Der Stahlbau : Beilage zur Zeitschrift die Bautechnik, Jg. 9, Heft 10

DER STAHLBAU

S c h r i f t l e i t u n g :

G eh. Regierungsrat Professor ®r.=5>ng. A. H e r t w i g , B erlin-W ilm ersdorf, Sächsische Str. 43 Fernsprecher: 87 7421

Professor W. R e i n , Breslau, T echnische H och schule. — Fernsprecher: Breslau 421 61

B e i l a g e

z u r Z e i t s c h r i f t DIE BAUTECHNIK

Preis d e s Jahrganges 10 RM und P o stg eld

Fachschrift für das g e ­ sam te B auin gen ieurw esen

10. Jah rg an g BERLIN, 7. Mai 1937 Heft 10

A lle R ech te V o rb eh alten .

T h e o r i e d e r e i n s e i t i g a n g e o r d n e t e n S t e g b le c h s t e if e .

V on E r n st C h w a lla und A le x a n d e r N o v a k ln Brünn.

A. A llg e m e in e r T e il.

1. Um den B eulw iderstand der im Stahlbau v erw en d eten dünnen B lech e zu erh öhen, p fleg t man auf ein er oder auf b eid en S elten des B lec h e s V erstärkungen anzuordnen, d ie aus W alzstäben g e b ild et w erd en und m it dem B lech durch N ietu n g oder S ch w eiß u n g verb und en sin d . Im Rahm en der Idealisierun g, d ie bei der D urchführung der Stab ilitäts­

un tersu ch un g derartiger versteifter B lech e erforderlich ist, wird d ie B iech- tafel als dünne R echteckp latte aufgefaßt, d ie an den Rändern b estim m ten L ageru n gsb ed in gun gen unterw orfen Ist und ln ihrer E b en e ein e B e ­ lastu n g m it bek an ntem V e rte ilu n g s g es e tz erfährt. D er Zusam m enhang zw isch en der S te ife un d der P latte wird als starr v o r a u sg e se tzt und erfolgt längs ein er g erad en L inie, d ie in der P la tte n m ittele b en e lie g t und als .K o n ta k tlin ie “ b e z eich n e t wird. Um den L ö su n g sw eg übersichtlich zu g e sta lten , n eh m en w ir an, daß der Steifenquerschnitt e in e auf der Platte senk recht steh en d e S y m m etrie-E b en e b e sitzt; ist d ie se V oraus­

setzu n g nicht erfüllt (Steifen m it L -, X - o d er C -Q u ersch n ltt), dann g ela n g t beim A u sb eu len der P latte ein zu sä tzlich es Sp ann un gsfeld zur A u sb ild u n g, d essen Einfluß auf d ie B eu lg ren ze jed o c h g erin g ist und in der R egel v ern ach lässigt wird.

Ist d ie S te ife b eid e rseits der P latte so angeordnet, daß Ihre Schw er­

ach se in die P la tten m itteleb en e zu lie g e n kom m t und m it der K ontakt­

lin ie zu sam m en fällt ( .m it t ig “ a n g eo rd n ete Steife), dann wird d ie b ei der A u sb eu lu n g zur W irkung g e la n g e n d e B ieg e ste ifig k eit durch die V er­

b in d u n g der S teife m it der Platte nicht b eein flu ß t, so daß wir b ei der F estle g u n g d ieser B ie g e ste ifig k e it un m ittelbar das Q uerschnitts-H aupt­

trägh eitsm om en t J der v o n der P latte l o s g e l ö s t g ed a ch ten S te ife in R echnung zu ste lle n h ab en . Wird d ie S te ife jed och e in se itig oder auf b eid en S eiten der P latte so a n geord n et, daß ihre S ch w erach se außerhalb der P la tten m itteleb en e g e le g e n ist (.a u ß e rm ittig “ a n geord n ete S teife), dann w erd en beim A u sb eu len der v ersteiften P latte lä n g s der K ontaktlinie ste tig v erteilte Schubkräfte T übertragen, d ie so w o h l in der P latte als auch in der S teife zu sä tzlich e Sp ann un gen hervorrufen. D ie beim A u sb eu len zur G eltu n g k om m en d e B ie g e ste ifig k e it ist hier w e se n tlich größer a ls die B ieg e ste ifig k eit der von der P latte lo sg e lö s te n S te ife; sie entspricht einer g ed ach ten S teife, d ie aus der vorhan d en en S te ife und ein em an sch ließ en d en P lattenstreifen von b estim m ter B reite b e s te h t1).

Wir w erd en im w e iteren e in e 10 mm dicke, auf reinen Schub b e ­ anspruchte B lechtafel 1 8 0 0 -1 5 0 0 u n tersu chen , d ie in Ihrer M itte durch e in e lo trech te, aus ein em e in se itig a n g esch w eiß ten F lachstahl ¡=! 7 0 • 10 g e b ild e te S te ife verstärkt Ist. Es wird sich h ierb ei z eig en , daß die w irksam e B ieg e ste ifig k eit dieser .a u ß e r m ittig “ an geordneten S te ife 3,6 mal s o groß w ie die B ieg e ste ifig k eit der v o n der P latte lo s g e lö s t ged ach ten S te ife ist und ein er id e e lle n S teife entspricht, die aus dem g e g e b e n e n F lach stah l und ein em a n sch ließ en d en P lattenstreifen von 382 mm B reite (d. 1. rd. 25,5 °/o der S teifen lä n g e) z u sa m m e n g e se tzt ist; w ü rd en w ir d ie S te ife m it H ilfe v o n z w e i F lach stählen b e id erseits der P latte so anordnen, daß Ihre S ch w erach se in d ie P latten m itteleb en e fällt, dann w ü rd e ihre A u sb ild u n g, w enn w ir den g le ic h e n B eulw id erstan d der P latte erzielen w o llen , ein en um 5 0 °/0 größeren A ufw and an B austahl erfordern.

E in seitig a n geordn ete S te ifen b ie ten jedoch nicht nur V o r teile w irt­

schaftlich er Natur, son dern sin d auch vom ä sth etisch en Standpunkt unter U m stän d en seh r zw eck m äß ig; so ist e s, w ie v o n S c h l e i c h e r 2) an Hand v iele r B e is p iele b eg rü n d et w u rd e, b eim Entw urf von v o llw a n d ig e n Brücken­

trägern aus sch ön h eltllch en G ründen vielfach z u em p feh len , d ie innerhalb

der e in zeln en S teg b lech feld er erforderlichen Steifen e i n s e i t i g , und zwar an der In n en seite d e s S te g b le ch es anzuordn en, um s ie dem A u ge des B eschauers zu e n tz ieh en und u n g ü n stig e Schattenw irkungen zu v erm eld en .

Wird d ie durch e in e S teife verstärkte P latte ln ihrer E b en e auf Schub (oder durch linear v erteilte N orm alspan nu ngen, deren W irkungsrichtung auf der S teifen ach se senk recht steh t, auf Druck und B iegu ng) beansprucht, dann g e la n g t man b ei der ela sto sta tlsch en U ntersu ch u ng — g l e i c h ­ g ü l t i g , o b d i e S t e i f e . m i t t i g * o d e r . a u ß e r m i t t i g " a n g e o r d n e t i s t — auf ein e L ösu ngskurve m it ausgeprägter V e rz w e ig u n g s ste lle , so daß hier (ähnlich w ie auch im k la ssisch en Fall der E u le r s c h e n Stab­

knickung) ein S t a b i l i t ä t s p r o b l e m m i t G l e i c h g e w i c h t s v e r - z w e i g u n g , vom m athem atisch en Standpunkt also ein E igen w ertp rob lem v orliegt. Wird d ie P latte jed och In Ihrer E bene durch N orm alspannungen beansprucht, d ie zur S teifen a ch se p a r a l l e l g erich tet sin d und an der K ontaktlinie ein en von N u ll versch ied en en W ert b esitzen (w ie d ies etw a b ei den w aagerech ten , außerhalb der neutralen A chse g e le g e n e n S te g ­ b lech steifen v o llw a n d lg er Träger der F all ist), dann wird die S te ife b ei .a u ß erm ittig er “ A n ord nu ng auf exzen trisch en Druck oder Z ug b e ­ ansprucht. D ie P latte erfährt hier schon unter gerin g fü g ig en B e ­ lastun gen e in e von N u ll v e rsch ie d e n e A u sw ö lb u n g , so daß die Frage nach der E x isten z ein er .V e r z w e ig u n g s s te lle “ erst nach der Erm ittlung der a llg em ein en L ösu ng d es G leich g ew ich tsp ro b lem s b ean tw ortet w erd en kann; im Rahm en baupraktischer A n w en d u n gen wird der Einfluß, den d iese Prlm är-A usblegung auf den Problem charakter zu n eh m en verm ag, in der R egel vern ach lässigt.

