MATEMATYKA 3. Anna Zalewska Anna Zalewska MATEMATYKA 3

MATEMATYKA 3

Anna Zalewska

A.Zalewska@mini.pw.edu.pl

14.12.2019

Płat prosty

Zbiór punktów X z przestrzeni R³ nazywamy płatem prostym jeżeli istnieje odwzorowanie f wzajemnie jednoznaczne i ciągłe domkniętego prostokąta na zbiór X .

Równania parametryczne płata prostego:

x = x (u, v ), y = y (u, v ), z = z(u, v ).

Powierzchnia

Zbiór S punktów z R³ nazwiemy powierzchnią, jeśli każdy punkt P ∈ S ma otoczenie V (część wspólna zbioru S i otwartej kuli o środku w P) w zbiorze S , homeomorficzne (homeomorfizm: odwzorowanie różnowartościowe, ‘na’, ciągłe i odwrotne też ciągłe) z podzbiorem otwartym przestrzeni R². Powierzchnia S jest powierzchnią klasy Cⁿ, jeśli każdy jej punkt ma otoczenie V w S , dla którego istnieje przedstawienie parametryczner(u, v) klasy Cⁿ.

Punkty regularne i osobliwe

Punkt P powierzchni odpowiadający parametrom u₀ i v₀ nazywamy punktem regularnym powierzchni, jeśli

ru(u₀, v₀) ×rv(u₀, v₀) 6= 0.

Powierzchnią regularną klasy Cⁿ nazywamy powierzchnię, której wszystkie punkty są punktami regularnymi.

Jeśliru×rv jest nieokreślone w danym punkcie lub równe 0, to P jest osobliwym punktem danego przedstawienia

parametrycznego. Jeśli jest to punkt osobliwy każdego

przedstawienia parametrycznego tej powierzchni, to nazywamy go po prostu punktem osobliwym.

Parametryczne przedstawienie powierzchni

Jeśli hodograf funkcji wektorowejr(u, v) jest powierzchnią S, to funkcjęr(u, v) nazywamy przedstawieniem parametrycznym tej powierzchni.

Parametry u i v noszą nazwę współrzędnych krzywoliniowych (lub współrzędnych Gaussa).

Linie parametryczne u = const i v = const tworzą na powierzchni tzw. siatkę krzywoliniową współrzędnych.

Przykład - powierzchnia obrotowa

Rozważmy płaską krzywą L położoną w płaszczyźnie XOZ i daną równaniami:

x = ϕ(u), y = 0, z = ψ(u)

gdzie u ∈ [a, b], a L ma co najwyżej dwa punkty wspólne z osią OZ , przy czym odpowiadają one parametrom u = a lub u = b.

Powierzchnia obrotowa powstała z obrotu krzywej L dookoła osi OZ dana jest równaniami:

x = ϕ(u) cos v , y = ϕ(u) sin v , z = ψ(u), gdzie u ∈ [a, b], v ∈ [−π, π].

Przykład - powierzchnia obrotowa

Mamy u = const -równoleżnik, v = const - południk.

Płaszczyzna styczna do powierzchni

X − x0 Y − y0 Z − z0

x_u y_u z_u

x_v y_v z_v

= 0 - płaszczyzna styczna To samo w innym zapisie:

(ρ −r) · (r_u×r_v) = 0.

Prosta normalna do powierzchni

m = ru×rv

|ru×rv| - wektor normalny (jednostkowy) Normalną można też zapisać w postaci:

ρ =r + λ(ru×rv)

Przykład

Napisać równania płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni

x = u, y = u²− 2v , z = u³− 3uv w punkcie P(1,3,4).

Punkt P mamy dla u = 1, v = −1 , zatem liczymy

x −1 y −3 z −4

1 2 6

0 −2 −3

= 6x + 3y − 2z − 7 = 0.

Ponadto ru×rv = [1, 2, 6] × [0, −2, −3] = [6,3,−2], stąd równanie normalnej to x −1

6 = y −3

3 = z −4

−2 .

Pierwsza forma kwadratowa

Niechr = r(u, v) będzie równaniem powierzchni regularnej S klasy C¹ i niech L będzie krzywą regularną klasy C¹ położoną na tej powierzchni,r = r(u(t), v(t)).

Wiemy, że długość łuku to:

s =

b

Z

a

d

dtr(u(t), v(t))

dt

Mamy

ds² = E du² + 2F du dv + G dv²,

gdzie E =r²_u, F =ru·rv, G =r²_v (oraz du = u⁰ dt, dv = v⁰ dt).

Jest to pierwsza forma kwadratowa powierzchni.

Przykład

Znaleźć długość łuku krzywej u − v = 0 ograniczonego krzywymi u = 1 oraz u = 2 i położonego na powierzchni r = [u²+ v², u²− v², uv ].

Znajdźmy pierwszą formę kwadratową powierzchni:

ds² = (8u²+ v²) du²+ 2uv du dv + (u²+ 8v²) dv².

Dla naszej krzywej u = v - weźmy u = v = t i podstawmy:

ds² = 20t² dt², stąd s =

Z2

1

√

20t² dt = 3√ 5.

Przykład

Kąt między krzywymi

Rozważmy dwie krzywe regularne L₁, L₂, położone na powierzchni S , przechodzące przez punkt P. Wówczas kąt przecięcia θ tych krzywych w punkcie P wyznaczamy z:

cos θ = dr · δr

|dr| · |δr|,

gdzie dr, δr to wektory kierunkowe stycznych do tych krzywych w punkcie P:

dr = r_udu +r_vdv , δr = r_uδu +r_vδv . Inna postać wzoru:

cos θ = E du δu + F (du δv + dv δu) + G dv δv

√

E du²+ 2F du dv + G dv²·√

E δu²+ 2F δu δv + G δv².

