Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodne funkcji elementarnych:
Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi
1. (c)0 = 0 c ∈ R
2. (xα)0 = αxα−1 (α)0 = αα−1· 0 α ∈ R \ {0}
3. (√n
x)0 = 1
nn√ xn−1
√n
0
= 0
nn√
n−1 n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x)0 = cos x (sin )0 = (cos ) · 0
5. (cos x)0 = − sin x (cos )0 = (− sin ) · 0
6. (tg x)0 = cos12x (tg )0 = cos20 x 6= π2 + kπ, k ∈ N 7. (ctg x)0 = −sin12x (ctg )0 = −sin20 x 6= kπ, k ∈ N 8. (ax)0 = ax· ln a (a)0 = a· ln a · 0 a > 0 9. (ex)0 = ex (e)0 = e· 0
10. (ln x)0 = 1x (ln )0 = 0 x > 0 11. (logax)0 = x ln a1 (loga)0 = 0
ln a a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x)0 = √ 1
1−x2 (arcsin )0 = √0
1−2 |x| < 1 13. (arccos x)0 = √−1
1−x2 (arccos )0 = √−0
1−2 |x| < 1 14. (arctg x)0 = 1+x12 (arctg )0 = 1+02
15. (arcctg x)0 = 1+x−12 (arcctg )0 = 1+−02
Podstawowe wzory rachunku ró»niczkowego:
Je±li funkcje f, g : D → R, D ⊂ R s¡ ró»niczkowalne w punkcie x0 ∈ Dto funkcje f +g, f −g, f ·g,fg (o ile g(x0) 6= 0) s¡ ró»niczkowalne w x0 ∈ D oraz zachodz¡ wzory:
1) (f ± g)0(x0) = f0(x0) ± g0(x0);
2) (f · g)0(x0) = f0(x0) · g(x0) + f (x0) · g0(x0);
3) fg0
(x0) = f0(x0)g(xg02)−f (x(x0) 0)g0(x0), o ile g(x0) 6= 0;
4) (g ◦ f)0(x0) = g0 f (x0)f0(x0);
5) f−1(f (x0)) = f0(x10) o ile f0(x0) 6= 0.
Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢
0 · ∞ f · g = f1
g lub f · g = g1
f
0
0 lub ∞∞
∞ − ∞ f − g =
1 g−1f
1 f g
0 0
1∞, ∞0, 00 fg = eg ln f 0 · ∞
Równanie stycznej do wykresu funkcji:
Je±li funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie x0 to istnieje niepionowa styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, y0) postaci:
y − y0 = f0(x0)(x − x0).
K¡t przeci¦cia dwóch funkcji :
Je»eli funkcje f i g posiadaj¡ punkt wspólny (x0, y0) oraz maj¡ w tym punkcie pochodne wªa±ciwe to ostry k¡t φ miedzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie x0 wyra»a si¦ wzorem
φ = arctan
f0(x0) − g0(x0) 1 + f0(x0) · g0(x0)
. W przypadku gdy 1 + f0(x0) · g0(x0) = 0 to styczne te s¡ prostopadªe.
Badanie przebiegu zmienno±ci funkcji (etapy):
1) wyznacz dziedzin¦ funkcji,
2) zbadaj podstawowe wªasno±ci funkcji tj. parzysto±¢, nieparzysto±¢, okresowo±¢, punkty prze- ci¦cia wykresu funkcji z osiami wspóªrz¦dnych,
3) wyznacz asymptoty (pionowe, poziome, uko±ne) oraz oblicz granice na kra«cach przedziaªu okre±lono±ci i w otoczeniu punktów nieci¡gªo±ci (granice jednostronne),
4) zbadaj pierwsz¡ pochodn¡, a) oblicz pochodn¡ funkcji,
b) wyznacz miejsce zerowe-tu mog¡ by¢ ekstrema lokalne funkcji,
c) okre±l znak pochodnej wyznaczamy przedziaªy monotoniczno±ci oraz ekstrema lokalne funkcji,
5) zbadaj drug¡ pochodn¡;
a) wyznacz miejsca zerowe- tu mog¡ by¢ punkty przegi¦cia,
b) okre±l znak drugiej pochodnej-wyznaczamy przedziaªy wkl¦sªo±ci i wypukªo±ci funkcji oraz punkty przegi¦cia funkcji,
6) zbierz otrzymane informacje o funkcji w tabeli 7) sporz¡d¹ wykresu funkcji.
1. Korzystaj¡c z de nicji obliczy¢ pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f(x) = x2; x0 ∈ R, b) f(x) = sin x; x0 ∈ R, d) f(x) = 1−x1 ; x0 6= 1. e) f(x) = 3x−42x−3; x0 = 2, f) f(x) = 2√
x2+ 5 x0 = 2; g) f(x) = 1+sin 2x1−sin 2x x0 = 0.
