DER STAHLBAU
S c h r i f t l e i t u n g :
G eh. Regierungsrat Professor $r.»3n g. A. H e r t w i g , B erlin-W ilm ersdorf, Sächsisch e Str. 43 Fernsprecher: 87 7421
Professor W. R e i n , Breslau, Technische H ochschule. — Fernsprecher: Breslau 421 61
1 ^ T T 7 T ) A T T” I ^T~7 T T \ T T T /
Fachschrift für das ge- z u rZ e i t s c h r i f t J
)X D x j l V_J X. i .
V w - 'J l JL 1_ V JL X X . samte
B auingenieurw esenPreis d es Jahrganges 10 RM und P o stg eld
10. Jahrgang BERLIN, 4. Juni 1937 Heft 12
A lle R e c h l e V o r b e h a l t e n .
D ie S ta h lk o n s t r u k t io n d e r D e u t s c h la n d h a lle in Berlin.
V on O berlng. A . B u n g a rd t, R heinhausen.
Nach dem Entwurf d es Ingenieurs Fritz W i e m e r , G eschäftsführer und M itinhaber der Firma W i e m e r & T r a c h t e , w urde im Jahre 1935 in Berlin-G runew ald d ie D eu tsch lan dh alle erbaut.
liehen N ebenräum e a n g e sc h lo ssen . — B el der Planung w urde nach e in g eh e n d em Studium fe stg ele g t, den Unterbau der H alle so w ie d ie Ränge in E isen b eton auszu füh ren. D ie Dachkonstruktion der H aup th alle so w ie
Sch n itt d — d.
77500 5000 72500 r 1~ —1
77500
p.
72500 ¡000Schnitt b — b.
JUUU t 'JUUU'tUUUJ | ■> j i / „ | . i'JUUU'/jUWU _ . j
k i ^ [ ^ W ) ^ i y i y i > v j 8|
Schnitt c— c.
Bild 1. Übersicht.
d ie tragenden B a u teile der D eck e so llten da
g e g e n in Stahl ausgefü hrt w er
den.
Um d ie g e forderte g u te Hör
sam k eit zu er
reich en , ist e in e untere w a a g e
rechte D eck e aus leichtem porösen Baustoff a n g e o rd n et. Durch d ie se D eck e wird d ie tragende Stahlkonstruktion d e s D aches v e r deckt. Der Z w i
schenraum z w i
sch en der unteren D eck e und der
und b ild e t ein herrn w urde d ie
V erw en d u n g s
m öglich k eit der H alle für d ie v er
sch ied en artigsten Z w eck e g e w ü n sch t, z. B.
für V ersam m lu n g en der Partei,
vaterländ isch e und m usik alisch e V eran staltu n gen , §
Sportveranstal- tu n gen aller Art, w ie Radrennen, Reit- und Fahr- turniere, B o x käm pfe u sw .; fer
ner so llte sich die H alle auch für Vorträge eign en . D em Hauptraum sin d d ie für so lch e V eran stal
tun gen erforder- Bild 4. A u sb ild u n g der Binder.
9 0 B u n g a r d t , D ie Stahlkonstruktion der D eut sch landh alle in Berlin
DER STAHLBAU
B eilag e z u r Z e its c h rift .D i e B a u te ch n ik *
g u te s Luftpolster für d ie Erwärmung. Ferner sind in d iesem Raum die A n la g e der Entlüftungen und d ie Laufbühnen für d ie B ed ien u n g der B eleu ch tu n gen u sw . untergebracht.
D ie g esa m te A nordnung d e s U n terbaues aus E isen b eton so w ie der Stahlkonstruktion d es D aches ist aus B ild 1 zu erseh en .
D ie von der Stahlkonstruktlon übersp ann te F läch e beträgt 60 ■ 95 m.
D ieser Raum ist frei von Stü tzen. D ie Stahlkonstruktion b egin n t in H öhe + 2 1 m über H allenflur.
D ie Stützpunkte der Tragkonstruktion lie g e n in den Punkten A 2, B lt B.,, Cu C2, £>! un d D 2 und w erd en durch S tah lstützen geb ild et.
D ie U nterkanten der F ußplatten dieser S tü tzen lie g e n in folgen d en H öhen:
S tü tzen A v A 2, D u D 2 ln 4- 16,5 m H öhe, S tü tzen B i, B 2, Cu C2 in 4- 4,6 m H öhe.
D ie A u sb ild u n g der Stü tzen B it B 2, Cj und C2 Ist in Bild 2 dar
g e ste llt, die der übrigen Stützen in Bild 3. D ie se vier H auptstützen b esteh en im Grundprofll aus zw ei I 36 und ein em I P 36. Am Kopf und Fuß sind zur ein w and freien Ü bertragung der Kräfte auf die schw ach g e w ö lb te D ruckplatte V erstärkungen an gesch w eiß t. D ie von den Stü tzen zu übertragenden B elastu n gen sind in Bild 2 u. 3 ein getragen .
D er w eitere ^ u fbau der Stahlkonstruktion ist folgen der:
D ie H alle wird von vier M ittclb indern und z w ei Endbindern m it der gleich en S tü tzw eite von 58,2 m überspannt (Bild 4). D ie se Binder sind als Fachwerkträger auf zw ei Stü tzen a u sg eb ild et. Der O bergurt der H auptbinder lie g t 3,5 m über O berkante der F achw erkpfetten. Daher m ußten zur K nicksicherung d es O bergurtes b ieg u n g ssich ere P fosten ein g eb a u t w erd en . D ie s e stü tzen sich g e g en den Ober- und Untergurt der F achw erkpfetten ab, w e lch e d ie Kräfte an d ie V erb än d e a b g eb en . B ei der Q uersch nittserm ittlu ng der Fachw erkpfetten w urden d ie s e Kräfte be-
B ild 3.
A u sb ild u n g der S tü tzen A t , A 2, D it D.,.
rücksichtigt. D ie P fetten sind als Gerberträger m it B o lzen g elen k en aus- g eb ild et.
Zur A ufnahm e der oberen D achdecke und der unteren S chu tzd eck e sind in 2,5 m A bstand Stahlsparren angeordnet, w e lc h e in der H öh e des P fetten ob ergu rtes lie g e n . D er über der Dachhaut lie g e n d e T eil der H aupt
binder w ird durch ein trapezförm iges D oppelpappdach ein g ed eck t. D ie M ittelb inder haben ihre A uflagerpunkte in den Dachträgern, w e lc h e ln d en b e id en L ängsw än den angeordnet sind. D ie Dachträger sind als Fach
w erk-G erberträger a u sg eb ild et. D ie v ier seitlich en Träger hab en 20 m
J a h rg a n g 10 H e it 12
4.J u n i 1937 B u n g a r d t , D ie Stahlkonstruktion der D eut sch landh alle In Berlin 9 1
S tü tzw eite und ein en Kragarm von 5 m. D ie S tü tzw eite der ein geh än gten Träger beträgt 45 m. D ie Binder und Dachträger sind zur b esseren A u s
n u tzu ng der Q uerschnitte d o p p el
w a n d ig ausgeführt. B ei der Wahl der Q uersch nitte w urden w e ite st
g e h e n d I P - T r ä g e r verw en d et. D ie F lanschen der I P -T räger sind nach außen g e le g t und b ild en so für die w eitere A u sb ild u n g e in en gün stigen Q uerschnitt. Zur A ufnahm e der W ind
kräfte und ferner der-K nicksicherung der Dachträger und Binder sind b e son d ere V erb ände angeordnet. D ie A u flagerpun kte d ieser Träger lieg en in gleich er Lage w ie d ie A u flager
pu nkte der ein g eh ä n g ten Dachträger.
