DER STAHLBAU
S c h r i f t l e i t u n g :
G eh . Regierungsrat Professor S r .^ n g . A. H e r t w i g , B erlin-W ilm ersdorf, S ächsisch e Str. 43 Fernsprecher: 87 7421
Professor W. R e i n , Breslau, T echnische H och schule. — Fernsprecher: Breslau 421 61
6 5
B e i l a g e
z u r Z e i t s c h r i f t DIE BAUTECHNIK
Preis d es Jahrganges 10 RM und P o stg e ld
Fachschrift für das g e sam te B auin gen ieu rw esen
10. Jahrgang BERLIN, 23. April 1937 Heft 9
B e it r a g zu r B e r e c h n u n g d e r S t e g b l e c h a u s s t e i f u n g e n v o l l w a n d i g e r B le c h tr ä g e r .
a i i c R e c h t e V o r b e h a l t e n . V on Reichsbahnoberrat ®r.
A. A llg e m e in e s .
A uf Grund d es von B r y a n - T i m o s c h e n k o a u fg estellten P oten tials kön nen d ie A b m essu n gen ein es fe st um rahm ten S teg b le ch teils b estim m t w e rd en , d ie vorhanden sein dürfen oder m ü ssen , dam it das S teg b lech nicht a u sb eu len kann, jed och unter der V orau ssetzu n g, daß d ie d a sselb e u m rahm end en S teifen (P fosten oder L än gssteifen) hin reichend steif sind.
Es erg eb en sich danach d ie kritischen B eu lsp an n u n gen <sk bzw . r k , bei w elch en das S te g b le ch ausb eu len kann. D ie B erechnungsvorschriften sind im w e se n tlich en nach den V orschlägen von Prof. Dr. S c h l e i c h e r im D e u t s c h e n A u s s c h u ß f ü r S t a h l b a u beraten w ord en und w erden d em n ächst als D eck b latt zur „BE‘ ersch ein en . Im fo lg en d en soll die erforderliche S te ifig k eit der A u ssteifu n g en erm ittelt w erd en .
Es ist versucht w o r d en , d ie se S teifen in das B ryan -T im osch en k o- P otential m it ein zu b e zie h e n , um so d ie erforderliche S teifig k eit der A u s
steifu n g en im V erh ältnis zur S teifig k eit der P latte zu e rm itteln 1). D ie se s Verfahren hat In dessen bish er nur zu T eillö su n g en geführt, und zwar fast nur für F älle, d ie praktisch kaum Vorkom m en.
D as im fo lg en d e n d arg eleg te V erfah ren, w e lch es a llg em ein und in einfach er W eise anw endbar ist, g e h t von der B etrachtu ng der u n versteiften P latte aus, in w elch er d ie erm ittelten kritischen Beanspruchungen [ dk , überschritten w erd en . Es betrach tet dann den V erform un gszustand, den d ie u n verstelfte P latte nach Ü b erschreitun g der kritischen B eanspruchungen
! erleid en w ü rd e, um auf d iesem W eg e zur E rm ittlung der Druckkräfte zu g e la n g en , die von den A u ssteifu ngen üb ern om m en w erd en m üß ten , w enn d ie se V erform ung w irklich einträte, da sie ja von der P latte se lb st nicht
¡m ehr a u fgen om m en w erd en k ön n en . D ab ei muß als selb stverstän d lich
| a n g en o m m en w erd en , daß ein e Druckfaser, sd le d ie kritische B eulsp annu ng E rreich t hat, ein en w eiteren S p a n n u n g szu w a c h s nicht m ehr aufn im m t; sie behält, g leic h g ü ltig , ob sie au sb eu lt oder nicht, d ie kritische Beuldruck- sp annung. D en Ü b erschuß m ü ssen zur A u frechterhaltung der Querkraft
b ed in g u n g en die senk recht kreuzenden Zugfasern ü b ern eh m en , w o b ei d a h in g estellt sein m ag, ob d ie se an gesp an n ten Zugfasern durch ihre Ü b er
la g e r u n g der Druckfasern d ie se am A u sb eu len verhindern od er nicht. Wir w o llen jed en falls dam it nicht rechnen.
B. E r m ittlu n g d e s w ir k lic h e n S p a n n u n g s z u s t a n d e s b e im E r r e ic h e n d e r k r it is c h e n B e a n s p r u c h u n g e n .
Es ist zunächst erforderlich, d ie H auptspannungen zu b estim m en . Das so ll in B eschränku ng auf d ie hier a lle in vork om m en d en F ä lle, näm lich Druckspannung oder Zugspannung^ ln der Längsrichtung d es Trägers und Schu bspann un g an B ild 1 erörtert w e r d en , oh n e auf d en B e w e is ein z u g e h e n . Bild 1 entspricht den W erten
öx — — 1000 k g /cm 2
d. h.
r x y ~ +
2 dx -4- T ^ :
' Lx y
700 500
860
Im K oordinatenkreuz mit dem A n fang 0 tragen w ir = -
ab = 0 . 4 , beschreib en dann m it dem H alb m esser d en Kreis um A. Dann ist 0 B — 0 C = d,
V iL
4m ax' + rx y
- 500 k g/cm 2
; 860 k g /cm 2 V erb inden w ir nun
J) T i m o s c h e n k o , Ü ber d ie Stab ilität v ersteifter Platten, D er E isen bau 1921, S. 147. — C h w a l l a , B e m essu n g der w aagerecht au sgesteiften S te g b le ch e. V orbericht zum II. intern. Kongreß für Brücken- un d H och bau. — D ers., S tah lb au 1936, H eft 2 1 /2 2 .
:gng. K ra b b e, M ünchen.
den Schnittpunkt D d ie se s K reises m it dem p o sitiv en Z w eig der /- A c h s e m it B und C, so gib t D B d ie Richtung von rfmin, C D die Richtung von o’max an; ferner ist r x y — 0 D . Ist dx = + 1000 k g/cm 2, haben wir also Z u g - und Schubspann un g, so ergibt sich dafür ein zur / - A c h s e gen au
sy m m etrisch es B ild , w o b ei die v Y B ezeich n u n g <rmln und </max zu
vertauschen sind. Im S on d er
fall reiner Schubspannung wird (Bild 2)
ffj-t
V "
T T = °
1/
A fällt m it 0 zu sam m en ; es wird </
« x 1
4 r x y Tx y
m ax r x y rfmlii •
j
(5{
-fii*^ b u y ' ^ .j , I ^ V fvöi.
¿r— — j
-ÇcC. V e r fo r m u n g s z u s ta n d n a c h Ü b e r s c h r e it u n g d e r k r it is c h e n S p a n n u n g e n . 1. G l e i c h m ä ß i g e r D r u c k u n d S c h u b (B ild 3).
