Wyk lad 13

Wyk lad 13

Wa ˙zne podzbiory E ⁿ

1 Zbiory wypuk le

Niech p i q b ed

a punktami przestrzeni afinicznej E

. Odcinkiem o ko´ ncach p, q nazywamy zbi´ or conv(p, q) wszystkich ´ srodk´ ow ci e˙zko´

sci uk ladu (p, q) o nieujemnych wagach. Z tego okre´ slenia mamy od razu nast epuj

ace

Twierdzenie 13.1. Dla dowolnych punkt´ ow p, q przestrzeni afinicznej E

mamy, ˙ze conv(p, q) ⊆ af (p, q). Ponadto odcinek conv(p, q) sk lada si e z tych, i tylko tych, punkt´

ow postaci p + u ◦ − → pq, ˙ze u ∈ h0, 1i. W szczeg´ olno´ sci, je˙zeli p = (a

, . . . , a

) oraz q = (b

, . . . , b

), to conv(p, q) jest zbiorem punkt´ ow postaci ((1 − u)a

+ ub

, . . . , (1 − u)a

+ ub

), u ∈ h0, 1i.

Przyk lad 13.2. Je˙zeli p, q ∈ E

oraz p = (a) i q = (b), to dla a < b odcinek conv(p, q) jest zwyk lym przedzia lem domkni etym ha, bi.

2

Podzbi´ or A przestrzeni afinicznej E

nazywamy wypuk lym, gdy jest spe lniony warunek:

je´ sli p, q ∈ A, to conv(p, q) ⊆ A. (1)

Z definicji tej wynika od razu, ˙ze cz e´

s´ c wsp´ olna dowolnej rodziny podzbior´ ow wypuk lych jest te˙z podzbiorem wypuk lym.

Przyk lad 13.3. Na mocy twierdzenia 13.1 ka˙zda podprzestrze´ n afiniczna jest podzbiorem wypuk lym. 2

Przyk lad 13.4. Odcinek o ko´ ncach p, q ∈ E

jest podzbiorem wypuk lym. Wszystkimi podzbiorami wypuk lymi prostej E

s a zbi´

or pusty i dowolny przedzia l.2

Twierdzenie 13.5. Je˙zeli A jest podzbiorem wypuk lym przestrzeni afinicznej E

oraz p

, . . . , p

∈ A, to ka˙zdy ´srodek ci e˙zko´

sci uk ladu (p

, . . . , p

) o nieujemnych wagach nale˙zy do zbioru A.

Dow´ od. Indukcja wzgl edem k ≥ 2. Dla k = 2 teza wynika od razu z definicji zbioru

wypuk lego. Niech teraz k ≥ 2 b edzie tak

a liczb

a naturaln

a, ˙ze dla dowolnych q

, . . . , q

∈ A ka˙zdy ´ srodek ci e˙zko´

sci uk ladu (q

, . . . , q

) o nieujemnych wagach nale˙zy do zbioru A. We´ zmy dowolne p

, . . . , p

, p

∈ A oraz dowolny uk lad wag nieujemnych (a

, . . . , a

, a

). Wtedy a

+ . . . + a

+ a

= 1, wi ec istnieje i = 1, . . . , k + 1 takie, ˙ze a

6= 1. Bez zmniejszania og´ olno´ sci rozwa˙za´ n mo˙zemy za lo˙zy´ c, ˙ze i = k + 1, tzn. a

6= 1. St ad a = a

+ . . . + a

> 0 i wobec tego (

, . . . ,

) jest uk ladem wag nieujemnych. Zatem z za lo˙zenia indukcyjnego q =

p

+ . . . +

p

∈ A. St ad i z wypuk lo´

sci zbioru A, aq + a

p

∈ A, bo a + a

= 1 oraz a > 0 i a

≥ 0. Ale z wyk ladu 12a wiemy, ˙ze a

p

+. . .+a

p

+a

p

= aq +a

p

, wi ec a

p

+ . . . + a

p

+ a

p

∈ A i teza zachodzi dla liczby k + 1. Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej teza zachodzi dla dowolnego naturalnego k ≥ 2. 2

