Analiza 1 - ćwiczenia SIMR 2019/2020
Ćwiczenia 1: Równania, nierówności: f. wymierna, pierwiastek, wartość bez- względna, logarytm, ciągi: monotoniczność, ograniczoność.
1. Rozwiązać równanie (a) x2+ 1
x − 2 + 2 = 0
(b) 2
x2+ x = 1 2x − 1
(c) |x| + |4 − x| = 6 (d) √
x2+ 1 = 2x + 1
(e) log2(x − 1) + log2(x − 3) = 3 2. Rozwiązać nierówność
(a) 1
x x + 1 (b) x + 3
x − 1 < −1 (c) |x − 2| < |x + 4|
(d) |x| + |x − 2| < 4
(e) |x2− 8| > 2x (f) √
2x2+ 4 < 2x + 2 (g) √
x2+ 3 < 2x
(h) log3(2x − 1) + log3(x + 1) < 2 3. Sprawdzić czy ciąg
an
jest monotoniczny.
(a) an= n2+ 4 2n2+ 3n
(b) an= (−1)n+ 3 2n − 1
(c) an = n3+ 6n n3+ 1 (d) an =
√n2+ 6n 4n − 1
(e) an = log2(n3 + 8) − 3 log2n 4. Sprawdzić czy ciąg
an
jest ograniczony.
(a) an= n2+ 4n n2+ 1
(b) an= n4− 3 n3+ 2n
(c) an =
√n2+ 1 n + 2 (d) an = (−1)nn3 − 6
n3+ n
(e) an = log3(n2 + n) − 4 log9n
Ćwiczenia 2: Granice ciągów, granice niewłaściwe, symbole nieoznaczone, tw. o 3 ciągach, nieistnienie granicy, granice 1∞
1. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić (a) lim
n→∞
2n + 5
n + 1 = 2 (b) lim
n→∞
n2 − n n2 + 4 = 1 2. Obliczyć granicę ciągu lim
n→∞an (a) an= n5− 40n2+ n
(b) an= n2+ 3n 2n2+ 4 (c) an= n2− 4n n4 + 6 (d) an= n4− 4n
2n − n3
(e) an = n −√ 4n + 1 n + 3 (f) an =
√n6+ 4n5−√ n6+ 3 n2+ 4n + 1 (g) an = n2−√
n4+ 2n3 n + 9 (h) an =√
n2+ n −√ n2− n (i) an = n(√3
n3+ 1 − n) 3. Obliczyć granicę ciągu lim
n→∞an (a) an= 4n+ 3n
22n+ 3 · 2n (b) an= n2+ 6n
2n+ 3
(c) an = n5 + n3n n62n+ n3n+ 4 (d) an = n20+ (1.001)n
n3+ (1.01)n 4. Udowodnić, że nie istnieje lim
n→∞an (a) an= n(−1)n+ 3
n + 1 (b) an= sin(nπ4 )
(c) an = n cos(nπ) (d) an = n3+ 4
n2(−1)n+ 6n 5. Obliczyć granicę ciągu lim
n→∞an (a) an= 4n+(−1)n+2 n
(b) an= n2+ (−1)n n2+ n(−1)n
(c) an = n + cos n n + sin n (d) an = √n
2n+ 7n 6. Obliczyć granicę ciągu lim
n→∞an (a) an= n2+ 4n
n2+ 3
!n−1
(b) an= n3+ n − 1 n3+ 4
!2n2−4
(c) an= n2+√ n + 1 n2+√3
n
!2n+1
(d) an= n + 2n2 n + n2− 1
!n−3
(e) an= n3+ 2n − 1 n3+ 3n2− n
!n2−3
(f) an= n(ln(n + 2) − ln n)
Ćwiczenia 3: Granice funkcji, jednostronne, ciągłość
1. Obliczyć granicę funkcji:
(a) lim
x→∞
3x2+ 4x − 1 x2+ x + 5 (b) lim
x→−∞
x3+ x
√x6+ 4 + 3x2 (c) lim
x→2
x2 + 4x − 12 x3− 8
(d) lim
x→1
x3+ 3x − 4 x2+ x − 2 (e) lim
x→1
x3+ x2+ 4x − 6 2x2− x − 1 (f) lim
x→0+
x + x3
√x2+ 5x4+ x2
(g) lim
x→0−
√x2+ x3 2x + 5x4 (h) lim
x→−1
√x2+ 8 − 3 x + 1
2. Obliczyć granicę funkcji:
(a) lim
x→0
x sin 4x sin2x (b) lim
x→0
sin2x cos x − 1 (c) lim
x→0
sin(x2+ x3) tg(2x2+ 3x3) (d) lim
x→π2
