Wyk lad 12

Wyk lad 12

Przestrze´ n afiniczna E ⁿ

1 Przestrze´ n afiniczna

Niech n b edzie dowoln

_,

a liczb

_,

a naturaln

_,

a. Oznaczmy przez E

_, ⁿ

zbi´ or wszystkich ci ag´

_,

ow n- elementowych (a

1

, . . . , a

n

) liczb rzeczywistych. Elementy zbioru E

ⁿ

b edziemy nazywali punk-

_,

tami, za´ s elementy przestrzeni liniowej R

ⁿ

b edziemy nazywali wektorami swobodnymi.

_,

Punktowi a = (a

₁

, . . . , a

_n

) ∈ E

ⁿ

mo˙zna jednoznacznie przyporz adkowa´

_,

c wektor swobodny α = [a

1

, . . . , a

n

]. Ponadto ka˙zdej parze punkt´ ow a, b ∈ E

ⁿ

mo˙zna przyporz adkowa´

_,

c wektor swobodny − →

ab za pomoc a wzoru:

_,

−

→ ab = β − α. (1)

Zatem dla a = (a

1

, . . . , a

n

) i b = (b

1

, . . . , b

n

) mamy, ˙ze

−

→ ab = [b

₁

− a

₁

, . . . , b

_n

− a

_n

]. (2)

St ad dla dowolnych a, b ∈ E

_, ⁿ

: − aa = Θ oraz → − →

ba = − − →

ab. Latwo te˙z zauwa˙zy´ c, ˙ze w´ owczas zachodz a warunki:

_,

(i) dla ka˙zdego punktu p ∈ E

ⁿ

oraz dla ka˙zdego wektora α ∈ R

ⁿ

istnieje dok ladnie jeden punkt q ∈ E

ⁿ

taki, ˙ze

−

→ pq = α,

(ii) (r´ owno´ s´ c tr´ ojk ata) dla dowolnych punkt´

_,

ow p, q, r ∈ E

ⁿ

−

→ pq + − → qr = − → pr.

W ten spos´ ob otrzymujemy tzw. rzeczywist a n-wymiarow

_,

a przestrze´

_,

n afiniczn a wsp´

_,

o l- rz ednych, kt´

_,

or a b

_,

edziemy oznaczali przez E

_, ⁿ

.

Punkt q w (i) nazywamy sum a punktu p i wektora α i oznaczamy przez p + α. Zatem dla

_,

p = (p

₁

, . . . , p

_n

) oraz α = [a

₁

, . . . , a

_n

]

p + α = (p

1

+ a

1

, . . . , p

n

+ a

n

). (3) Sum e punktu p i wektora −α przeciwnego do α b

_,

edziemy oznaczali przez p − α i nazywali

_,

r´ o ˙znic a punktu p i wektora α. Zatem dla p = (p

_{, 1}

, . . . , p

_n

) oraz α = [a

₁

, . . . , a

_n

]

p − α = (p

1

− a

₁

, . . . , p

n

− a

_n

). (4) Okre´ slone wy˙zej poj ecie sumy oraz r´

_,

o˙znicy punktu i wektora swobodnego posiadaj a nst

_,

epuj

_,

ace

_,

w lasno´ sci, dla dowolnych p, q ∈ E

ⁿ

oraz α, β ∈ R

ⁿ

:

1. Prawa skracania r´ owno´ sci:

(a) Je´ sli p + α = q + α, to p = q oraz (b) Je´ sli p + α = p + β, to α = β.

2. (p + α) + β = p + (α + β).

Liczby rzeczywiste a

1

, . . . , a

s

nazywamy uk ladem wag, je˙zeli a

1

+ . . . + a

s

= 1.