D ie w aagerechten Träger der G ie b e l
w an d sind als D reigelenkträger aus
g e b ild et. D as Zugband wird durch d en M ittelbinderuntergurt B¡— B 2 b z w . Q — C2 g e b ild et.
D ie S tan d sich erh eit der Stah lk onstru ktion Ist w ie fo lg t g e w ä h r leiste t:
D ie Stützen B lt B 2, C l und C2 sin d P en d elstü tzen , e b en so die S tü tze D 2. D ie Dachträger A 2— B 2, ~At — ß , und ferner d ie Endbinder A — A > A — A sln d als D reigelenk träger a u s g e b ild et. D ie F estp u n k te zur Ü bertragung der w a a g e
rechten Kräfte lie g e n in H öh e -(- 16,5 m, und zwar b ei Punkt A v A 2 und D 1.
An d iesen S te lle n w erd en d ie Kräfte auf die E isen betonkonstru ktion üb erge
leitet, von d ieser au fg en o m m en un d an d ie Funda
m en te a b g eg eb en . Durch d ie W ärm eau sdehn un g tritt nur e in e g e rin g e Schräg
stellu n g der P en d elstü tzen ein . D ie O bergurte der M ittelb ind er sind zur V er
kürzung der K nicklängen g e g e n d ie F achw erkpfetten a b g estü tzt. N eb en den vier A u fbau ecken sind ln jed em a n sch ließ en d en W and teil von + 16,5 m b is 21,1 m auf etw a 5 m B reite so w o h l in den G ieb el- a ls auch ln den L ängsw än den kein e F en ster an geord n et. D ie se W an d teile w erd en außen durch Torkret und nach dem Dach zu durch ein e H o lzsch a lu n g m it dop pelter Pappe g e b ild e t, ln dem d a zw isch en lieg en d en H oh l
raum ist d ie K onstruktion an geordn et.
D ie Sparren in der O bergu rtebene der Fach
w erk p fetten n ehm en d ie obere D achhaut auf. D ie se b e ste h t aus ein em D o p p e l
pappdach. D ie in der U nter
gu rteb en e der F achw erk
p fetten an geord n eten Spar
ren tragen d ie untere S ch u tzd eck e. L etztere wird durch Eternitplatten g e b ild et. Ferner m üssen die F ach w erk pfetten E in zel-
B ild 5. A u fstellun gszustan d.
Bild 6. Innenansicht.
B ild 7. Frontansicht.
lasten aus den B eleu ch tu n gs- so w ie Be- und Entlüftungskörpern u sw . au f
n eh m en . D ie M ittelb inder üb er
n eh m en d ie Lasten der P fetten und übertragen d iese auf d ie Dachträger.
S äm tlich e E ind ecku ngen, V ersch alun
g e n usw . sind in den K notenpunkten der Fachwerkträger g ela g ert, so daß d ie ein zeln en Stäb e d erselb en k ein e B iegu ngsbeanspruchun gen e r leid en . D ie Dachträger und E ndbinder tragen außer den vorgen an nten Lasten der D achhaut und der unteren Schu tz
d eck e das G ew icht der A bschluß w and von 16,5 b is 4- 20,5 m und ferner d ie ein g eh ä n g te D eck e d es V or
daches über den R ängen. D ie W ände sin d aus L eich tstein en g eb ild et, das Vordach ist in E isen b eton h erg estellt.
D ie A ufhängung der D eck e d es V or
daches so w ie der A b schluß w and er
folgt durch Stahlbänder, w e lch e an den Dachträgern b zw . an d en Endbindern a n g e
sch lo ssen sind . Z w ischen d iesen H ängebändern sind E lsen b eton b alk en und ein schm aler E isen b eton lau fsteg in H öh e + 16,5 m g e lagert; sie nehm en die Lasten der W ände und des V ordaches auf. Es w u rd e d ie B ed ingu ng g e s te llt, daß d ie se E isen b eto n b a lk en b ei der B elastun g durch E ig en g e w ich t und S ch n ee ln w aagerechter L age lie g e n . Um das zu erreichen, m ußten d ie Dachträger und Endbinder m it einer Ü b erhöhun g ausgeführt w erd en . B ei der Her
ste llu n g der Schalu ng für die E isenbetonkonstru ktion der Balken und d e s V or
dach es m ußte eb en fa lls hierauf R ücksicht g e n o m m en w erden. D ie Anker zum A nschluß der H ä n g e
bänder w u rd en b e i der H erstellu n g der E isen b eton b alk en m it e in b e to niert. D ie Löcher für d ie A u fnah m e der V e r b in du n gsb olzen zw isch en H ängeban d und Anker w urden ln d ie A n ker
bänder nach erfolgter A uf
stellu n g der S tah lk on
struktion auf der B a u stelle gebohrt. H ierauf erfolgte die g leich m ä ß ig e Entfer
nu ng der A b stü tzkon struktion der E isen b eto n balken und d e s V ordaches.
H ieran sch loß sich das A u s
mauern der A b sch lu ß w än d e.
A lle A n sc h lü sse , w elch e Kräfte zu übertragen hab en, w urden auf der B a u stelle g e n ie te t. D ie M ittel- und Endbinder, d ie Dachträger, H orizontalverbände und Stü tzen sin d aus St 52, a lle übrigen B a u teile aus St 37.
Durch d ie statisch b e stim m te L agerung der Trag
konstruktion treten Z usatz
sp ann ungen ausT em peratur- änderungen in dem Trag-
9 2 B u n g a r d t , Die Stahlkonstruktion der De utschlandh alle in Berlin D E R S T A H L B A U
B e i l a g e z u r Z e i t s c h r i f t » D ie B a u t e c h n l k "
werk nicht auf. — D as G esa m tg ew ich t der Stahlkonstruktion beträgt 628,5 t und setzt sich w ie fo lg t zu sam m en :
1. M ittlere P en d e lstü tz en . . . . 36,8 t,
2 . E c k s t ü t z e n 13,0 t,
3. B i n d e r 219,7 t,
4. D a c h u n t e r z ü g e 125,1 t, 5. G l t t e r p f e t t e n ... 7 8 , 6 1, 6. H orizontalverbände . . . . . . 73,2 t, 7. D achpfetten, I - T r ä g e r 31,1 t, 8. Träger für d ie untere D eck e . . 22,2 t, 9. A ufhängung für die B etonbalk en . 8,8 t, 10. M o n t a g e v e r b ä n d e ...0 , 9 1, 11. N ie te und S c h r a u b e n ...19,1 t,
In sgesam t 628,5 t.