sin 2x + cos x x −π2
(e) lim
x→π
sin2x 1 + cos 5x
(f) lim
x→1
x2+ 1 3x − 1
!x−12
(g) lim
x→2
ln(x2− 3) x2+ x − 6
(h) lim
x→1
ln(x2+ 3x) − ln 4 x3+ x − 2 (i) lim
x→−1
ex+1− 1 x2+ 3x + 2 (j) lim
x→2
ex2 − e4 x2− x − 2
3. Udowodnić, że nie istnieje granica funkcji:
(a) lim
x→2
√x2 − 4x + 4
x2− 4 (b) lim
x→1ex2−1x
(c) lim
x→∞sin2x (d) lim
x→0+cos(1x) 4. Dla jakich wartości parametrów funkcja f : R → R jest ciągła:
(a) f (x) =
x3+ 2x − 3
x2+ x − 2 dla x > 1 ax + b dla 0 ¬ x ¬ 1
ln(1 − x)
x dla x < 0
(b) f (x) =
x2+ ax − 6
x2− 4 dla x > 2
b dla x ¬ 2
(c) f (x) =
ax2− x + 2
x2+ x − 2 dla x > 2
x dla 0 ¬ x ¬ 2
b1 − cos 2x
4x2 dla x < 0
(d) f (x) =
a x2 2x − 1
!
1 1 − x
dla x > 1
b dla − 1 ¬ x ¬ 1
x4+ x
x + 1 dla x < −1
Ćwiczenia 4: Obliczanie pochodnej, różniczka, prosta styczna
1. Obliczyć pochodną funkcji f (x) : (a) f (x) = x4− 3x2+ 5x − 8 (b) f (x) = 4
x + 2 x2 − 5
x3 (c) f (x) = 4√
x + 2√
x3+ 2
√x + 2
√x5 (d) f (x) = 3ex+ 2 ln x
(e) f (x) = exsin x (f) f (x) = x2sin x ln x (g) f (x) = x2+ 4
x2+ 1 (h) f (x) = x3
ln x
(i) f (x) = ex x (j) f (x) =√
1 + x3 (k) f (x) = ln(ex+ 4)
(l) f (x) = arc tg(2x − 1) (m) f (x) = arc cos(√
x)
(n) f (x) = arc sin(x2) + arc cos(x2) (o) f (x) = x2cos1
x (p) f (x) = xex2
(q) f (x) = ln (x3sin(2x + 1)) 2. Dla jakich wartości parametrów funkcja f : R → R jest różniczkowalna:
(a) f (x) =
1
x dla x > 1
ax + b dla 0 ¬ x ¬ 1 cx cos x + d dla x < 0
(b) f (x) =
a ln x2+ 1 dla x > 1 2x + b dla 0 ¬ x ¬ 1 sin cx + d dla x < 0
3. Znaleźć różniczkę funkcji f (x) w punkcie x0 : (a) f (x) = ln(x2− 3)
2x − 3 , x0 = 2
(b) f (x) = x2sin 2x − cos 3x , x0 = 0 (c) f (x) = x arc sin(x − 1) + 4√
x , x0 = 1 (d) f (x) = (x3+ 1)e4x , x0 = 1
4. Znaleźć równanie prostej stycznej i normalnej do krzywej y = f (x) w punkcie (x0, f (x0)):
(a) f (x) = x4− x3+ 2x , x0 = 1 (b) f (x) = x2e2x−4 , x0 = 2
(c) f (x) = arc tg x2 , x0 = 1
(d) f (x) = x ln(3x − 5) + x , x0 = 2 (e) f (x) = x + 3
x2+ 2x + 2 , x0 = −1
Ćwiczenia 5: Wyższe pochodne, reguła de l’Hospitala
1. Obliczyć pochodną rzędu n funkcji f (x) : (a) f (x) = x2ln(x + 1) , n = 2
(b) f (x) = ex2 , n = 3 (c) f (x) = x arc tg x , n = 3 (d) f (x) = x3sin(2x) , n = 4
(e) f (x) = xe−x , n = 5 (f) f (x) = arc sin x , n = 3 2. Obliczyć granicę funkcji:
(a) lim
x→2
x2 + x − 6 x2 − x + 2 (b) lim
x→1
x ln x x3 + x − 4 (c) lim
x→∞
ln x√ x (d) lim
x→0
x3 arc tg x − x (e) lim
x→0+x ln x (f) lim
x→0
1
x− 1 ex− 1
(g) lim
x→0
2
sin 2x − 1 x + x2
(h) lim
x→0
ctg x − 1 x
(i) lim
x→0
1
2x2 − 1 2x tg x
!