Im Trägerfeld von der L än ge a und der H öh e b üb erschreite die w irk lich e H auptspannung d dun d dz d ie aus den kritischen Sp annun gen sich ergeb en d en H auptspannungen dd k und dz k . Es se i In der M itte d e s F eld es ein Z w isch en p fosten an geord n et, so daß b ei hinreichender S teifig k eit d ie se s P fo sten s in den E in zelfeld ern d ie den kritischen S p ann ungen für d ieses F eld entsp rech en den z u lä ssig e n H auptspannungen d ie W erte v ddund v d z nicht ü b erschreiten. D enk en w ir uns den Z w isch enp fosten als nicht vor
han den, so kann ln der Richtung der H auptspannung d d k auch b ei über d ie kritische Spannung hinausführender B elastu ng d e s Trägers e in e über d d k h in a u sg e h en d e Sp ann un g nicht m ehr aufgen om m en w erd en ; die in d ieser Richtung lie g e n d e n Fasern b e h a lte n , m ögen s ie au sb eu len oder nicht, den Wert dd k . Zur A ufrechterhaltung der Q uerk raftb ed in gungen muß d ah erdz k a lle in zu n eh m en , d. h . den Q uerkraftanteil von dd k m ltau fn eh m en . D ie Enden der Druck- und Zugfasern treffen an den G urtungen zusam m en
nach Bild 4.
Um d ie se lb e Querkraft in den Ein- / h e iten der sen k rech ten B lech sch n itte zu erzeu g en , muß d ie B ed in g u n g er
fü llt w erd en :
P d ■ cos « P , ■ sin tx
B ild 4. oder
/ / s i n « Pa
e /c o s « : ctg OC,
6 b
O E R S T A H L B A U
K r a b b e , Beitrag zur Berechnung der Stegb lech au ss teifu n gen vol lw and ig er Blechträger B e i i a c e z u r Z e i t s c h r i f t „ D ie B a u t e c h n i k -
Nun ist aber
also (1)
P d = dd f t
* d f
■■ « ’ e t,
= ctg «,
und da — = ctg a,
(2) < =
Es en tsteh t also nun in der Zugfaser als Spannung, d ie das S tegb lech nicht aufn ehm en kann,
v <1, udk + r d ■dz k oder v(dd + dz) — [dd k + dz k ) ■
D avon entfällt auf den sen k rech ten S tegb lech streifen von der B reite c, da c = .— , der A nteilc
sin «
dv = [»' (dd + dz) - [dd k + dz k ) \ s i n 2 “ -
D er Pfosten muß die Druckkraft aufneh m en können, d ie durch V erm ittlu n g der Gurte auf ihn übertragen wird:
(3) P v = 1,3 [v(<<d + dz) - [<sd k + d z k ) \ t - ^ • sin 2« .
Eine K nickzahl ist nicht erforderlich, da sie bereits in r d dund v d , lieg t.
Es em p fieh lt sich aber, e in en k lein en Z uschlag zu m achen, da w e g en der S teifig k eit der G urtungen d ie se als kon tin uierliche Träger w irken und die A uflagerdrücke auf die P fosten dadurch größer w erd en .
Der Z uschlag kann m it 3 0 % a's ausreichend a n g eseh en w erd en .
3
H ätte das F eld d ie Länge • a und wären z w e i Z w isch en p fosten vor
handen, so w ürd e sich an der R echnung w eiter nichts än d ern ; nur w ürde sich natürlich w e g e n der größeren F eld lä n g e ein k lein eres ddk und <fz k ergeben, d ie P fosten m üßten also dem en tsp rech en d stärker w erd en .
D as E rgebnis ist insofern b each tensw ert, als es zeigt, daß, ab g eseh en v on der G röße der Ü b erschreitun gen der kritischen Sp ann un gen , die er
forderliche S teifig k eit d es P fo sten s abh ängig ist von dem W in k el «, d. h.
der N eig u n g der D ruck w ellen . Das ist z w e ife llo s richtig, da b ei ver
hältnism äß ig ste ile r L age der D ruckw ellen (Bild 5) d ie se In w eitaus stärkerem M aße ein M ita u sb ieg en d e s P fosten s herbeiführen kön nen w ie b ei flacher N e ig u n g der D ruckw ellen nach Bild 6.
B ild 5. Bild 6.
ud k uzX
dam it g e h t G l. (3) über in
(4) / • l , 3 - 2 ( * T - r
Z ug und Schub beansprucht. A uch hier se i zur A ufnahm e der üb er
sch ieß en d en Zugkräfte ein P fosten a n geord net. Das Bild der H aupt
sp ann ungen g e sta ltet sich dann so , w ie in Bild 7 ein getragen . Der Pfosten hat also aufzun eh m en : .
am oberen Ende
1,3 { r d z o — oz k o + v d d o - am unteren E nde
Xö { r d z u — dz k u + v dd u -
dd k o ) t '
udk
»V
a 2 a 2
■ sin 2 a.
■ C O S2 « =
Ein so beanspruchter P fosten , d essen B elastu ngsb ild in Bild 8 w ied er
g e g eb en ist, b ei w elch em also der U n tersch ied P 00 — P v a durch d ie den Pfosten m it dem S teg b lech v erb in d en d en N ie ie au fgen om m en wird, kann b ezü g lich sein er K nicksicherheit so b erech n et w erd en , als w enn er an sein en E nd en m it der ganzen k lein eren Kraft P v a und außerdem mit ein em 1/ i d es U n tersch ied es P v o — P v a b ela stet w orden wäre. S ein e
B elastu n g ist also anzun eh m en :
N e
t f
t
Bild 8.
S oll in d iesem F alle die A u ssteifu n g durch w aagerech te S teifen erfolgen , so g e sta ltet sich für d ie se S teifen das B elastu n gsb ild nach Bild 9. Der Träger wird im unteren T eil auf Druck und Schub, im ob eren T eil auf Z ug und Schub beansprucht (F eld neb en der Z w isch en stü tze durchlaufender Träger).
Am oberen Trägerrande greift an
(" ddo - dd k o + v dz o dz k o ) t ' s i"2 * . am unteren Trägerrande
( " ddu ~ ddXu + r d z u — dzXu) t ■cos2 “ - w odurch d ie w aagerech ten Fasern b e la ste t w erd en :
am ob eren E nd e m it B em erk en sw ert ist ferner noch:
Für « = 0, d. h. reinen Druck senkrecht zur Trägerachse (der in
& d
W irklichkeit nie vorkom m t), w ürde G l. (1) d ie Form erh alten —, ■ oo = co, und die B eanspruchung d e s P fosten s würde unb estim m t sein .
