1 7 6 B ü t t n e r , H aus der d eu tsch en Kunst, M ünchen
D E R S T A H L ß A Ü
B eilag e z u r Z e its c h rift „D ie B a u te c h n ik “
M Ittelhallc, die nicht durch Z w ischenw änd e un terteilt ist, keine durchgehend en Binder v o rg eseh en , sondern die Längs
unterzüge, die d ie O berlichtrahm en tragen, sind an konsolartig in die M ittelhalle hineink ragend en Enden der Binder der S eiten h a llen an g esch lo ssen .
Der Wind auf die O berlichter wird durch V erbände auf d ie L ängsunterzüge b zw . Binder übertragen, d ie ihn durch die verankerten D eckenträger auf d ie U m fassu n gsw än d e leiten . D ie Lage der P fetten, U n terzü ge und Binder zeig t Bild 1, rechts.
D ie A usführung der Konstruktion im ein zeln en ist aus den Bildern 2, 3 u. 4 zu erseh en .
Durch entsp rech en d e A nordnung von A u sd eh nun gsfu gen w urde dafür geso rg t, daß durch Tem peraturschw ankungen nirgends schädliche Spannungen auftreten und daß durch Längenänderungen der Stahlkonstruktion k ein e Beanspruchung des m assiven M auerwerks erfolgt. — Bild 5 z e ig t d ie H alle während der M ontage der Dachkonstruktion, Bild 6 das fertig g estellte Bauwerk. — Das G esam tgew ich t der S tah lb au teile beträgt 875 t. D ie A usführung der Dachkonstruktion so w ie d ie g esa m te M ontage e tfo lg te durch die M i t t e l d e u t s c h e n S t a h l w e r k e A .- G , W e rk L a u c h h a m m e r , und die Lieferung der Deckenträger durch die Firma F r i e d r . M a u r e r S ö h n e , M ünchen.
I N H A L T: B a u l i c h e A u s b i l d u n g u n d Q e s t a l t u n g d e r s t ä h l e r n e n Z w i s c h e n s t ü t z e n s t ä h l e r n e r O b e r b a u t e n . — H a u s d e r d e u t s c h e n K u n s t , M ü n c h e n .
V e ra n tw o rtlic h fü r d e n I n h a lt: Q eh . R e g ie ru n g s ra t P ro f. A. H e r t w l g , B e rlln -C h a rlo tte n b u rg . — V erlag v o n W llh. E r n s t * S o h n , B e rlin W 9 . — D ru c k : B u c h d ru c k e re i G e b r ü d e r E r n s t, B e rlin SW 6 8 .
Bild 5. A u fstellu n g der Dachkonstruktion.
entsprechend au sgeb ild cte und g eg lie d erte Rabitzdecken verk leid et, durch w elch e die Stahlkonstruktion verdeckt wird. In den hierdurch zw isch en der unteren D eck e und der D acheindeckung g eschaffen en Räumen w urden die K anäle für die H eiß lu fth eizu n g untergebracht (s. Bild 3).
D ie k ittlosen O berlichtsprossen ruhen auf Pfetten und d iese auf R ahm enbindern aus W alzträgern.
Zur A ufnahm e der B im sbetond ach deck e sind Sparren im A bstande von 2,5 m angeordnet, d ie entsprechend der R inn en ausbild un g geknickt sin d . D ie Ecken der Rahm enbinder so w ie der Sparren w urden gesch w eiß t. D ie Oberlichtrahm en und die Sparren lagern auf vollw a n d ig en Längs
unterzügen und d ie se auf den eb en falls vo llw a n d ig a u sg eb ild eten Dachbindern und auf den m assiven W änden. D ie Lage der Binder ist so angeordnet, daß sie nur über den Z w ischenw änden lie g e n , so daß ihre Konstruktion, ob w oh l d ie S tau bd ccke te ilw e is e in H öhe Binderm itte, te ilw e is e sogar über den Bindern lieg t, nirgends in den Raum tritt. Zu diesem Zw eck sind auch in der
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DER STAHLBAU
S c h r i f t l e i t u n g :
Geh. Regierungsrat Professor SDr.=3tig. A. H e r t w i g , B erlin-W ilm ersdorf, Sächsische Str. 43 Fernsprecher: 87 7421
Professor W. R e i n , Breslau, Technische H ochschule. — Fernsprecher: Breslau 421 61
B e i l a g e
z u r Z e i t s c h r i f t
DIE BAUTECHNIK
Preis d es Jahrganges 10 RM und P ostgeld
Fachschrift für das g e sam te B auin genieurw esen
10. Jahrgang BERLIN, 5. November 1937 Heft '23
A lle R e c h te V o r b e h a l t e n .
Zur Frage der F estigkeit bei räumlichen Spannungszuständen.
V on Prof. Sr.=$>ng. W . K u n tz e .
(M itteilun g aus dem Institut für W erkstoff-M echanik d es Staatlichen M aterialprüfungsam tes B erlin-D ahlem .) V on z w e i G esichtspun kten aus muß der Konstrukteur d ie Erm ittlung
der Tragfähigkeit seiner B auw erke betrachten. Erstens muß er sich über den Z ustand der auftretenden A n s p a n n u n g e n v erg ew issern , deren Verlauf ihm durch ela stisch e D eh n u n g sm essu n g e n und d ie G esetz e der Baustatik v erm ittelt wird, z w e ite n s muß er w issen , w e lch e F e s t i g k e i t d es zu verw en d en d en B austoffes er unter den g e g e b e n e n Anspannungs- B e din gu n gen in d ie R echnung e in zu se tze n hat. Letztere Ü b erleg u n g war ln der V ergan gen h eit m it der K en ntnis ein iger W erkstoffprüfzahlen ab
getan . Beeindruckt von den in der E lastizitätsth eorie g elten d en G esetz en , g in g man v o n der V orau ssetzu n g aus, daß die T r a g f ä h i g k e i t an jeder S te lle d es B au teiles erm ittelt w erden könne, w en n der Spannungsverlauf im B auteil und d ie P rü ffestigk eit d es M aterials bekannt sind. Man nahm an, daß b ei z u s a m m e n g e s e t z t e n S p a n n u n g s z u s t ä n d e n d ie Trag
fähigkeit e b en so aus der S u p e r p o s i t i o n d e r S p a n n u n g e n unter Ein
führung der F estig k eitsza h l zu erm itteln se i, w ie nach der E lastizitäts
theorie die Spannungen aus der Superposition der D eh n u n gen b ei K enntnis der E lastizitätsk onstan ten erm ittelt w erd en können.
D ie F estig k eit, d ie der W erkstoff den A nsp annu ngen e n tg e g en stellt, beruht jed och auf anderen G rundsätzen als den en der E lastizitätslehre.
D i e S p a n n u n g s m e c h a n i k ( S t a t i k ) i s t d a h e r s i n n g e m ä ß d u r c h e i n e . W e r k s t o f f m e c h a n i k * z u e r g ä n z e n . G anz b eson d ers tritt d ieser U n tersch ied b ei einer u n gleich m äß igen V erteilu n g der A nspannungen In E rscheinung, also dann, w en n ein Q u ersch n ittsteil za h len m ä ß ig m ehr oder w eniger beansprucht wird als sein N achbarteil. Ü b er d ie se Frage, w e lch e nach b eson d eren G esichtspun kten zu b eh an d eln ist, s o ll In einem späteren Aufsatz g esp roch en w erd en . Hier s o llen d ie F ä lle berücksichtigt w erd en , w o ein e G esam tbeanspru ch un g sich aus versch ied en gerich teten E inzelb ean sp ru ch u n gen zu sam m en setzt.