(j) lim
x→0+(tg x)ln x1 (k) lim
x→0+
tg x x
1
x3
(l) lim
x→∞(1 + e−x)x (m) lim
x→0(arc sin x)sin x (n) lim
x→∞(ln x)x21 (o) lim
x→1+(ln x)x−1 (p) lim
x→∞
2
πarc tg x
x
(q) lim
x→∞(sinh(x2))x21
Ćwiczenia 6: Monotoniczność, ekstrema lokalne i globalne
1. Znaleźć dziedzinę i przedziały monotoniczności funkcji f (x) (a) f (x) = −x3+ 2x2
(b) f (x) = x4− 2x2 (c) f (x) = x2
x − 1 (d) f (x) = x√
8 − x2 (e) f (x) = x3
x2+ 1 (f) f (x) = ln x2
x
(g) f (x) = arc tg 2x − ln(1 + 4x2) 2. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x)
(a) f (x) = x2ex (b) f (x) = |x|(x − 1)2
(c) f (x) = (x − 1)√3 x2 (d) f (x) = x2√
5 − x (e) f (x) = x2ln x
3. Znaleźć ekstrema lokalne i globalne funkcji f (x) (a) f (x) = x3− 3x2 ; x ∈< −1 , 3 >
(b) f (x) = x3− 3x2 ; x ∈ (−2 , 1 >
(c) f (x) = x2− 1
x2+ 1 ; x ∈ (−1 , 2 >
(d) f (x) = x√
2 − x2 ; x ∈ (−12 ,√ 2 >
(e) f (x) = x2e−x2 (f) f (x) = x ln x
(g) f (x) = x ln x ; x ∈< e12 , e2 >
(h) f (x) = x − 2 arc tg x (i) f (x) = x
r x 2 − x (j) f (x) = x4
2 − x3 , x ∈ (−1,√3 2 >
(k) f (x) = arc sin x − 2x
(l) f (x) = x4− 2x2 , x ∈ (−2, 3 >
(m) f (x) = exx (n) f (x) = xe−x2
Ćwiczenia 7: Wypukłość, asymptoty, wzór Taylora
1. Znaleźć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia funkcji f (x) (a) f (x) = x3− x2
(b) f (x) = x2+ 1 x
(c) f (x) = e−2x2 (d) f (x) = arc tg x (e) f (x) = sin2x 2. Znaleźć asymptoty funkcji f (x)
(a) f (x) = x3 x2− 1 (b) f (x) = x2−√
x4− 4x3 (c) f (x) = x arc tg x
(d) f (x) = ln(x2− 4) (e) f (x) = ln x
x
3. Znaleźć wzór Taylora dla funkcji f (x) w punkcie x0 i dla stopnia wielomianu n.
(a) f (x) = arc tg x , x0 = 0 , n = 2 (b) f (x) = sin x , x0 = 0 , n = 5
(c) f (x) = ln x , x0 = 1 , n = 4 (d) f (x) =√
x , x0 = 4 , n = 3 (e) f (x) = xex , x0 = 0 , n = 3
4. Korzystając ze wzorów Taylora znaleźć granice:
(a) lim
x→0
cos x − ex22 x4 (b) lim
x→0
exsin x − x(x + 1) x3
(c) lim
x→∞(√6
x6+ x5−√6
x6 − x5) (d) lim
x→∞
x − x2ln
1 + 1 x
(e) lim
x→0
6x sin(x) − 8√
1 + x2 + 8 − 2x2 x6
Wskazówka: f (x) = sin x , x0 = 0, n = 5 , g(x) =√
1 + x , x0 = 0, n = 3 . (f) lim
x→0
x2cos(2x) − x2+ 2x4 2 ln(1 + x2) − 2x2+ x4
Wskazówka: f (x) = cos x , x0 = 0, n = 4 , g(x) = ln(1 + x) , x0 = 0, n = 3 . (g) lim
x→0
2x2cos(x) − 2x2+ x4 2e−x2 − 2 + 2x2− x4
Wskazówka: f (x) = cos x , x0 = 0, n = 4 , g(x) = ex, x0 = 0, n = 3 . (h) lim
x→0
ln(1 + x3) − x3 6x sin x − 6x + x4
Wskazówka: f (x) = sin x , x0 = 0, n = 5 , g(x) = ln(1 + x) , x0 = 0, n = 2 .