Für « = 9 0 ° , d. h. reinen Druck, w ü rd e d ie G leich u n g d ie Form er- halten d d - 0 = 0 und dam it auch in d iesem F alle für die Pfosten
dz
un b estim m te W erte ergeb en .
In b eid en F ällen sind k ein e kreu zen den Zugfasern vorhand en . Es z eig t sich also auch hier, daß b ei reinem Druck die V ersteifu n g durch P fosten e in e u n zu län glich e M aßnahm e ist.
Im F alle reinen S ch u b es wird sin 2 a = ^
t d n v d.do ' d d k o + v d z z k o ) t - sin 2 «>
am unteren Rande m it
t du = ( " ddu — ddk u + ” dz u — dz k u) t ■ C O S 2 « ,
D ie se B ela stu n g v erteilt sich in der sk izzierten W eise auf d ie vorhanden en w aagerech ten S teifen und d ie G urtungen. A uf die S te ife 1 entfällt der
P \
1,3 , auf die S te ife II der A n teil der
2. R e i n e r S c h u b u n d B i e g u n g ,
der F all, der b ei B erech nu ng der B iegeträger allein vorkom m t.
Wir n eh m en hier an, daß die kritischen S p ann un gen so b em essen sin d , daß nirgen d w o im Träger, auch in der Z one d es v o rw ieg en d en Z u ges, d ie den kritischen Sp annun gen en tsp rech en
d en H auptdruckspannungen überschritten w erd en dürfen, w en n ein A u sb eu len ver
hindert w erd en so ll, daß also in allen T eilen die Ü b erschreitung der Druckspannungen nicht eintrltt und dafür zur A ufrechterhaltung der Q uerk raftb ed in gun gen erhöhte Z ugspan
n u ngen P latz greifen w ürden. D ie A nnahm e ist allerd ings sehr w e itg eh en d un günstig.
D er Träger wird im ob eren T eil (B ild 7) auf Druck und Schub, im unteren T eil auf
A n teil der schraffierten F läche I = schraffierten F läche I I = - ^ ~ - -
1 ,Ö
Bild 9 kön n te nun den A n sch ein erw eck en, daß die un tere S teife, die in der D ruckzone lie g t, schw äch er beansprucht wird w ie d ie S teife I in der neutralen F aser, oder a ls ob gar in der Z u g zo n e angebrachte S teifen b eso n d ers wirksam sein w ürden. D as ist natürlich nicht der F all, denn die Steifen haben außerdem den auf s ie en tfa llen d en A n teil der B iegu n gssp an n u n gen d es S y stem s a ufzu n eh m en , d. h., w en n w ir die B iegu n gssp an n u n g in der um y v o n der neutralen Faser entfernten w a a g e
rechten Faser m it d b y b e zeich n e n , hat, w ie in Bild 9 rechts d argestellt, d ie S te ife I w eiter nichts aufzun eh m en . D ie S te ife II d agegen v a b y l l Fn ,
w ährend in der Z u gzon e angebrachte Steifen en tsp rech en d e Zugkräfte a u fzu n eh m en hätten, und dadurch in V erb in d u n g m it den ged ach ten Druckkräften m ehr oder w en ig e r w irk u n gslos sein w ürden.
Tritt nun der F all ein , daß allein durch die Kraft db y F d ie Knick
la st e in er w aagerech ten S teife überschritten wird, so su cht sich d iese S te ife auf d ie v ie lle ich t noch stan d h altend e P latte zu stü tzen ; die S te ile sch ad et ln d ie se m F a lle nur statt zu nü tzen, sie ern iedrigt d ie B eulsich er- h e it der P latte. D ie s dürfte ein ein fach es und ein w an d freies Kriterium für d ie W irk sam keitsgren ze der S te ife sein.
W ollen wir g leic h z e itig durch L än gssteifen und P fosten a u ssteifen , s o ü b ern eh m en wir ein en T eil der ü b ersch ieß en d en Spannung auf die P fosten und den R est auf die w aagerechten S teifen .
W aagerechte S teifen brauchen nicht durchlaufend über die Pfosten h in w eg g efü h rt zu w erd en , sondern können an den P fosten stum pf en digen.
Es muß dann aber fo lg en d e B ed in gu n g erfü llt w erd en (Bild 10):
B ezeich n et P v die B ela stu n g d e s P fo sten s, S d ie B elastu n g der w aagerech ten S te ife und w d ie Kraft, w e lc h e erforderlich ist, um den in
J a h r g a n g 10 H eft 9
2 3 . A p ril 1937 K r a b b e , Beitrag zur Berechnu ng der S teg b lech a u ss teifu n g en vollw and ig er Blechträger 6 7
der A chsrlchtung m it P v b e la ste ten P fosten um 1 d u rch zu b iegen , dann muß sein :
oder
. 1 . w > 4 • - S .
a
3. A ls Sonderfall bleib t noch d e r F a l l r e i n e r B i e g u n g zu b e han d eln , der annähernd ln den M ittelfeldern von B iegeträgern auftreten kann. Wir m ü ssen un s dabei allerdings auf d ie B erech n u n g von Längs
steifen beschränken. Hier lie g t ein einach siger Sp ann un gszu stan d vor, b e i dem also d ie Druckfasern nicht von Zugfasern gek reu zt w erd en , b ei dem daher e in e Sp an n u n gsu m lageru ng w ie b ei z w eia ch sig en Sp ann un gs
zustän den nicht m öglich ist. Wir n ehm en auch h ierb ei an, daß die m it uo k b erech n ete B eu lsp ann u n g so b e m e sse n ist, daß an keiner S te lle d es Trägers d ie durch ao k und nach dem H ook esch en G esetz b e din gten D ruckspannungen überschritten w erd en dürfen, w en n nicht B eulun g eintreten so ll. Dann ergibt sich das in Bild 11 w aagerech t schraffierte Spannungsbtld. D ie durch das schräg schraffierte D reieck g e g eb e n en Spannungen können durch das S teg b lech nicht au fgen om m en w erd en , sie m üssen also durch d ie Steifen au fgen om m en w erd en und durch d ie G urtungen. D ie se B elastu n g, aus dem schräg schraffierten D reieck b e ste h e n d , v erteilen wir nach dem H e b elg e setz auf die w aagerech te S teife und d ie obere G urtung (der klein e A n teil, der auf d ie untere G urtung entfallen w ü rd e, kann vernach-
W
______________________ ' J L
Bild 10. Bild 11.
lässlgt w erd en). A ußerdem muß d ie S teife natürlich auch in d iesem F alle die Ihr aus dem Trägersytem zu fallen d e B ela stu n g v <ty F aufn eh m en . A u s Bild 11 ersieh t man, daß auch ein e in der neutralen Faser angebrachte w aagerech te S teife nicht w irkungslos sein würde.