D ie A u sarb eitu n g der statisch en B erechnu ng so w ie d ie A u fstellu n g und A usarbeitung aller W erk stattzeich nungen usw ., ferner die g e sa m te W erk stattbearbeitung erfolgte durch d ie Firma F r i e d . K r u p p A .-G ., F r i e d r i c h - A l f r e d - H ü t t e , R h ein h au sen , A b teilu n g Stahl- und Brückenbau.
D ie A u fstellu n g der Stahlkonstruktion w urde durch die Firma K r u p p - D r u c k e n m ü l l e r G. m. b. H., B erlin-T em pelh of, ausgeführt.
D ie B earb eitun g der Stah lkonstruktion in der W erkstatt erfolgte ln der Z eit vom 1. April b is 30. Juni 1935.
D ie A u fstellu n g w u rd e in der Z eit vom 15. Juni bis zum 15. A u gust 1935 durchgeführt. Bild 5 z eig t die H a lle w ährend der A u fstellu n g.
D ie B ilder 6 u. 7 z eig en d ie H alle nach der F ertigstellu n g, und zwar überm ittelt Bild 6 ein en Eindruck von der G röße- d es sfützenfrel üb er
spannten Innenraum es, w ährend Bild 7 die w irk u n gsvolle G lied eru n g der Frontansicht zeig t.
A lle R ech te V o r b e h a l t e n .
T h e o r ie d e r e i n s e i t i g a n g e o r d n e t e n S t e g b le c h s t e if e .
V on E r n st C h w a lla und A le x a n d e r N o v a k in Brünn.
(Schluß aus H eft 10.) B. S p e z ie lle r T e il.
I. B e s tim m u n g d e r B e u is p a n n u n g e in e r P la tte v o n g e g e b e n e n A b m e s s u n g e n . D ie im .A llg e m e in e n T e il“ e n tw ic k e lte T heorie soll nun b ei der S tab ilitätsu ntersu ch un g ein er .a u ß e r m ittig “ v ersteiften Platte v o n g e g e b e n e n A b m essu n g en a n g ew e n d et w erd en . Wir w äh len ein e ein span nu ngsfrei g e la g e r te , auf reinen Schub beanspruchte Rechteck
p la tte, deren Länge a = 1 8 0 c m , deren B reite b = 150 cm und deren D icke t — 1 cm beträgt (Bild 5a), und verstärken d ie se Platte durch ein e auß erm ittig an geordn ete S teife, d ie aus ein em e in se itig a n gesch w eiß ten Flachstahl 70 • 10 b esteh t (Bild 5b ). Wir den k en uns den schm alen R echteckquerschnitt der S teife im Rahm en unserer Stab ilitätsuntersuchung b is zur P la tten m itteleb en e reichend (Bild 5 c) und ste lle n dem gem äß für den F lächeninhalt, das H aup tträghcltsm om ent, den T rägheitsradlus und den Schw erpunktabstand d ie se s Steifen qu ersch n ittes d ie W erte F — d h
= 1 ,0 0 (7 ,0 0 + 0 , 5 0 ) = 7 , 5 0 cm 2, J = d / r !’/1 2 = 35,16cm < , i = ] / J J F = 2 ,1 7 cm und s = 3,75 cm in R echnung. Das Seiten verh ältn is der P latte besitzt d ie Größe a = l , 2 0 , d ie P latten steifigk eit beträgt D — 192,3 tcm und für
d j b)
p
tt
1-10t !
■
!
=5
1800 .
J0
'S
d )
4J
d -1,00 cm,
B ild 5
l f f
d'lOOcm,
d ie in der G l. (23) a n g e g e b e n e n H ilfsgrößen y», ß lt ß 3, ß 5 erhalten wir y.>= 3 , 0 0 , £ , = 2 2 , 9 6 4 , £ 3= 1597,095 und £ 5= 10 956,222. Um d ie Ü b er
sich tlich k eit d e s L ö su n g sw eg es zu w ahren, w urde im .A llg e m e in e n T e il“
d ie G ü ltigk eit d es H o o k e sc h e n F orm än d eru n gsgesetzes v o ra u sg esetzt;
d ie se V orau ssetzu n g ist erfüllt, w en n d ie untersuch te P latte aus einem h o ch w ertig en Baustahl b e ste h t, d e ssen P rop ortionalitätsgrenze b ei Schub
b eanspruchu ng angenäh ert r p = l , 6 0 t/cm 2 beträgt.
Wir b ezieh en un s im w eiter en auf d en im .A llg e m e in e n T e il“ b e h an d elten Fall der A u sw ö lb u n g , der kurz a ls .W ö lb fa ll I“ b e zeich n et w erd en m öge und dadurch g e k en n zeich n et ist, daß die S teife beim A u s
b e u le n der P latte ein e se itlic h e A u s b i e g u n g erfährt; den z w e ite n m ög
lich en A u sb eu lu n gsfall (den .W ö lb fa ll II“), b e i w elch em d ie W ölbfläche am Ort der S teife e in e K n o t e n l i n i e . w = 0 “ a u sb ild et, w o llen wir erst später in Rücksicht zie h e n . D ie G l. (II), d ie wir für d ie gesu ch te B eu isp ann u n g a n g eg e b e n h ab en , schreiben wir — w ie d ies üb lich ist — in der Form r k = k d e , w o b e i k den aus der B eu lb ed in g u n g erm ittelten .B eu lw ert" und <se d ie durch d ie B e zieh u n g
(26) <st = - ' ' °t - = 0,084 35 t/cm 2
fe s tg e le g te E u l e r s c h e K nickspannung e in e s g ed a ch ten P lattenstreifens der Länge b — 150 cm und der B reite .E in s “ vorstellt.