Wir b e z ie h e n un s im w eiteren auf den praktisch w ich tigen F all der ein ­ spannungsfrei g e la g erten R echteckplatte, d ie in Ihrer E b en e durch g l e i c h ­ m ä ß i g v e r t e i l t e S c h u b s p a n n u n g e n beansprucht wird und ln ihrer M itte durch ein e lo trech te, » a u ß e r m i t t i g * a n g e o r d n e t e S te ife ver­

stärkt ist. B ei der B estim m u n g der Stab ilitätsgren ze d ieser P latte w o llen w ir uns der E n ergiem eth od e b e d ie n e n , die uns auf ein V ariationsproblem führt, das sich' m it "Hilfe des R it z s c h e n V erfahrens ein er b e lie b ig scharfen N äh erun gslösu n g zuführen läßt. U m d ie K on vergenzverh ältn isse zu b eleu ch ten , w erd en w ir d ie Zahl der b e i der A p proxim ation der W ölbfunktion ln Rücksicht g e z o g e n e n T eilfläch en sch rittw eise erhöhen und hierb ei d ie Schärfe der L ö su n g w e se n tlich w eiter treiben, als d ies b ei praktischen A n w en d u n gen erforderlich ist.

b ) f x

*) V g l. dazu auch das R eferat d es erstgen an n ten V erfassers im Stah l­

bau 1936, S. 73.

2) F. S c h l e i c h e r , V orbericht zum 11. Int. K ongreß f. Brücken- u. H och­

bau ln B erlin 1936, S. 1391.

Bild 1.

2 . Wir untersuchen ein e dü nn e, an a llen vier Rändern ein span n u ngs­

frei g e la g e rte R echteckplatte, d ie in ihrer M itte durch ein e lotrechte, .a u ß e r m ittig “ an geord n ete S te ife verstärkt und an d en Rändern durch Schubkräfte b ela stet ist (Bild la ) . D ie P la tten iä n g e se i m it a, d ie Platten-

7 4 C h w a l l a u. K o v a k , Theorie der ein se itig angeordneten S tegb lech steife Beilage zur Zeitschrift „Die Bautechnik*

h ö h e mit b, die P lattend icke m it t, das S eiten verh ältn is m it tx — a / b und d ie P la tten steifig k eit m it D — E t 3/ l 2 ( 1 — /i 2) = 1 9 2 ,3 13 tcm b ezeich n et.

Wir n eh m en an, daß d ie B elastu n g r t langsam von N u ll anw äch st und fragen nach jen em kritischen In ten sitälsw ert r k t, für den die b ieg u n g s­

freie G leich g ew ich tsla g e der P latte ihre Stab ilität verliert und neb en d ieser L age noch ein e un en dlich w e n ig a u s g e b o g e n e G leich g ew ich tsla g e zur A u sb ild u n g g ela n g en kann. Um d iese A u fgabe m it H ilfe der E n ergiem eth od e zu lö se n , den k en wir un s d ie P la tten m itteleb en e nach ein er F läche w = / ( f , rj) g e rin g fü g ig verw ö lb t, erm itteln den Ausdruck für d ie g esa m te p o te n tie lle E nergie E und se tze n d ie erste Variation von E gleich N u ll; im Ausdruck für E ist nur der A n teil A E von der A u sw ö lb u n g abh ängig, so daß d ie B ed ingu n g für das Erreichen einer S tab ilitätsgren ze einfach , $ (A E) = Ö“ lautet.

Zur angenäherten L ösu ng d ie s e s V ariationsprobiem s approxim ieren wir d ie W ölbfunktlon w = f ( S , r j ) im Sinne d e s R it z s c h e n V erfahrens durch das trigon om etrisch e P olyn om

,1^ a ■ m n $ r i n i]

(1) ■ sin • sin

A l> As> A s AS1 und A4,;

nim m t dann d ie Form an (3) w = A u • sin

+ A 3

■ sin

sin

I -«22 sin sin 2 71 t]

3 7t n

+ . . . . + A . 4 7t s

■ s i n ---

a sin 4 n 17 b

(4) (AE),

a b

$>2W W

ö “ yJ

ö rr ) d t j — r t

II

(A E)p, =

und liefert nach Einführung der Gl. (3) n * b D

■ + A442 (16 + 16 a 2)2] -f- 8 r i

36 20

25 ‘ 33 22 63

(5)

[Au 2 ( l + « 2)2 + ^22= (4 + 4 « 3T- + A 132 ( 1 + 9 «*J*

+ 4 5

16 225

144 49

Aj ^r A22'

a31 a , , + A,s A0

4

“ 5 2 ° 63

At>> A.y

Ar. I A.y,

A n A i + A3 A i

16 35 16 27

A n A44 + A u A44 •

16 35 16 27

A.n A t Am A44

sogen an n ten „K on taktlin ie“), die m it der Schnittgeraden der P latten m ittel­

e b e n e und der S ym m etrie-E b en e der S teife zu sam m enfällt; um dieser id ealisierten V erb in d u n g sw eise entsprechen zu können, m üssen w ir uns die S teife durch e in e prism atische L eiste von v ersch w ind end klein em Q uerschnitt ergänzt d en k en oder aber, w ie d ie s b ei den F lachstahlsteifen n a h elieg en d Ist, den d e r R e c h n u n g zugrunde g e le g te n Steifenquerschnitt nicht nur bis zur P lattenob erfläche, son dern bis zur P la tten m itteleb en e reichen lassen (Bild 2 b).

b )

--- i 1--- 2Ü--- 1

J J 1 - Bild 2.

T

- - I

das den B ed in gu ngen der ein span nu ngsfreien L agerung schon g e n ü g t, und berechn en d ie B eiw erte A m n aus der S erie der Extrem alforderungen

(2) ' f E> = 0 .

ö Am, m

D as auf d iese W eise erhaltene, lin eare und h o m o g en e G leich u n g ssy stem läßt nur dann für d ie B eiw erte A m n ein e von der N u llö su n g versch ied e n e L ösu ng zu, w en n se in e K o effizientend eterm inan te 2/ v e rs c h w in d e t; ¿ ¿ / = 0 “ stellt som it die g e su c h te B eu lb ed in g u n g vor.

