Przyk lad 1

Repetytorium z matematyki elementarnej

Anna Szczepkowska October 17, 2019

1 Mini repetytorium z logiki i teorii mnogo´sci

1.1 Zdanie w logice

Zdanie w logice

Definicja 1. Zdaniem (w sensie logicznym) nazywamy stwierdzenie, kt´oremu mo˙zna (na gruncie pewnej wiedzy, teorii) przypisa´c w spos´ob jednoznaczny jedn¸a z dw´och ocen: prawda lub fa lsz.

Przyk lad 1.

1. 4 jest liczb¸a pierwsz¸a. Zdanie fa lszywe.

2. 2 jest r´owne 3. Zdanie fa lszywe.

3. Niech x b¸edzie liczb¸a ca lkowit¸a. Nie jest to zdanie.

4. Wszystkie liczby pierwsze s¸a liczbami parzystymi. Zdanie fa lszywe.

5. 2⁴⁰⁰+ 1 jest wielk¸a liczb¸a. Nie jest to zdanie.

6. Liczby pierwsze istniej¸a. Zdanie prawdziwe.

7. Podstaw do wzoru liczb¸e naturaln¸a i oblicz! Nie jest to zdanie.

8. To zdanie jest prawdziwe. Nie jest to zdanie.

9. Wszystkie k¸aty wewn¸etrzne tr´ojk¸ata r´ownobocznego maj¸a miar¸a 60^◦. Zdanie prawdziwe.

1.2 Podstawowe operacje na zdaniach

Podstawowe operacje na zdaniach

Zdania mo˙zna l¸aczy´c w struktury bardziej z lo˙zone stosuj¸ac tzw. sp´ojniki logiczne, do kt´orych nale˙z¸a:

• nie (¬),

• lub (∨),

• i (∧),

• implikuje (⇒),

• jest r´ownowa˙zne (⇔).

Niech p i q b¸ed¸a zdaniami. Poni˙zej przedstawiamy tzw. tablic¸e prawdy dla podstawowych operacji logicznych:

p q ¬p p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q

P P F P P P P

P F F F P F F

F P P F P P F

F F P F F P P

Przyk lad 2. Rozwa˙zmy zdania p i q nast¸epuj¸acej tre´sci p: 2|5 (czyt. ”2 dzieli 5”), q: 2|6 (czyt. ”2 dzieli 6”) Zdanie p jest fa lszywe, zdanie q prawdziwe.

Ponadto, pos luguj¸ac si¸e tablic¸a orzekamy, ˙ze p ∧ q jest zdaniem fa lszywym; p ∨ q jest zdaniem prawdziwym; p ⇒ q jest zdaniem prawdziwym; p ⇔ q jest zdaniem fa lszywym.

Uwaga 1. Je˙zeli twierdzenie matematyczne jest sformu lowane w postaci imp- likacji p ⇒ q, to p nazywamy za lo˙zeniem tego twierdzenia, a q jego tez¸a.

Uwaga 2. Przy dowodzeniu twierdze´n matematycznych cz¸esto stosuje si¸e tzw.

tautologie logiczne, czyli wyra˙zenia, kt´ore staj¸a si¸e zdaniami prawdziwymi, niezale˙znie od warto´sci logicznych zda´n p i q.

Przyk lad 3. Prawo kontrapozycji

(p ⇒ q) ⇔ ((¬q) ⇒ (¬p)).

1.3 Kwantyfikatory

Kwantyfikatory

∃ - ”istnieje”;

∀ - ”dla ka˙zdego”;

Przyk lad 4. Stwierdzenie: istnieje liczba naturalna wi¸eksza ni˙z 5 mo˙zemy za- pisa´c kr´otko

∃_n∈N n > 5

Stwierdzenie: ka˙zda liczba naturalna jest podzielna przez 3 mo˙zemy zapisa´c kr´otko

∀_n∈N 3|n.

Przyk lad 5. Negacja wyra˙ze´n z kwantyfikatorem

¬(∃x∈X p) ⇔ ∀x∈X ¬p

¬(∀x∈X p) ⇔ ∃x∈X ¬p Uwaga 3. Porz¸adek kwantyfikator´ow jest bardzo wa˙zny!

Przyk lad 6.

