MATEMATYKA lista zadań nr 3
1. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace’a podanych funkcji:
a) f (t) =
0 t < 0 1 0 ¬ t ¬ 1 0 t > 1
b) f (t) =
0 t < 0 1 0 < t < 2
−1 2 < t < 4 0 t > 4
c) f (t) =
0 t < 0 3 − t 0 ¬ t ¬ 3
0 t > 3
2. Korzystając z podstawowych własności przekształcenia Laplace’a obliczyć transformaty podanych funkcji:
a) sin 4t, b) cos3t, c) t3et, d) e3tsin t, e) η(t − 1)(t − 1)2.
3. Obliczyć transformaty funkcji Kryłowa, występujących jako rozwiązania równania róż- niczkowego y(4) − y = 0, które opisuje drgania swobodne nietłumione, belki o stałym przekroju:
a) S(t) = 1
2(cosh t + cos t) , b) T (t) = 1
2(sinh t + sin t) , c) U (t) = 1
2(cosh t − cos t) , d) V (t) = 1
2(sinh t − sin t) . 4. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Laplace’a mają postać:
a) 1
s2− s − 2, b) 2s
2 − s − s2, c) −1
(s − 2)2, d) 1
(s − 4)3, e) s − 4 (s2− 1)2. 5. Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe:
a) y0+ y = et, y(0) = 12, b) y0− y = t, y(0) = 0, c) y0− 2y = sin t, y(0) = 0.
6. Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe:
a) y00+ y0 = 0, y(0) = 1, y0(0) = 1, b) y00− 4y = 4t, y(0) = 1, y0(0) = 0, c) y00− 3y0 = 6, y(0) = 1, y0(0) = 1, d) y00+ 2y0 + y = et, y(0) = 0, y0(0) = −2.