Im Fall reiner Schu bb ean spruchung zerfällt das G leich u n g ssy stem (2) in zw ei voneinan der un abh ängige T e ilsy s tem e , von denen das e in e nur B eiw erte mit gerad er Z eigersu m m e (m + rt) und das andere nur B eiw erte mit ungerader Z eigersu m m e enthält. B ei feh len d er V ersteifu n g und ein-*

spannungsfreier L agerung führt das erstgenannte T e ilsy stem , sofern das^

Seiten verh ältn is der P latte angenäh ert zw isch en 0,4 und 2.5 g e le g e n ist,- auf je n e B eu lb ed in gu n g „ z / = 0 “, d ie d ie k lein ste B eu lsp an n u n g liefert und daher d ie praktisch m aß geb en d e ist. Wir w o lle n d ie se s E rgebnis, das innerhalb g e w isse r G renzen auch b ei der Stab ilitätsu ntersu ch un g v ersteifter Platten G eltu n g b esitzt, b ei der W ahl d es L ösu ngsansatzes in Rücksicht z ieh en und en tsch eiden uns für die acht B eiw erte A n , A 22, A 13,

B eult d ie P latte nach der durch die GL (3) fe stg ele g ten W ölbfläche aus, dann wird d ie S te ife nach der e b en en Kurve

(6) w \ i = a ß — ( A i — A i + A i ) • sin b ‘

, , s » ^ 3 * n . . 5 nt]

+ (A13 r - A33) • sin • b + A 15 ■ sin b

verb ogen . Um d ie Spannungen, d ie hierb ei so w o h l in der P latte als auch in der S te ife en tsteh en , in üb ersichtlicher W eise darstellen zu können, führen wir ein n e u e s K oord in aten system x , y , z ein, d e ssen * -A c h se mit der K ontaktlinie un d d essen _y-Achse m it der unteren R andlinie der Platte z u sam m en fällt (B ild 1 b); d ie von der S teife a u sg eb ild ete B ieg e lin ie wird dann durch d ie B ezieh u n g

(7) z = (Au — A31 + Am) • sin ~

, . . . . . 3 71 X , . , 5 7C x + (Al s - A 33) - s m - j - + A 15' b estim m t (B ild 3a).

• sin

das die W ölbfläche fe stleg e n d e P olyn om Gl. (1)

D ie Größe A E , d ie wir im w eiteren unter Z u gru n d elegu n g der W ölb- funktion Gl. (3) zu b erech n en haben , ist aus den drei A n teilen (A E )P /, (AE)Ä und (A E )r z u sa m m e n g esetzt; (A E )P , b ed e u tet die Ä n deru ng, d ie das P oten tial der Federkraft der u n versteift g ed a ch ten P latte und das P oten tial d er äußeren B elastu n g b e i der A u sw ö lb u n g erfährt, (A E )Ä ste llt die in der S teife b ei der A u sw ö lb u n g au fgesp eich erte E nergie vor und (A E )r ist jen em zu sätzlichen Sp ann un gszu stan d zu geord net, der in der au sb eu len d en Platte durch die ein leiten d erw äh nten Schubkräfte T (als F o lg e der „Außer­

m ittig k eit“ der Steifenanordnung) hervorgerufen wird. Für d ie P o ten tia l­

änd erun g (A E )P/ ist d ie B e zieh u n g schon bekannt; s ie lautet

3. D ie untersuch te P latte ist am Ort | = a / 2 durch ein e lotrechte S teife verstärkt, deren Q uerschnitt F e in e auf der P la tten eb en e senkrecht ste h e n d e S y m m etrie-E ben e b esitzt; das b ei A u sb ieg u n g en sen k rech t zur P la tten eb en e zur G eltu n g kom m end e Q uerschnitts-T rägheitsm om ent dieser S teife w ird m it J und der Trägheitsradius m it i — ] /J /F b ezeich n et. D ie S teife m ö g e ein se itig oder auf beid en S eiten der P latte so an geord n et sein , daß ihre S chw erach se außerhalb der P la tten m itteleb en e lieg t und v on d ieser d ie Entfernung s au fw eist (Bild 2a). D ie V erb in d u n g zw isch en S teife und P latte s e i ein e starre und erfolge längs ein er gerad en Linie (der

D en k en wir un s längs der K ontaktlinie e in e reibu ngsfreie Führung angeordnet, dann w erd en an den e in zeln en S te lle n „ x “ der K ontaktlinie beim A u sb eu len der P latte g e g e n s e itig e V ersch ieb u n gen z w i s c h e n d e r P l a t t e u n d d e r S t e i f e (B ild 3 b ) auftreten, die im g e g e b e n e n S ystem m it Rücksicht auf die v o ra u sg esetzte Starrheit der V erb ind u n g a u s­

g e sc h lo sse n sind. U m h ie r a u f ein dem g e g e b e n e n S y stem „elastostatisch g le ic h w e r tig e s“ S y stem zu g e la n g en , m ü ssen wir lä n g s der K ontaktlinie d ie D op pelsch ub kräfte T w irken lassen und d ie se Kräfte so b e m e sse n , daß sie d ie g e g e n se itig e n V ersch ieb u n g en an jeder S te lle „x “ w ied er auf N u ll zurückzuführen verm ögen (B ild 3 c). D iese Schubkräfte sin d zw isch en der S te ife u n d d e r P l a t t e wirksam (w en n d ie außerm ittige S teife nicht

- r ein se itig sondern b eid e rseits der P latte angeord n et ist, haben w ir uns den S teifen q uerschn itt hier im m er e in teilig , d ie P latte „durchdringend“

zu d enk en !) und z eig en — da die -<5 B ie g e lin ie Gl. (7) zur M itte s y m m e ­ trisch verläuft — ein e antim etrische V erteilu n g. S ie dürfen, w ie hier e ig e n s verm erk t sei, nicht m it jen en Schubkräften T * v e rw e c h se lt w erden , d ie im Fall der z w e i t e i l i g e n A u s­

b ild u n g der S teife (w ie sie sich bei ein er b eid se itig e n A nordnung praktisch nicht .v er m eid en läßt) b e i der A u s­

b ieg u n g v o n d e m e i n e n S t e i f e n t e i l a u f d e n a n d e r e n S t e i f e n t e i l übertragen w erd en und in elem en tarer W eise — nach Art e in es w a a g e­

rechten B alk en stoß es — b erech n et w erd en k ön nen ; T * ist b ei jeder z w e i­

te ilig en A u sfü h ru n g sw eise der S teife, also auch im F all der „ m ittig en “ A n ­ ordnung, von N u ll v ersch ied en und muß b ei ein er S p an nun gsuntersu ch ung

r

B ild 4.

J a h r g a n g 10 H eft 10

7 . M al 1937 C h w a l l a u. N o v a k , T heorie der ein s e itig ange ordneten Stegb lech ste ife 7 5

der N i e t v e r b i n d u n g o d e r S c h w e i ß n a h t zusätzlich in R echnung g e s te llt w erd en .

Durch d ie Schubkräfte T wird in der P latte ein Spann un gszu stan d hervorgerufen (Bild 4), den w ir m it R ücksicht auf d ie relative K lein h eit der Plattendicke und der in Betracht g e z o g e n e n A u sw ö lb u n g als e b e n e n S p annungszustand auffassen dürfen. D ie d iesem S p ann un gszu stan d zu ­ g eo rd n eten S p ann un gskom p onenten dx , dy , r x y lassen sich m it H ilfe der A ir y s c h e n Spann un gsfun ktion 0 ( x , y ) , A A 0 ( x , y ) = Ö, in der Form

92 0 _ ö2 0 _ _ ö 2 0

_ _ _ r vy ö .v ö v

d arstellen und sind m it den V erzerru n gsk om p onen ten durch d ie B e­

zieh u n g en

(8) dx ~ Ä ,,2>

(9)

(

)

0 {x , y ) = Ci in — 1 2 in

1 in

+ Q

3 b 5 wjj' ' b

• sin n X r-

■ sin3 7t x

■ sin b 5 7t X

y

> 71 y

5 n y b w o b ei C t, e<3 UHU

m + 1 2 /«

m + 1 2 m

in + l

2 in

C3 und Cs K onstanten von der D im ension ein er Kraft b ed eu ten . S ie b e z ie h t sich auf die rechte H älfte d e s sym m etrisch en S p ann un gs­

fe ld es und ist ein er P latte der L änge a - > oo zugeord n et; d ie aus ihr ab­

g e le ite te n Sp ann un gs- und V erzerru n gsk om p on en ten k lin gen , w ie ln B ild 4 a n g ed eu tet ist, nach b eid en Seiten sehr rasch ab und sind daher bei Platten m it dem S eiten verh ältn is a > - l an den Rändern _y = ± a / 2 schon derartig k lein , daß wir von ein er F orm u lieru ng der R an db ed in gun gen an d iesen b eiden Rändern ab seh en dürfen. A us dem g leic h e n G runde ist es auch zu lä ssig , b ei der B erechnu ng der im 4. A b schn itt v erw en d eten Kraft X , d ie d ie R esu ltierend e aller in einem P latten län gssch n itt „ w = = c o n s t“ auf­

tretenden N orm alspannungen dx vorstellt, d ie ob ere In tegrationsgren ze von y — a f t n a c h j / - > o o zu v e rle g e n und einfach