■ 4 -
Cinseitige Aussteifung
Stegblech Bild 12.
D . E in s e it ig a n g e b r a c h te A u s s t e if u n g e n . p S in d die A u ssteifu n gen n ich t' sym m etrisch zum S teg b lech , sondern e in se itig angebracht, so ist die Knlck- u n tersu ch un g nach der B ela stu n g s
sk izze B ild 12 durchzuführen. D ie A u ssteifu n g ist also als außerm ittig b ela stet anzun eh m en , das S te g b lech ist da b ei nicht m itzu rech nen.
E. S c h lu ß b e m e r k u n g e n .
Es se i noch beson d ers darauf h in g ew ie se n , daß d ie hier errechneten P fosten beanspruchu ngen k ein e w irklich auftretend en B eanspruchungen sin d , da ja im A u gen blick d e s A nbrlngens der P fosten sich die W e r te dk<
r k u sw . vergrößern, d ie Druckfasern also in W irksam keit treten und da
m it d ie errechn eten Z ugfasersp ann ungen und P fosten sp an n u n gen nicht aufkom m en lassen . D ie se sind v ielm eh r nur g e d a c h t e B eanspruchungen, b ei deren E inh altu ng aber ein A u sk nicken der Pfosten m it S ich erh eit verh in dert w ird. Trotzdem erg eb en sich für d ie P fosten geringere B e
anspruchungen als nach bish er vor g esch la g en en , ü b erd ies nur in Son der
fällen anw en db aren Verfahren.
D en h ier b en u tzten G ed an k en gan g der nur ged ach ten , in W irklich
k eit gar nicht auftretend en K raftübertragung kann man sich an einem anderen, ein fach eren B eisp iel klarm achen. Wir denk en uns e in en Rund
stab m it der E ulersch en K nicklast P k , der also b ei ein er B elastu n g mit P h + P ausknicken w ü rd e. S ein T rägheitsm om en t muß dann sein
' P k P 1 —
1
Um das A usknicken zu verhindern, w o llen wir nun den Stab m it einer d ich tan sch ließ end en H ü lse u m geben , in w elch er er fast reib u n gslos g leiten kann. Wir w erd en dann das A u sknick en z w e ife llo s verhindern, w en n wir das T rägh eitsm om en t J2 der H ü lse so b em e sse n , daß das T rägheits
m om en t Jl + J2 für d ie Last P k + P ausreich t, also / j 4- J2 [ Pk + P ) P
IT 2 E oder P k + P
zu I Pi + K
Es ist w o h l kaum daran zu z w eife ln , daß d ie se ein fach e B erechnung z u lä ssig ist, b ei w elch er wir uns aber nach der zw eiten F orm el e in e g a n z and ere Art der K raftübertragung v o rstellen als d ie w irklich stattfind en de.
Wir ste lle n uns näm lich vor, daß der für sich allein ü b erlastete Rundstab
d ie ü b ersch ieß en de L ä n g s k r a f t auf d ie H ü lse a b g e g e b e n h ab e, w as er in W irklichkeit nicht kann, da ein e Ü b ertragu n gsm öglich keit gar nicht vor
han den ist. Wir ste lle n uns aber vor, w as m it dem Stab e nach Ü b er
schreitu ng der K nicklast g e sc h e h e n w ürd e. A u sb ieg en kann er nicht, daran hindert ihn die g en ü g e n d stark b e m e sse n e H ülse, und es b le ib t nur d ie ein fach e V orstellu n g, der Stab habe die ü b ersch ieß en d e Längs
kraft an d ie H ü lse a b g e g e b e n . D er w irk lich e V organg ist gan z anders, der Stab v ersu ch t a u szu b ieg en und überträgt dabei v ersch w in d en d k lein e B ieg u n g sm o m en te auf d ie H ü lse, d ie sich aber nicht ausw irken können, sondern im K eim e erstickt w erd en . Der Stab b eh ält d ie v o lle B elastu n g P k + P , und die H ü lse b leib t so g u t w ie sp an n un gslos. D ie B erechnung der erforderlichen D ick e der H ü lse auf Grund der w irklichen Kraft
üb ertragungsm öglichkeit w ürd e sehr schw ierig sein.
Ein ganz en tsp rech en der V organg lie g t b e i unserer B erech n u n gs
w e ise der S teifen vor. Wir s te lle n uns hier auch vor, w as mit dem S teg b lech nach Ü b erschreitun g der B eulsp annu ng g e sc h e h e n w ü rd e. Einen größeren Druck aufzun eh m en , sind d ie Druckfasern nicht im stande. S ie b eh alten ihre B eulsp annu ng, d ie Zugfasern üb ernehm en die üb ersch ießen d e Spannung und übertragen s ie auf d ie P fosten , d ie d em entsp rech en d b e m essen w erd en . Der w irkliche V organg ist aber hier ganz ähnlich w ie im B eisp iel d es R und stabes. D as B lech w ill a u sb eu len , w ird aber durch d ie Pfosten daran geh in d ert. Es gib t v ersch w in den d k le in e B ieg u n g s
m om en te auf d ie Pfosten ab, d ie aber auch hier im K eim e erstickt w erd en . D ie Druckfasern b eh alten die ü b ersch ieß en d e Beanspruchung, w o zu s ie nun eb en durch das V orhan densein der P fosten im stand e sind.
D ie Zugfasern üb ernehm en nichts von den Druckfasern und die Pfosten auch nicht, sie b leib en , e b e n so w ie d ie H ü lse, so gu t w ie sp ann ungslos.
A uch hier wird d ie B erech nu ng auf Grund d es w irklichen K raftübertragungs
versu chs sehr sch w ierig und kann ln einfacher W eise durch die g ed ach te K raftübertragung u m gan gen w erd en .