Um die K o n vergen zverh ältn isse zu b eleu ch ten und um a u fzuzeigen , w ie w e it w ir d ie L ösungsschärfe b ei baupraktischen A n w en du ngen der T heorie zu treiben hab en , w o llen w ir b ei der B erech nu ng der kritischen Schubspannung vorerst nur fünf, dann se c h s und sieb en und schließlich a lle acht T eillö su n g en d e s A n satzes G l. (3) in Rücksicht zieh en :
1. B e r ü c k s i c h t i g u n g v o n f ü n f T e i l l ö s u n g e n .
S tellen w ir im L ösu ngsansatz G l. (3) nur die B eiw erte A n , A 22, A i3, A 3l und A33 ln Rechnung und b e d ie n e n w ir uns der H ilfsgrößen
(27)
1
¿ 3 <l + * » * + *
17,0022
6,8037
¿ = -
d = -
/ = -
¿(9+-v+ £
¿ 1 9 + 9 . , . + £ ß 3 _ 399,2737
25,1950 485,3474
32 434,0575
(4 + 4
A 4 x
5,7411
/ = f L
4 x x
dann läßt sich das G leich u n g ssy stem (I) in der Form
f 4
a A l + ■g' • A l j A l — 0
4 4
g • A i + b A.„ — (ia) 4
. / I —
i
2 5 A i + 36 25 5
- j A i
■ I A ■ 0 ' A 2 d A jl == 0
+ c
A 13 ■4 1 5
l y A 32- l A i3 + f A 33= 0
schreib en . B erech nen wir d ie K o effizien ten d eterm in an te -V d ie se s lin earen, h o m o g e n e n G le ich u n g ssy stem s und su ch en w ir den B eu lw ert k (d. i. die k lein ste p o sitiv e W urzel min x der B e d in g u n g sg leich u n g „ + / = 0 “) auf, dann ergibt sich
(28) k — 19,750.
Führen w ir d iesen B eulw ert in das G leich u n g ssy stem (Ia) ein, dann er
halten wir für d ie B eiw erte A m n der R eih e nach
foqi f A z = 1,0613 Ä n A t3
(
} Ul
= - 0 ,4 3 7 8 A n Zl33+ 0,0764 A n + 0,1250 A n
und können nun d ie W ölbfläch e w = / ( I , y) bis auf den g em ein sa m en (an der S tab ilitätsgren ze u n en d lich klein en ) Faktor A n festleg e n .
2. B e r ü c k s i c h t i g u n g v o n s e c h s T e i l l ö s u n g e n .
B erücksichtigen w ir im L ösu ngsansatz Gl. (3) d ie sech s B eiw erte A n , A 2, A 3, A i> A z> A s und ergänzen w ir die H ilfsgröß en G l. (27) durch d ie n eu e H ilfsgröße
(30) g -
1
32 3 ( 1 + 2 5 « 2)2 + ^ 2983,4038
dann enthält das G leich u n gssystem (I) sech s Z eilen und führt auf ein e K oeffizien ten d eterm in an te, deren k lein ste N u lls te lle min x = k = 19,744 beträgt; d ie erzielte Zuschärfung der L ösu ng ist hier nur ein e ganz u n b ed eu ten d e, w a s zu erwarten war, da der neu ein gefü h rte B eiw ert A i5 bloß in z w e i G leich u n g szeilen zur G eltu n g kom m t.
3. B e r ü c k s i c h t i g u n g v o n s i e b e n T e i l l ö s u n g e n .
Z ieh en wir d ie sie b e n B e iw erte An , A22, A13, A3l, A33, A15, Aäl in Rücksicht und führen w ir d ie n eu e H ilfsgröße
1 rr2 ^ . 3, 130,5164
(31) h = -
= (25+“’>.+ A
J a h rg a n g 10 H e it 12
4 . J u n i 1937 C h w a l l a u . N o v a k , Theorie der ein seitig angeordneten St egblech st eife 9 3
ein, dann um faßt das Q ieich u n g ssy stem (I) sieb en G leich u n g szeile n , von d en en vier den B eiw ert Asl en th alten. Der B eulw ert b esitzt nunm ehr die G röße ¿ — 18,857 und ist merkbar k leiner als der früher erh alten e Wert.
4. B e r ü c k s i c h t i g u n g v o n a c h t T e i l l ö s u n g e n .
E rgänzen wir d ie bish er v erw en d eten H ilfsgrößen G l. (27), (30) und (31) durch die n eu e H ilfsgröße
(32) 1 71-
32 c. ( 1 6 + 1 6 « 2)1
272,0354
und berücksichtigen wir a lle Im L ösu ngsansatz G l. (3) a n g eg e b en en B ei
w erte, dann k ön nen wir das G leich u n gssystem (I) in der Form 4 ... 16
(1b) a A n
I -
+ "7 A u + J A u + 225 + b A . „ — '
A n +
362 5 ', = 0
,
20■13 6 3 '
— c ■ -As A c A s
36 25
20
A a + i i A s
-I A , 1 1 33+ 3 5
A
2+ dA i
— jA i +
■ /t2;
20 6 3 '
l
A
3+ / A a + ,
144= 0 16 3 5 '
_
A n206 3 '
A i = 0
20 „ J A " ~ 6 3 ' ^ 2
16 2 2 5 '
A l + g g • A
16 3+
16 27 ’ y
‘ j
A l +
16 49
h A*
35
A i +
_ 16
2 7 ' 144
49 ' ' A , : 0
16
' 2 7 ' • A
(34)
_ 16 2 7 ' + i Ai t = 0 anschrelbcn. D ie K oeffizien ten d eterm inan te ¿1 d ie se s G leich u n g ssy stem s (deren B erech nu ng ein en schon etw a s großen Arbeitsaufw and erfordert, da angenäh ert fünfhundert R echen operationen m it ach tstelligen Zahlen durchgeführt w erd en m üssen) liefert ein e biquadratische B eu lb ed ln gu n g, deren k lein ste L ösung
(33) min x = & = 18,8171
beträgt und nur u n b ed eu ten d klein er als der früher erh alten e L ösu ngsw ert Ist. S etzen w ir G l. (33) in das G leich u n g ssy stem (Ib) ein, dann können wir d ie B eiw erte
(A 2 = - 1.0012 Au A13 = + 0,0802 An I A i == — 0,3874 A n = + 0,1245 A n
U 15 = — 0,0021 A n A , = — 0 ,1 0 8 8 A n A4 = — 0 ,0 2 2 6 /1 ,, erm itteln und m it H ilfe d iese r B eiw er te die W ölbfläch e w = / ( ! , 17) bis auf den g e m ein sa m en Faktor A n festleg en .
D ie an der un tersu chten Stab ilitätsgren ze w irksam e Schubspannung b eträgt, w ie w ir m it H ilfe der G l. (33) und (26) fe stste lle n können,
(35) r k = ¿ de = 1,587 t/cm 2
und Ist noch innerhalb des H o o k e s c h e n B ereiches d es v orau sgesetzten hochw ertigen B austahles g e le g e n .
Der theoretisch ex a k te L ösungsw ert d e s B eu lw ertes ist grundsätzlich klein er als das R it z s c h e N äh eru n gsergeb n is G l. (33), doch kann der U n tersch ied , w ie w ir aus der K onvergenz unserer L ösu n gsfolge schließ en dürfen, nur von b ed eu tu n g slo ser K leinh eit sein ; im Rahm en ein er bau
praktischen A n w en d u n g unserer T heorie w äre e s ausreichend, b loß die fünf G le ich u n g sze ile n (la) ln R ücksicht zu z ie h en , da der aus diesem G leich u n g ssy stem m it verh ältn ism äß ig klein er R echenarbeit a b g e leitete B eu lw ert ¿ = 19,750 nur um w e n ig e H u n d erttelle größer als der exak te W ert Ist.