Niech p

₁

= (p

₁₁

, p

₁₂

, . . . , p

_1n

), . . . , p

_s

= (p

_s1

, p

_s2

, . . . , p

_sn

) b ed

_,

a punktami przestrzeni E

_, ⁿ

i niech liczby a

1

, . . . , a

s

b ed

_,

a uk ladem wag. W´

_,

owczas ´ srodkiem ci e ˙zko´

_,

sci uk ladu punkt´ ow (p

1

, . . . , p

s

) o wagach (a

1

, . . . , a

s

) nazywamy punkt

a

1

p

1

+ . . . + a

s

p

s

= (a

1

p

11

+ . . . + a

s

p

s1

, . . . , a

1

p

1n

+ . . . + a

s

p

sn

). (5) Latwo wykaza´ c, ˙ze a

₁

p

₁

+ . . . + a

_s

p

_s

jest dok ladnie jednym punktem p ∈ E

ⁿ

takim, ˙ze a

₁

◦ −→ pp

₁

+ . . . + a

_s

◦ −→ pp

_s

= Θ. Rzeczywi´ scie, niech p = (x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

) ∈ E

ⁿ

. Wtedy dla i = 1, 2, . . . , s: a

i

◦ −→ pp

i

= a

i

◦ [p

_i1

− x

₁

, . . . , p

in

− x

_n

] = [a

i

p

i1

− a

_i

x

1

, . . . , a

i

p

in

− a

_i

x

n

]. Zatem dla j = 1, 2, . . . , n, j-ta sk ladowa wektora a

1

◦ −→ pp

1

+ . . . + a

s

◦ −→ pp

s

jest r´ owna

s

X

i=1

a

ij

p

ij

−

s

X

i=1

a

i

x

j

=

s

X

i=1

a

ij

p

ij

− x

_j

·

s

X

i=1

a

i

=

s

X

i=1

a

ij

p

ij

− x

_j

, bo a

1

+ a

2

+ . . . + a

s

= 1. Wobec tego

a

1

◦−→ pp

1

+. . .+a

s

◦−→ pp

s

= Θ wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego j = 1, 2, . . . , n: 0 =

s

X

i=1

a

ij

p

ij

−x

_j

,

tzn. gdy x

j

=

s

X

i=1

a

ij

p

ij

.

Poj ecie ´

_,

srodka ci e˙zko´

_,

sci uk ladu punkt´ ow (p

₁

, . . . , p

_s

) jest odpowiednikiem poj ecia kombina-

_,

cji liniowej wektor´ ow. Jest rzecz a wart

_,

a podkre´

_,

slenia, ˙ze w odr´ o˙znieniu od sytuacji, z kt´ or a

_,

mieli´ smy do czynienia z wektorami, tutaj suma a

₁

p

₁

+ . . . + a

_s

p

_s

jest okre´ slona tylko wtedy, gdy a

₁

+ . . . + a

_s

= 1. W szczeg´ olno´ sci wi ec na og´

_,

o l w przestrzeni afinicznej nie jest okre´ slona ani suma dw´ och punkt´ ow, ani iloczyn punktu przez skalar r´ o˙zny od 1.

Ze wzoru (5) natychmiast wynika, ˙ze punkt p = (x

₁

, . . . , x

_n

) jest ´ srodkiem ci e˙zko´

_,

sci uk ladu punkt´ ow (p

₁

, . . . , p

_s

) przy uk ladzie wag (a

₁

, . . . , a

_s

), gdzie p

_i

= (p

_i1

, p

_i2

, . . . , p

_in

) dla i = 1, 2, . . . , s wtedy i tylko wtedy, gdy w przestrzeni liniowej R

ⁿ⁺¹

wektor [1, x

1

, . . . , x

n

] jest kombinacj a li-

_,

niow a wektor´

_,

ow [1, p

₁₁

, . . . , p

_1n

], [1, p

₂₁

, . . . , p

_2n

], . . . , [p

_s1

, . . . , p

_sn

] o wsp´ o lczynnikach a

₁

, a

₂

, . . . , a

_s

. St ad i z w lasno´

_,

sci kombinacji liniowych wektor´ ow uzyskujemy, ˙ze je˙zeli dla j = 1, . . . , t punkt q

_j

jest ´ srodkiem ci e˙zko´

_,

sci uk ladu punkt´ ow (p

1

, . . . , p

s

) przy wagach (a

j1

, . . . , a

js

) oraz (b

1

, . . . , b

t

) jest uk ladem wag, to (c

1

, . . . , c

s

), gdzie c

i

=

t

X

j=1

b

j

a

ji

dla i = 1, . . . , s, jest uk ladem wag i punkt c

₁

p

₁

+ . . . + c

_s

p

_s

= b

₁

q

₁

+ . . . + b

_t

q

_t

. Mo˙zna wi ec powiedzie´

_,

c, ˙ze wyznaczanie ´ srodka ci e˙zko´

_,

sci uk ladu punkt´ ow jest operacj a l

_,

aczn

_,

a. Informacj

_,

e t

_,

e mo˙zna wykorzysta´

_,

c do udowodnienia wielu twierdze´ n z geometrii np. z planimetrii.