(11)

X - ■ 2 t f d x

I n t

~~~b~

d y — I t J o

&_0_

öd'2 d y — l t ^{ö rb} öd»

C\ • sin 71 * + 3 C3 ■ sin + 5 Cs • sin b zu schreib en . D ie se Kraft X ist m it den Schubkräften T durch ein e G leich g ew ich tsb ed in g u n g verb unden , d ie sich auf ein vom Rand „ x = 0*

bis zur Schnittgeraden ,ar = c o n st“ reich en d es P latten stü ck b e z ie h t und X — f T d x ^ O

u ( 12)

lautet.

4. D ie Schubkräfte T m ü ssen , w ie w ir im 3. A bschnitt dargelegt haben, von solcher G röße sein , daß sie d ie g e g e n s e itig e n V ersch ieb u n gen , die sich b ei A nordnung einer reibu ngsfreien Führung zw isch en der S teife und der a u sb eu len d en P latte ergeb en w ü rd en , an jed er S te lle „ x ‘ auf N u ll zurückzuführen v erm ö g en (B ild 3 c). Wir w o llen d ie se B ed in gu n g so form ulieren, daß w ir für je d e S te lle cx “ der K ontaktlinie die Ü b erein ­ stim m u n g der sp ezifisch en P latten d eh n u n g Q m it der an d erselb en S te lle vorhand en en sp ezifisch en S teifen d e h n u n g ex fordern, und ge la n g en auf d ie se W else zu ein er B ezieh u n g, die den Z usam m enhang zw isch en den B eiw erten C v C3, Cs der G l. (10) und den B eiw erten A m n der G l. (3) festleg t.

Für d ie sp ezifisch e D ehnun g, d ie ein e Piattenfaser am Ort der K on­

tak tlinie erfährt, erhalten wir, w enn w ir d ie G l. (8), (9) u. (10) in Rücksicht z ie h e n , den Ausdruck

1 / fl2 0 1 ö2 0 >

(13) ! i 0 0

A = o E 2 ,7 5 5 it2

E b 2

öd'2

• sin in 7t X b

d x 2

+ 9 C3 3 7t x

-f- 25 C5 • sin 5 n x

und für die R andfaserdehnung der S teife g ew in n e n w ir, w en n wir den Einfluß der V erb ieg u n g nach der K urve 2 — f ( x ) [Gl. (7)] und den E in ­ fluß der axialen Z usam m endrückung durch die Kräfte T [Gl. (12) u. (11)]

in Rechnung ste lle n , d ie B ezieh u n g

d 2z X

‘ X — " /f v*2 ß P (14)

d x 2

+ ⁹ (A* — ^A.

I n t E F b

n - s

~ w 3 n x

( A r

33) - s i n - h + 2 5 , 4 , 3 Ci • sin 3 C , • sin

l3l + A l 5 7t X _ _ _ _ _ 3 71 x _ _ _ + 0 Lä

- A

sin

sin

+ 5 C. • sin 5 7t x

d u 1 / 1 \ d v 1 / 1 \

9x ~ e v * m ' dy ) ’ sy ~ ö j ' e (.">• m "**) 1

yXV — Q ■ T.xy

verknüpft; hierb ei b ed eu te t u, v das K om ponentenpaar der elastisch en V er­

sch ieb u n g e in es P lattenp unk tes, in = 1/,« = 10/3 das V erh ältnis der Längs­

d eh n u n g zur Q uerkürzung und G = 8 1 0 t /c m 2 den Sch u b m od u l d e s Bau­

stah ls. D ie R an db ed in gun gen , d en en d ie se Spannungs- und V erzerrun gs­

kom p on enten unterw orfen sind, verlan gen , daß an den Rändern „ x = 0 “ und „ x — b “ d ie Sp ann un g dx 0 Ist, daß an d iesen b eid en Rändern

— da die w aagerechten V ersch ieb u n gen von Punkten der b eid en L ängs­

ränder in praktischen A n w en d u n gsfällen von den G urtungen stark b e ­ hin dert w erd en — auch die V ersch ieb u n gsk om p on enten v versch w in d en , und daß mit Rücksicht auf d ie S ym m etrie d e s untersu ch ten V erzerrungs­

zu stan d es für a lle Punkte der K ontaktlinie die Forderung v : 0 erfüllt wird.

D ie Sp annungsfunktion, d ie für d ie L ösu ng unserer A u fgabe g e e ig n e t ist und a llen d iesen R andb ed ingun gen gehorch t, lau tet

* y . . . .

b . - ~ a — - b , - - - b D ie erw ähnte F orm än deru ngsb ed in gun g, die

(15) = 0

x \y — 0 x

lau tet und für je d e S te lle „x “ erfüllt sein muß, führt dann auf den Zu­

sam m en h an g

(16)

ą =

(Ai —Ai + ^{Ai) Es}

1,755 + 7t

t b F

C.

A.r, E s

( A a A 3 ) F. s 1,755 + - 2 -

3 n F

1,755 + r - ■ 0 Tt

t b F

W ürden wir die S te ife nicht .außerm ittig* sondern .m it t ig “ anordnen, so daß die S teifen ach se in d ie P iatfen m ltteleb en e zu liegen kom m t, dann wäre s = 0 , Cx == C3 — C5 = 0 , 0( X , y ) = 0 und daher T 0.

Der im 2. A bschnitt erw ähnte A n teil (A E)5i der p o ten tie llen E nergie, der beim A u sb eu le n der P latte in d e r S t e i f e zur A u fspeich eru n g g e ­ langt, se tz t sich aus dem T eilb etrag (A E )^ , der den B iegesp an n u ngen zugehört, und dem durch d ie axialen Druckspannungen bed in gten T e il­

betrag (A E )^ zu sam m en . Für (A E )^ erhalten wir, w en n wir d ie G l. (7) ln Rücksicht z ie h e n ,

,17) ( i E

+ E J

4 b 3 [ ( A i - A l + A i ) 2 + 81 ( A a - A a ) 2 + 625 A 2

w ährend sich für ( A E )^ der Ausdruck b

(18) ( A £ ) * = = 2 [ x * d x = F / f~b {C i2 + 9 C32 + 25 Q 2)

ergibt; addieren wir b e id e T eilb eträge, dann gela n g en wir nach Einführung der G l. (16) auf die B ezieh u n g

E J

(19)

( A E )'st j ( A i

+ ^m)2 +

(1,755 + 2 tb F

s 2 t 2 b2 i* F 2

+ (^13 — A a )2 ' 81 n*

4_ 9 7C1 s 2 t 2 b 2 '

4 625 TT4 _ _ _ _

1

_L

( ' ' 755 + 1 - 25 at2

t b \ 2 F )

i 2 F 2 s 2 t 2 b 2 ;

r

( l,7 5 5 + -

\ 5 7 t

i b f F )

i '- F 2

(20) ( A E ) r = 2 .

Durch d ie Schubkräfte T, d ie von der .a u ß e r m ittig “ an geord neten S teife übertragen w erd en , e n tsteh en in der Platte die im 3. A bschnitt g esch ild erten Z u satzspan nun gen dx , dy , t x y , die m it H ilfe der G l. (8), (10) u. (16) fe stg e le g t w erd en kön nen. Der P oten tialan teil (A E)r , der diesem e b en en Spann un gszu stan d zu geord n et ist, läßt sich unter V erw en du ng der B ezieh u n g

b 0,5 a

T e

J I +

U O b 0 , 5 a

+ 2 ‘ 2 G [ l {Tx y 2 ~ c ü 0

b erech n en . Da d ie Sp ann un gskom p onenten dx , d y , rx y m it an w ach sen d em y sehr rasch abk ilngen (B ild 4) und daher b ei Platten m it dem S e iten ­ verh ältn is a > 1 außerhalb der Ränder y — 7+ a ß nur m ehr von un­