Wir hab en bish er nur den „W ölbfall I“ in R ücksicht g e zo g e n und w o llen uns nunm ehr dem z w eite n m öglich en A u sb eu lu n gsfall (dem
„W ölbfall 11“) zu w en d en , der dadurch g e k en n zeich n et Ist, daß d ie W ölb fläch e w = / (£, ij) der au sb eu len d en P latte am Ort der S teife ein e K n oten lin ie „ « > = = 0 “ a u sb ild e t und daher der S teife k ein e seitlich e A u s
b ie g u n g au fzw in gt. D ie W ölbfläch e zerfällt hier in z w e i antim etrisch verlau fen d e, über d ie b e id en P lattenh älften erstreckte T eilfläch en , so daß d ie B eu lsp an n u n g rA' (w enn wir den gerin g fü g ig en D rillun gsw id erstand der S te ife vern ach lässigen ) den g leic h en Wert w ie d ie B eulsp annu ng ein er einspannungsfrei gelagerten R echteckplatte der Länge a ' = a /2 = 9 0 cm und der B reite b' — b = 150 cm b esitzt. D ieser kritisch e, von den S teifen a b m essu n g en un abh ängige Sp ann un gsw ert b eträgt3) r ft' = 1,59 t/cm 2 3) B ed eu tet a llg em ein c d ie klein ere und cx die größere der beid en S e iten ein er auf reinen Schub beanspruchten, un versteiften Rechteckplatte mit ein span nu ngsfreier Lagerung, dann beträgt der kritische, der tiefsten S tab ilitätsgren ze zu g eo rd n ete Schubspannun gsw ert m it großer A nnäherung
rA = [13,165 + 9,885 (c /q )2] .
(E. C h w a l l a , B auin g. 17, 1936, S . 85, F u ß n ote 8), so daß wir für den B eulw ert im F all « ^ 1 die ein fach e Form el k = 5 ,3 4 + 4 ,0 0 /« 2 und im Fall o t ^ l die F orm el ¿ = 4,00 + 5,34/«* (in Ü b erein stim m u ng m it ein em V orschlag von F. S c h l e i c h e r ) erhalten.
und stim m t, w ie ein V ergleich m it Gl. (35) lehrt, m it dem der „Wölb- form 1“ zu g eo rd n eten Sp ann un gsw ert rÄ praktisch vo llk o m m en überein.
D ie von uns g e w ä h lte , ein se itig a n geord n ete F lach stahlsteife (Bild 5 b ) erhöht som it den B eulw iderstand der P latte g e r a d e b i s z u d e m e r r e i c h b a r e n G r e n z w e r t m a x r A = rA' u n d e n t s p r i c h t d a h e r d e r s t a b i l i t ä t s t h e o r e t i s c h g ü n s t i g s t e n L ö s u n g ; e in e V ergrößerung ihrer A b m essu n g en wäre vom stab ilitätsth eoretischen Standpunkt zw ec k los, da d ie B eulsp annu ng m it R ücksicht auf d ie E x isten z d e s „W ölb- fa lles II' auch b ei A u sb ild u n g ein er u n en d lich b ie g e s te ife n Steife nicht über den G renzw ert rA’ g eh o b en w erd en könnte.
O hn e den im IV. A bschnitt durchzuführenden Ü b erlegu n gen vorgreifen zu w o llen , kön nen wir schon hier m it ein iger A nnäherung die Größe jen es H aup tträgheitsm om en tes Jx a n g eb en , das wir dem Q uersch nitt einer m i t t i g an geord n eten S teife zuordnen m ü ß ten , um d ie g le ic h e W irkung w ie m it unserer e in se itig a n geordn eten F lach stah lsteife (B ild 5 b ) zu erzielen . Da die G leich u n g t ä = t a', w ie wir g e se h e n hab en , b ei der von un s g e w ä h lten V ersteifun g erfü llt wird, stim m t Jx hier mit dem W ert je n e s M in d estträ g h eitsm o m en tes üb erein , das zur E rzw ingung d e s „W ölb- falles II' erforderlich ist. D ie s e s M in d estträgh eitsm om ent einer auf reinen Schub beanspruchten, ein span nu ngsfrei g ela g e rten R echteckplatte kann m it H ilfe ein er ein fach en F au stform el4) ab gesch ätzt w erden und beträgt in un serem Fall ä s 117,0 cm 4. D ie in Bild 5 b d a rg estellte, e in se itig a n g e
ordnete F lach stah lsteife verm ag som it d en B eu lw id erstan d der P latte Im gleich en M aße w ie ein e „m ittig“ an geord n ete S teife vom Q uerschnitts- T rägheitsm om en t Ji ä 117,0 cm 4 zu erh öhen; im Rahm en d es IV. A b schnitts w erd en w ir ein e g en a u e B erech nu ng von J x durchführen und h ierbei Jx = 126,61 cm 4 erhalten.
II. D is k u s s io n d e r e r h a lt e n e n L ö s u n g . Wir haben im I. A bschnitt die der „W ölbform I “ zu g eo rd n ete tiefste Stab ilitätsgren ze der in Bild 5 sk izzierten P latte unter B erü ck sich tigu ng ein es ach tglied rlgen L ö su n g s
ansatzes erm ittelt und für d ie kritische S ch u b sp ann ung den W ert r k
= 1,587 t/cm 2 g efu n d en . D ie an d iese r Stabllltäts- gren ze zur A usb ildu ng g e la n g en d e W ölbfläche w — f ( I , tj) kann nach Einführung der B eiw erte G l. (34) mit H ilfe der G l. (3) fe stg e le g t w erd en und Ist in Bild 6 inForm ein es S chichtenplan es d argestellt w orden; d ie den ein zeln en S ch ich ten
lin ien b eig esch rieb en en K oten b ed eu ten d ie V er
hältniszah len w / A n , w o bei A i mit R ücksicht auf die k on seq u en t durchgeführte L inearisierung aller D ifferentlalb czleh un gen der G röße nach un b estim m t b le ib t und an der Stab ilitätsgrenze un endlich klein zu den k en ist. D er Schichtenplan läßt die durch den B ieg ew id er
stand der S teife b ed in g te E i n s c h n ü r u n g d e r W ö l b f l ä c h e deutlich er
kenn en ; d ie größte seitlich e A u sw ö lb u n g der P la tten m itteleb en e tritt zu b eid en S eiten der S teife auf und b esitzt d ie Größe w max = 1,62 A n , w ährend die S ch eitela u sb ieg u n g der S t e i f e bloß
q nax =
1,321A i =
0,816w niax
beträgt.