Daß man sich h e u te über d iese Frage noch nicht e in ig ist, lie g t w oh l daran, daß so lch e S p ann un gszu stän de exp erim en tell schw er zu erfassen sin d . E ntw ed er tritt ein e Störung durch u n gleich m äß ige Spannungs
v erteilu n g hinzu oder aber man ist unter zusätzlicher V erw en d u n g ein es gleich m ä ß ig v erteilten F lü ssigkeitsd ruckes nur auf U n tersu ch ungen im D ruckgebiet a n g ew iesen . Im G eb iete d es m ehrseitigen Z u ges, w elch er ln den K onstruktionen nicht nur. am häu figsten vorkom m t, sondern auch am gefahrbrin gendsten wirkt, feh len ein w and freie ex p erim en telle E rgeb nisse.
Es ist verstän dlich , daß in Erm anglung d es E xperim ents auf d iesem so w ich tigen praktischen G e b ie te d ie t h e o r e t i s c h - h y p o t h e t i s c h e B e h a n d l u n g Raum gew o n n en hat. Zur V erm eid u n g von W ied erholun gen s o ll hier nicht ein Ü b erblick über d ie zahlreich en tw ick elten F estigk eits- H yp oth esen g e g eb en w e r d e n 1), sondern die stofflichen G rundsätze hervor
gekehrt und versucht w erd en , sie m it den theoretischen und ex p erim en tellen E rgeb nissen in G leich k lan g zu bringen.
Für das F ließ en d es S tah les wird d ie m a x i m a l e S c h u b s p a n n u n g verantw ortlich gem ach t [ C o u lo m b , 1776; T r e s c a , 1868; G u e s t , 1900;
M o h r , 1882; L u d w i k 2)]. Es g ib t F älle, in d en en der W erkstoff unter d en versch ied en sten V erh ältn issen räum licher B eanspruchungen b ei ein und d erselb en Schubspann un g zu fließ en b egin n t. B eson d ers klar ist dies b ei Einkristallen ausgeprägt, w o b e i w ech seln d er Richtung der Kristall- G leitfläche zur aufgebrachten Kraftrichtung und b ei veränderlich em , ab
se itig e n (hydrostatischem ) Druck d ie Schubspannung, unter w elch er das
9 V g l. F. S c h l e i c h e r , Z. ang. M ath. 6 (1926), S. 199 bis 216. — W. L o d e , V D I-F o rs ch .-H eft Nr. 303 (1928); Z. f. P hys. 36 (1926), S .9 1 3 b is 939. — H. F r o m m , G renzen d es ela stisch en V erh altens beanspruchter Stoffe. L eip zig 1931.
2) P. L u d w i k , E lem en te der tech n o lo g isch en M echanik. B erlin 1909.
F ließ en b egin n t, konstant b le ib t3). Bet den vielk ristallinen W erkstoffen findet sich das G esetz nicht einw andfrei bestätigt. In der rein elastizitäts
th eoretisch en D arstellu n g der Spann un gskreise nach M o h r 4) ergibt das G e s e t z k o n s t a n t e r S c h u b f e s t i g k e i t
(1) A ^ - = V )
nach B ild 1 eine P arallele zur s - A c h s e 0), w o h in g eg en e in e A b w eich u n g von d iesem G esetz auch ein e von der G eraden a b w eich en d e Kurve, d ie M o h r s c h e H ü l l k u r v e ergibt.
Mohrsche Hüllkurve ( Bruch v. Marmor]
/
üeseth konst. Schubfestigkeit Energie-Hypothese (Fttcßgrcnzc v-Stahlguß) (Fttrßgrcnze v. Stahlguß}
B ild 1. D arstellu ng von F ließ - und B ruch-G esetzen im A chsenkreuz Schu bspann un gen t _l H auptspannungen 5.
B e l - B ei der G e s t a l t s ä n d e r u n g s - E n e r g i e h y p o t h e s e nach t r a m i , 1885; H u b e r , 1904; M i s e s , 1913; H e n c k y , 1 9 2 5 1):
(2) (s, — s ,) 2 + (s2 — s 3)2 + (s, — s 3)2 = 2 s v2
hat man an S te lle der kritischen Schubspannung ein en elastisch en E nergie
begriff als p h ysik alisch e U rsache d es F ließ b eg in n es ein geführt. D iese H y p o th ese entstand aus der Erkenntnis, daß bei den vlelkrlstallincn W erk
stoffen d ie A b w eich u n g en vom S ch u bsp an n u n gsgesetz auf d ie M itw irkung der m ittleren H auptspannung s 2 zurückzuführen sin d . D ie se Tatsache w äre, w en n man b ei dem G ed anken einer kritischen Schubspannung v erb lieb e, m it ein er stren gen elastizitätsth eoretisch en Ü b erlegu n g nicht verträglich; denn nach ihr lieg t die größte Schubspann un g in der E bene der b eid en äußersten H auptspannungen s t und s3 und ist von der sen k recht hierzu w irkenden m ittleren H auptspannung s , un abh ängig. D ie E n erg ieh y p o th ese g e h t daher von dem G ed ank en der kritischen Schub
spannung als ph ysikalische U rsache ab und such t nach ein em anderen Ü rsachenfaktor, das ist die ela stisch e G estaltsänderungsarbeit.
D er Stotfkun dige w eiß in d ess en , daß d ie G ru n d elem en te der F estig k eit der Stoffe die G l e i t u n g (Translation) und d ie T r e n n u n g (K ohäsion) s in d 3). D ie abstrakte K räftem echanik arbeitet ja m it analogen G rund
b eg riffen , näm lich den S c h u b s p a n n u n g e n und den N o r m a l - 3) E. S c h m i d u. W. B o a s : K ristallplastizität. Berlin 1935.
4) A. M o h r , Z .V . D .I. 34 (1900), S. 1524 bis 1530 und 1572 b is 1577.
5) D ie kon stan te Sch u b festigk eit ist mit r v b e zeich n et, um durch den In dex zum Ausdruck zu bringen, daß man sie als V e r g l e i c h s s p a n n u n g aus ein em b e lie b ig e n V ersuch, z. B. dem Z ugversuch erm itteln kann.
e) D ie effek tiven Spannungen w erd en n achfolgend im m er m it s b e zeich n et im G eg en sa tz zu den auf den ursprünglichen Q uerschnitt b e z o g en e n Spannungen, d ie m eist durch a g ek en n zeich n et w erden.
1 7 8 K u n t z e , Zur Frage der F estig k eit b ei räum lichen Spann ungszu stän den B e ila g e m r Z e its c h rift „ D ie B a u te c h n ik “
S p a n n u n g e n . Man wird daher zw eck m äß ig d ie se B egriffe als ph ysi
k alische Ursachen der F estig k eitsv o rg ä n g e b eib eh alten w o lle n und muß nur dem Stoff z u b illig e n , daß er sich nach Ü berschreiten der E lastizitäts
gren ze quantitativ anders verhält als mit elastizitätstheoretisch em D enken vorau szusetzen wäre. Einer der von der E lastizitätsth eorie abw eich en d en Grundsätze des stofflich en V erhalten s im ü b erelastisch en (plastischen) G eb ie te ist der, daß ein h erau sgesch n itten es K örperteilchen sich anders als im Verband verhält, se lb st w enn man d ie aus der N achbarschaft auf das T eilchen einw irkenden Kräfte b ei dem herau sgesch n itten en genau ersetzen würde. (Im elastisch en G eb iet ist ein solcher U n terschied d es V erhaltens im Verband und im lo sg e lö sten Zustand grundsätzlich nicht vorhanden). Der p lastisch e W iderstand e in es T eilch en s ist daher vom V erhalten der N achbarteilchen abhängig. Aus diesem G rundsatz heraus wird es erklärlich, daß auch d ie m i t t l e r e H a u p t s p a n n u n g s 2, die ja für sich g en o m m en auf d ie Nachbarteilchen einw irkt, durch d ie V erm ittlung d ieser das G esam tergeb nis b e ein flu ssen kann. Es läßt sich dann der Einfluß der m ittleren H auptspannung s 2 quantitativ so d eu ten , als ob nicht nur der größte Spannungskreis mit dem Radius --3- , sondern
5 s s s
auch die beid en anderen Spannungskreise 2 3 und 1 ^ 2 einw irken.