b ed e u ten d er K lein h eit sind, b e g e h e n wir keinen großen F eh ler, w enn wir d ie obere Integrationsgrenze in G l. (20) von y - ~ a/2 nach y - > o c verlegen . Wir erhalten dann den ein fach en Ausdruck

d x d y

(21) ( A E)r = n 3 t : T W b 2

3 tri1 + 2 m — 1

2 m2 ( Q2 + 27 C, 2 + 125 Q 2) und g e la n g e n nach Einführung der G l. (16) auf d ie g e su c h te B ezieh u n g

7 6

L>C.n ö 1 n r lL o n U -

C h w a l l a u. N o v a k , Theorie der ein se itig a ngeordneten St egblech st eife Beilage zur Zeitschrift „Die Bautechnik**

(22) (A E )r = 1,755 7t3 E J t b s2

—2 W ' ~ F " ¥

( A a — A 3{ + A i ) 2

27 (Al3- A 23)2 1 ^{125 Ä}153

(‘•755+ ^

-

)

2

(23)

v = -

ß i — n 2 y ( 4 + i j 5 5 . 2 7r(y + 4) ’

l — - 8 1 * v ( 4 + 1,755 • 6 rr <y + 4 f t = 625 n2 y ( - - + ¥>

)*

f)

, 4 ' 1,755 >10 71 ¿ ' + 4

und d ie von der B ela stu n g sin ten sitä t abh ä n g ig e V erhältnisgröße r t b 2

7C2 D (24)

einführen, d ie B ezieh u n g

A E = ( A E)pi + (A E)s< + (A E )r = { - ¿ - Ï M n 2( l + «*)2 + A , 22 (4 + 4 cc2)2 + . . . . + A t i 2 (16 + 16 cc2)2] + A ( / l a - A , + Ä51)2

4 4

2 2 '

(25)

+ ( A3— f t s)2 + ' A&2+ g ' A l A2 5 ‘ A l3 A 22 4 . . , 3 6

5 ' A l l A i + 2 5 ‘ 33 22' 2 0 .0 3 -^*15 a a - ™ . A 22 0 3 A l /I22 , 16 . . , 16 . . , 16 . . , 144 . .

225 ' 11 3 5 ' 35 ' ”49" '

- 1 5 . yt A

27 I 6 . / ! /I *

27 44 f

Im Sin ne der im 2. A bschnitt g esch ild erten L ö su n g sm eth o d e haben w ir d ie partiellen A b leitun gen von A E nach den ein zeln en B eiw erten

A m n g leic h N u ll zu setzen und g e la n g en dam it auf das n ach folgen d e S y stem linearer, h o m o g en er G leich u n g en :

1 --- « . - 4

W ürden w ir die S teife nicht „außerm ittig“ sondern „ m ittig “ anordnen, dann w ü rd e d ie Sch w erach se der Steife in die P la tten m itteleb en e fallen und daher s = 0, also auch ( A E ) r = 0 sein .

5. D ie G leich u n gen (5), (19) und (22) le g e n die drei A n teile (A E )W (A'E)a , (A E )r der durch die A u sw ö lb u n g G l. (3) b e d in g te n Ä nderung der g esa m ten p oten tiellen E nergie fest und liefern für d ie se Ä nderung, w enn wir d ie von den A b m essu n g en der v ersteiften P latte abh ängigen H ilfs­

größen

_ a _ _ j F _ E J

~ b ’ ~ t b ’ y ~ b D ’

(I)

3 2 + « 3(1 + “ 2)2 A n + f t (/ln _ A *1 + Abl) + '9

3 2 ?x a3(4 + 4 A n + 9 ‘ / l u “ 4 ■ /llS '

A ï 1 . a + 225 4 ^{= 0} 4 . . 36 5 ' A l i + 25 ’ ^ 33

2 0 20 a

63 ' 6 63 51

■ ^ 5 ( 1 + 9 “ 2)2 A 3 + ( A3 — A3) — y • A 2 + 35 • A « 4 , . 16 , (9 + « 2)2 A i ~ ßi

32

712

32T oc3

712 (9 + 9 « V A n - p - t A n 4 x (A.

I 4 x

11 " + A i ) '

32 x« 3

712 (1 + 25 oc2)2 A ls + “ • A s

5 ■ Ao~2 + 35 ' A u ~ . , , 36 . , 1 4 4 . . +33) + 2 5' 22 + ■ A 4i — 0

32 x « 3

32 x«3(25 + ety A M + & ( A i

2 0 . Ä - 63 22 - A }1 + A i ) -

.1 6 .^ 4 _ o 27 ^ 44

20

,

63

16

- 1 6 . Ä -

27 ^ 44' 1 6 .Ä + 1 6 .Ä'M 3 I r\r- AA-x

_ _ (16 + 16 « ) - A u + 225 • A i + 35 ■ -r 35 • ~ 3i

. 144 16 16

"49" ’ 33 27 " 27 * 5 ^{= 0.}

D ie se s G lelch u n g ssy stem läßt nur dann ein e von der N u llö su n g ver­

sch ied en e L ösung für d ie B eiw erte A m n und dam it für d ie A u sw ölb u n g Gl. (3) zu, w en n se in e K oeffizien ten d eterm inan te ¿1 versch w in d et. D ie B ed in gu ng „z/ = 0 “, d ie nach der un bekannten H ilfsgröße x aufzu lösen ist, ste llt dem nach d ie B eu lb ed in g u n g der untersu chten, auf reinen Schub beanspruchten und durch ein e „außerm ittig* an geord n ete S te ife verstärkten R echteckplatte vor.

B ezeich n en w ir d ie k le in ste p o sitiv e W urzel dieser B eu lb ed in g u n g (den so g en a n n ten „ B eu lw ert“) m it m in x = £ , dann erhalten w ir für die kritische, der tiefsten S tab ilitätsgren ze zu g eo rd n ete Schu bspann ung d ie B ezieh u n g

/IT \ u n ~ D

<“ ■> r k = k ‘ - b U

und können mit H ilfe d ieser B ezieh u n g jen en Sonderw ert rk t berechn en , den d ie von N u ll a n w ach sen d e Randschubkraft erreichen m uß, um d ie P latte unter Ü b erw in d u n g d e s ela stisch en W iderstandes der S teife zum

A u sb eu len zu bringen. (F ortsetzung folgt.)

aiic

Rechte Vorbehalten. A b l e it u n g d e r H e r tz s c h e n H ä r te fo rm eln für d ie W a lz e .

V on D ipl.-Ing. K urt D r e s c h e r , Berlin-K arishorst.

(Schluß aus H eft 9.)

A u fs te llu n g d e r B e s t im m u n g s g le ic h u n g fü r d ie u n b e k a n n t e G esam tabstand A t ' A 2 der b eid en g e g e n ü b e r lie g en d e n Punkte A und A 2 D r u c k s p a n n u n g s f u n k t io n p ( | ) . beträgt dem nach:

Im u n b ela steten (drucklosen) Z ustand hab en z w e i g e g en ü b e r lie g en d e Al A - A A + f t I f t - Punk te der b eiden O berflächen m it gleich e n * - und z -K oord in aten w ie

A und A 2 der W alzen und W2, d ie sich längs ein er m athem atisch en G eraden von der Länge l berühren, in erster A nnäherung ein en A bstand (in Bild 8 der deutlich eren D arstellung halber stark übertrieben gezeich n et):

(17) A A 2 — t?i + rj2 = r y (1 — cos 9^) + r2 (1 — cos ip2) 9 2 , P22 — x 2 l 1 , 1

2 + 2 ' 2 ~ 2

Indem w ir nun unser A u gen m erk auf je d e der W alzen für sich richten (v g l. B ild 6), w erd en b ei W irkung d es D ruckes sich d ie P unk te d es Druck­

b ereich es versch ieb en , und zwar w ird ein O berflächenpunkt der W alze W 2 ein e V ersch ieb u n g v t (nach un ten p o sitiv gerech n et) nach A / , der e n t­