Führen wir d ie B eiw erte G l. (34) ln d ie G l. (16) ein , dann erhalten wir (36) Cx = + 695,011
A i . C 3
= — 58,083A i . C5 =
— 3 ,825A i
und können nun m it H ilfe dieser K onstanten den e b en en S pann un gs
zustan d, der in der v erw ö lb ten P latte als F o lg e der „A u ß erm ittigk eit' der Steifen anordnu ng zu sätzlich en tsteh t, b is auf ein en g em ein sa m en , bei Beginn der V erw ö lb u n g v erh ältn ism äß ig noch seh r k lein en Faktor fest
leg en . Wir w äh len für d iese n Faktor d ie beim A u sb eu len auftretende S ch eltela u sb ieg u n g der S teife z max = 0 ,816 o>max , b e zieh en uns auf das ln Bild l b a n g e g e b e n e K oord in aten system und die a llg em ein üb liche V o rzeich en regel und g e la n g en dann auf d ie fo lg en d e n L ö su n gsergeb n isse:
4) B ed eu tet b d ie S teifen lä n g e und d ie g e g e n s e itig e Entfernung der lotrech ten S teifen , dann g ilt (E. C h w ’a l l a , B auing. 17, 1936, S. 86, F ußn ote 9) bei praktischen A n w en d u n gen
1 5 / 6 Y 1 . 3 /6 \2 1
A
erf '
: 0,137 b l \ist d ie um fan gsgelagerte P latte nur durch e in e ein zig e, ln der M itte an geo rd n ete S teife verstärkt, dann Ist der Faktor 0,137 durch d en h alb en W ert zu ersetzen ; w ir erhalten dann m it q = a /2 d ie F orm el
, 0 ,4 1 l / 3 b
aus der sich im g e g e b e n e n Fall A rf = 117,0 cm 4 ergibt.
erf'
9 4 C h w a l l a u . N o v a k , Theorie der ein se itig an ge ordneten Stegblech st eife D E R S T A H L B A U
B e i l a g e z u r Z e i t s c h r i f t . D i e B a u t e c h n ik *
a) D ie Schubkräfte T, die beim A u sb eu len der P latte von der S teife auf d ie P latte längs der K ontaktlinie übertragen w erd en (und nicht mit den Schubkräften T* v e rw ech selt w erd en dürfen, d ie sich b ei ein er b e i d s e i t i g e n Steifen anordnung als F o lg e der Z w e iteilu n g der S teife ergeb en und von dem ein en S teifen teil auf den anderen S teifen teil ü b er
tragen w erden), sind durch die G l. (11) und (12) b estim m t und b esitzen die in der Tafel 1 a n g eg e b en en Größen. D ie S teifen a u sb ieg u n g z mm
T a fe l 1 d e r i - - 7— ■)•
' 2 m a x '
x / b 0 ,0 | 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
T i/^max 0,0509 0,235 0,544 0,602 0,360 0 — 0,360 — 0,602 — 0,544 — 0,235 — 0,0509
a)
b)
ist hierb ei in cm und T in t/cm ausged rü ckt, so daß b e isp ie ls
w e ise d ie Schubkraft an der S te lle x = 0,3 b der K ontakt
lin ie T — 0,602 t/cm beträgt, w en n d ie S te ife im Z u g e der P latten a u sb eu lu n g ein e S ch e itela u sb ie g u n g von der Größe z max = 6/1 5 0
= 1 cm erfährt. Wir hab en bei der F orm ulierung der R andbedin
g u n g en gefordert, daß d ie w aage- rech teV ersch ieb u n gsk om p on en te v an den Plattenrändern x — 0 und x — b id en tisch v ersch w in d et; die Schubkräfte T b esitzen daher, w ie d ie in Bild 7a d argestellte V er
teilun gsk u rve erkennen läß t, an den S tellen x = 0 und x — b der K ontaktlinie ein en von N u ll ver
sch ied en en Wert.
b) Für die R esu ltierend e X der in ein em P latten län gssch n itt „ jc = c o n s t*
w irksam en S p ann un gskom p onenten <tx w erd en m it H ilfe der Gl. (11) die in der Tafel 2 z u sa m m en g estellten L ösu n gsw erte erhalten; X ist hierb ei
b esitzt b e is p ie ls w e is e d ie Größe m a x d x = 0 , 6 1 5 t/cm 2, w enn d ie S ch eltel
au sb iegu n g der S te ife w ährend d e s A u sb eu len s der P latte den W ert z max = l , 0 c m erreicht. D ie V erteilu ng der Spann un gskom p onente dx über d ie versch ied en en Längs- und Q uersch nittsflächen der P latte w urde in Bild 8 u. 9 zur D arstellu n g gebracht. Zu b eid en S elten der Kontakt
lin ie klingt d ie Spannung ax rasch ab, und an den b eiden Längsrändern g ilt dx = 0, w ie wir dies b e i der Form ulierung der R an db ed in gun gen vorgesch rieb en haben.
_____________________ d) D ie zur S teifen ach se p arallelen S pann un gs
kom p onenten dy d es durch die „Außerm ittigkeit*
der Steifenanordnung b ed in gten eb en en Spannungs- d2 <t>
zu stan d es sind m it H ilfe der B ezieh u n g dy = ^ aus der Spannungsfunktion G l. (10) zu bestim m en und b e sitz en d ie ln der Tafel 4 a n g eg eb en en W erte. D ie G rößtspannung m ax d v g ela n g t an der S te lle x = 0,5 b, y = 0 zur A u sb ildu ng und beträgt
T a fe l 4 d e r
\
x/b
y/a \
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50 0 + 0,035 + 0,011 — 0,057 — 0,113 — 0,131
0,125 0 — 0,026 — 0 ,026 — 0,009 + 0,008 + 0,014
0,250 0 — 0,006 — 0,001 + 0,015 + 0,032 + 0,038
0,375 0 + 0,005 + 0,013 + 0,025 + 0,034 + 0,038 0,500 0 + 0,008 + 0,016 + 0,024 -i- 0,030 + 0,033 b e isp ie ls w e is e max d -0,131 t/cm 2, w en n sich d ie P latte unter ihrer kritischen S ch u b b elastu n g so w e it au sw ölb t, daß die seitlich e A u sb iegun g der Steife an der S te lle x — 0,5 b den Wert z 1,0 cm erreicht. D ie
in T onnen und z max in cm ausgedrückt. Der G rößtw ert m ax X tritt im T a fe l 2 d e r X
' 2 m a x 1
x j b 0 ,0 I 0,1 0,2 0 ,3 1 0,4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 1,0
X / z
/ max 0,0 i 1,734
1 7,700 16,731 24,212 26,962 24,212 16,731 j-Q! Vl
O O 1,734 0,0
und sind m it einem
L ängsschn itt „ x = 0,5 b “ auf und w ü rd e b e isp ie ls
w e is e m ax X = 2 6 ,9 6 t b e tragen, w en n d ie S c h e lte l
a u sb iegu n g der S teife im Z uge der P latten au sbeu lu ng den W ert z max = b/ 150
= 1,0 cm erreicht. D ie V er
teilu n g der Kräfte X über die P latten h öh e ist in Bild 7 b d argestellt.
c) D ie in der Richtung der S teifen a ch se w irkenden Sp an n un gsk om p on en ten dx w erd en aus der Sp ann ungs
funktion G l. (10) mit H ilfe 52 <I>
der B ezieh u n g dx =
a b g c leitet und sind ln der Tafel 3 für v ersch ie d en e O rte x , y berechn et w ord en ; der G rößtwert max d x tritt an der S telle x -0,5 b , y = 0 auf und
. G..