An Hand der V ersu ch sergeb nisse von L o d e 1) ist zahlen m äß ig nachw eisbar, daß die Einwirkung der m ittleren H auptspannung s 2 dann am größten ist, w enn der zw eitgröß te Spannungskreis den größtm öglichen Wert
s -f- s
s 2 = L- 2 3 an n im m t7). Daraus erkennt man, daß auch d ie Einwirkung von s 2 auf das G esam tergeb n is auf e in e Spann un gsdifferenz, also auf e in e Schubw irkung zurückzuführen ist.
D ie vorsteh en d en Ü b erleg u n g en so llten auch nur der B egründung d ien en , daß d ie E n ergie-H yp oth ese als G e s e t z k o n s t a n t e r S c h u b f e s t i g k e i t Im s p e z i a l i s i e r t e n ( d e m p l a s t i s c h e n V e r h a l t e n a n g e p a ß t e n ) S i n n e a n zu seh en ist. Bild 1 z eig t, daß sie gen a u so ver
läuft, w ie das G esetz konstanter S ch u b festigk eit, nur daß s ie als F o lg e d es E in flu sses von s 2 ein 15% betragen d es S treu g eb iet au fw eist. S ie ergibt je w eils ein e zur s-A ch se parallele G erade (d. h. ein e kon stan te m axim ale Schubspannung) für F älle, in den en die Spann ungsdifferenzen zw ischen den drei Größen s ,, s 2 und s 3 konstant b leib en . Für den F all, daß s 2 = s 1 oder s 2 = s3 ist, g e h t sie in das a llg e m ein e G esetz konstanter S ch u b festig
keit ü b er, in w elch em s 2 ohn e W irkung gedacht ist. Daß g leic h z eitig ein elastizitätstheoretisch er E nergiebegriff ein en kri
tischen W ert für das F ließ en d e s W erkstoffes abgibt, steh t einer A u s
leg u n g der E nergie-H ypo
th ese als sp ezia lisiertes G esetz konstanter Schu b
festig k eit nicht en tg eg en . A n derseits Ist von der ~sj M o h r s c h e n H ü l l k u r v e bekannt, daß sie bei spröden W erkstoffen an
gen äh erte G ü ltigk eit b e sitzt. Wir w o llen an
n eh m en , daß d ie, in der M ohrschen H y p o th e se bei zu n eh m en d er N orm albe
anspruchung zum A u s
druck kom m en d e A b
nah m e der S chu bfestigk eit als F o lg e der durch die N orm alspannungen her
vorgerufenen K ohäsions
üb erw ind un g zu deuten
is t 7). D as M ohrsche H ü llk u rven -G esetz w ürde sonach n eb en den G leit
ersch einu ngen auch den R eißvorgängen ein en Einfluß einräum en.
Wir sind jetzt in der L age, d ie g e s a m t e F e s t i g k e i t s f r a g e b ei räum lichen Spannungszuständen — w elch e durch d ie M o h r s c h e n und B e l t r a m l - H u b e r s c h e n , so w ie den daraus fo lg en d en E ntw icklungen einer Z ersplitterung unterw orfen war — ein h eitlich unter dem G esich ts
punkt der G l e i t - und K o h ä s i o n s - Ü b e r w i n d u n g zu betrach ten 8). Zu d iesem Zw ecke seien d ie aus V ersuchen bekannten F eslig k eitsw erte in
<) W. K u n t z e , K ohäsion sfestigk eit. Berlin 1932.
s) Eine Verknüpfung beider E ntw icklu ngen, allerd in gs auf rein elastizitätstheoretischer G rundlage, hat schon S c h l e i c h e r 1) durchgeführt, indem er d ie Form änderungsarbeit nicht a ls konstant, sondern als ein e durch V ersuche zu b e stim m en d e Funktion ansah.
kg/m m
Bild 2. B eleg u n g d es sp ezia lisierten G esetz es konstanter Sch u b festigk eit (E n ergie-H yp oth ese) m it V ersuchsw erten nach Ros und Eichinger unter Z uh ilfenahm e der L od esch en H ilfs
größe rj.
W erkstoff: S tahlguß geglüht, u n tere Streckgrenze.
A ngeschriebene Zahlen = i]-Werte.
Bild 2 ln ein A chsenkreu z der größten und k lein sten H auptspannungen
± s3 e in g ezeich n et. H ierbei so ll s 3 im m er d ie arithm etisch k lein ste Spannung darstellen, so daß z. B. ein e große Druckkraft (— s s) als kleinere H auptspannung g e g en ü b er ein er klein eren Druckkraft (— s x) oder einer Zugkraft ( + s t ) gilt. Das A chsenkreuz der größten und k lein sten H aupt
sp ann ung ist für e in e übersichtliche D arstellu n g b esser g e e ig n e t als die M ohrsche D arstellu ng nach Bild 1. ln ersterer D arstellung ergibt die H yp oth ese der konstanten S ch u b festigk eit (w enn in G l. (1) an S te lle der Schu bspann un g 2 r v d ie L ängssp annung am Zugstab s v als V erg leich s
w ert ein gefü hrt wird) e in e d iagon algerich tete G erade. D ie sp ezia lisierte H yp oth ese der konstanten S ch u b festigk eit (E nergie-H yp othese) ergibt ein en hierzu parallel verlaufenden Streuungsbereich. D ie b eid en G renzgeraden d ie se s Streu u n gsb ereich es w erden (w ie in Bild 1) dadurch fe stg ele g t, daß einm al s 2 = s 3 oder s 2 — ^ und im anderen G renzfalle s 2 —
w lr d 8). Im letzteren F alle ist der zw eitgrößte Spannungskreis am kleinsten, und d ie F estig k eit in Richtung s t daher am größten. In Bild 2 ist der N ach w eis der G ü ltigk eit dieser A u ffassung durch V ersuche von R o s und E i c h i n g e r 10) an S t a h l g u ß sehr gu t g e lu n g e n . D och ist hierfür ein e der am b esten passend en V ersuchsreih en herau sgesu ch t w orden. A n dere Reihen w e ise n größere V ersuchsstreu ungen auf, die aber zu keinem W ider
spruch herausfordern.
Das s p e z i a l i s i e r t e G e s e t z k o n s t a n t e r S c h u b f e s t i g k e i t (E nergie-H yp othese) kann hiernach im Druck-Q uadranten und im Schub- Quadranten als g ü ltig an gen om m en w erd en . Im Zug-Q uadranten (dem für d ie K erbw irkung so w ich tigen G eb iet) gab es — w ie schon erw ähnt — bish er k ein e V ersu ch sm ö g lich k eiten , d iesen Zustand exp erim en tell zu verw irklichen, da sich ein e a llseltig e Z ugw irkung, ähnlich w ie allseitig er Flüssigk eitsd ru ck , nicht durchführen läßt. M an wird — w enn man zunächst von K o h ä sio n sein flü ssen a b sieh t — das sp ezia lisierte Schu b
sp an n u n gsgesetz auch im Z u g-Q u ad ran ten g e lte n lassen m üssen, w eil die G renzbedingu ng stim m t. G eh t näm lich der Spann ungszu stan d in ein en p olarsym m etrisch en (s1 = s 2 = s 3) über, so w erd en die Schub
kom ponenten im m er geringer, bis sie schließ lich im G renzfall = 0 w erden.