In b eid en F ällen fin d et die g ed a ch te Kraftübertragung in W irk lich
k eit gar nicht statt, und es ist in b eid en F ällen offenbar nicht n otw en d ig, daß V erb in d u n gen vorhanden sind , d ie d ie se Kraftübertragung w irklich erm öglich en . D ie L ösu ng d es scheinbaren W iderspruchs lie g t im W esen d e s K nickvorgangs. S ow oh l der überbeanspruchte Rundstab o h n e H ü lse als auch das überbeanspruchte S teg b lech ohn e S teifen k ö n n e n aus
knicken; rein th eoretisch aber brauchen sie nicht auszu knicken, und sie w ürden nicht auskn icken, w en n s ie v ö llig m ittig b e la ste t wären und aus v o llk o m m en g leich m ä ß ig em W erkstoff b estü n d en . Da d ieser Zustand aber praktisch nicht darstellbar ist, bedürfen s ie einer g e w is s e n S tützu ng, w od urch d ie u n verm eid lich en U n v o llk o m m e n h eiten unschädlich g em ach t w erd en , o h n e daß dab ei d ie Stü tzu ng die ü b ersch ießen d en Kräfte zu üb ernehm en braucht, denn die S tü tzu ng verhindert d ie E ntw ick lu ng d ieser Kräfte im E ntsteh en . Ä h nlich er G ed an k en gän ge hat sich üb rigens die n eu ere K nicktheorie längst b ed ien t. N ach der k lassisch en K nicktheorie muß ein Druckstab z w e i von ein an d er gänzlich unabhängigen B ed in gu n gen g e n ü g e n , näm lich :
1. sein Q uerschnitt darf durch d ie B elastu ng ln der A chsrlchtung nicht überbeansprucht sein ,
2. sein T rägh eitsm om en t muß der E ulerschen K n ick b edin gu n g g en ü g en .
Dann b ie g t der Stab nicht aus, und davon , daß etw a d ie Randfasern über p
- = - hinaus beansprucht w erd en , ist ln der k lassisch en K nicktheorie nirgends r
die R ede. Der W iderspruch, w ie der nur in der A chsrlchtung b e la ste te Stab überhaupt dazu kom m t, a u szu b ieg en , b leib t hier aber ungeklärt.
D ie neu ere K nicktheorie d a g eg en arbeitet von vornherein m it g e d a c h t e n , in W irklichkeit nicht v orh an d en en B iegu ngsb ean sp ru ch u n gen ( Z i m m e r m a n n : Q u erb elastu n gen , F eh lerh eb el), w as im w eiteren V erfolg zu der im P bekan nten w-Verfahren v erw en d eten g e d a c h t e n R andfaserspannung a>•
führt. A uch hier g e h t man der verein fach ten B erech n u n g z u lieb e den W eg, an S te lle der B ieg u n g sm o m en te ein e vergrößerte Längskraft ojP an- zu n eh m en und denk t sich ein e Spannung <w ■P
F ’ d ie in W irklichkeit gar
■ l ! 8 t~l,1cncs
^ I l 1 1 ffoo ! 100 \ 100 I
300 cm
nicht vorhand en Ist, da ja ihr A uftreten in fo lg e V erb iegu n g durch die nach dem o>-V erfahren erfo lg te B e m essu n g d es S ta b es verhindert wird.
A n h a n g . B e i s p i e l : Es so ll noch ein B e isp iel du rchgerechn et w erd en , und zwar für den F all reiner Schubspannung.
Es h an d ele sich um ein S teg b lech aus St 52 von 2 m H öhe, 1,4 cm D icke, starre Pfosten s e ie n in je 2 m E ntfernung vorhand en; ein elastisch er Z w isch en p fosten so ll angebracht und d essen erforderliche D ick e b erech n et w erden (B ild 13).
Das F eld o h n e Z w isch en p fosten hat also
6 = ¿ 2 0 0 cm , i = l , 4 c m , £ = 200 cm .
Wir n eh m en an, daß das u n terteilte F eld also m it a = 1 0 0 c m mit n = rt a u sg ela stet sei. D ieser W ert wird natürlich für das freie F eld m it a = 200 cm nicht erreicht, sondern ein erh eb lich k lein eres rÄ.
B ild - i V r i f
6 8
D E R S T A H L B A U
K r a b b e , Beitrag zur Bere ch nu ng der S te gblech auss teifun gen vo llw and lg er Blechträger B e i i a e e z u r z e i t s c h r i t t . D i e B a u t e c h n i k '
Es Ist nach den dem nächst a ls D eck blatt zur BE ersch ein en d en Vor
schriften:
n* E J 9 ,8 4 - 2 100 000 1,4s ) l a 4 0 0 0 0 - 1 2 - 1 ,4 ( 1 — 0 ,3 2)
9 ,8 4 - 2 100 0 0 0 - 1 ,9 6 1
40 0 0 0 - 1 2 - 0 ,9 1 : 92 k g /cm 2.
Nun ist oc = 2 ; also für das F eld von 1 m Länge k = 4 ,0 0 + 5,34 • 4 = 25,36,
r k = k d e — 25,3 6 • 92 = 2800 kg/cm 2, d ie „kritische V erg lelch sp a n n u n g “ ist
<fv = r k 1/3 = 4850 k g /cm 2,
s ie lie g t über 2073 k g/cm 2, ist also abzum indern, und zwar ist 1 _ „ ] / ! - = „ j / 2 1 0 0000
4850 also abzum indern nach BE auf 3363 k g /cm 2;
also 1st
r,
66,
2800 • ^ = 1940 k g/cm 2.
4oüU
Für das F eld m it d op p elter P fosten en tfern u n g i s t « = l , k = 5 ,3 4 + 4 ,0 0 = 9 ,34, r k = 9,34 - 92 = 860 k g /cm 2;
es Ist dann
ein er A bm inderung bedarf dieser W ert nicht. Wir n eh m en also an:
v t — 1940 k g /cm 2;
P t, = l , 3 - 2 ( y r - r ft) f - | - . - i ( G l . 4), P v = 1 ,3 (1 9 4 0 — 860) 1 ,4 -1 0 0 , P v = . 1,3 - 1 ,0 8 0 - 1 , 4 - 1 0 0 = 190 t.
Dann ist
p v b ~ 1 9 0 - 4 0 0 0 0 8 ! 8 t ' i y c m §
^ 1
1 A - J.erf ' 368 cm 4.
\ wo1100 i I a.-20ö"\
cm Bild l^Ti
71* E 9 ,8 4 -2 1 0 0
W ürde erst ln 3 m E ntfernung ein starrer P fosten vorhanden sein und s o lle n zw ei Z w isch en p fosten angebracht w erd en (Bild 14), so w ü rd e zu se tz e n sein :
« = 1 , 5 ,
5,34 + 4 ^ - = 7,11, 2,25
r k = 7,11 • 92 = 654 k g /c m 2,
1 ,3 (1 9 4 0 — 654) 1 ,4 - 1 0 0 = 1 , 3 - 1 2 8 6 - 1 , 4 - 1 0 0 227 • 40 000
: 227 t,
crI 9,84 ■ 2100 = 440 cm 4.
A lle R e c h t e V o r b e h a l t e n .
A b l e it u n g d e r H e r t z s c h e n H ä r te fo rm eln für d ie W a lz e .
V on D ipl.-Ing. K urt D r e s c h e r , Berlln-K arlshorst.
die drei W inkeländerungen der ursprünglich rechten W inkel zw ischen den A chsen.