Ćwiczenia 8: Przebieg zmienności funkcji
1. Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x) (a) f (x) = x − 2 arc tg x
(b) f (x) = x ln(x2) (c) f (x) = ln x
x (d) f (x) = x2
x − 1 (e) f (x) = xe−x2 (f) f (x) = ex
x (g) f (x) = xex1
Ćwiczenia 9: Kolokwium 1 zadania przykładowe
1. Obliczyć granicę ciągu:
n→∞lim
n3 + 4n n2+ 2n − 1
!n2−5
2. Obliczyć granicę funkcji:
x→0lim x2+ cos x
! 1
3xe2x−sin 3x
3. Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja f : R → R jest ciągła:
f (x) =
x4+ x3+ 3x − 5
x4+ x − 2 dla x > 1 ax + b dla 0 ¬ x ¬ 1 arc tg 2x + e1x dla x < 0 4. Znaleźć ekstrema lokalne i globalne funkcji
f (x) = x2√
x − 5x√
x + 10√ x
Ćwiczenia 10: Całka nieoznaczona liniowość, podstawienie, przez części
1. Obliczyć całkę nieoznaczoną (a)
Z
(12x3+ 6x2− 2x + 4) dx (b)
Z
(4x + 6√ x + 7
x + 5 x2) dx (c)
Z x3− 6x2+ 2x + 1
√x dx
(d)
Z
(x5+ 6x2− 4x + 5)dx (e)
Z cos2x sin2xdx
(f)
Z x2 + 1
√x
3
dx
(g)
Z 1
cos 2x + sin2xdx (h)
Z cos 2x sin2x cos2xdx (i)
Z 1 + 2x2 x2(1 + x2)dx 2. Obliczyć całkę nieoznaczoną przez podstawienie liniowe
(a)
Z
sin(4x + 1) dx (b)
Z
e2xdx (c)
Z 1 x + 8dx (d)
Z
6√
2x + 3 dx
(e)
Z 1
16x2+ 1dx (f)
Z 1 x2 + 4dx (g)
Z 1
x2 + 4x + 13dx (h)
Z 1
√x − x2 dx
3. Obliczyć całkę nieoznaczoną przez podstawienie (a)
Z x x2+ 1 dx
(b)
Z 8x3+ 4x x4+ x2+ 8dx (c)
Z cos x sin x + 2dx
(d)
Z 3
x
ln x + 5dx (e)
Z
xex2dx (f)
Z
x√
x2− 6 dx (g)
Z
sin x cos4x dx 4. Obliczyć całkę nieoznaczoną przez części
(a)
Z
x3ln x dx (b)
Z
x2sin x dx (c)
Z
xe2xdx (d)
Z x cos2xdx
(e)
Z
excos x dx
(f)
Z
x arc tg x dx
(g)
Z
arc sin x dx
Ćwiczenia 11: Całka nieoznaczona R(x)
1. Obliczyć całkę nieoznaczoną (a)
Z x + 1 x3+ 2x2 dx (b)
Z x2+ 2 x3+ 2x2+ xdx (c)
Z x − 3 x3+ xdx (d)
Z x4 − 1 x2+ 2x − 8dx (e)
Z x3− 2 x3+ xdx (f)
Z 2x + 3 x4− x2dx (g)
Z x2+ 1 x4+ 4x2dx
(h)
Z x3− x2 x4 + 4x2+ 4dx (i)
Z 6x2+ 8x + 6 x3 + 2x2+ 3x − 7dx (j)
Z 1
(x2+ 1)(x2+ 9)dx (k)
Z x − 2
x3 + 2x2+ 2xdx (l)
Z 2x − 1
(x2+ 4)(x2− 1)dx (m)
Z x5 + 3x − 2 x4− 1 dx
Ćwiczenia 12: Całka nieoznaczona:
R(sin x, cos x) , R(x,
sax + b
cx + d) , R(ex) , R(x,√
ax2+ bx + c)
1. Obliczyć całkę nieoznaczoną (a)
Z
15 sin3cos2x dx (b)
Z
30 cos5x dx (c)
Z
32 sin4x dx (d)
Z sin5x
4 cos x − cos3xdx (e)
Z sin x cos x cos x + 2 sin2xdx
(f)
Z sin2x cos3x sin4x − 1 dx (g)
Z sin3x cos x
cos2x + 3 sin x − 3dx (h)
Z 1
cos x + 2dx (i)
Z 1
4 − 5 sin xdx 2. Obliczyć całkę nieoznaczoną
(a)
Z ex
e2x+ ex− 2dx (b)
Z ex ex+ 3dx (c)
Z 1
e2x+ ex− 2dx (d)
