1983), ZMMiS.

C. S. C heng, On the E-optimality of some block designs, J. Roy Statist. Soc. Ser. B, 42 (1980), 199-204.

G. M. C o n sta n tin e , On the E-optimality of PBiB designs with a small number of blocks, Ann.

Math. Statist. 9 (1982), 893-898.

S. K ageyam a, Some bounds for partially balanced block designs, Ann. Inst. Statist. Math. 33, A (1981), 141-153.

D. R aghavarao, Constructions and Combinatorial Problems in Designs of Experiments, Wiley, New York 1971.