Przykład

Znaleźć kąt θ pod jakim przecinają się krzyweu = v²,v = 1 położone na helikoidzie: r = [u cos(v ), u sin(v ), 2v ].

Odpowiedź: cos θ = 2 3.

Pole powierzchni

P =

ZZ

D

|ru×rv| du dv =

ZZ

D

√

EG − F² du dv

Druga forma kwadratowa

Weźmy wektor jednostkowy t trójścianu Freneta, wektor jednostkowy m = r_u× r_v

|ru× rv|. Określmy l = m × t (Uwaga: m jest wektorem normalnym powierzchni.)

Drugą formą kwadratową powierzchni określamy wyrażenie L du²+ 2M du dv + N dv²,

gdzie L = r_uu· m, M = r_uv · m, N = r_vv · m.

Można też zapisać:

L = 1

W r_ur_vr_uu, M = 1

Wr_ur_vr_uv, N = 1

Wr_ur_vr_vv, gdzie W = |r_u× r_v| =√

EG − F².

Przykład

Znaleźć drugą formę kwadratową powierzchni walca obrotowego

r = [2 cos v , 2 sin v , u].

Mamy r_u = [0, 0, 1], r_v = [−2 sin v , 2 cos v , 0],

r_uv = [0, 0, 0], r_uu = [0, 0, 0], r_vv = [−2 cos v , −2 sin v , 0].

Stąd E = 1, F = 0, G = 4, zaś stąd W = 2.

rurvruu=

0 0 1

−2 sin v 2 cos v 0

0 0 0

= 0, rurvruv=

0 0 1

−2 sin v 2 cos v 0

0 0 0

= 0,

rurvrvv=

0 0 1

−2 sin v 2 cos v 0

−2 cos v −2 sin v 0

= 0 + 0 + (−1)³⁺¹

−2 sin v 2 cos v

−2 cos v −2 sin v

  ^{= 4}

Zatem L = 0, M = 0, N = 1

2· 4 = 2, zaś druga forma kwadratowa powierzchni to 2 dv².

Krzywizny powierzchni

Dwa pierwiastki rzeczywiste κ₁, κ₂ równania kwadratowego (EG − F²)κ²− (EN − 2FM + GL)κ + LN − M² = 0 nazywamy krzywiznami głównymi powierzchni S w danym punkcie.

Iloczyn krzywizn głównych,

K = κ₁· κ₂ = LN − M² EG − F² nazywamy krzywizną Gaussa.

Średnią arytmetyczną krzywizn głównych H = κ₁+ κ₂

2 = EN − 2FM + GL 2(EG − F²)

nazywamy krzywizną średnią powierzchni S w danym punkcie.

Przykład

Znaleźć krzywizny główne, krzywiznę Gaussa i krzywiznę

średnią paraboloidy hiperbolicznej z = 7xy w punkcie P(0, 0, 0).

Mamy r_x = [1, 0, 7y ], r_y = [0, 1, 7x ] , r_xy = [0, 0, 7], r_xx = r_yy = [0, 0, 0]

Przy tym rx[0, 0, 0] = [1, 0, 0], ry[0, 0, 0] = [0, 1, 0].

W punkcie P(0, 0, 0) mamy E = 1, F = 0, G = 1, zatem W = 1.

r_xr_yr_xx =

1 0 7y 0 1 7x 0 0 0

= 0 =⇒ L = 1

W · 0 = 0

r_xr_yr_xy =

1 0 7y 0 1 7x 0 0 7

= 7 =⇒ M = 1

W · 7 = 7

r_xr_yr_yy =

1 0 7y 0 1 7x 0 0 0

= 0 =⇒ N = 1

W · 0 = 0

Przykład

L = 0, M = 7, N = 0 Aby znaleźć krzywiznę należy rozwiązać równanie

(EG − F²)κ²− (EN − 2FM + GL)κ + LN − M² = 0, które przyjmuje postać:

κ²− 7² = 0

Mamy zatem κ₁ = −7, κ₂ = 7

Krzywizna Gaussa K = κ1· κ2 = −7² Krzywizna średnia H = −7 + 7

2 = 0

Linie geodezyjne

Linią geodezyjną nazywamy taką krzywą L na powierzchni S , której krzywizna geodezyjna κ_g = d²r

ds² ·l w każdym punkcie P ∈ L jest równa zeru.

Jej równanie możemy napisać w postaci:

(Eu⁰+ Fv⁰)  1

2E_uu⁰²+ E_vu⁰v⁰+

 F_v−1

2G_u



v⁰²+ Eu⁰⁰+ Fv⁰⁰



(Fu⁰+ Gv⁰)



Fu−1 2Ev



u⁰²+ Guu⁰v⁰+1

2Gvv⁰²+ Fu⁰⁰+ Gv⁰⁰

        

= 0.

Mamy zatem równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego.

Linie geodezyjne

Jeśli siatka parametryczna na powierzchni S jest ortogonalna (tzn. F = 0), to równanie przyjmuje postać:

Eu⁰ Euu⁰²+ 2Evu⁰v⁰− Guv⁰²+ 2Eu⁰⁰
Gv⁰ −Evu⁰²+ 2Guu⁰v⁰+ Gvv⁰²+ 2Gv⁰⁰

= 0.