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze dla dowolnego uk ladu wag (a

₁

, . . . , a

_s

) i dla dowolnych p ∈ E

ⁿ

oraz α

₁

, . . . , α

_s

∈ R

ⁿ

zachodzi wz´ or:

a

₁

(p + α

₁

) + a

₂

(p + α

₂

) + . . . + a

_s

(p + α

_s

) = p + (a

₁

◦ α

₁

+ a

₂

◦ α

₂

+ . . . + a

_s

◦ α

_s

). (6)

Przyk lad 12.1. ´ Srodkiem ci e˙zko´

_,

sci uk ladu (p

₁

, p

₂

, p

₃

) punkt´ ow p

₁

= (0, 1, 0), p

₂

= (1, 1, 1),

p

3

= (2, 0, 1) przestrzeni E

³

o wagach (2, −2, 1) jest punkt 2p

1

+ (−2)p

2

+ 1p

3

= (0 − 2 + 2, 2 −

2 + 0, 0 − 2 + 1) = (0, 0, −1). 2

Przyk lad 12.2 Niech (p

1

, . . . , p

s

) b edzie uk ladem punkt´

_,

ow materialnych w przestrzeni E

ⁿ

(gdzie n = 1, 2, 3) o wagach odpowiedni w

₁

, . . . , w

_s

. W´ owczas z kursu fizyki wiadomo, ˙ze

´

srodkiem ci e˙zko´

_,

sci uk ladu (p

1

, . . . , p

s

) jest punkt

^w_w¹

p

1

+ . . . +

^w_w^s

p

s

, gdzie w = w

1

+ . . . + w

s

. 2

2 Podprzestrzenie afiniczne

Niepusty podzbi´ or H przestrzeni afinicznej E

ⁿ

nazywamy podprzestrzeni a afiniczn

_,

a, gdy

_,

dla ka˙zdych dw´ och punkt´ ow p, q ∈ H i dla ka˙zdego a ∈ R ´srodek ci e˙zko´

_,

sci ap + (1 − a)q nale˙zy do H.

Mo˙zna wykaza´ c, ˙ze je˙zeli H jest podprzestrzeni a afiniczn

_,

a przestrzeni E

_, ⁿ

, to ka˙zdy ´ srodek ci e˙zko´

_,

sci dowolnego uk ladu punkt´ ow nale˙z acych do H nale˙zy do H.

_,

Przyk lad 12.3. Niech p ∈ E

ⁿ

. W´ owczas zbi´ or {p} z lo˙zony tylko z jednego punktu jest podprzestrzeni a afiniczn

_,

a przestrzeni E

_, ⁿ

. Rzeczywi´ scie, p = (p

₁

, p

₂

, . . . , p

_n

), wi ec dla dowolnego

_,

a ∈ R mamy, ˙ze ap + (1 − a)p = (ap

1

+ (1 − a)p

1

, ap

2

+ (1 − a)p

2

, . . . , ap

n

+ (1 − a)p

n

) = (p

1

, p

2

, . . . , p

n

) = p. 2

Przyk lad 12.4. Niech p ∈ E

ⁿ

i α ∈ R

ⁿ

\ {Θ}. Wtedy na mocy wzoru (6) zbi´ or {p + t ◦ α : t ∈ R} jest podprzestrzeni a afiniczn

_,

a przestrzeni E

_, ⁿ

. Nazywamy j a prost

_,

a afiniczn

_,

a w postaci

_,

parametrycznej p + t ◦ α.2

Przyk lad 12.5. Niech p ∈ E

ⁿ

i α, β ∈ R

ⁿ

b ed

_,

a wektorami liniowo niezale˙znymi. Wtedy na

_,

mocy wzoru (6) zbi´ or {p + t ◦ α + s ◦ β : t, s ∈ R} jest podprzestrzeni a afiniczn

_,

a przestrzeni E

_, ⁿ

. Nazywamy j a p laszczyzn

_,

a afiniczn

_,

a w postaci parametrycznej p + t ◦ α + s ◦ β.