H and elt e s sich nun um ein en rein ela stisch en Körper, der aus einem h o m o g e n e n und I s o t r o p e n W erkstoff b esteh t, d. h. ein em Stoff, d essen ela stisch e E igen schaften an allen S te lle n d e s Körpers d ie gleic h en sind und b ei dem ln elastisch er B ezieh u n g k e in e R ichtung vor der anderen a u sg ezeich n et ist, dann g e lte n zw isch en den Sp ann un gen und den V e r form ungen d ie B ezieh u n g en d es v erallgem ein erten H ook csch en G esetzes:
Im Juniheft 1936 der Zeitschrift für an gew an d te M athem atik und M echanik hat Prof. Ludw ig F ö p p l e in e n eue A b le itu n g der H ertz
schen H ärteform eln für die W alze v erö ffen tlic h t1). D ie praktische B e d eu tu n g, d ie d iesen G leich u n gen b ei der B em essu n g von L agerteilen und G elen k en der In genieurbauten zukom m t, ist b e k a n n t2). Da aber im allg em ein en d ie m eisten B au in gen ieure nicht zu dem L eserkreis der Z. ang. M ath, g eh ö ren , so so ll in d ie ser A rbeit, d ie sich in den Grund
zü gen an d ie L. F öp p lsch e Arbeit anlehnt, e tw as ausführlicher darauf ein g eg a n g en w erd en . Der R ech nu ngsgang, der sich aus den physikalischen und g eo m etrisch en V orau ssetzu n gen und A n nahm en d e s H ertzsch en Härte
problem s z w eier W alzen ergibt, führt b ei der L. F öp p lsch en A b leitu n g auf e in e B estim m u n g sg leich u n g für d ie unbekan nte D ruckspannungsfunktion p län gs der D rucklinie. In der v o rlieg en d en A rbeit w ird ferner g e ze ig t, w ie man d ie H ärteform eln, von dieser B estim m u n g sg leich u n g au sg eh en d erhält, ohn e überhaupt d ie Lösung zu kenn en b zw . sie von H ertz über
nehm en zu m ü ssen . D ie d ab ei ben u tzte, sich auf e in e a llg em ein ere G leich u n g b e z ie h e n d e grund sätzliche L ö su n g sm eth o d e Ist mir in d an kens
werter W else von m ein em verehrten Lehrer, Herrn Professor Dr. H a m e i , m itg eteilt w orden. Dam it wird zu g leic h g e z e ig t, daß man — auch b ei der A b leitu n g der H ertzschen H ärteform eln z w eie r W alzen nach L. Föppl — als t h e o r e t i s c h e L ösu ng d ie h a l b k r e i s f ö r m i g e V er
te ilu n g der D ruckspannung über der D rucklinie erhält.
Der a llg e m ein ste räum liche Sp annungszustand in der U m g eb u n g ein es K örperpunktes m it den rech tw in k ligen K oordinaten x , y , z wird bekanntlich d argestellt durch neun Spannungsgrößen, drelN orm alsp annu ngen dx , und d reim al je z w e i Schu bspann un gen
“x y : ry x u n d r x z r z x < ' y z '
d ie an den drei S eiten fläch en einer räum lichen rechtw in kligen Ecke wirken : r z y u n d Ty x ’ Tz x u n d r z y ’
(Bild 1):
x x y
y x ^ y r y z I r ’ x . Tz y a z )
D iesem S chem a von n eu n (w eg en der G leich h eit der zu g eh ö rig en Schu b
sp ann ungen jedoch nur noch sech s ver
sch ied en en ) Spannungsgrößen, Span
n u n gsten sor g e n a n n t, steh t ein z w e ite s Raster von e b en fa lls se ch s (Verform ungs-) G rößen g eg en ü b er, Form änderungstensor genann t:
yx y
H ierin b ed eu ten d ie Größen ey und
Bild 1.
sz d ie D eh n u n gen in den Richtungen der A ch sen je, y und z und d ie G rößen y , y y z und y z x 1) Ü b er d ie H ertzschen U n tersu ch ungen v g l. C relles Journal f. d.
reine u. a n g ew . M ath., Bd. 9 2 (1881), S. 156, und In sb esondere für das W alzenp rob lem : V erhandlg. d. V ereins z. Beförd. d. Berl. G ew erb efleiß es, B erlin, N ov. 1882.
2) S ie h e u. a. S c h a p e r , E iserne Brücken 1922, S. 664 u. 665. — F. B l e i c h , T heorie und B erech nung eiserner Brücken 1924, S. 561. — B eto n -K a len d er 1937, Teil II, S. 238,
(1)
ferner:
ö u 9 * ö v
(2)
9.V drei 9 z
9 u 1 .
1
~ E 1
“ E
■v[cy
[<fy - r ( d z + * x ) ]
r ( d x + d y ) }
r x y
V y z ' -
y z j ö z 9 w 9 *
+
+
+ 9 v 9 x 9 w
G 1
9 z G
1 G
x y
» y , <■'z , darin b ed eu te n :
u, v , w d ie K om ponenten der V ersch ieb u n g ein es Körperpunktes In Richtung der drei A ch sen x , y und z,
E den E lastizitätsm od u l, G den Schu bm od ul,
v = ~ - d ie Q uerd eh n u n gszah l .
D ie s e drei e lastisch en W erkstoffkonstanten E, G, v sind dab ei durch die B ezieh u n g verknüpft
<3> 0 = ^ r
D ie in den o b ig en G leich u n gen auftretend en Größen d, r und u, v , w sind im a llg em ein en Funk tionen der drei K oordinaten x , y , z.
D er e b e n e F orm ä n d eru n g szu sta n d .
In der fo lg en d en A rbeit wird ein S on d erfall d e s ela stisch en Körpers d en A u sgan gspu nk t der B etrachtungen b ild en , b ei dem die V ersch ieb ungen und die Spannungen nur von z w e i K oordinaten abhängen. D ie s so llen d ie K oordinaten x und y sein . S o lch e e b en en Z ustände k ön n en durch g e e ig n e te Kräfte in Körpern von zylind rischer Form hervorgebracht w erd en . D ie E rzeu gen d en d es Z ylin d erm an tels se ien der z -A c h s e parallel und die E ndquerschnitte zu ihr senk recht. A lle Punk te, d ie sich Im unverzerrten Zustand d e s Körpers auf einer zur ;c_y-Ebene parallelen Q u ersch nittseb ene befun den h ab en , so llen auch nach der V erzerrung auf so lch en Ebenen lie g e n . W enn man noch von ein er solchen P arallelversch ieb u n g in Richtung der z -A c h s e d - h- w = k on stj ab sieh t, kann man sogar d ie se zur .r y -E b e n e sen k rech te V ersch ieb u n g w g leic h N u ll an n eh m en . A lle
J a h r g a n g 10 H e ft 9
2 3 . A pril 1937 D r e s c h e r , A b le itu n g der Hertzschen Härteformeln für die Walze 6 9
7 2
P unk te, d ie d ie g l e i c h e n K oordinaten x und y hab en, versch ieb en sich dann in jed er d ieser E benen um die g leic h e n Beträge u und v . 2)
Da u und v nur F unk tionen v o n x und y sind, fo lg lich = 0, Ö 2 0 Z und w un abh ängig von x und y ist, v ersch w in d en auch nach G l. (2) die W inkeländerungen y x z und yy z , also auch d ie Schubspannungen rx z und
W egen ^ = 0 folgt aus der dritten E lastizitätsgleich u n g (1):
(4) dz = v [ax + dy ) = dz ( x y ).