Z ex− 4
e3x+ e2x+ ex+ 1dx
(e)
Z
sinh3x dx (f)
Z
cosh2x dx (g)
Z sinh x
cosh2x − 2 cosh x − 3dx
3. Obliczyć całkę nieoznaczoną (a)
Z 1 x +√
xdx (b)
Z 1 x +√3
xdx (c)
Z 2x + 1 x +√
xdx (d)
Z x −√ x + 1 x +√
x + 1 − 1dx
(e)
Z s
x + 2 x − 2dx (f)
Z 1
2 −qx−1x+1dx (g)
Z √ x x + 4 dx (h)
Z 4x + 2
√x2+ xdx
4. Obliczyć całkę nieoznaczoną (a)
Z 1
√2x − x2 dx
(b)
Z √
x2+ 4 dx
(c)
Z x2+ 1
√1 − x2 dx (d)
Z x − 1
√x2+ 2x + 2dx
Ćwiczenia 13:: Całka Riemanna
1. Obliczyć całki Riemanna:
(a)
2
Z
1
(6x2− 4x + 2) dx
(b)
π
Z
0
sin x dx
(c)
2π
Z
0
cos2x dx
(d)
π 4
Z
0
1 x2+ 1 dx
(e)
2
Z
1
(2 x + 4√
x) dx
(f)
π
Z4
0
3 cos2xdx (g)
π
Z
0
sin3x dx
(h)
2π
Z
0
cos2x dx
(i)
Z2
1
1 x2 + xdx
(j)
ln 2
Z
0
e3x+ 2 e2x+ 1dx (k)
π
Z
0
x sin x dx
(l)
π
Z
0
x2cos 2x dx
(m)
Z4
0
√x + 2 x + 1 dx
(n)
π 2
Z
0
sin3x
cos3x + sin2x + 1dx
Ćwiczenia 14: Całka Riemanna zastosowania: pole powierzchni, długość, pole powierzchni i objętość bryły obrotowej, całka niewłaściwa
1. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi (a) y = x2 , y = x + 2 , y = 2 − x
(b) x = y2 , x + 2y2 = 3 (c) y = ln x , y = 0 , x = e (d) y = arc tg x , y = π4x
(e) x2+ y2 = 2 , y = x2 (f) xy = 2 , y = x , 4y = x2 (g) y = 1
1 + x2 , y = x2 2 2. Obliczyć długość krzywej:
(a) y = ln x, x ∈ [√ 3,√
8]
(b) y = ln(1 − x2), x ∈ [0, 1/2]
(c) y = √
1 − x2+ arc sin x, x ∈ [−1, 1]
(d) y = 1 − ln(cos x), x ∈ [0, π/4]
3. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu obszaru 0 ¬ y ¬ y(x) dookoła osi Ox (a) y = x2 , x ∈< 0, 2 >
(b) y = 2x − x2, x ∈ [0, 2]
(c) y = sin2x , x ∈< 0, π >
(d) y =
q| cos x|
1 + sin x , x ∈< 0, π >
(e) y = 1
1 + ex , x ∈< 0, 1 >
(f) y =√
xe−x2, x ∈ [0, ∞) (g) y = x
4 − x2 , x ∈< 0, 1 >
(h) y =√4
4 − x2 , x ∈< 0, 2 >
4. Oblicz pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej dookoła osi Ox (a) y = x√
x, x ∈ [0, 1]
(b) y = tg x, x ∈ [0, π/4]
(c) y = sin x, x ∈ [0, π]
(d) y = cosh x , |x| ¬ ln 2 5. Oblicz całki niewłaściwe:
(a)
∞
Z
1
1 x2dx (b)
∞
Z
0
1 1 + x2dx
(c)
1
Z
0
√ dx 1 − x2 (d)
∞
Z
0
1 ex+ 1dx
(e)
∞
Z
2
dx x2 + x − 2
(f)
1
Z
0
ln xdx
(g)
1
Z
0
√ dx 1 − x2 (h)
∞
Z
1
x ln x (1 + x2)2dx
Ćwiczenia 15: Kolokwium 1 Przykładowe zadania
1. Obliczyć całkę nieoznaczoną
Z sin5x
4 cos x − cos3xdx 2. Obliczyć całkę Riemanna
2π
Z
0
cos4x dx
3. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi y = 2x2 , y = x2+ 1
4. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu obszaru: 0 ¬ y ¬ x
x + 1 , 0 ¬ x ¬ 1 dookoła osi Ox.