_,

2

Przyk lad 12.6. Rozwa˙zmy uk lad m-r´ owna´ n liniowych z n-niewiadomymi nad cia lem R:



 

 



 

 



a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

= b

1

a

₂₁

x

₁

+ a

₂₂

x

₂

+ . . . + a

_2n

x

_n

= b

₂

.. . .. . .. . .. . . .. ... .. . .. . .. . a

_m1

x

₁

+ a

_m2

x

₂

+ . . . + a

_mn

x

_n

= b

_m

. (7)

Rozwi azania tego uk ladu mo˙zna w naturalny spos´

_,

ob uto˙zsamia´ c z punktami przestrzeni afi- nicznej E

ⁿ

. Je˙zeli uk lad (7) posiada rozwi azanie, to zbi´

_,

or jego wszystkich rozwi aza´

_,

n jest pod- przestrzeni a afiniczn

_,

a przestrzeni E

_, ⁿ

. Rzeczywi´ scie, niech a ∈ R i niech p = (p

1

, . . . , p

n

) oraz q = (q

1

, . . . , q

n

) b ed

_,

a rozwi

_,

azaniami tego uk ladu. Wtedy

_,

ap + (1 − a)q = (ap

₁

+ (1 − a)q

₁

, . . . , ap

_n

+ (1 − a)q

_n

) oraz dla i = 1, . . . , m: a

_i1

(ap

₁

+ (1 − a)q

₁

) + . . .+a

in

(ap

n

+(1−a)q

n

) = a(a

i1

p

1

+. . .+a

in

p

n

)+(1−a)(a

i1

q

1

+. . .+a

in

q

n

) = ab

i

+(1−a)b

i

= b

i

, czyli ap + (1 − a)q te˙z jest rozwi azaniem uk ladu (7).

_,

2

3 W lasno´ sci podprzestrzeni afinicznych

Twierdzenie 12.7. Niech H b edzie podzbiorem przestrzeni afinicznej E

_, ⁿ

i niech p ∈ H .

W´ owczas nast epuj

_,

ace warunki s

_,

a r´

_,

ownowa˙zne:

(a) H jest podprzestrzeni a afiniczn

_,

a;

_,

(b) istnieje taka podprzestrze´ n liniowa V przestrzeni R

ⁿ

, ˙ze H = p + V , gdzie p + V = {p + α : α ∈ V }.

Dow´ od. (a) ⇒ (b). Niech V = {α ∈ R

ⁿ

: p + α ∈ H}. Wtedy Θ ∈ V , bo p = p + Θ. We´ zmy dowolne α

₁

, α

₂

∈ V i dowolne a ∈ R. Wtedy p+α

1

, p+α

₂

∈ H, wi ec a(p+α

_{, 1}

)+(1−a)(p+Θ) ∈ H, sk ad na mocy wzoru (6), p + a ◦ α

_, 1

∈ H, a zatem a ◦ α

₁

∈. Ponadto (1, 1, −1) jest uk ladem wag, wi ec 1(p + α

_{, 1}

) + 1(p + α

₂

) + (−1)(p + Θ) ∈ H i na mocy wzoru (6), p + (α

₁

+ α

₂

) ∈ H, sk ad α

_{, 1}

+ α

₂

∈ V . Zatem V jest podprzestrzeni a przestrzeni liniowej R

_, ⁿ

. Wprost z okre´ slenia V mamy, ˙ze p + V ⊆ H. Ponadto dla ka˙zdego q ∈ H mamy, ˙ze q = p + − → pq, wi ec H ⊆ p + V i

_,

ostatecznie H = p + V .