sp rech en d e g e g e n ü b e r lie g e n d e Punkt A 2 der anderen W alze W2 e in e V er­

sch ieb u n g v 2 (nach oben p ositiv gerech net) nach A 2 erfahren (Bild 9). D ie p o s i t i v e y'-R ich tu n g (und daher auch d ie der V ersch ieb u n g v) für je d e der b eid en W alzen ist a lso im m er in das I n n e r e d es betrach teten Körpers gerich tet. Für d ie se V ersch ieb u n gen v 2 und v 2 kann w e g en der ob en getroffenen V orau ssetzu n g a < ^ r G l. (16) b enu tzt w erd en , d ie zunächst ja unter der V orau ssetzu n g g efu n d en war, daß der Körper ln der N äh e d es D ruckbereiches vor der Form änderung durch e in e (horizontale), e b e n e F läche, näm lich d ie x z - E b e n e a ls g em ein sa m e T an gen tialeb en e beider W alzen, b e g te n z t g e w e s e n ist (B ild 2 u. 4 ; im Schnitt als h orizon tale G erade dargestellt). Da d ie b e id e n W alzen im a llg e m ein en au s ver­

sch ied en en W erkstoffen m it versch ied en en E un d v b e ste h e n k ön nen, so ist in Gl. (16) b e i v t E v v v entsprech en d b e i v 2 E2, v 2 e in zu se tze n . Der

Bild 9.

B ild 8. B ild 10.

Z w ei and ere g e g en ü b e r lie g en d e , durch ein anderes x g ek en n zeich n ete Punk te der b e id e n W alzenob erflächen, w ie B i und B 2, w erd en sich dabei nach B ^ b zw . B 2 versch ieb e n . Im ursprünglichen u n b e la steten Zustand lagen d ie P unk te auf z w ei K reisb ogen m it den Radien r2 und r2; durch die g e g e n s e itig e W irkung d e s D ruckes hab en nun a lle P unk te innerhalb d e s D ruckbereiches ihre ursprüngliche L age verändert, und zw ar w erd en

J a h rg a n g 10 H e ft 10

7 . M al 1937 D r e s c h e r , A b le itung der Hertzschen Härteformeln für die W alze 7 7

dann a lle Punkte der W alze W1 (durch den In dex 1 g ek en n zeich n et) auf einer Profilkurve Cit d ie entsprech en den Punkte der W alze W2 auf einer Profilkurve C2 zu lie g e n kom m en (Bild 9). Da sich aber nun d ie b eiden Körper unter der g e g e n se itig e n W irkung d es Druckes berühren, d. h. ihre Profilkurven innerhalb d es betrach teten D ruckbereiches in ein e ein zig e (auch D rucklinie genannt) zusam m en fallen , so muß es m öglich sein , sie durch ein e P arallelverschiebun g gen au zur D eckun g bringen zu können (B ild 10), d. h., es muß der A bstand entsp rech en der gegen ü b erlie g en d er Punkte innerhalb d es g a n z e n D ruckbereiches ein en konstanten Wert c hab en :

(19) 4 p ^ + -“ ■) + v r + v 2 = kon st = c.

D iese Entfernung c, d ie auch d ie .A b p la ttu n g “ gen an n t wird, gib t also an, um w ie v ie l sich d ie undeform lerten T eile der b eiden W alzen einander gen äh ert haben.

Aus (19) fo lg t dann durch D ifferentiation nach x : d x 2

d x 2 oder:

(20)

(” + + v 1 (jc) + v 2 (x) ■ 0

U l r j

d V y ( x ) , d v 2 (x) + — d J T - + — d F ~ = 0 -

Führt man d ie D ifferentiation v o n u der G l.(16) n a c h * durch, so erhält m a n 12):

d v

d x ° + I I L J I { J A . d t + [p (I) ln (x - | ) ] i = j r _ o 1 = 0

- f j S j ■d «■- I p (*>ln » - x^i = * + o + / - / f l •d «

1 = 0 (21) ^{d v} 2(1 — v 2)

d x n E

0

S = M

!M

_ 4 x ( \ — v 2) n E

4 = 0

Indem man d ie se s E rgeb nis in G l. (20) ein setzt, erhält man:

i i \ 4 x / 1 — v . 2 i — v j \ r a / , r , / n \ £ , £ , _ _

4 = 0

■ P & d t

\>i r j ti \ E y oder m it der A bkürzung

- £ 7 % ^ p - p ß ) «

1 + 4 -

(22)

(23)

k = -

• P ( ! ) d ! = — ft.

D ies ist d ie B estim m u n g sg leich u n g für d ie unbekan nte D ruckspannungs­

funktion /? (!). Wir w issen von dieser D ruckverteilu ng bish er nur, daß sie sym m etrisch zur _y-A chse v e rlä u ft, d. h. e in e g e r a d e Funktion ist p (— I ) = + p ( + ! ) und daß die S u m m e aller E lem entardruckkräfte gleich dem G esam tdruck P ist:

i = + a c = + a (24) P ± :. l f p ( S ) d t = 2 l J p ( £ ) d l

4 = - a 4 = 0

In der M itte für | = 0 wird p noch ihren größten W ert, der später mit p (0) = p 0 b e z eich n e t w erd en so ll, b e sitz en , w ährend s ie nach den E nd­

punkten zu (für I = =1= d) auf den Wert N u ll absinkt.

D ie W eiterb eh an d lu n g der Gl. (23) g e sc h ie h t b e i L. Föppl in der W eise, daß er nun d ie von H. H ertz auf gan z anderem W eg e durch ein en G renz-

12) Ist

i = b(x) E ( x ) = [ f ß , x ) d | ,

! = a(x)

dann b erech n et sich d ie A b leitu n g d es In teg ra ls/^ jc) nach dem .P a ra m eter“

(.M itlä u fer “) x m it v o n x veränderlich en G renzen nach der Form el:

$ = b(x)

r + / I » w , | | - / [ * « , - 1 I I -

i = a(jr)

Sin d d ie G renzen a und b F estw erte, dann fallen d ie b eiden letzten G lieder rechts w e g . (S ieh e z. B. Rudolf R o t h e , H öhere M athem atik, 1929, T eil II, S. 133.

Ü b ergang13) g efu n d en e Lösung der h a l b k r e i s f ö r m i g e n D ruckverteilu ng über der D rucklinie

p ( S) = ^ V

Bild 11.

7 \ a 2 — S2

übernim m t. In dieser Arbeit soll h in g eg en d ie L ösu ng erst durch m eth odisch e, allerdings etw as rein m a th e m a tlsch eB eh a n d lu n g d erG !.(2 3 ) b estim m t w erd en . Dadurch ist nicht nur der w e iter e R echnu ngsgang in­

sofern vo llk o m m en selb stä n d ig und unabhängig von H ertz, als man dabei d ie von ihm g efu n d en e L ösung nicht vo rw eg z u n eh m en braucht, son dern es w ird auch zu gleich g e ze ig t, daß man

— auch bet der F öpplschen A b leitu n g d es H ertzschen H ärteproblem s z w eier W alzen — als t h e o r e t i s c h e Lösung die h a l b k r e i s f ö r m i g e V er­