Dam it n ehm en aber d ie H aup tspan nu ngen, d ie zur Ü b erw indun g einer kritischen Schu bspann un g erforderlich w erden, zu und w erd en im G renzfall = o o . Ein im a llseitig g leic h e n Z u g-S p an n u n gszustand b ea n spruchter Körper kann sich m ithin nicht plastisch verform en . Für die Praxis w ird aber d ie s e G esetzm äß igk eit d esh alb hin fällig, w e il b e i Er
höh u n g der H auptspannungen d ie T rennw iderstände ü b erw u nd en w erd en , w om it der Körper v orzeitig zu Bruch geh t. A uf d iesen Fall so ll später an H and von Bild 6 ein g eg a n g en w erden.
Vorerst s o llen als G egen stü ck zur D arstellu ng d es „zäh en “ W erk
stoffes Stahl in Bild 2 ein e R eihe von W e r k s t o f f e n m it „ s p r ö d e m “ B r u c h betrachtet w erd en . D ie in Bild 3 v e rw en d eten V ersuch sergeb nisse sind den V eröffentlich un gen von R o ä , E i c h i n g e r , K a r m d n , B ö k e r e n tn o m m e n 11) und sin n gem äß a u sg ew ertet w orden. D ie zur D arstellung gebrachten Kurven sind, so w e it sie stark a u sg ezo g e n sin d , unm ittelbar durch V ersuchsw erte b e leg t, w o h in g eg e n d ie unterbrochen g ezeich n eten Linien th eoretisch en E rw ägungen entsp rech en . U m ein en b e sseren V er
gleic h der e in ze ln en W erk stoffe zu erleichtern, ist ihr W iderstand s D bei reinem Druck = 1 g e s e tz t w orden. V erg le ic h sw e ise ist auch der W erk
stoff Stahl m it e in g ez eic h n et w orden. Außer den F estig k eitsb eg riffen , w e lc h e e in e p lastisch e V erform ung au ssch ließ en , a lso P roportionalitäts
g ren ze, F ließ g ren ze, verform ungsloser Bruch, w u rd e im F alle der A lum iniu m -B ron ze auch d ie B ruchfestigkeit, d ie nach ein em erh eb lichen Maß plastischer V erform ung eintrat, ln den B ereich der Betrachtungen e in b e z o g e n 12). B ei d iesem W erkstoff w urde d ie g erad lin ige V erb ind u n gs
lin ie zw isch en reiner Zug- und D ruckfestigkeit (auf d en effek tiven Q uer
schn itt b ezogen ) für d ie n ach folgen d e Betrachtung h era n g ezo g en , da die w en ig en V ersuchspun kte im S ch u b -Q u ad ran ten (w ohl als F o lg e der Plastizität) zu starke Streuungen zeig ten und kein klares Bild ergaben.
E b en so wurde b ei G u ß eisen d ie V erb indungslinie zw isch en reinem Druck und reinem Zug unter so n st g leich en V ersu ch sb ed in gu n gen g ew ä h lt, w ell auch hier im Schub-Q uadranten d ie W erte infolge versch ieden er V ersuchs
b ed in gu n gen (Vollkörper, H ohlkörper, un terschiedliche S p an n u n gsverteilu n g b e i Torsion) d ie W erte streu ten . D ie übrigen W erk stoffe: P orzellan,
9) Der Streuungsbetrag von m axim al 1 5 % für s i läßt sich aus G l. (2) für den Son derfall leich t errechnen, daß i 3 = 0 und s 2 Si + s 3
wird.
10) D iskuss.-B er. Nr. 34, E id gen . M at.-Prüf.-Anst. Zürich 1929.
11) D iskuss.-B er. Nr. 28, E idgen. M at.-Prüf.-Anst. Zürich 1928.
12) Trotz ihrer „P lastizität“ wird auch d ie A lum inium -B ron ze zu den
„sp röd en“ W erkstoffen g ezä h lt, w e il sie beim Z ugversuch k ein en F ließ k e g e l b ild et. Es 1st bekannt, daß die „p la stisch e“ Verform ung der Bronzen m ehr oder w en iger darin beruht, daß sich sichtbare R isse b ild en , d ie auf
klaffen und sich dann w ieder langstrecken. D ie se E igenschaft kann nicht als „zäh e“ b ez eich n et w erd en .
J a h r g a n g 10 H e ft 2 3
5 . N o v e m b e r 1937 K u n t z e , Zur Frage der F estig k eit b ei räum lichen S p ann un gszu stän den 1 7 9
Marmor, Z em en t, K unststoff v e rliefen zw isch en D ruckfestigkeit und Z ug
festig k eit ein w and frei auf der g erad lin igen V erb in d u n glin ie.
Zunächst fällt bei den spröden W erkstoffen a u f, daß F estigk eit und Proportionalitätsgrenze sich nicht in die 4 5 °-R ic h tu n g w ie b ei Stah l ein ord nen, also nicht nach dem G esetz der konstanten Schu b
festig k eit sondern m ehr oder w e n ig e r unter T rennun gseinflüssen flacher verlaufen. (S ie eign en sich w e g e n ihrer veränderlichen S ch u b festigk eit auch für e in e D arstellu n g m ittels der M ohrschen H üllkurve).
in kg/am2 si t j f y '
(0 «7
Druck-Quadrant E rm ittelt au s V ersuchsw erten.
1 Stahl, P-Grenze, Fließgrenze, Bruch Z Kunstharz, Fließgrenze 3 Aluminium-Bronze, Bruch 1 Gußeisen, Bruch 5 Zement, Bruch 6 Marmor, P-Grenze, Bruch 7 Porzellan, Bruch
---E xtrap o liert m it H ilfe d er Gl. (3).
B ild 3. D arstellu ng d es a llg e m ein en G es e tz es veränderlicher Schu bspann un g im A chsen kreu z der größten und k lein sten H auptspannung m it H ilfe
von V ersuchsw erten von Roä, E ichinger, Kärmän, Böker.
D ie S teilh eit der K urven, w e lch e durch den U n terschied zw isch en Z u gfestigk eit und D ruckfestigkeit zum Ausdruck gebracht und durch den Q u otien ten s z j s D zah len m äß ig leicht fe stg e le g t w erd en kann, z eig t nach Bild 4 ein e kontin uierliche B ezieh u n g zur P o isso n sch en E lastizitäts- K onstanten fi. Man kön n te hierb ei zunächst an e in e G ü ltigk eit der von M ariotte (1682), N avier (1826) und St. V enan t (1837) ein gefü h rten H y p o t h e s e n k o n s t a n t e r H a u p t d e h n u n g d enk en , w e lch e ein en b estim m ten ela stisch en D eh n u n gsb etrag für den Bruch verantw ortlich m acht, und deren V erw en d u n g dem E lastizitätsth eoretiker und Statiker sehr nahe liegt. D ie H y p o th ese konstanter H aup td eh nu ng ergibt z .B . für s 2 = s 3 m it der B ezieh u n g
51
= s v + 2 t ‘ s 3ein e (für s 2 — s L nicht g ü ltig e) A b hän gigk eit d e s W ertes s z von zu SD
s z
~ J ~ ~ 2 ^ . SD
D ie se in Bild 4 e in g ez eic h n ete B ezieh u n g fällt aber nicht m it der e b e n falls in Bild 4 d argestellten , durch V ersuch e erm ittelten B ezieh u n g zu sam m en und es ergibt sich, daß der U n tersch ied z w isc h en Z u gfestigk eit und D ruckfestigkeit in W irklichkeit noch größer ausfällt als sich mit H ilfe genannter H y p o th ese errechnen läßt. M an kann auch nicht von ein er angenäh erten G ü ltigk eit der H y p o th ese konstanter H aup td eh nu ng sp rechen, w e il sie ein en b eträch tlich en Einfluß der m ittleren Haupt
spannung 5 , vorau ssetzt. Ein so lch er w urde aber b ei allen hier b e trachteten W erkstoffen (m it A u sn ahm e d es g leitfä h ig e n Stah les) nicht b eo b a ch tet, w ie z w e i ln n ach steh en d er Z ahlentafei herausgegriffene m arkante B e isp iele für den Bruchzustand zeig en .