∀_x∈Z ∃_y∈Z x < y (prawda);

∃_y∈Z ∀_x∈Z x < y (fa lsz);

1.4 Zbiory

Zbiory

Zbiory b¸edziemy zwyczajowo oznacza´c wielkimi literami A, B, . . . , X, Y, . . ., a ich elementy - ma lymi: a, b, . . . , x, y, . . .. Niekt´ore zbiory s¸a tak wa˙zne, ˙ze maj¸a zarezerwowane dla siebie w lasne symbole. I tak

1. N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} - zbi´or liczb naturalnych;

2. Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} - zbi´or liczb ca lkowitych;

3. Q - zbi´or liczb wymiernych, czyli takich, kt´ore daj¸a si¸e zapisa´c w postaci u lamka ^p_q, gdzie p, q ∈ Z, q 6= 0;

4. R - zbi´or liczb rzeczywistych;

5. C - zbi´or liczb zespolonych.

Liczba wymierna a niewymierna

• liczby wymierne maj¸a sko´nczone, b¸ad´z okresowe rozwini¸ecie dziesi¸etne;

• liczby niewymierne maj¸a niesko´nczone i nieokresowe rozwini¸ecie dziesi¸etne;

Przyk ladowo, liczby 1, 436; 0, 12; 1, 7(33) s¸e wymierne, a liczba 8, 36739581432 . . . jest niewymierna. Przynale˙zno´s´c do zbioru zapisujemy nast¸epuj¸aco:

• a ∈ A, co czytamy ”a jest elementem zbioru A” (albo ”a nale˙zy do A”);

• a /∈ A, co czytamy ”a nie jest elementem zbioru A” (”a nie nale˙zy do A”).

Symbolem ∅ oznaczamy zbi´or pusty, czyli taki, kt´ory nie ma ˙zadnych element´ow.

Zbi´or mo˙zemy opisa´c wymieniaj¸ac w klamrowym nawiasie jego elementy (kole- jno´s´c nie ma znaczenia), np. A = {1, 2, 3, 4, 5}. Inny spos´ob opisywania zbior´ow

{x ∈ X|φ(x)},

co czytamy ”zbi´or tych element´ow x ∈ X, dla kt´orych spe lniony jest warunek φ(x)”. Przyk ladowo zbi´or B = {x ∈ R|x²+ x − 6 = 0} sk lada si¸e ze wszystkich tych liczb rzeczywistych, kt´ore spe lniaj¸a r´ownanie x²+ x − 6 = 0. Dok ladniej, B = {−3, 2} M´owimy, ˙ze zbi´or A jest podzbiorem zbioru B, je˙zeli ka˙zdy el- ement zbioru A jest r´ownie˙z elementem zbioru B. Piszemy wtedy A ⊂ B.

Przyk ladowo, zbi´or {7, 2} ⊂ {−10, 2, π, 7, 15}.

Operacje na zbiorach

Podstawowe operacje na zbiorach:

1. suma mnogo´sciowa zbior´ow A i B,

A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}, 2. iloczyn mnogo´sciowy zbior´ow A i B,

A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

3. r´o˙znica mnogo´sciowa zbior´ow A i B,

A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)}.

Definicja 2. Produktem (iloczynem) kartezja´nskim zbior´ow A i B nazy- wamy zbi´or wszystkich par uporz¸adkowanych (a, b), takich, ˙ze a ∈ A, b ∈ B, piszemy wtedy A × B.

Przyk lad 7. Dany s¸a liczby ⁷₄; −0, 75; -88; 17;

√7

√

21; π ; √ 6;

4, 121121121 . . .; 5, 1234567891011 . . . . Wska˙z, kt´ore z powy˙zszych liczb s¸a 1. naturalne: 17;

2. ca lkowite: 17; -88;

3. wymierne: ⁷₄; −0, 75; -88; 17; 4, 121121121 . . .;

4. niewymierne:

√

√7

21; π; √

6; 5, 1234567891011 . . . . Uwaga: π = 3, 141592653 . . .;

Przyk lad 8. Wska˙z najwi¸eksz¸a spo´sr´od liczb 0, (27); 0, 2(7); 0, 2(27); 0, 2(727).

A. 0, (27) B. 0, 2(7) C. 0, 2(27) D. 0, 2(727) Odp. B

2 Co robimy z liczbami?

Dzia lania arytmetyczne

Liczby mo˙zemy dodawa´c, odejmowa´c, mno˙zy´c i dzieli´c, czyli wykonywa´c na nich tzw. dzia lania arytmetyczne. W jakiej kolejno´sci? To zale˙zy, czy w wyra˙zeniu s¸a nawiasy, czy nie. I tak:

• je˙zeli wyra˙zenie nie zawiera nawias´ow, to najpierw wykonujemy mno˙zenia i dzielenia w kolejno´sci ich wyst¸epowania, potem dodawania i odejmowania w kolejno´sci ich wyst¸epowania.