Da dx und dy F unk tionen v o n x und y sind, so ist auch dz im a ll
g em ein en für v e rsch ied en e Punkte der S ch eib e von versch ied en er Größe.
Zur A ufrechterhaltung e in es solch en e b e n e n F orm än deru ngszustand es sind also an den E ndquerschnitten N orm alspan nu ngen dz als äußere O berfläch en
kräfte erforderlich, d ie so b em e ssen sein m ü ssen , daß d ie Länge aller Längsfasern (ln Richtung parallel zur z -A c h s e ) konstant g eh a lten wird.
D iese Spann un gen dz b e e in flu sse n nun eb e n fa lls d ie Form änderungen ex und sy der A:_y-Ebene; durch E in setzen von (4) in d ie ersten b eid en E lastizitätsgleich u n gen (1) erhält m a n 4):
Qu 1 — v 2 (5 a)
(5b) t y
und aus (2) und (3):
( 5 c ) Y x y = -
ô x
0 v 1- V
0 U ÖJ2 +
Ö V
d*)
2 (1 + v)
0 x x y x y
(7)
(7 a)
0 <Jr 0 T ,
0a: +
0J2 Q y
+ ;
0 a: 0 >
en, die in der Form
0 ^ 0 xx y
d x d y
} rxy_
0 dy0 a: 0 y
2 (1 + v ) V * x y _ = E d x d y
d u , 0 v 03U
____________ 0 3 v d y 0 a: 0_y d y d x d x
d2 d y 2
/ 0 “ \ , 02 / 0 P \ . V 0 a :/ d x 2 \ d y ) ’ für d x und
dy
w erd en G l. (5a) u. (5 b ) e in g esetzt:3) D ie A n nah m e, daß die D ehn un g 0 w d z
gleich N u ll v o ra u sg esetzt ist, ist jed och nicht die a llg e m ein ste, d ie ein en eb en en V erzerrungszustan d k en n zeich n et; e s w ürde sogar g e n ü g e n , ohn e w e se n tlich e V erw icklu ngen zu verursachen, daß 9 W — k on st ist, d. h.
0 Z
daß w als e in e lin eare Funktion von z a n g eseh e n w erd en kann, während es von x und y un abh än gig se in muß.
4) L. F ö p p l g e h t in sein er A rbeit von den E lastizitätsgleich u n gen aus, w ie s ie sich b ei A n nah m e e in es e b en en S p a n n u n g s z u s t a n d e s er
g e b e n . D ieser ist dadurch g ek en n z eich n et, daß in ein em Körper nur die F lä ch en elem en te senk recht zu einer ein zig en E b en e (der x y - Q uer
sch n ittseb en e) S p annun gen au fw eisen , so daß
(6) dz = 0 Tx z — ° r v z — °
v o ra u sg esetzt w erd en .
s) Auf Grund d e s S a tzes von der V ertau schung der m ittleren, partiellen A b leitu n gen zw eite r O rdnung:
02/ = 0 2/ Ri.t / = = 0 /•' . a [s o . ö ::/ = 0 3/
d x d y d y d x d y ’ ' d x d y 2 d y d x d y ’ x y * 0 -er - ô-
(r~F\
i ö (0 2 / 7 1
1
00 a: ■* 0 a: \ s y 2}
1 dy \dxdy) dy
daher z. B.:
das ist die erste G leich g ew ic h tsb e d in g u n g (7 a j.
02 Z 2(1
02 [ ( l - r 2) d x - r (l + r ) d y ]
+ ~ & [ ^ - r 2) d y - r {l + r ) d x]
d x 2 ' y
und w eiter durch Einführung von F ( x y ) nach (8):
2(1 + v ) 02
0 a: 0J/ \ d x d y j + D ie A usrechnung ergibt:
02 0 .y 2
02__
0 a:2'
( 1 - V 2)
(1 - V 2)
d2 F d y 1 d- F d x 2 '
- v ( l + v) 02 F d x 2 , , i , 02 F ( 1 + V) 0 ?
( \ - v ) 0 4 F also
0 )
0 a:4
0 4 F 0 x*
+ 2 .
+ 2 . d * F 0 x 2 0 y 2
d * F
+ 0 4 F
+ d y
0 4 F d x 2 d y 2 d y 4
= 0,
: 0.
U nter Einführung d es L aplaceschen D elta-O perators J = 02s läßt sich d ie o b ig e G l. (9) auch schreib en :
d2 ( V F , d 2 F ' d x 2 1 0 X 2 d y 2 :
■) +
02 d y 2
02 F 0 x 2 + d2 F
d y 2
<d2F d2F\
Cdx2 + dy2)
02 d y 2
= o.
Das G leich g ew ich t an ein em E lem en t in Richtung der Q uersch nitts
achsen x und y führt unter B erü ck sich tigu ng von r x z = ry z = 0 b e i V er
nach lässigu n g der E igen gew ich tsk räfte zu den G leich u n gen :
D iese partielle D ifferen tialgleich u n g (9) ist d ie B e d in g u n g sg lcich u n g , der die Funktion F n o c h zu g e n ü g e n hat; sie h eiß t d ie biharm onlsche D ifferen tial
g leich u n g der A iryschen S p an n u n gsfu n k tion 0).