Z a h l e n t a f e l 1.
B e isp iele für den B ruchspannungszustand bei G u ß eisen nach Ros und Eichinger.
Sl s 2 ^3
kg/cm 2 kg/cm 2 kg/cm 2
2080 1900 — 190
2100 955 — 210
Man kann auf Grund d es E rgeb n isses dieser G egen ü b erstellu n g zw eier B ezieh u n g en in Bild 4 , d ie aus V ersuchsw erten und nach der H y p o th ese konstanter H aup td eh nung a u fg e ste llt w urden, verm uten, daß d ie Zahl u nicht nur die ela stisch en D eh n u n gen in den drei Haupt
richtungen b ed in g t, sondern daß noch ein e W irkung s t o f f l i c h e r N a t u r a u sg eü b t wird, die den Trennvorgang b eg ü n stig t: w eil näm lich über den Ein
fluß der elastisch en D ehn un g hin aus d ie Z u gfestigk eit g eg en ü b er der Druck
festig k eit um so m ehr abnim m t, je gerin ger n wird. H ieran so llen noch
ein ig e Ü b erlegu n gen geknü pft w erd en . Bei der elastisch en Verform ung u n terscheidet man ein e G e s t a l t s ä n d e r u n g (Infolge Schubspannungen) und ein e V o l u m e n ä n d e r u n g (in folge N orm alspannungen), b e id e Form änd erun gsvorgänge entsp rech en der . G l e i t u n g “ b zw . der . T r e n n u n g “ b ei den üb erelastisch en B eanspruchungen. Ist ,i = 0,5, so tritt nach elastizitätsth eoretisch en Ü b erlegu n gen kein e ela stisch e V olum enän deru ng,
also auch k ein e Trennbean- spruchung, sondern nur G e
staltsän deru ng auf, nim m t aber /i ab, so nim m t d ie V o lum enänderung auf K osten der G estaltsänderung m ehr und m ehr zu, b is im G renz
fall für ti — 0 nur noch V o lum enänderun g, also Tren
nu ngsbeanspruchung vor
handen ist. M it A b nahm e v on fi nim m t a lso d ie Tren
nungsbeanspru ch un g lau
fen d zu und d ie G leitb ea n spruchung ab. D as steht m it B ild 4 durchaus in E inklang.
Nun seh en wir aber, daß auf Grund der V ersu chs
w erte schon b ei /< = 0,2 (an S te lle fi = 0) der Q uotien t s z / s D praktisch = 0 w ird, der W erkstoff also noch eher zum Trennbruch n eigt e la stisch en Vor-
0,2 0ß 0,6
Z u gfe stig ke it a ls Vielfaches d e r D ru ckfe stig ke it sz /sg
Bild 4. B ezieh u n g zw isch en relativer
Z u gfestigk eit und P oisson sch er K onstante ,t. als die
l == stahl, 2?= K un sth arz, 3 = A lum inium bronze, b ed in g u n g en es verm uten 4 =1G ußeisen, 5 = Z em ent, 6 = M arm or, 7 = Porzellan, la ssen . Wir fragen uns also,
w as fi außerdem für die B eschaffen heit d e s S toffes b ed eu tet. P o i s s o n hat ein e th eoretisch e A b leitu n g g e g e b e n , nach w elch er die Zahl u für a lle isotropen Stoffe konstant = 0 , 2 5 sein m ü sse. W. V o i g t 13) se tzt richtu ngbedingte A n
ziehu ngsk räfte der M o lek ü le voraus und k om m t zu dem E rgebnis, daß fi sich zw isch en 0 und 0,5 b e w e g e n kön n e. Man kann nicht b eh au p ten , daß m it d iesen sehr alten F orschungen die Frage der B ezieh u n g en der elastisch en K onstanten zum G efü g e gek lärt s e i, um so mehr, als die G efü gek u n d e sich erst v iel später e n tw ick elt hat. Forschungen neueren D atum s über d ie stofflich e B ed eu tu n g der Zahl /< g ib t es nicht. U eber d ie E in flü sse der Inneren In h om ogen itäten , der K orngrenzen, der inneren R isse auf d ie Zahl fi sind w ir noch v ö llig im Unklaren. Wir können daher nur ganz a llg e m ein e U eb erleg u n g en h eran zieh en, um die o bigen V orgänge zu erklären.
J e größer d ie I n h o m o g e n i t ä t e n im G e f ü g e ein es Stoffes sin d , je w en iger g leitfä h ig ist er. Je w e n ig er wird der Stoff in der Lage sein , ein e Ü bertragung ein er au fg e g eb en en ela stisch en L än gsd ehn un g auf die Q uerrichtung zu verm itteln . Je k lein er wird alsdann fi. Wir w issen außerdem , daß W erkstoffe m it großen inneren In hom ogenitäten infolge der dadurch erzeu gten S p a n n u n g s s p i t z e n g eg en ü b er Z ugb ean
spruchungen em pfindlich sind. Der g erin g e W ert von s z j s D b ei geringem ,u wird m ithin verständlich, w enn w ir d ie A b nah m e von fi m it einer Zunahm e innerer Inhom ogenitäten erklären. D ie Zahl fi = 0,2 d eu tet nach Bild 4 schon e in e so große inn ere Inhom ogenität d es Stoffes an, daß die G renze der Z u g s p r ö d i g k e i t erreicht wird. Z. B. b e trägt b ei Porzellan mit ¡i = 0,208 d ie effe k tiv e Z u g festig k eit nur noch 0,07 der D ruckfestigkeit. V ersuche von R o s und E i c h i n g e r mit G estein en g e b e n Grund zu der A nnahm e, daß b e i « < 0 , 2 d ie Inhom o
g en itäten so lch e A u sm aße a n n eh m en , daß man schon v o n ein er U n t e r b r e c h u n g d e s s t o f f l i c h e n Z u s a m m e n h a n g e s sprechen kann. B el d iesen V ersuchen finden sich d ie g e r i n g e n s t o f f l i c h e n B i n d u n g e n in den F ä lle n , w o f i < 0,2 is t, durch ein en auffallen d g e r i n g e n E - M o d u l b estätigt. Der W erkstoff Kork, d e ssen g erin g e B ind ungen b e kannt sind, hat e in e sehr klein e P oisson sch e K onstante, w o g e g en L elm , d e ssen Fabrikationszw eck ja die E rzeugu ng a u sgezeich n eter B ind ung ist, ein fi von nahezu 0,5 hat (W arburg, Physik).
D ie in Bild 4 zum Ausdruck kom m en d e G esetz m ä ß ig k eit zw isch en ,«
und s z / s D führt, da sie m it großer A nnäherung g erad lin ig verläuft, auf die n ach steh en d e, in Bild 3 gestrichelt ein g ez eic h n ete em pirische B ezieh u n g im räum lichen A chsen kreu z
(3) - s , s 3 — 0,2q(3 - V
D ie se B ezieh u n g g ilt nur für fi = 0,2 bis fi = 0,5 und führt, w enn ¡i — 0,5 wird, auf das G e setz der konstanten S chu bfestigkeit.
13) A n nalen P h ys. u. C h em ., Bd. 3 8 (1889), S. 573 bis 587.