• je˙zeli wyra˙zenie zawiera nawiasy, to najpierw wykonujemy dzia lania w nawiasach, wewn¸atrz kt´orych nie ma ju˙z innych nawias´ow.

Przyk lad 9. Oblicz

• 3¹₂ : 1³₄· 1¹₆−¹₃ : 2

Odp. ¹³₆

• ⁽⁻⁴₍₋₁³⁷⁻3^148)·413 4)+2¹₂

Odp. −²⁶⁰₉

Przyk lad 10. Oblicz sum¸e liczb a i b, je˙zeli

a = (6³₅− 3₁₄³) · 5⁵₆ (21 − 1, 25) : 2, 5, b⁻¹=(4, 5 − ¹₃) : 3¹₂

(5¹₇+¹₃) ·₂₃⁷ . Odp. a = 2, 5; b = 1, 4, czyli a + b = 3, 9

3 Przedzia ly liczbowe

a, b ∈ R, a < b

Przedzia ly ograniczone

• przedzia l otwarty (a, b) (a, b) = {x | x ∈ R i a < x < b};

• przedzia l domkni¸ety ha, bi ha, bi = {x | x ∈ R i a ≤ x ≤ b};

• przedzia l lewostronnie otwarty (prawostronnie domkni¸ety) (a, bi (a, bi = {x | x ∈ R i a < x ≤ b};

• przedzia l prawostronnie otwarty (lewostronnie domkni¸ety) ha, b) ha, b) = {x | x ∈ R i a ≤ x < b};

Przedzia ly nieograniczone

• otwarty (−∞, a) (−∞, a) = {x | x ∈ R i x < a};

• otwarty (a, +∞) (a, +∞) = {x | x ∈ R i x > a};

• prawostronnie domkni¸ety (−∞, ai (−∞, ai = {x | x ∈ R i x ≤ a};

• lewostronnie domkni¸ety ha, +∞) ha, +∞) = {x | x ∈ R i x ≥ a};

Przyk lad 11. Wykonaj dzia lania. Wynik zapisz w postaci przedzia lu i zaznacz na osi liczbowej

• (−6, 1i ∪ (−7, +∞) = (−7, +∞);

• −6¹₂, −1⁴₅
∩ (−2³₄, 6¹₂) = (−2³₄, −1⁴₅);

• (−4, −1) − (−2, +∞) =(−4, −2i.

Przyk lad 12. Ile liczb ca lkowitych nale˙zy do zbioru h1, 20) − (−3, 14i?

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Odp. B

Przyk lad 13. Zapisz rozwi¸azanie nier´owno´sci 1

4(2x + 1)²−1 3

 2x −3

2



> 11 3x²−1

3(x − 1)²

w postaci przedzia lu liczbowego. Ile liczb naturalnych nale˙zy do tego przedzia lu?

Odp. (−∞, 3¹₄). Do tego przedzia lu nale˙z¸a 4 liczby naturalne.

Przyk lad 14. Zapisz za pomoc¸a przedzia lu lub sumy przedzia l´ow zbi´or:

1. A = {x|x > 3 ∧ x ∈ R};

2. B = {x ∈ R|x ≤ 2};

3. C = {x|x > 0, 1 ∧ x < 5};

4. D = {x ∈ R|x < −2 ∨ x ≥ 4};

5. E = {x ∈ R|x²≥ 1 ∧ x < 0}.

Przyk lad 15. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B, a nast¸epnie wyznacz zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, gdy:

1. A = (−1, 2) ∪ (3, 5), B = [−3, 0] ∪ [4, 8];

2. A = [3, +∞), B = (−∞, −2] ∪ [7, +∞);

3. A = (−∞, −3] ∪ [10, +∞), B = (−3, 0) ∪ (5, 10).

Przyk lad 16. Dane s¸a dwa zbiory punkt´ow p laszczyzny: A = {(x, y)|x²≤ 2y}

i B = {(x, y)|x²+ y − 2x ≤ 1}. Znale´z´c zbiory: A \ B, B \ A, A ∩ B, A ∪ B.

Przyk lad 17. Sprawd´z, czy liczba ³

√ 3−7

4 nale˙zy do przedzia lu (−1, 0).

ROZWIA¸ ZANIE:

1 <√

3 < 2 / · 3 3 < 3√

3 < 6 3 − 7 < 3√

3 − 7 < 6 − 7

−4 < 3√

3 − 7 < −1 / : 4

−1 <3√ 3 − 7

4 < −1 4 Odp. Tak, podana liczba nale˙zy do przedzia lu (−1, 0).