(b) ⇒ (a). Dla dowolnych q

₁

, q

₂

∈ H i dowolnego a ∈ R istniej a wektory α

_{, 1}

, α

₂

∈ V takie, ˙ze q

1

= p + α

1

i q

2

= p + α

2

. Zatem ze wzoru (6), aq

1

+ (1 − a)q

2

= p + (a ◦ α

1

+ (1 − a) ◦ α

2

) ∈ H, bo a ◦ α

₁

+ (1 − a) ◦ α

₂

∈ V , gdy˙z V jest podprzestrzeni a przestrzeni liniowej R

_, ⁿ

. 2

Uwaga 12.8. Podprzestrze´ n liniowa V z (b) jest wyznaczona jednoznacznie przez podprze- strze´ n afiniczn a H. Oznaczamy j

_,

a przez S(H). Latwo wykaza´

_,

c, ˙ze dla ka˙zdego p ∈ H jest S(H) = {− → pq : q ∈ H}. Wymiarem podprzestrzeni afinicznej H nazywamy wymiar podprze- strzeni liniowej S(H). Zatem prosta afiniczna jest podprzestrzeni a afiniczn

_,

a wymiaru 1, za´

_,

s p laszczyzna afiniczna jest podprzestrzeni a afiniczn

_,

a wymiaru 2.

_,

Przyk lad 12.9. Niech H b edzie niepustym zbiorem rozwi

_,

aza´

_,

n uk ladu r´ owna´ n nad cia lem

R: 

 

 



 

 



a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

= b

1

a

₂₁

x

₁

+ a

₂₂

x

₂

+ . . . + a

_2n

x

_n

= b

₂

.. . .. . .. . .. . . .. ... .. . .. . .. . a

_m1

x

₁

+ a

_m2

x

₂

+ . . . + a

_mn

x

_n

= b

_m

. (8)

Wtedy S(H) jest zbiorem wszystkich rozwi aza´

_,

n uk ladu jednorodnego



 

 



 

 



a

₁₁

x

₁

+ a

₁₂

x

₂

+ . . . + a

_1n

x

_n

= 0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

= 0 .. . .. . .. . .. . . .. ... .. . .. . .. . a

_m1

x

₁

+ a

_m2

x

₂

+ . . . + a

_mn

x

_n

= 0

. (9)

W szczeg´ olno´ sci, je˙zeli p = (p

1

, . . . , p

n

) jest jakimkolwiek rozwi azaniem uk ladu (1), to ka˙zde

_,

rozwi azanie uk ladu (1) ma posta´

_,

c: p + α, gdzie α = [a

₁

, . . . , a

_n

] jest rozwi azaniem uk ladu

_,

jednorodnego (2). 2

Twierdzenie 12.10. Ka˙zda podprzestrze´ n afiniczna H wymiaru k przestrzeni afinicznej E

ⁿ

jest zbiorem rozwi aza´

_,

n uk ladu n−k, ale nie mniejszej liczby r´ owna´ n liniowych z n-niewiadomymi nad cia lem R.

Przyk lad 12.11. Znajdziemy uk lad r´ owna´ n, kt´ orego rozwi azania tworz

_,

a prost

_,

a o postaci

_,

parametrycznej (1, 1, 1) + t ◦ [1, 2, 3]. W tym celu znajdujemy najpierw uk lad jednorodny,

kt´ orego przestrze´ n rozwi aza´

_,

n jest generowana przez wektor [1, 2, 3]. Uzupe lniamy ten wektor

do bazy przestrzeni R

³

wektorami [0, 1, 0] i [0, 0, 1] z bazy kanonicznej. Nast epnie wyznaczamy

_,

przekszta lcenie liniowe f : R

³

→ R

²

takie, ˙ze f ([1, 2, 3]) = [0, 0], f ([0, 1, 0]) = [1, 0] i f ([0, 0, 1]) = [0, 1]. Ale

f ([1, 0, 0]) = f ([1, 2, 3]) − 2 ◦ f ([0, 1, 0]) − 3 ◦ f ([0, 0, 1]) = [0, 0] − [2, 0] − [0, 3] = [−2, −3], wi ec

_,

f ([x

₁

, x

₂

, x

₃

]) = x

₁

◦f ([1, 0, 0])+x

₂

◦f ([0, 1, 0])+x

₃

◦f ([0, 0, 1]) = [−2x

₁

, −3x

₁

]+[x

₂

, 0]+[0, x

₃

] = [−2x

1

+ x

2

, −3x

1

+ x

3

]. Poniewa˙z szukan a podprzestrzeni

_,

a liniow

_,

a jest j

_,

adro f , wi

_,

ec uk lad

_,

jednorodny ma posta´ c:

( −2x

₁

+ x

₂

= 0

−3x

₁

+ x

₃

= 0 .