1

Z wiadomo´ sci podanych na wyk ladzie 12a latwo wyprowadzi´ c nast epuj

ace twierdzenie:

Twierdzenie 13.6. Niech B b edzie podzbiorem przestrzeni afinicznej E

. Niech conv(B) b edzie zbiorem wszystkich ´

srodk´ ow ci e˙zko´

sci wszystkich mo˙zliwych uk lad´ ow punkt´ ow ze zbioru B o nieujemnych wagach. W´ owczas conv(B) jest zbiorem wypuk lym; jest to najmniejszy zbi´ or wypuk ly zawieraj acy zbi´

or B.

Przyk lad 13.7. Niech a = (a

, . . . , a

) ∈ E

, przy czym a

6= 0 dla pewnego i = 1, . . . , n i niech b ∈ R. W´owczas podzbiory: H

(a, b) = {(x

, . . . , x

) : a

x

+. . .+a

x

≥ b} i H

(a, b) = {(x

, . . . , x

) : a

x

+ . . . + a

x

≤ b} s a wypuk le. Nazywamy je p´

o lprzestrzeniami do- mkni etymi wyznaczonymi przez hiperp laszczyzn

e H = {(x

, . . . , x

) : a

x

+ . . . + a

x

= b}. 2

Cz e´

s´ c wsp´ oln a dowolnej sko´

nczonej rodziny p´ o lprzestrzeni po lo˙zonych w tej samej przestrzeni afinicznej nazywamy zbiorem wypuk lym wielo´ sciennym.

Przyk lad 13.8. Uk ladem m nier´ owno´ sci liniowych o niewiadomych x

, . . . , x

nazy- wamy ka˙zdy uk lad nier´ owno´ sci postaci



 

 



 

 



a

x

+ a

x

+ . . . + a

x

≥ b

a

x

+ a

x

+ . . . + a

x

≥ b

.. . .. . .. . .. . . .. ... .. . .. . .. . a

x

= a

x

+ . . . + a

x

≥ b

, (2)

gdzie a

∈ R, b

∈ R dla i = 1, . . . , m oraz j = 1, . . . , n. Uk lad ten nazywamy jednorodnym, gdy b

= b

= . . . = b

= 0. Macierz [a

]

je1,...,n

nazywamy macierz a uk ladu (2).

Rozwi azaniem tego uk ladu nazywamy ka˙zdy taki punkt a = (a

, . . . , a

) ∈ E

, ˙ze a

a

+ a

a

+ . . . + a

a

≥ b

dla ka˙zdego i = 1, . . . , m. B edziemy m´

owili, ˙ze rozwi azanie to jest

nieujemne, gdy a

≥ 0 dla i = 1, . . . , n. Je˙zeli uk lad (2) posiada rozwi azanie, to zbi´

or wszystkich rozwi aza´

n (a tak˙ze wszystkich rozwi aza´

n nieujemnych) tego uk ladu jest zbiorem wypuk lym wielo´ sciennym. Ponadto ka˙zdy zbi´ or wielo´ scienny po lo˙zony w przestrzeni E

jest opisany przez pewien sko´ nczony uk lad nier´ owno´ sci liniowych o n niewiadomych. 2

Przyk lad 13.9. Niepusty podzbi´ or A ⊆ E

nazywamy sto ˙zkiem wypuk lym, gdy

(a) je´ sli (a

, . . . , a

) ∈ A, to dla ka˙zdej nieujemnej liczby rzeczywistej u, (ua

, . . . , ua

) ∈ A, (b) je´ sli (a

, . . . , a

), (b

, . . . , b

) ∈ A, to (a

+ b

, . . . , a

+ b

) ∈ A.