teilu n g der D ruckspannung über der D rucklinie erh ä lt11).

S o w ie v ie le P rob lem e der M echanik auf D i f f e r e n t i a lg l e ic h u n g e n führen, das sind bekan ntlich G leich u n gen , in den en außer der gesu ch ten Funktion auch noch ihre D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n Vorkom m en, so hat man es b ei Gl. (23), ln der d ie un bekan nte Funktion unter ein em I n t e g r a l auftritt, m it ein er I n t e g r a l g l e i c h u n g zu tun.

D ie m e th o d is c h e B e s tim m u n g d e r L ö s u n g d e r o b ig e n I n t e g r a lg le ic h u n g (23).

G l. (23):

/

1

x - - • P $ ) d i = - k 4 = 0

ste llt e in e l i n e a r e |d . h. linear in b e z u g auf d ie un bekannte F u n k tio n />(!)]

In tegralgleich ung e r s t e r Art (d. i. e in e so lch e , in der d ie unbekannte Funktion n u r unter dem In tegralzeichen erscheint) dar und wird in a ll­

gem ein er B ezeich n u n g in der Form gesch r ie b en : b

K (•*» £)/>(!) d g = / ( * ) . i — a

K ( x , g ) wird der Kern der In tegralgleich u ng genann t. In unserem F alle ist K (*, I) = —2~ T t2> er ist antisym m etrisch [ K ( x , !) = — K ( S , *)] und an

X s ~

der S te lle ! = * singulär, w ährend auf der rechten S eite a llg em ein ein e g e g e b e n e Funktion f ( x ) ste h en k a n n :

/ '

(25)

4 = 0 S2 . p d ) d i = / ( * ) .

Der W ert x lie g t, w ie nochm als erw ähnt sein s o ll, zw isch en 0 und a.

W egen der V orau ssetzu n g ein er g erad en Funktion p (!) läßt sich G l. (25) schreib en :

T p ® d i 1 T p & d S

J I f l U p ' - 2 J x2 - W~ f{X)

* — 0 £ = — a

und unter Einführung von

I — a • sin <p w ie folgt um form en:

_7t

a j p (a • s in y) cos <p

* 2 — a 2 • sin2 <p 2 i

9 = -

• d p - a

“ 4

und 2 ip = xfi

■ + n

p { a • sin (p) co s <p

oder

(26)

y = + !t

a C P iß • sin y ) cos ¡p 4 J x 2 a--- (1 — cos y )

= — 7t

( 1 — COS I r p )

d y = f { X).

■d[2<p)

Für d ie W eiterrechnung s o ll nun v o ra u sg ese tzt w e rd en , daß sich p (rz • sin 9?) cos y in ein e F ou rier-R eih e n a c h y>, d a s i s t n a c h d o p p e lte n A r g u m e n t e n 99 en tw ick eln läßt:

la) S ie h e auch d ie B em erku ngen ln A . F ö p p l , V o rlesu n g en 1922, Bd. V, S. 3 4 6 u. 347.

11) D ie se s E rgebnis ve rd ien t außerdem schon desh alb der beson d eren Erwähnung, da in m anchen V eröffen tlich u n gen auch von ein er theoretischen, parabolischen D ruckverteilu ng über der D rucklinie gesprochen wird.

7 8

D E R S T A H L B A U

D r e s c h e r , A b le itung der Hertzschen Härteformeln für die Walze B e iin c e z u r Z e i t s c h r i f t . D i e B a u t e c h n i k "

(27) p (a • sin <p) cos <p = • C0 + Cn • cos n y . n = 1

D ie W eiterb eh an d lu n g von (26) so ll durch Einführung d es K om plexen g e sc h e h e n . Mit

cos. y.’ :

also:

+ e -i'p und

i i c o s y ~ 2

e 7y7 = T = Z Und 1 / ^ 1 ,

e c o s n y — — \ z H— — ) ,

d z i z

e 1'“ = z = cos y< + t • sin y , d . h . \ z \ = l

g i n t y _ _ 2 « _ C Q S n y , . s i n « y ,

* (■ + §

; " y = 2 (2 ferner: d z = i e l<fJ d y = i z d y d y

G l. (27) liefert

I 1 I ™ / 1 \

p - c o s y = ■ ■- C 0 + 2 C n - c o s n y = • C0 + ■ £ C n U + - - - - ) = F(Z),

n — i n — \ z

w ährend aus Gl. (26) w ird:

m m — f r f - -, f y , f r

2 [ 2 ' 4 z j

F (z ) d z

= 1 <fii a j

daher:

z > + 7 z [ 7 . - * - \ ) + \ V on W ichtigkeit sind d ie N u llste lle n d es A usdruckes im N enn er:

z2 + 2 z ( 2 - ^ J - — l ) + l = 0 = (z — Zl) ( z -z2),

z i + z 2 = 2 ^2 • ~ l ) = 2 ~ £r~

= cos z =*= i • sin x l • zj = !z 2 ! — 1 z 1 = e , / ; z„ = = — = z l

Zi 1

Z1 + = 2 ---— = 2 • cos %4

2 ,r i = a 2 (l — cos ■/,) = 2 n2 • sin2 ^ ; A' = a - s l n | ■

Bild 12.

G l. (28) läßt sich dann in der Form schreib en :

C o + ^ C n (z « + - l ) (29) 4 - ( ß - F {£)~ Z = !— ( ß -

t a J ( z — z ,) ( z — z 2) 2 l a y

E . K .

(2 — Z i ) ( Z — Z 2) d z = / ( . v ) ;

lassen sich nun auf Grund fun ktionenth eoretischer S ä tz e erm itteln, indem sich ihre W erte im a llg e m ein en durch d ie N u llstelle n Zy und z 2 ausdrücken w erd en . Da d ie se nun w ied er ihrerseits von x ab h ä n g en , so w erden wir — und das ist das Z iel der fo lg en d en R echnu ngen — aus Gl. (29) die B e zieh u n g zw isch en d en Cn ein erseits und der g e g e b en en Funktion / (x) in Form einer E ntw icklu ng erhalten.

Für die Erm ittlung der ob en steh en d en Integrale Jv J2, J3 w erden nun folgen d e S ätze der F unk tionentheorie b e n u tz t15):

1. Ist ein e k o m p le x e Funktion / ( z ) in ein em einfach zu sam m en ­ hän gen den Bereich 33 überall analytisch, d. h. differentiierbar und ein d eu tig , dann hat das Integral (f> / ( z ) r f z über ein en b elieb ig en ,

C

ganz in 33 verlaufend en g e sc h lo sse n e n W eg C den W ert N u ll (Bild 13):

§ f [ z ) d z — 0 c

(H auptsatz der Funktionentheorie).

2. a) B ed e u tet z l ein en P unk t im I n n e r n d e s In tegration sw eges C, dann g ilt unter d en selb en V orau ssetzu n gen w ie b ei 1 (Bild 14):

2 7 t I , / Z Z y

(C auchysche Integralform el).

Bild 13. .'© Id 14.

b) L iegt jed och Zy a u ß e r h a l b d es In tegrationsw eges C, so ist (folgt aus 1, Bild 15):

( ß J @ - . d z = 0.

2 7 t l y Z — Z y

c

c) L iegt sch ließ lich z t a u f dem In tegrationsw eg C, so g ilt (Bild 16):

B ild 15. Bild 16.

B ed eu ten nun Zy und z 2 z w ei im Innern von C g e le g e n e Punkte, so erhält man für

m u -

2 7i i y (z — Z y ) (z — z.,) 2 7t

c " c

A