Aby znale´ z´ c uk lad niejednorodny nale˙zy tylko wyznaczy´ c wyrazy wolne. W tym celu w r´ ownaniach uk ladu podstawiamy x

1

= 1, x

2

= 1, x

3

= 1 i uzyskujemy szukany uk lad:

( −2x

₁

+ x

2

= −1

−3x

₁

+ x

₃

= −2 .2

Twierdzenie 12.12. Cz e´

_,

s´ c wsp´ olna dowolnej niepustej rodziny podprzestrzeni afinicznych przestrzeni afinicznej E

ⁿ

jest albo zbiorem pustym albo podprzestrzeni a afiniczn

_,

a.

_,

Podprzestrzenie przestrzeni wektorowej R

ⁿ

wymiaru n − 1 nazywamy hiperp laszczyznami liniowymi; s a one dok ladnie zbiorem rozwi

_,

aza´

_,

n r´ ownania postaci:

a

1

x

1

+ a

2

x

2

+ . . . + a

n

x

n

= 0, (10) w kt´ orym co najmniej jedna z liczb a

i

jest r´ o˙zna od 0.

Podprzestrzenie afiniczne przestrzeni E

ⁿ

wymiaru n − 1 nazywamy hiperp laszczyznami afinicznymi: s a one dok ladnie zbiorem rozwi

_,

aza´

_,

n r´ ownania postaci:

a

₁

x

₁

+ a

₂

x

₂

+ . . . + a

_n

x

_n

= b, (11) w kt´ orym co najmniej jedna z liczb a

_i

jest r´ o˙zna od 0.

Z twierdzenia 12.10 mamy zatem natychmiast nast epuj

_,

ace

_,

Twierdzenie 12.13. Ka˙zda podprzestrze´ n afiniczna wymiaru k przestrzeni E

ⁿ

jest cz e´

_,

sci a

_,

wsp´ oln a n − k, ale nie mniejszej liczby hiperp laszczyzn afinicznych.

_,

Twierdzenie 12.14. Niech (p

1

, . . . , p

s

) b edzie uk ladem punkt´

_,

ow przestrzeni E

ⁿ

. W´ owczas zbi´ or af (p

₁

, . . . , p

_s

) wszystkich ´ srodk´ ow ci e˙zko´

_,

sci tego uk ladu jest podprzestrzeni a afiniczn

_,

a

_,

przestrzeni E

ⁿ

. Podprzestrze´ n ta jest najmniejsz a podprzestrzeni

_,

a afiniczn

_,

a zawieraj

_,

ac

_,

a wszyst-

_,

kie punkty p

1

, . . . , p

s

. Ponadto S(af (p

1

, . . . , p

s

)) = L(−−→ p

1

p

2

, −−→ p

1

p

3

, . . . , −−→ p

1

p

s

) = V oraz af (p

₁

, . . . , p

_s

) = p

₁

+ V .

Przyk lad 12.15. Dla dowolnych dw´ och r´ o˙znych punkt´ ow p

₁

= (x

₁

, . . . , x

_n

), p

₂

= (y

₁

, . . . , y

_n

) przestrzeni E

ⁿ

mamy, ˙ze af (p

1

, p

2

) jest prost a afiniczn

_,

a przechodz

_,

ac

_,

a przez te punkty. Jej

_,

przedstawienie parametryczne ma posta´ c:

(x

₁

, . . . , x

_n

) + t ◦ [y

₁

− x

₁

, . . . , y

_n

− x

_n

]. 2 (12) Twierdzenie 12.16. Niech p = (x

₁

, . . . , x

_n

), p

₁

= (x

₁₁

, . . . , x

_1n

),..., p

_s

= (x

_s1

, . . . , x

_sn

) b ed

_,

a

_,

punktami przestrzeni E

ⁿ

. W´ owczas p ∈ af (p

₁

, . . . , p

_s

) wtedy, i tylko wtedy, gdy [1, x

1

, . . . , x

n

] ∈ L([1, p

11

, . . . , p

1n

], . . . , [1, p

s1

, . . . , p

sn

]).