T a fe l 3 d e r
y-0,5a /y-0,315a,
Bild 8.
V erteilu n g der Sp an n u n gsk om p on en te dy über die v ersch ied en en Längs- und Q uersch nittsflächen der P latte ist in den Bildern 10 u. 11 d argestellt;
d ie O rdinaten sind h ierb ei g e g en ü b er den O rdlnaten in B ild 8 u. 9 auf das V ierfache überhöht, w as beim V ergleich der Diagram m e zu b eachten ist.
e) D ie in der P la tten eb en e als F o lg e der
„A u ß erm ittigk eit“ der Steifen anordnu ng beim A u s
b e u len auftretenden Schu bspann ungen r ergeben sich aus der Spannungsfunktion G l. (10) auf Grund der B e zieh u n g ^ = - - ^ 1 —
p o sitiv en V orzeich en verseh en , w enn s ie in jenen B egrenzun gsqu erschn itten ein es P la tten ele m en ts, in d en en d ie Z ugspannu ngen dx , dy d ie Richtung der p o sitiv en K oordi
natenachsen b e sitz en , g le ic h falls in R lch tu n gd ieser p o sitiv en K oordinatenachsen wirksam sind. S ie n eh m en an den ver
sch ied en e n Orten x , y die in der T afel 5 z u sa m m en g estellten W erte an und erreichen an der S te lle x : = 0 , 3 b unm ittelbar rechts von der K ontaktlinie (,y -> 0 ) b e isp ie ls w e is e d ieG röß e r x y = 0,301 t/cm 2, w en n die S te ife im Z uge der P latten
a u sb eu lu n g d ie S ch eitelau sb ie- Bild 9.
g u n g 1,0 cm erfährt.
D ie V erteilu n g der Schu bspann un gen über die versch ie d en en Längs- und Q uersch nittsflächen der P latte ist in Bild 12 u. 13 d argestellt; die
T a fe l 5 d e r X'/
f
\xlb
y/a \
0,0 0,1 0,2 0,25 0,30 0,40 0,50\ xlb
y l a \
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50 0 - 0 , 1 6 7 — 0,049 + 0,104 + 0,272 + 0,530 + 0,615 - > 0 + 0,025 + 0,116 + 0,273 + 0,301 + 0,180 0 0,083 0 + 0,014 + 0,077 + 0,125 + 0 ,180 + 0,274 -F 0,310 0,083 -F 0,109 + 0,112 + 0,116 + 0,104 + 0,063 0 0,125 0 + 0,035 + 0,086 + 0,116 + 0,149 + 0,205 + 0,227 0,125 + 0,100 + 0,094 + 0,081 + 0,063 + 0,036 0 0,250 0 + 0,031 + 0,056 + 0,067 + 0,076 + 0,087 + 0,092 0,250 + 0,044 + 0,038 + 0,025 + 0,012 + 0,004 0 0,375 0 + 0,015 -F 0,027 + 0,032 + 0,034 + 0,038 + 0,039 0,375 + 0,009 + 0,007 + 0,003 — 0,002 — 0,002 0 0,5 0 0 o + 0,005 + 0,010 + 0,011 + 0,012 + 0,013 -F 0,014 0,500 — 0,006 — 0,010 — 0,007 — 0,006 — 0,004 0
J a h rg a n g 10 H e it 12
4 . J u n i 1937 C h w a l l a u . N o v a k , Theorie der ein se itig angeordneten S teg b lech steif e 9 5
G l. (3) und (34) fe stg e le g t wird und auf das in Bild l a a n g e g e b e n e K oordinatensystem b ezo g en ist. D ie G esa m t
sp ann ungen, d ie an der O berfläche der au sb eu len d en P latte zur G eltu n g kom m en, betragen dann
dx ~ dx + dx ' a v = d v + V - 0,131z,
-y-0,375a.
§ .— . L egen wir der B estim m u n g der örtlichen A nstrengung, ö 6 '—(¿rj d ie der B austahl in d iesem in h o m o g en en Sp an n un gsfeld er-
® v fährt, d ie „ H yp oth ese der konstanten G estaltänderungsarbeit"
zugrund e, dann hab en w ir d ie V ergleichssp ann u n g (39) <tV = ] / < * / + O y — Ox °y + 3 r l y
zu b erech n en und dem b e i ein em ein ach sigen Z ugversuch erm ittelten Wert der F ließ g ren ze <sF g e g en ü b erzu stellen . Wir können auf d ie se W e ise d ie G röße je n e s A u sw ö lb u n g s
p feiles w max oder jener S teifen a u sb ieg u n g z max bestim m en , b ei w elch er ö v ~ dF wIrd ur>d daher die P lastizierun g d es B austahls an der un ter
su ch ten S te lle x , y ein setzt.
Führen wir d ie se B erech nu ng für d ie S te lle x = 0,5 6, y = 0 der inneren (konkaven) Plattenob erfläche durch und greifen wir b e isp ie ls w e is e jen en A u sw ö lb u n g szu sta n d heraus, in w elch em d ie S ch eitelau sb iegu n g der S teife den W ert z max = 6 /3 0 0 = 0 ,5 0 cm erreicht, dann erhalten wir aus der G l. (35) d ie über die P lattend icke gleich m ä ß ig v e rte ilte S ch u b spannung r = (— r k) = — 1,587 t/cm 2, aus den Tafeln 3, 4, 5 d ie über d ie P latten d ick e gleich m ä ß ig v erteilten Sp ann un gsk om p on enten d es z u sätzlichen eb en e n S p an n u n gszu stan d es
(40) dx = + 0,3 0 8 t/cm 2, dy = — 0 ,066 t/cm 2, **„ = 0 und aus der Gi. (37) die Randspannungen
(41) < , * = - 0,847 2max = - 0,424 t/cm?, d * - - 0 , 9 3 4 2nulx = - 0,467 t/cm?, r x y — -
° . 976 *max = “ 0,488 t/cm*.