2. Korzystaj¡c z de nicji pochodnych jednostronnych sprawdzi¢ czy istniej¡ pochodne funkcji:
a) f(x) = |x| w punkcie x0 = 0; b) f(x) = x|x| w punkcie x0 = 0.
3. Korzystaj¡c ze wzorów na pochodn¡ funkcji elementarnych, oblicz:
1) f (x) = 5x23 − 3x52 + 2x−3 2) f (x) = 13x3− 32x4+135 x6 3) f (x) =√5 x3 4) f (x) = (4x2 − 2x√
x)(2x +√
x) 5) f (x) = 3xx3 + x2log5x 6) f (x) = 2x3x+ x2 − 1 7) f (x) = x4
√ x3
√4
x 8) f (x) = sin x+cos x
sin x−cos x 9) f (x) = x22x−3x+12+4
10) f (x) = 2x−13 11) f (x) = ex2+4 12) f (x) = cos 2x 13) f (x) = (5x − x5)10 14) f (x) =√
x2+ 2x − 10 15) f (x) = tg2(3x − 4) 16) f (x) = ln5 3x+4x2+1 17) f (x) = x2cos e3x 18) f (x) = 5sin x
19) f (x) = arctg ln3(x2sin 3x) 20) f (x) = 6√
arctg x 21) f (x) = ln
q1+sin x 1−sin x
22) f (x) = ln arctg e2x 23) f (x) = e−x·√4
x3· sin2x 24) f (x) = log2(e2x+ 1) 4. Dla funkcji danych wzorem f(x) = ln tg x2, g(x) = √5
x3 oblicz f0(x), g0(x)oraz f0(pπ
4), g0(0).
5. Obliczy¢ pochodne :
a) f(x) = xln x b) f(x) = xx2 c) f(x) = 10x−3x d) f(x) = (tg x)cos x e) f(x) = √x
x3− 3x2+ 2 f) f(x) = xln x1 g) f(x) = logxsin2x h) f(x) = log√√xx
xex.
Wskazówka: w podpunktach a)-f) wykorzysta¢ metod¦ pochodnej logarytmicznej, w podpunk- tach g)-h) zamian¦ podstawy logarytmu.
6. Oblicz pochodn¡ a» do 6 rz¦du z funkcji:
a) y = e2x, b) y = x6− 4x3+ 15x2− 16x + 5, c) y = cos x.
7. Oblicz podane granice korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala:
a) lim
x→2 x2−4
x−2 , b) lim
x→0 sin 5x
x , c) lim
x→0 sin 2x
sin 3x, d) lim
x→0 x−sin x
x3 , e) lim
x→+∞
ln x
x , f) lim
x→+∞
x3−2x+1
4x3+2 , g) lim
x→+∞
x4
ex2, h) lim
x→0+
x ln x, i) lim
x→2+(x − 2)ex−21 , j) lim
x→0−(x sin x1 − x12), k) lim
x→1xx−11 , l) lim
x→+∞(x2− e2x) , m) lim
x→0+
tg x · ln x, n) lim
x→0(e2x+ x)1x , o) lim
x→+∞
2
π arctg xx2
p) lim
x→π2−
(tg x)tg 2x 8. Napisz równanie stycznej do wykresu danej funkcji w podanym punkcie:
a) y = x2+ 5x − 1, (x0, y0) = (1, 5), b) y = 3x−42x−3, (x0, y0) = (2, 2), c) y =√
1 + x3, gdy y0 = 3, d) y = 2√
x2+ 5; gdy x0 = 2.
9. Oblicz jaki k¡t tworzy z osi¡ OX styczna do krzywej y = x2− 3x − 6 w x = 1.
10. Obliczy¢ k¡ty, pod jakimi przecinaj¡ si¦ wykresy funkcji:
a) f(x) = x3− x2+ 4x + 1, g(x) = x + 4; b) f(x) = 2x, g(x) = 4x. 11. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno±¢ poni»szych funkcji:
a) f(x) = −x3+ x2− x, b) f(x) = 3x4− 20x3+ 48x2− 48x − 2, c) f(x) = (x+2)x+32,√
12. Okre±l przedziaªy wypukªo±ci i punkty przegi¦cia funkcji:
a) f(x) = 2x3+ 3x2− 4x + 10, b) f(x) = 1+x12, c) f(x) = x2ln x, d) f(x) = arctg1x. 13. Wyznacz ekstrema globalne funkcji na odpowiednich przedziaªach:
a) f(x) = 2x3− 3x2+ 1, x ∈ [0, 10], b) f(x) = 1x + 4x2, x ∈ [14, 1]. 14. Znajd¹ wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji:
a) f(x) = x − 2 arctg x, b) f(x) = x + ln xx . 15. Zbadaj przebieg zmienno±ci funkcji:
a) f(x) = x3+ x2− 16x − 16 b)f(x) = x2x2−42 , c) f(x) = x + 2 arctg x.