4 Pot¸egi i pierwiastki

Pot¸egi

Pot¸egowanie

aⁿ= b

aⁿ - n-ta pot¸ega liczby a; n - wyk ladnik pot¸egi; a - podstawa pot¸egi; b - wynik pot¸egowania (pot¸ega);

Pot¸ega o wyk ladniku naturalnym a⁰= 1, a 6= 0 a¹= a, a ∈ R;

aⁿ⁺¹= aⁿ· a, a ∈ R, n ∈ N⁺ Je˙zeli a ∈ R, n ∈ N⁺, to

aⁿ= a · a · . . . · a

| {z }

n

Pot¸ega o wyk ladniku ca lkowitym ujemnym a⁻ⁿ= 1

aⁿ, gdzie a ∈ R i a 6= 0, n ∈ N⁺.

Pierwiastki

Pierwiastek arytmetyczny stopnia n > 1 z liczby a ≥ 0

√n

a = b ⇔ (bⁿ= a ∧ b ≥ 0) Pierwiastek nieparzystego stopnia n z liczby ujemnej a

√n

a = b ⇔ bⁿ= a

Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej NIE ISTNIEJE!

Pot¸ega o wyk ladniku wymiernym a^mn = √ⁿ

a^m, gdzie a ∈ R+∪ {0}, m, n ∈ N+, n 6= 1;

a^−mn = 1

√n

a^m, gdzie a ∈ R⁺, m, n ∈ N⁺, n 6= 1.

Dzia lania na pot¸egach o wyk ladniku wymiernym

Niech x, y b¸ed¸a dowolnymi liczbami wymiernymi, a > 0, b > 0.

• a^x· a^y= a^x+y (iloczyn pot¸eg o tej samej podstawie)

• a^x: a^y= a^x−y (iloraz pot¸eg o tej samej podstawie)

• (a^x)^y= a^xy (pot¸ega pot¸egi)

• (ab)^x= a^xb^x (pot¸ega iloczynu)

• (^a_b)^x= ^a_b^x_x (pot¸ega ilorazu) Dzia lania na pierwiastkach

Nech m, n b¸ed¸a liczbami naturalnymi wi¸ekszymi od 1.

• (√ⁿ

a)ⁿ = a,√ⁿ

aⁿ= a, a ≥ 0;

• √ⁿ

a^m= (√ⁿ

a)^m, a ≥ 0;

• ^mp√_n

a = ^mn√

a, a ≥ 0;

• √ⁿ

a · b = √ⁿ a√ⁿ

b, a ≥ 0, b ≥ 0.

• pⁿ a b = ⁿ

√a

n√

b, a ≥ 0, b > 0.

Kolejno´s´c dzia la´n raz jeszcze

Je˙zeli w wyra˙zeniu algebraicznym nie ma nawias´ow, to kolejno´s´c wykonywa- nia dzia la´n jest nast¸epuj¸aca

• pot¸egowanie i pierwiastkowanie

• mno˙zenie i dzielenie (w kolejno´sci ich wyst¸epowania)

• dodawanie i odejmowanie

Przyk lad 18. Uporz¸adkuj malej¸aco liczby 2³, 4¹², (0, 5)⁻², (0, 125)². Odp. 2³, 2², 2¹, 2⁻⁶.

Przyk lad 19. Uzasadnij, ˙ze liczba 3¹⁸+ 3¹⁹+ 3²⁰ jest liczb¸a podzieln¸a przez 39.

Przyk lad 20. Kt´ora z liczb jest wi¸eksza: 2³⁵⁰ czy 3¹⁷⁴? Odp. 2³⁵⁰. Przyk lad 21. Wyka˙z, ˙ze liczba a = 11²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁸ jest liczb¸a z lo˙zon¸a.

Przyk lad 22. Przedstaw podane wyra˙zenie w postaci pot¸egi liczby 2:

4¹⁴ · 8¹⁵ :

√2
³₅ . Odp. 2⁴⁵

Przyk lad 23. Oblicz:

rq

7₁₆⁹ −q

3 −¹¹₄ −q

49 36 : 2¹₃

16

4² · (¹₄−¹₈) Odp. 8

Przyk lad 24. Poka˙z, ˙ze liczba ¹

1+√ 2+^{√ 1}

2+√ 3+^√1

3+2 jest liczb¸a wymiern¸a.

Przyk lad 25. Liczb¸e a = p 7 − 2√

6 +p 7 + 2√

6²

zapisz w postaci sumy dw´och liczb pierwszych.

Odp. 24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13.