Z warunk´ ow (a) i (b) wynika, ˙ze ka˙zdy sto˙zek wypuk ly jest zbiorem wypuk lym. Przyk ladami sto˙zk´ ow wypuk lych s a p´

o lprzestrzenie: H

(a, 0) i H

(a, 0), zbiory wszystkich punkt´ ow postaci (ua

, . . . , ua

), gdzie u przebiega wszystkie nieujemne liczby rzeczywiste, za´ s a = (a

, . . . , a

) jest ustalonym punktem przestrzeni E

. 2

2 Uk lady punkt´ ow w przestrzeniach afinicznych

Niech (p

, . . . , p

) b edzie dowolnym uk ladem punkt´

ow przestrzeni afinicznej E

. M´ owimy, ˙ze jest to uk lad punkt´ ow w po lo ˙zeniu szczeg´ olnym, gdy pewien z punkt´ ow tego uk ladu jest

2

´

srodkiem ci e˙zko´

sci uk ladu utworzonego z pozosta lych punkt´ ow. Stwierdzamy, ˙ze ten uk lad jest w po lo ˙zeniu og´ olnym, gdy nie jest on w po lo˙zeniu szczeg´ olnym.

Mo˙zna wykaza´ c, ˙ze uk lad (p

, . . . , p

) jest w po lo˙zeniu og´ olnym wtedy, i tylko wtedy, gdy wektory −−→ p

p

, . . . , −−→ p

p

s a liniowo niezale˙zne.

Przyk lad 13.10. Niech p

= (0, . . . , 0), p

= (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , p

= (0, 0, . . . , 1) ∈ E

. W´ owczas uk lad (p

, p

, . . . , p

) jest w po lo˙zeniu og´ olnym. W przestrzeni E

nie istnieje uk lad w po lo˙zeniu og´ olnym z lo˙zony z co najmniej n + 2 punkt´ ow . 2

Przyk lad 13.11. Niech (p

, . . . , p

) b edzie uk ladem k punkt´

ow przestrzeni E

w po lo˙zeniu og´ olnym. Zbi´ or wypuk ly conv(p

, . . . , p

) nazywamy k − 1-wymiarowym sympleksem roz- pi etym na punktach p

, . . . , p

.

Wszystkimi zerowymiarowymi sympleksami przestrzeni E

s a jej podzbiory jednoelementowe.

Wszystkimi jednowymiarowymi sympleksami przestrzeni E

s a odcinki conv(p, q), takie ˙ze

p 6= q.

Wszystkimi dwuwymiarowymi sympleksami przestrzeni E

(dla n ≥ 2) s a zbiory postaci

conv(p

, p

, p

), gdzie punkty p

, p

, p

nie le˙z a na jednej prostej. Nazywamy je tr´

ojk atami.

Wszystkimi tr´ ojwymiarowymi sympleksami przestrzeni E

(dla n ≥ 3) s a zbiory postaci

conv(p

, p

, p

, p

), gdzie punkty p

, p

, p

, p

nie le˙z a na jednej p laszczy´

znie. Nazywamy je czworo´ scianami. 2

Przyk lad 13.12. Niech p

b edzie dowolnym punktem przestrzeni afinicznej E

i niech α

,...,α

b ed

a wektorami liniowo niezale˙znymi przestrzeni R

. Zbi´ or wszystkich punkt´ ow po- staci p

+ u

◦ α

+ . . . + u

◦ α

, gdzie 0 ≤ u

≤ 1 dla i = 1, . . . , k, nazywamy k-wymiarowym r´ ownoleg lo´ scianem rozpi etym na wektorach α

, . . . , α

zaczepionych w punkcie p

. Ka˙zdy r´ ownoleg lo´ scian jest zbiorem wypuk lym. Mo˙zna wykaza´ c, ˙ze dla ka˙zdego sko´ nczonego uk ladu punkt´ ow (p

, . . . , p

), gdzie s > 1 oraz p

6= p

dla pewnych i 6= j w przestrzeni E

zbi´ or conv(p

, . . . , p

) jest wielo´ scianem. 2

Niech A b edzie wypuk lym podzbiorem przestrzeni afinicznej E

. Punkt p ∈ A nazywamy wierzcho lkiem (lub punktem ekstremalnym) zbioru A, gdy spe lniony jest nast epuj

acy

warunek: je´ sli q, r ∈ A i p ∈ conv(q, r), to p = q lub p = r.