D ie G esam tsp an n u n gen betragen daher
(42) dx — — 0 ,1 1 6 t/cm 2, dy = — 0,533 t/cm 2, f x y — — 2,0 7 5 t/cm 2, so daß sich für die örtlich e V ergleich ssp an n u n g der Wert
(43) 1/0,0135 + 0,2841 — 0,0 6 1 8 + 12,9169 = 3,626 t/cm 2 ergibt. N eh m en wir an, daß der N en n w ert der F ließ g ren ze d es ver
w e n d eten hoch w ertigen B austahls d ie G röße dp — 3 ,600 t/cm 2 b esitzt, dann g ilt w e g en d v x d p das fo lg en d e E rgebnis: D ie untersuchte, e in s e itig v ersteifte P latte (Bild 5) erreicht unter der Schubbeanspruchung r k — 1,587 t/cm 2 d ie der „W ölbfläch e I “ zu g eo rd n ete S tabilitätsgren ze O rdlnaten sind hierb ei, was beim V ergleich zu beachten ist, g e g e n
über den O rdlnaten in Bild 8 u. 9 auf das Z w eifach e überhöht w orden. D ie in Bild 13 e in g ez eich n ete Kurve „_y->0“ b e zieh t sich auf ein en P lattenq uersch nitt, der u n m i t t e l b a r r e c h t s von der K ontaktlinie g e le g e n ist; unm ittelbar links von der K ontaktlinie ist der Sp annungsverlauf der g le ic h e , b e sitz t jed och das e n tg e g e n g e s e tz te V orzeich en . Am Ort der K ontaktlinie erfährt rx y ein e sp ru n g w eise Ä n deru ng sein er G röße um d en Betrag 2 ^x y y > o ; d ie d iesem Spannungssprung en tsp rech en de D ifferenzkraft 2 t r x y y wird von der S te ife üb ernom m en und stim m t an jed er S te lle „ x “ der Kontakt
lin ie m it der in der Tafel 1 a n g e g e b e n e n Schubkraft T überein. An den b eid en Rändern x = 0 und
jc == ö ist r x y von N u ll ver- \ ’ 1 sch ied en , w as zu erwarten i\
war, da wir b ei der A uf- \
S te llu n g d er R a n d b e d in g u n - \
g en gefordert h ab en , daß \ -o
die w aagerech ten V ersch ie- J \ \ h f
bungen der P lattenp unkte ^ _ V V ~
an d ie se n b eid en Rändern 2- ~
(m it R ücksicht auf d ie üb- / \ 1’b
lieh e E infassung der Längs- / x -n?-h
ränder durch G urtungen) +
Id entisch v ersch w in d en . ___________ 1___x -oy-b^ |
III. D er B egin n d er , x-0,5 b
örtlich en P la stiz ie r u n g in / d er a u sb e u le n d e n P la tte. \ / Erreichen d ie an den vier
Plattenrändern w irksam en, - \ \ n t 7
von N u ll an w ach sen d en \ \ Schubkräfte d en der „W ölb- \ ' form I “ zu geord neten kri- \
tischen W ert, dann b e u lt \
d ie P latte nach der in Bild 6 \
d a rg estellten W ölbfläche \ 12.
aus. Bei diesem A u sb eu len
treten zu den über d ie Plattendicke t g leich m ä ß ig verteilten Schubspan
nu ngen rft, die schon b ei B egin n der V erw ö lb u n g an säm tlich en S tellen x , y der P latte in vo ller Größe vorhanden sind, die Spann un gskom p onenten dXy dy , r x y d es durch d ie „A u ß erm ittigk eit“ der Steifen an ord n u n g b ed in gten eb en en S p an n u n gszu stan des so w ie d ie B ieg e- und Schu bspann un gen , d ie durch d ie V erb iegu n g und die V erd rillu n g der a u sg eb eu lten Platte hervor
geru fen w erd en . M it A u sn ahm e, der Schubspann un g r k sind a lle d ie se
¡/’ 0,083a,
\ 0,301-1,•max
■y-0,125a, -y-0,25a,
y-0,375a, ''y-Oia, Sp an n u n gsk om p on en ten v o n der G rößenordnung der V erw ölb u n g und
daher an der S tab ilitätsgren ze noch un en d lich k lein ; sie neh m en jedoch im Z uge der A u sb eu lu n g e n d lich groß e W erte an, die wir, so la n g e der W ölbp fell w max verh ältn ism äßig sehr klein bleibt, m it H ilfe der von uns en tw ick elten B ezieh u n g en b erech n en dürfen.
An der O berfläch e der Platte sind außer den Spann un gskom p onenten r k , dx , dy , r x y noch d ie von der P la tten v erb leg u n g herrührenden B ieg e randspannungen d * d * und d ie von der P lattenverd rillu ng herrührenden R andschubspannungen r x y w irksam , d ie m it H ilfe der B e z ie h u n g e n 5)
* 2 (l — p 1) \ ö>?2 ' r 9 I 2 E t ( t f w ö2 w \ V - = F 2 ( 1 - / , ! ) U ^ W ) ’
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* x y - ^ F 2(1 + f i ) • ’ö £ ö v
erm ittelt w erd en k ön nen; /< = 0,3 b e d e u te t hierb ei d ie Q uerzahl, ¿ = I , 0 c m d ie P latten d ick e und die W ölbfunktion, d ie durch d ie
5) V gl. etw a A. N ä d a l , E lastische Platten, Berlin 1925, S. 20.
B ild 13.
und b eu lt nach der in B ild 6 d argestellten W ölbfläch e aus; nim m t die S ch eitela u sb leg u n g der S te ife im Z u ge d ie se s A u sb eu len s den Wert z max = 6 /3 0 0 = 0 ,5 0 cm an (so daß d ie größte se itlich e A u sw ö lb u n g der P latte = 0,61 cm ä > 6 / 250 beträgt), dann wird der B austahl am Ort .* = 0,5 6, j / = 0 der inn eren (kon kaven) P lattenob erfläche im S in n e der g ew ä h lten A n stren g u n g sh y p o th ese p lastiziert. V om baupraktischen Stand
punk t ist d ie se P lastizierun g, da sie sich auf den Ort ein er V erg leich s
s p a n n u n g s s p it z e beschränkt, b e d e u tu n g slo s; m erkbare b le ib en d e V er
form ungen der P latte w erd en erst zur A u sb ild u n g g e la n g en , w en n sich der G eltu n gsb ereich der B e zieh u n g d v ^ d p nach allen drei K oordinaten
richtungen über ein relativ größeres G eb ie t erstreckt.
W ürden w ir d ie S te ife nicht „auß erm ittig“, son d ern „m ittig“ an
ordnen und ihre B ieg e ste ifig k e it so w äh len , daß d ie S tab ilitätsgren ze r k = 1,587 t/cm 2 unverändert erhalten b leib t, dann w ü rd e der zu sätzliche e b e n e Spannungszustand versch w in d en und daher dx — dy — vx y = 0 sein . D ie W ölbfläch e w = / ( | , jj) w ü rd e sich , w ie wir im nächsten A b schn itt noch e in g eh en d er schildern w e rd en , von der in Bild 6 d argestellten