1 8 0 K u n t z e , Zur F rage der F estig k eit b ei räum lichen Spann ungszu stän den D E R S T A H L B A U
B e i l a g e z u r Z e i t s c h r i f t » D ie B a u te c h n ik * -
Nach v orsteh en d er G l. (3) Ist die F estig k eit der spröden W erkstoffe von einer b estim m ten Funktion einer Sp annungsdifferenz abh ängig und fo lg t ein em G e s e t z v e r ä n d e r l i c h e r S c h u b f e s t i g k e i t . Da die S ch ieb u ng elastisch er Natur ist, so wird dam it erklärlich, daß die m ittlere H auptspannung keinen Einfluß nim m t. Das G esetz konstanter Schub
festig k eit ist ein G renzfall der Gl. (3), w enn ,« = 0,5 wird. Da der W erk
stoff Stahl dem G esetz konstanter Schubspannung folgt, so ist daraus zu sc h ließ en , daß für ein en plastisch g leitfä h ig en W erkstoff nicht das elastisch e ft sondern das p lastisch e ^ = 0,5 in G l. (3) ein zu setzen ist. D ie F estigk eit wird dann durch T rennungen nicht b eein flu ß t. Ein spröder W erkstoff, d essen elastisch er W e r t,« nah ezu 0,5 ist (z. B. K unstharz in Bild 3) verhält sich daher (relativ betrachtet) bei statisch räum licher A n
strengung ganz ähnlich w ie ein plastisch gleitfähiger W erkstoff (z. B. Stahl).
Er un terscheidet sich aber vom gleitfä h ig en W erkstoff durch se in e S chlag
em pfindlich keit.
B ei Betrachtung des B ild es 3 fällt noch auf, daß b ei d en W erkstoffen M armor und Z em ent, w elch e g en ü g en d w eit b is in den Druck-Quadranten untersucht w urden, d ie V ersuchspunkte sich hier in d ie 45°-R lch tu n g eln- ordnen und ein plastisch es V erhalten der entsp rech en den W erkstoffe an- z eig en . Erst nahe dem Schub-Q uadranten laufen d ie Kurven in die steilere, durch G l. (3) fe stg e le g te Richtung ein , w om it dann das spröde V erhalten a n g ezeig t wird.
Der W erkstoff Stahl verhält sich gleichartig, nur daß sein plastisches G eb iet sich auch noch bis ln den Schub-Q uadranten erstreckt und erst im Zug-Quadranten aus der 4 5 “-Richtung d e s G e s etz es konstanter Sch u b festig
keit ln flachere Richtung entsprechend Gl. (3) ü b ergeh t; denn der F ließ- w iderstand kann nicht b e lie b ig hoch an steig en , ohn e daß er das Maß des T rennw iderstands überschreitet. D as V erhalten d e s S tah les im Zug- Q uadranten soll später an Hand von Bild 6 noch ein g eh en d b eh an d elt w erden.
Zunächst gen ü g en die E rgebnisse, um nachfolgend ein en ein h eitlich en Ü b er
blick über das V erhalten der W erkstoffe bei räum lichen Spannungszuständen zu g e b e n , w o b ei vo ra u sg esetzt wird, daß die v o rlieg en d en V ersuchs
ergeb n isse zu dieser Ü bersicht schon d ie B erech tigu ng g eb en .
A lle festen W erkstoffe ln allen P hasen Ihrer räum lichen B e
anspruchung, g leich g ü ltig , ob ihre K ennzahlen ein plastisches V erhalten oder den spröden Bruch an zeigen , ergeb en in einem e b en en A chsenkreuz der größten und k lein sten H auptspannung ein k on tin uierliches und g leich artiges G esetz ihrer statischen F estigk eit.
S ie durchlaufen vom Druck-Quadranten au sg eh en d in Richtung des Z ug-Q uadranten zuerst ein G eb iet plastisch en V erh alten s und nachfolgend ein G eb iet spröden V erhalten s.
D ie (zunächst noch em pirische) m athem atisch e Funktion d es a llgem ein en V erlaufs ste llt ein G esetz einer, m it dem Spannungs
zustan d veränderlichen Schubspannung von der Form der G l. (3) dar, in w elch em d ie P o isso n sch e K onstante ¡i nicht nur die elastisch e A n stren gung in den drei Raum richtungen b ed in gt, sondern auch die Festigkeits-C harakteristik d es M aterials liefert. In den B e
anspruchungsbereichen, in w elch en der b etreffen d e W erkstoff sich plastisch verhält, g e h t m it /t = 0,5 d ie G l. (3) in das G esetz kon
stanter Sch u b festigk eit nach G l. (1) über.
D ie Frage, unter w elch en Sp an n u n gsb ed in gu n gen der W erkstoff sich plastisch oder spröde verhält oder unter w elch en B edingu ngen er vom plastischen Z ustand in d en spröden üb ergeht, kann nur durch V ersuche und d ie Erfahrung b eantw ortet w erd en . D iese E igenschaften sind gefü getech n tsch und therm isch bedin gt. D ie a u fg estellten G esetzm äß igk eiten k enn zeich n en die relative Ver
änderung der F estig k eit, nicht ihren A b solu tb etrag, und b en ötigen daher ein en versu chsm äß ig zu b estim m en d en V ergleich sw ert als B ezu gsgröße innerhalb ihres G ü ltigk eitsb ereich es.
D er Einfluß der m ittleren H auptspannung ist (entsprechend obiger Erklärung) ein e Eigenart allein d es plastisch en V erh alten s.
U ntersch eid et sich d ie m ittlere H auptspannung w esen tlich von der größten und klein sten , so ist an S te lle d es G esetz es konstanter Schu bfestigkeit das .sp ezia lisierte G esetz konstanter S ch u b festig
k e it“ (E nergie-H ypothese) nach G l. (2) a n zu w en d en , w e lch es den b is m axim al 15°/0 betragen den Einfluß der m ittleren H auptspannung beim G leitvorgan g berücksichtigt. Das sp ezialisierte G es etz kon
stanter Sch u b festigk eit erhält ein e in den Rahm en der G esam t
betrachtung p assen d e D eutu ng. Es ergibt ein e konstante kritische S ch u b festigk eit für d ie F älle, in den en die D ifferenzen zw ischen den drei H auptspannungen konstant b leib en . D ie G röße der kritischen S ch u b festigkeit hängt von der Größe der Spann un gs
differenzen ab.
Nach Form ulierung dieser a llg em ein g ü ltig en G esetzm äß igk eiten so ll nunm ehr das V e r h a l t e n d e s W e r k s t o f f e s S t a h l im Z u g - Q u a d r a n t e n untersucht w erd en . Man ist ln d iesem B eansp ru ch un gsgebiete darauf a n g ew iesen , ein en räum lichen Spannungsfluß durch g e e ig n e te G estaltu n g d es beanspruchten Körpers, z. B. durch A nbringung von K erben zu er
zeu g en , w o b ei der zusätzlich e Einfluß ungleichm äßiger Sp ann un gsverteilun g auf d ie F estig k eit von der e ig en tlich en räum lichen F estig k eit abzutrennen
ist. Nun läßt sich der K ennw ert der F ließ gren ze, w elch er im Druck- und Schubquadranten nach Bild 2 zum N ach w eis d e s sp ezialisierten G e se tze s konstanter S ch u b festig k eit nach G l. (2) d ien te, bei gekerbten Proben nicht vorteilh aft v erw en d en . Bild 5 z eig t an ein em B eisp iel, w ie schw er es Ist, den F ließ b eg in n als k o n v en tio n elles oder als natürliches Maß fest
zu leg e n . B esser e ig n et sich die H öch stlast zur V erfolgu n g der F e s tig keitsfrage bei g ek erb ten Proben im Zug-Quadranten (ob gleich bei glatten Proben d ie se lb e Im Druck- und Schub-Q uadranten w e g en der voran
g eh en d en plastisch en V erform ung w en iger klare E rgeb n isse liefert). A us den V ersuchen von R o s und E i c h i n g e r ergab sich, daß bei g leitfä h ig en W erkstoffen (Flußstahl, Stahlguß, Tombak) auch die W erte der effek tiven Z erreißfestigkeit entsp rech en d dem G esetz konstanter S ch u b festigkeit an
gen äh ert auf einer unter 4 5 ° g e n e ig te n G eraden lie g e n .
duerdehnung in %
Bild 5. S p an n u n gs-Q u erd eh n u n gsk u rve e in es gekerb ten Prüfstabes aus W eich elsen Im ela stisch en G ren zgeb iet im V ergleich zum V ollstab .