~ 2^{71 l y} Z --- Z y 2 71 / , T

/ ( z ) d z z — z., dab ei / ( z ) in 33 analytisch.

D ie Partialbruchzerlegung liefert

1 + B

( Z — Z y ) { Z Z , ) Z — Z y Z — Z ., l = z ( A + B ) z + ( — B z y — A z 2) ,

darin sind die Cn unbekannt, w ährend auf der rechten S e ite e in e g e g e b e n e , also durch K oeffizien ten vergleich B ■- bekan nte Funktion f { x ) von x steht. D ie ob en auftretenden Integrale im

K om p lexen

/ , = < £ y {z— zy){z—- 4 — z2) y - y ( (30)

■A = - f ( z \ 2 7t i y (z — Zy) (z — z„) ~~ 2 7t i Zy — z., y z — z,

c ~c

¿ - l 4 i

f i z ) d z

Daher:

• d z

( z — z i) ( z — z 2y + ' . - ± - < ß ^ L . d z ,

2 71 l Z.i— ZlJ Z — z L

• d z ( z — z y) ( z — z 2)

15) S ie h e z. B. R o t h e - O l l e n d o r f f - P o h l h a u s e n , F un k tion en th eorie und ihre A n w en d u n g in der T echnik. Berlin 1931, Jul. Springer.

J a h r g a n g 10 H e it 10

7 . M al 1937 D r e s c h e r , A b le itu n g der Hertzschen Härteformeln für die W alze 7 9

fo lg lich (nach 2 a):

m

c ( z — z l ) ( z — z 2) d z -

z , — Zi ■ / t e )

(32)

ferner:

(33)

I ^ 1 X d z

n i 1 2 n i j \ z — Z[) (z — z 2 E. K.

1 ) “ 2

1 +

1 z . — z , z.,

7t i ^2 2 71 l $ E. K.

z n d z 1

(z — z , j (z - z. . ) 2 • z 2 ^ z2 — z 1

1 Z 1 — 2 2

E. K.

1 1

2 ' (z . — z ,) + 9icf h (z)z ~ 0 1

N un g ilt:

1 (z — z ,j ( z — z 2)'

2 (z1 - z, ) \ 2 «

1 + 3ie] h (z) , = 0

1

1(1 — 2^2 2) (1 2 X 2) co /I

21 2 Zn A z 2 ~ 11 v = 0 /t = 0 rt = 0 f! = 0

d ab ei: /«-(-»' = n, v — n - ) z n = 2 P n z n -

n = 0

1 1

= JS (JS z r z : TZ -- 0 fl — 0

Der K oeffizient der ersten n eg a tiv en P oten z von in der E n tw ick lu n g um z = 0 ist dem nach

(35) = SRef h ( z ) z = 0 .

D ie A u srechn un g von p n ergib t m it

, J X 1

z-, Z j i - = 2 • sin und sin n- / = ( z '{ — ^ ^

P n = 2 A z 2 * * ' — 2 z ,/ z r ( n ' i t ) = = 2 z 1~ ' ! + 2 | “ =

n — 0 (i< = 0 (J. — 0

1 n

1 _Z1

2(n+l) .

■1 2 1 - 1

also:

(36)

n +1 / n +1 1 Z1 P ~ ,', +1

sin (n + l ) z L iegen z l und z 2 jed o ch a u f dem In tegrationsw eg, so tritt (w ie oben

b ei 2 c) noch der Faktor ■ ■ vor die e ck ig e Klam m er.

D ie s e s letzte E rgebnis soll g le ic h dazu ben u tzt w e rd e n , um d ie W erte der Integrale J t und J2 zu b estim m en ; b ei J l ist / ( z ) = 1, b ei J., ist f ( z ) = z n-

daher sch ließ lich :

(37) P n _ ! sin 11

sin ^•/

sin z

= 31 cf h ( z). . 0 .

= Pn

= 0,

M ithin beträgt nach Gl. (33), (34) und (37) der W ert von:

z ” + 1

1 rf) * n

71 i T ( z — z , ) ( z — z , ) ‘

4~ n

2 z x — z 2 D ie B erechnu ng des Integrals J3 h in g eg en erfolgt auf Grund d es folgen d en (R esidu en )-Satzes:

Ist h ( z ) ein e Funktion, die im Innern ein es B ereich es 33 überall regulär ist mit A u sn ahm e von endlich v iele n S telle n z lt z 2, . . . . z ^ , dann g ilt, w en n der In tegrationsw eg C a lle singulären S tellen u m sch lin gt:

<ß h { z ) d z = § h ( z ) d z -\- <ß /; (z) rf z - f h ( z ) d z ,

c Kl f<2 Kx

w o b ei die Kurven K v d ie e in zeln en singulären S te lle n u m sch ließ en . Man n en n t die Größe

* (ß h (z) rf z das R esiduum von h (z) an der 2 711 k v

S te lle z — z v ; b e zeich n e t man m it a _ j den K oeffizien ten der ersten n egativen P oten z in der z u /; (z) zu g eh ö rig en L a u r e n t s c h e n P o ten z ­ reih en en tw ick lun g um z ,,, so g ilt:

1

7n — Zl _; r2

1

/ 1 1

z 2) [ z l _{2 2} .... ( z n ¹

Z2) P ?n

2

„ + P n - \

" + Pn _1

= 0 w e g en z . , = ^ , so daß man erhält:

(38)

z n + —

- 4

n L J d z = P n -

K , und daher:

=— <ß h (z) d z = S u m m e der R esidu en von b ü j ¡7

2 7 t l

h ( z ) an allen A u sn a h m estellen .

Mit H ilfe d ie se s S atzes läß t sich auch der W ert von J3 von (30) w ie folgt b estim m en :

(3 4 ) 1 j = 1 -T d z _ 1 1

2 n i 3 2 n i ^ P z t (z — z t) (z — z j 2 ¡P (2 , — 22)

sin n z 2 re i y (z — Z[) ( z — z 2) * ~ t n ~ 1 sin z Nach d iesen Z w isch enrech n un gen liefert G l. (26):

+ 2 Cn ( z n + ) ,

, , 1 X n = \ \ 2 ^ ^ 2 7t i sin n /■

T i a r (Z — Zi) (Z — z ,) 2 i a / , « ' sin Z a ls o :

(39) / W = / ( « . s l n - | _ ^ - ^ .

Ti — 1

S om it ist d ie E ntw ick lu n g f ü r / ( x ) zur B estim m u n g der un bekan nten C n gefu nd en .

In unserm F a lle ist

(40) / ( x ) = konst = — k\

die g a n z e E ntw icklu ng b e ste h t daher nur aus dem ersten G lied m it n = l . M an erhält dann aus G l. (39):

rr ^ ^ a k

. k = — . C, 7t

a 1 C , ;

und p (a ■ sin y ) cos <p = ^ ■ C0 + v> Cß • cos n y == ~ • G0 + • co s y ,

« = 1 d. h. m it y — 2 tp

folglich:

und cos 2 y == 2 • c o s2 ?■

p ■ COS y = 1 ■ C0 — a k (2 ■ COS2 yp — 1),

Z 71

( 2 , C ° + v ) - c o s y . ( (

2 a k p -j • COS y>

r ° -

Da d ie se G leich u n g für a lle y> g ilt und rechter H and N u ll ste h t, so muß sein :

2 a k

\ - C 0 + ö f t = o

2 TT Q = -

(Z — Zj) ( z — z ,)

und ferner:

oder mit (41)

/ 1 \ 2 a k

p (a ■ sin y ) = — • cos y>

i = <2 • sin y a lso : cos <p = ± ^ )/ a 2 — i 2

p ( i ) = - - - V i ‘ - { 2.

71

M it d iesem E rgebnis ist d ie L ösung der Integralgleich ung (23) g e ­ funden und dam it zu g leich d ie g esu ch te D ruckspannun gsverteilu ng />(!) b ekan nt. Es ist noch zw eck m äß ig, die b e i 1 = 0 sich erg eb en d e größte D ruckspannung p ( 0 ) = p 0 in Gl. (41) einzuführen:

(42) und som it

(43)

P ( 0 ) = A o = '2 k a

(geom etrisch e Reihe), D ie L ösu ng (43) liefert a lso das E rgeb nis, daß sich der Druck nach ein em H albkreis über der D rucklinie verteilt.