Przyk lad 12.17. Sprawdzimy, czy punkt (0, 1, 1) nale˙zy do podprzestrzeni afinicznej H = af ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) przestrzeni E

³

. Mamy, ˙ze V = L([1, 1, 0, 0], [1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1]) = L([1, 1, 0, 0], [0, −1, 1, 0], [0, −1, 0, 1]) = L([1, 1, 0, 0], [0, −1, 1, 0], [0, 0, −1, 1]). Ponadto wektory [1, 1, 0, 0], [0, −1, 1, 0], [0, 0, −1, 1] s a liniowo niezale˙zne, wi

_,

ec z twierdzenia 8.16, [1, 0, 1, 1] ∈ V

_,

wtedy i tylko wtedy, gdy wektory [1, 0, 1, 1], [1, 1, 0, 0], [0, −1, 1, 0], [0, 0, −1, 1] s a liniowo zale˙zne.

_,

Ale wykonuj ac operacje elementarne na tych wektorach mo˙zemy si

_,

e latwo przekona´

_,

c, ˙ze te wektory nie s a liniowo zale˙zne. Zatem z twierdzenia 12.16 mamy, ˙ze punkt (0, 1, 1) nie nale˙zy

_,

do H. 2

4 Zadania do samodzielnego rozwi azania

_,

Zadanie 12.18. Znajd´ z ´ srodek ci e˙zko´

_,

sci uk ladu (p

1

, p

2

, p

3

) punkt´ ow p

1

= (1, −1, 2), p

2

= (−1, 1, 3), p

₃

= (2, 5, 1) przestrzeni E

³

o wagach (3, −4, 2).

Odp. (11, 3, −4).

Zadanie 12.19. Udowodnij, ˙ze w przestrzeni E

³

: (x

1

, x

2

, x

3

) ∈ af ((1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)) ⇔ x

3

= 1.

Zadanie 12.20. W przestrzeni E

³

znajd´ z r´ ownanie liniowe hiperp laszczyzny afinicznej af ((1, −1, 2), (−1, 1, 3), (2, 5, 1)).

Odp. 8x

1

+ x

2

+ 14x

3

= 35.

Zadanie 12.21. Uzasadnij, ˙ze w przestrzeni E

³

:

af ((1, 1, 1), (0, 1, 2)) ∩ af ((1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 1, 2)) = {(1, 1, 1)}.

Zadanie 12.22. Uzasadnij, ˙ze w przestrzeni E

³

punkt (0, 0, 0) jest ´ srodkiem ci e˙zko´

_,

sci uk ladu punkt´ ow {(1, 0, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

Odp. Uk lad wag:

¹₂

, −

¹₂

,

¹₂

,

¹₂

.

Zadanie 12.23. W przestrzeni E

⁵

znajd´ z punkt wsp´ olny prostych afinicznych

af ((2, 1, 1, 3, −3), (2, 3, 1, 1, −1)) i af ((1, 1, 2, 1, 2), (1, 2, 1, 0, 1)).

Odp. (−2, −5, −1, 1, −1).

Zadanie 12.24. Znajd´ z uk lad r´ owna´ n liniowych, kt´ orego przestrzeni a rozwi

_,

aza´

_,

n jest prosta (1, −1, 3) + t ◦ [0, 5, 7].

Odp. R´ ownania uk ladu: x

1

= 1, 5x

3

− 7x

₂

= 22.

Zadanie 12.25. Znajd´ z uk lad r´ owna´ n liniowych, kt´ orego przestrzeni a rozwi

_,

aza´

_,

n jest af ((1, 2, 3, 4), (2, −1, 3, 1), (6, −4, 2, 2)).

Odp. R´ ownania uk ladu: 3x

₁

+ x

₂

+ 9x

₃

= 32, 12x

₁

+ 13x

₂

− 9x

₄

= 2.