Es so ll nun an Hand ein ig er V ersuche m it ringförm ig e i n g e k e r b t e n R u n d s t ä b e n , d ie auf Z ug beansprucht w urden, fe stg es tellt w erden, w ie d ie im Schub-Q uadranten noch vorherrschende 4 5 “-R ichtung d es F estigk eits- G es etz es im Z ug-Q uadranten als F o lg e dort hinzutretender T ren neinflü sse in e in e flachere Richtung entsprechend dem F e s tig k e its-G e s e tz spröder Körper üb ergeht. Bel der p lan m äß igen U n tersu ch ung der Kerbwirkung hat sich g e z e ig t, daß b e i statischer und sch w in g en d er B eanspruchung der Einfluß un gleich m äßiger S p an n u n gsverteilu n g m it dem Probendurchm esser zunim m t 7) 14). J e klein er d ie Proben sind, je höher können sie sp ezifisch b ela stet w erd en . In B ild 6 (links) w u rd e an drei versch ied en en Stählen durch Extrapolation von F estig k eitsw erten , d ie m it Proben versch ied en en
0 i U 6 8 10 11 11 16 Durchmessen im Kernquerschnift
60 80 100 1S0
Zug Achse s} in kg/rni1'
Bild 6. Erm ittlung d es F estig k eitsv erla u fes v o n Stahl im Zug-Quadrant.
D urchm essers erlangt w u rd en , der Idealw ert erm ittelt, w elch er ein em un en dlich k lein en D urchm esser entspricht. D i e s e r G r e n z w e r t h a t d i e B e d e u t u n g e i n e r v o n d e r E i n w i r k u n g u n g l e i c h m ä ß i g v e r t e i l t e r S p a n n u n g e n b e f r e i t e n F e s t i g k e i t . Bei jed em d ieser drei W erkstoffe w urde d ie Probenform b ei veränderter absolu ter G röße pro
portional g eh a lten , so daß der räum liche Spannungszustand als g leich - b le ib en d angenom m en w erd en kann. D ieser w u rd e durch ela stisch e Q uerd eh n u n gsm essu n gen im en gsten Q uerschnitt d es Prüfstabes an der K erbe zah len m äß ig w ie fo lg t fe stg ele g t: Da bei den v erw end eten rotation ssym m etrischen Proben s 2 — s 3 is t , b e ste h e n d ie e la stiz itä ts
th eo retisch en G leich un gen
(4) ! - ) = ,»
+
l l ) W. K u n t z e , A rch .E isen h ü tten w esen , Bd. 1 0 ,1 9 3 6 /3 7 , S .3 0 7 bis 311, Ber. W erkstoffausschuß Nr. 363.
: « 3 .
J a h r g a n g 10 H e it 2 3
5 . N o v e m b e r 1937 K u n t z e , Zur Frage der F estig k eit b ei räum lichen Spann un gszustän den 1 8 1
D ie W erte und « 3 ( = « 2) s o lle n als d ie D eh n u n gen je Spann un gs
ein h eit (D eh n u n gszah len ) in Längs- bzw . Q uerrichtung im en g sten Q uer
schnitt an der K erbe b e zeich n e t w e rd en , w ährend « und f i a die D eh n u n gszah len in Längs- b zw . Q uerrichtung am glatten Prüfstab sind.
In b eid en G leich u n gen sind «, fi und « 3 = — du rchV ersu ch eb estlm m b ar.
£ s i
In fo lg ed essen kann — un d oq aus b eiden G leich u n g en errechnet w erd en . s i
Zur B estim m u n g d es räum lichen Sp an n u n gszu stan des b en ö tig en w ir den w elch er sich aus G l. (5) ergibt zu
Wert s ,
(
6
) f l K + 0t3S l (1 — f i ) a
D ie W erte s 3/s v w e lch e für die je w e ilig b ei den drei Stäh len ver
w en d eten K erbform en durch ela stisch e M essun gen erm ittelt w urden, sind in Bild 6 (links) an d ie Kurven entsprech en d an gesch rieb en w orden. D ie K enntnis d ieser W erte erlaubt, d ie id ea le F estig k eit (w elch e von der u n gleich m äß igen S p an n u n gsverteilu n g nicht b eein flu ß t wird) in das A chsen kreu z der größten und k lein sten H auptspannung ein zu zeich n en . Man erkennt dann nach Bild 6 (rechts), daß die F estig k eit in Richtung klein er ist, als das unter 4 5 ° v erlau fend e G esetz konstanter Schu b
festigk eit (unter Z u gru n delegu n g der effek tiven Z u gfestigk eit s z als V er
g leich ssp an n u n g s v) in d iesem Q uadranten ergeb en haben w ü rd e. D ie V e r m i n d e r u n g d e r F e s t i g k e i t im Z u g - Q u a d r a n t e n g e g e n ü b e r d e m V e r l a u f d e s G e s e t z e s k o n s t a n t e r S c h u b f e s t i g k e i t i s t — w ie schon erw ähnt w u rd e — a u f z u s ä t z l i c h e T r e n n e i n f l ü s s e z u r ü c k z u f ü h r e n . E in e durch d ie V ersuchspun kte g e z e ic h n e te Kurve, w e lch e sich in der s r A chse tangential an das G esetz konstanter Schub
festig k eit anlehn t und nach der anderen Richtung bis zur T r e n n u n g s a c h s e (s3 = .s1) verlängert wird, m üßte hier in ein e tangen tiale Richtung ein lau fen , w e lch e dem G esetz der verän derlichen Schu b festigk eit nach Gl. (3) entspricht. Da hier je d e G leitm ö g lich k eit au sg esch lo sse n ist, muß man erwarten, daß der Stahl sich spröde verh ält. U nter d iesen G renz
b ed in gu n gen und unter der A nnah m e, daß d ie Kurve d ie Form einer Parabel h a b e , ergibt sich für das Ü b e r g a n g s - G e s e t z im Z u g q u a d r a n t e n fo lg en d e B ezieh u n g
U ) + s i s v2] 2 — s v 2
2 A B C — C + \
C — 1 (s3 — Si + s „ 2)- Hierin b e d e u te t s o 2 den, unter dem Einfluß der m ittleren H auptspannung s 2 in der ^ -A c h s e w irkenden V ergleich sw ert, w elch er sich nach Gl. (2) mit
0 errechnen läßt. Es ist dann s v = und s 3
A = Sv/ Sv2
ß = l + sin (45 + arc • cot C )
Und Vi2 • cos (arc • cot C )
0,3 fi — 0,2 entspricht dem reziproken B eiw ert in G l. (3).
D ie G l. (7) ergibt für s 3 = s 1 ste ts ein en auf der T rennungsachse lieg en d en ein d eu tig en , v o n der m ittleren H auptspannung s 2 u n abh ängigen W ert für d ie T r e n n f e s t i g k e i t :
, a , B C
(8) s T — — — 'S ?
/cg/mm
B ild 7. Verlauf der D a u erw ech selfestig k eit im Schub- und Zug-Quadrant.
D ie Frage d es V erhalten s der D a u e r w e c h s e l f e s t i g k e i t b ei räum lichen Spann un gszu ständen ist noch nicht ausreichend m it Ver
su ch en beantw ortet w orden. Bild 7 bringt d en Verlauf der D au erw ech sel
fe stig k e it von St 52 im Schu b- und Zug-Q uadranten, ln Richtung des Druck-Q uadranten m ü ssen die L inien zü ge sp ieg elb ild lich in b e zu g auf die S c h u b a c h s e verlaufen, da d ie M ittelspan nun g = 0 ist. Nur, w e n n die
M ittelspannung von 0 a b w eich t, läßt sich ein im Z ug-u nd Druck-Quadranten verschiedenartiger V erlau f festste llen .