Przyk lad 13.13. Niech (p

, p

, . . . , p

) b edzie uk ladem punkt´

ow przestrzeni E

w po lo˙zeniu og´ olnym. W´ owczas wierzcho lkami sympleksu conv(p

, . . . , p

) s a jedynie punkty p

, p

, . . . , p

. 2

Przyk lad 13.14. Niech A b edzie r´

ownoleg lo´ scianem rozpi etym na wektorach α

, . . . , α

zaczepionych w punkcie p

. Wierzcho lkami zbioru A s a jedynie punkty, kt´

ore mo˙zna przedstawi´ c w postaci p

+ P

i=1

e

◦ α

, gdzie e

= 0 lub e

= 1 dla i = 1, . . . , k. Zatem zbi´ or A posiada dok ladnie 2

wierzcho lk´ ow. 2

Przyk lad 13.15. Niech L ⊆ E

b edzie prost

a o przedstawieniu parametrycznym (0, 0) + t ◦

[1, 1]. Zbadamy czy punkty (1, 0), (3, 1) nale˙z a do zbioru A = conv({(2, 0)} ∪ L). Elementy

zbioru A maj a posta´

c: (1 − u)(2, 0) + u(t, t) = (2 · (1 − u) + u · t, u · t) dla u ∈ h0, 1i oraz t ∈ R.

3

Oznaczmy x = 2(1 − u) + ut, y = ut. Zatem dla u = 0: x = 2 i y = 0, za´ s dla 0 < u ≤ 1, x jest dowoln a liczb

a rzeczywist

a oraz y = x − 2(1 − u) i liczby 2(1 − u) przebiegaj

a przedzia l h0, 2).

Wynika st ad, ˙ze A = {(x, x − s) : x ∈ R, s ∈ h0, 2)} ∪ {(2, 0)}. Zatem (1, 0) ∈ A (x = s = 1)

oraz (3, 1) nie nale˙zy do A (bo s < 2). 2

3 Zadania do samodzielnego rozwi azania

Zadanie 13.16. Czy punkty (1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 2), (0, 1, 1, 1) ∈ E

s a w po lo˙zeniu szczeg´

olnym?

Odp. Nie.

Zadanie 13.17. Udowodnij, ˙ze odcinek o ko´ ncach p, q ∈ E

jest zbiorem wypuk lym.

Zadanie 13.18. Czy punkt p = (1, 4, −9) nale˙zy do conv(a, b), gdzie a = (2, 1, −1) i b = (3, −2, 7)?

Odp. Nie.

Zadanie 13.19. Niech L ⊆ E

b edzie prost

a o przedstawieniu parametrycznym (2, 3) + t ◦

[3, −1]. Czy punkt (1, 1) nale˙zy do zbioru A = conv({(3, 1)} ∪ L)? A punkt (4, 1)?

Odp. (1, 1) 6∈ A, za´ s (4, 1) ∈ A.

Zadanie 13.20. Czy A = {(u(3t − 1) + 3, u(2 − t) + 1) : u ∈ h0, 1i, t ∈ R} jest wypuk lym podzbiorem przestrzeni E

?

Odp. Tak.

Zadanie 13.21. Czy punkty (1, 0, 4) i (2, 2, 2) nale˙z a do tej samej p´

o lprzestrzeni przestrzeni E

wyznaczonej przez hiperp laszczyzn e af ((−2, 0, 1), (−5, 2, 1), (−7, 0, 3))?

Odp. Tak.

Zadanie 13.22. Czy punkt (1, 4) nale˙zy do tr´ ojk ata A = conv(a, b, c), gdzie a = (1, 7),

b = (−2, 1), c = (4, −2)? A punkt (2, 7)?

Odp. (1, 4) ∈ A, za´ s (2, 7) 6∈ A.

4