MATEMATYKA
lista zadań nr 3
1. Sprawdzić, które z podanych łuków są gładkie, a które kawałkami gładkie. Narysować te łuki.
a) x = −3t, y = 4t, t ∈ (−1, 1), b) x = e−t, y = e2t, t ∈ R, c) x = |t|, y = t, t ∈ R,
d) x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π].
2. Obliczyć podane całki krzywoliniowe po wskazanych łukach
a) RL(x + y) dl, L - brzeg trójkąta o wierzchołkach A = (1, 0), B = (0, 1), C = (0, 0), b) RL xy dl, L - brzeg kwadratu |x| + |y| ¬ 1,
c) RL √
x2+ y2 dl, L - okrąg o równaniu x2+ y2 = 2x,
d) RL xy dl, L - łuk paraboli y2 = 2x zawarty między punktami A = (1,√
2), B = (2, 2).
3. Obliczyć długości łuków
a) x = 2 + 3t, y = −1 + 2t, t ∈ [0, 1], b) x = sin 2t, y = cos 2t, t ∈ [0, π], c) y = cosh x, x ∈ [−1, 1],
d) x =√
1 − y2, y ∈ [−1, 1].
4. Obliczyć masę łuku l : y = ln x, gdzie 1 ¬ x ¬ e, jeżeli gęstość liniowa wyraża się wzorem λ(x, y) = x2.
5. Określić współrzędne środka masy jednorodnego łuku cykloidy
L : x = 2(t − sin t), y = 2(1 − cos t), 0 ¬ t ¬ 2π
6. Obliczyć momemty bezwładności jednorodnego półokręgu o promieniu R.
7* Obliczyć natężenie pola elektrycznego pochodzącego od ładunku o gęstości liniowej λ0 rozło- żonego równomiernie na prostej. Natężenie pola obliczyć w punkcie położonym w odległości d od tej prostej.