Nach zahlreich en V ersuchen von P. L u d w lk 15) beträgt b ei Stäh len die T o r s i o n s - W e c h s e l f e s t i g k e i t = 0,577 der Z u g - D r u c k - W e c h s e l - f e s t i g k e i t . Für den Z ug-Q u ad ran t w urden V ersuch e von R. F a u l h a b e r , H. B u c h h o l t z und E. H. S c h u l z an gek erb ten Proben aus
g e w e r te t14) 16). D ie im Z ug-Q uadranten gezeich n eten b eid en L inien zü ge, w e lch e z w e i versch ied en en D u rchm essergröß en von 7,5 und 30 mm Im Kernquerschnitt entsp rechen , b e z ie h e n sich auf K erbform en, die w oh l e in en räum lichen Sp annungszustand, aber e in e w e n ig u n gleich m äß ige S p an n u n gsverteilu n g erzeu g en . Daraus erkennt man, daß Im räum lichen Z ugspan nu ngszustand der E i n f l u ß d e r P r o b e n g r ö ß e auch bei g le ic h m äßig verteilter B eanspruchung vorhanden ist und daher als F o lg e der räum lichen Z ug-B eanspruchung allein auftritt. D as w iderspricht den statischen V orgängen, w o der Einfluß der Probengröße nicht vom räum lichen Spannungszustand abhängt.
D ieser scheinbare W iderspruch wird verständlich , w en n man die p h y s i k a l i s c h e n U r s a c h e n zur Erklärung heranzieht. E in E i n f l u ß d e r P r o b e n g r ö ß e t r i t t n u r d a n n a u f , w e n n T r e n n b e a n s p r u c h u n g e n In W i r k s a m k e i t t r e t e n , n i c h t a b e r b e i m G l e i t e n . T rennbean
spruchungen w erd en w irksam b ei D au erw ech selb ean spruchungen und b ei Spannungsspitzen in fo lg e un gleich m äßiger V erteilu ng. M it h in i s t n u r d i e s t a t i s c h e G l e i t b e a n s p r u c h u n g b e i g l e i c h m ä ß i g e r S p a n n u n g s v e r t e i l u n g v o m E i n f l u ß d e r P r o b e g r ö ß e b e f r e i t .
D ie D a u erw ech selfestig k eit fällt nach Bild 7 m it Zunahm e der P roben
größe sehr erh eb lich herab. D ie F ä lle, w o ein M aschin enteil aus h o ch w ertigem Stahl bei ein er B eanspruchung von nur 7 k g /m m 2 zu Bruch gin g , sind nicht se lten . B e i d e n B a u k o n s t r u k t i o n e n i s t d i e D a u e r b r u c h g e f a h r a u s G r ü n d e n d e r G e s t a l t u n g e r h e b l i c h g e r i n g e r . D ie B eanspruchungen von Plattenkörpern fallen , da s s nie größer als 0 wird, nicht in den Zug-Q uadranten, sondern auf die Zugachse (Bild 7) und neh m en nicht an der starken A b nah m e in fo lg e d es räum lichen S pann un gs
zu sta n d es teil. S ie u n terliegen nur noch dem Einfluß der un gleich m äß igen V erteilu n g der Sp ann un gen (Spannungsspitzen), w elch er sich durch g e e i g n e t e F o r m g e b u n g beherrschen läßt.
D ie D au erfestigk eit b e i räum lichen B eanspruchungen läßt sich vor
läufig noch nicht ln ein m ath em atisch es G esetz fassen . H in gegen konnten die B ezieh u n g en der statisch en F estig k eitsw erte b ei veränder
lich en räum lichen B eanspruchungen für v e rsch ied e n e M aterialien, so w e it es d ie vorh an d en en V ersu ch sergeb n isse zu ließ en , vorsteh en d in e in h e it
licher Form b eh a n d elt w erd en . D ie häufigen und sehr erh eb lichen S t r e u w e r t e b e i V e r s u c h e n , w e lch e dazu b eitru gen , daß d ie G ru ndzü ge der Z usam m en hän ge nicht im m er klar erkannt w urd en , sind w oh l m ehr auf den un terschiedlichen E i n f l u ß d e r E i n s p a n n u n g e n zurückzuführen.
Es lie g t auf der H and, daß Zug-, Druck- und T orsionsproben sich in ihren E in sp an n u n gsein flü ssen erh eb lich u n terscheiden m ü ssen , um so mehr, w en n ihre Form en h oh l oder v o ll g e w ä h lt w urden. D er F ließ m ech an ism u s ist (im G eg en sa tz zur ela stisch en Verform ung) sehr erheblich von der V erform ungsfäh igk eit der N achb artelle, also auch der T eile in Einspann
nähe abhängig.
D ie vorsteh en d b eh a n d elten G esetzm ä ß ig k eite n , die (um der Er
kenn tnis w illen ) als von N eb en ein flü ssen befreit d a rg estellt w urden, wird der K onstrukteur gerad e darum nicht unm ittelbar verw erten kön nen. D ie Fragen d es zu sätzlich en E in flu sses un gleich m äßiger S p an n u n gsverteilun g b e d e u te t ein e n o tw en d ig e E rgänzung, w e ll in d en K onstruktionen die B eanspruchungen im m er u n g leich m ä ß ig verteilt sind. D ie se s w ichtige G eb iet so ll daher ln ein er g e so n d erten Arbeit dem nächst b eh an d elt w erd en . Trotzdem wird der Konstrukteur sich e in ig e w ic h tig e G rundgedanken nutzbar m achen können, z. B. daß der elastizitätsth eoretisch nicht b egrün d ete Einfluß der m ittleren H auptspannung nur ein e F rage der P lastizität ist, und daß d ie spröden W erkstoffe sich in d ieser H in sich t „theoretischer*
verh alten, indem die Größe der m ittleren H auptspannung das E rgebnis nicht b eein flu ß t. Ferner, daß d ie ela stisch e Q u erd eh n u n gsk on stan te fi nicht nur ein e sp an n u n gstech n isch e B ed eu tu n g b esitzt, sondern auch d en Stoff und dam it das ü b erela stisch e V erhalten charakterisiert.
Ü berhaupt läuft d ie n e u ze itlich e E ntw icklu ng der F estigk eitsfrage darauf hin aus, daß man das ü b e r e l a s t i s c h e V e r h a l t e n d es S to ffes nicht nur m it H ilfe der E lastizitätsth eorie und em pirischer Prüfw erte zn erfassen such t, sondern auf Grund ein er s t o f f m e c h a n i s c h e n T h e o r i e .
D ie vorsteh en d en E ntw icklu ngen w urden als Vorarbeit ein er U n ter
su ch un gsreihe über den Einfluß d e s räum lichen Sp an n u n gszu stan d es auf statische F estig k eit und S ch w in g u n g sfestig k e it durchgeführl. Der D e u t s c h e n F o r s c h u n g s g e m e i n s c h a f t , w e lch e der Durchführung d ieser Arbeiten ihre U n terstü tzu ng zu teil w erd en ließ , se i auch an dieser S te lle Dank ausgesproch en .
15) M etallw irtsch., Bd. 10 (1931), S. 705 bis 710. Int. V erb. M aterial
prüf. Kongr. Zürich 1931/32, Bd. I (Gruppe A), S. 190 b is 206.
le) V gl. W. K u n t z e : Arch. E lse n h ü tten w e se n , Bd. 10 (1936/37), S. 369 bis 373. Ber. W erkstoffaussch. 3 6 7 .