16. Korzystaj¡c z ró»niczki funkcji obliczy¢ przybli»one warto±ci podanych funkcji:
a) √3
7.999, b) arctg 1, 005, c) sin 290, e) e0,04, f )√3,981
17. Ilo±¢ populacji pewnej bakterii w czasie od t = 0 do t = 10 jest dana wzorem s(t) = 2t3−3t2+1.
Kiedy ilo±¢ populacji malaªa, kiedy rosªa. Kiedy byªa najmniejsza, a kiedy najwi¦ksza?
18. Napisz wzór Taylora z reszt¡ Lagrange'a dla podanej funkcji, wskazanego punktu x0 i liczby n :
a) f(x) = sin x, x0 = 0, n = 5, b) f(x) = ex, x0 = 0, n = 5,
19. Rozwi« w szereg Taylora funkcj¦ f(x) = x3+ 6x2 − 1w otoczeniu punktu x = 1.
20. Rozwi« w szereg Maclaurina funkcj¦ f(x) = ln(x + 1).
21. Stosuj¡c wzory Maclaurina oblicz liczb¦ e z dokªadno±ci¡ 10−3.
22. Je»eli funkcja f jest dwukrotnie ró»niczkowalna na przedziale (a, b). Ponadto dla x0 ∈ (a, b) zachodz¡ warunki f0(x0) = 0 oraz f00(x0) = −4, wówczas w punkcie x0 mamy:
A) punkt przegi¦cia B) asymptot¦ pionow¡ C) minimum lokalne D) maksimum lokalne 23. Je»eli funkcja f jest trzykrotnie ró»niczkowalna na przedziale (a, b). Ponadto dla x0 ∈ (a, b)
zachodz¡ warunki f0(x0) = f00(0) = 0oraz f000(x0) = 2, wówczas w punkcie x0 mamy:
A) punkt przegi¦cia B) asymptot¦ pionow¡ C) minimum lokalne D) maksimum lokalne 24. Je»eli funkcja f jest czterokrotnie ró»niczkowalna na przedziale (a, b). Ponadto dla x0 ∈ (a, b)
zachodz¡ warunki f0(x0) = f00(x0) = f000(x0) = 0 oraz f(4)(x0) = 3, wówczas w punkcie x0
mamy:
A) punkt przegi¦cia B) asymptot¦ pionow¡ C) minimum lokalne D) maksimum lokalne 25. Pochodna lewostronna funkcji f(x) = |2x − 2| w punkcie x0 = 1 jest równa:
A) −2 B) 0 C) 2 D) nie istnieje
26. Wspóªczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x) = 2xx22−1+1 w punkcie x0 = 0 wynosi:
A) 0 B) −1 C) 12 D) 2
27. Niech f : D → R. Czy w punkcie x0 ∈ D, w którym pochodna funkcji nie istnieje mo»e wyst¦powa¢ ekstremum lokalne?
28. Je»eli funkcja jest dwukrotnie ró»niczkowalna na przedziale (a, b), ponadto f0(x) > 0 oraz f00(x) < 0 dla ka»dego x ∈ (a, b), to funkcja jest w tym przedziale
A) rosn¡ca i wypukªa B) rosn¡ca i wkl¦sªa C) malej¡ca i wypukªa D) malej¡ca i wkl¦sªa 29. Je»eli funkcja jest dwukrotnie ró»niczkowalna na przedziale (a, b), ponadto f0(x) ≤ 0 oraz
f00(x) < 0 dla ka»dego x ∈ (a, b), to funkcja jest w tym przedziale A) rosn¡ca i wy-
pukªa B) nierosn¡ca i wkl¦sªa C) malej¡ca i wypukªa D) niemalej¡ca i wkl¦sªa 30. Niech funkcja f(x) b¦dzie dwukrotnie ró»niczkowalna w punkcie x0, ponadto f0(x0) = 0 oraz
f00(x0) < 0 to funkcja posiada w punkcie x0 : A) minimum lo-
kalne B) maksimum lo-
kalne C) punkt przegi¦-
cia D) odpowiedzi A), B), C) s¡ faªszywe 31. Funkcja f(x) = x2x+1 mo»e mie¢ ekstrema lokalne w punktach
A) -1,0,1 B) 0 C) -1,1 D) odpowiedzi A), B), C) s¡ faªszywe