Wir betrachten nun den eb en en Form änderu ngszustand in ein em zylin d risch en Körper von sehr großer Länge, der entlan g der E rzeugenden d es Z ylin ders (in Richtung der z-A ch se) in gleic h er W e lse beansprucht wird. D ie obere, e b e n e B eg ren zu n gsfläch e — sie so ll als A:z-Ebene g ew ä h lt w erd en — b ild e d ab ei den A ngriffsbereich von Norm aldruck
spann ungen, d ie in Richtung parallel zur z-A ch se von gleich e r G röße sein so llen , w ährend sie in der jc-Rlchtung als veränderlich an genom m en w erd en (Bild 2). Jedoch s e i v o ra u sg esetzt, daß d ie se e in e in der Q uer
sch n ittseb en e g e le g e n e horizon tale A b m essu n g 2 a klein Ist g e g en ü b e r der anderen senkrechten , durch y — h g ek e n n zeich n eten en d lich en A u s
d eh n u n g d e s Körpers.
gesch rieb en sein m ögen, folgt, daß d ie drei Sp ann un gen d , d und r ,„y x y sich als z w e ite partielle A b le itu n g en ein er ein zig e n Funktion F (a:^) von z w e i veränderlich en x und y (der so g . A iryschen Spannungsfunktion) dar
s te lle n la s s e n 6):
m „ _ 0 2 F „ 52/7 T _ _ 02 F
() * dy2 y dx2 *y dx~dy'
D ie Einführung der A iryschen Spann un gsfun ktion F nach (8) b efried igt j e doch nur d ie G leich g ew ich tsb ed in g u n g en (7). S ie muß nun auch noch die B ed in gu n g erfüllen , daß d ie Spann un gen m it der V oraussetzu ng ein es eb en en , rein elastisch en Form än deru ngszustand es, w ie er sich durch G l. (5) ausdrückt, verträglich sind.
D Ifferentiiert man G l. (5c) partiell nach x und dann nach y , so er.
g ib t sich:
in R ichtung der z - A c h s e
zustan d a u sg eg a n g en , der sich in ein er H a lb eb en e unter der W irkung einer längs der z-A ch se g leich m ä ß ig v erteilten l i n i e n f ö r m i g e n Druck
b ela stu n g im K oordinatenursprung a u sb ild et (B ild 4).
D er g leich m ä ß ig auf ein e m ittlere Länge t w irken d e Druck se i Q in kg. Dann ist - y - d ie auf d ie L ä n g e n e i n h e i t In R ichtung der z-A ch se w irkende D ruckb elastu ng (z. B. ln kg/cm ).
°) M an g e la n g t zu d e r s e l b e n D ifferen tialgleich u n g J z J F = 0 , w enn man nach der B ed in g u n g sg leich u n g für die A irysch e Spannungsfunktion F fragt, d ie sich b ei Z u gru n d elegu n g der S p ann ungs-F orm änd erun gsb eziehu n
g e n e in es eb en en S p a n n u n g s z u s t a n d e s (v g l. F ußnote 4) ergibt.
7 0 UfcR STAHLBAU D r e s c h e r , A b leitu n g der H ertzsch en Härteforraeln für d ie W alze ueiiagc iur Zeitschrift .Die Bauteciinik-
tr a g en 7):
d r = —Xo
(10») i ay 0 — ~ x0y 0
n<v Oy*' Tx0y 0 in 1
2 Q x o 2-Vo
t n (* 02 + y<?Y
2 Q J'o3
t 7t ( V + - k o ¥
2 Q *oM>2
t 7 t ( V + -Vo2) 2
in ein em b e lie b ig e n Punkt x 0_y0 be-
oder (10b)
2 Q t n
sin 19- r
cr » = 0.
( 11)
u y
)V 1 — i'2 / v \
i y B [ y l — r ' x) ' _ ö i
und nun bestim m t man nach L. F ö p p l durch Integration v o n _ y = 0 bis y — h die relative Lagenänderung in Richtung der _y-Achse e in es Punktes der O b e r f l ä c h e (j/ = 0) m it der K oordinate x < a g eg en ü b er der ein es P u n k tes in der T iefe h. Man erhält unter B erü cksich tigu ng der G l. (10a):
(11a)
y = h 1 — r~ r,
y —0
1 — r- E
y = h
2 9.
t n .
>*—0
B ei der Integration nach y ist x a ls konstant a n zu seh en . D ie A u srechn un g der b eid en auftretenden Integrale ergibt, w enn man noch die A n nah m e h groß g e g e n x berücksichtigt:
y = h
P r
d y =r d ( y 2) 1 r d ß J ( x 2 - Y y 2Y 2 J (x* ß Y y = o
ferner:
y - - h
1 2 x 2
1
1
r , ß d ß J (jc24 -rtl2
2 ( x 2 + h-)
, dab ei y 2 = 1 x 2 + y 2
y 1 2 A--
B ßy
A + B x 2 + B ß y 2 d ( y 2)
2 J (x 2 + y 2Y y = o
d ie Partialbruchzerlcgung lie fe r t:8
— 1 + ______________
(x - + ß Y ( x 2 + ß)2 T ( x 2+ ß) ( x 2 + ß Y 0 + 1 ß = (A + B x 2) + B ß.
Durch K oeffizien ten vergleich fin det man:
B = 1 und A + B x 2 — 0 , also: A = — B x 2 = — x 2, so daß:
daher:
1 r ß d ß _ ± r _ j d a _ x 2 r 2 J [ x 2 + ß Y 2 J x 2+ ß p 2 J
ß d ß ( x 2 + ß ) ‘
= h
’■ d ( y 2)
y —h x - y = 0
1
d ß { x 2 + ß Y *
y - - h 1 x 2 + . y 2
y = 0
(12) V — -
f e W K ( - S - >
i G l. ( l i a ) erhält m rfläche m it klein em .
! ( - £ — , = ) (1 — r 2) Q ( h
V — — 2—— 2 ln -— : t i x E \ I je]
Statt ein er e in zeln e n Drucklast
7) D ie zu d iesem so g . „strahligen*
A irysche Spannun gsfun ktion ist:
Q ■ 3 r • co s 3- = x ■ arc tg - (v g l. Bild 4a).
l — v 2 r (14) * = - - - - £ J
= + a
2 ln h
— 1 oder
(14a) v = — l — r 2 n E
i = — a i== + a
2 ln A — 1
P
P(s£) d |
d I
= + a
- 2 / / > ( £ ) ln | x — s6 j d l ° ) . f = — a
Für /?(I) war ein e zur y/-A chse sym m etrisch e D ruckspannungsfunktion v o ra u sg esetzt: p (— £) = + p ( + 1). D as letz te Integral läßt sich nun b ei B eschränkung auf p o sitiv e x -W erte noch w ie folgt um form en:
£ = 4 -ß •> = 0 i = 4" bi
I p ( |) ln [ x - £ \ d £ = J p ( | ) ln ( x - f i ) d f + j p (f) ln | x - g ; d I
ç^. — a ; — — a
£ =4- a
0
1 = 4 -
a= I p (f) ln i a - | | d I + J p (I) ln ( x + 1) d 1 1»),
i = 0 ü = 0
B el dem vorsteh en d en ersten Integral der rechten S eite ist es noch zw eck m äß ig, den Integrationsbereich von 0 bis a in die b eid en Intervalle von 0 bis x und von x bis a zu zerleg e n :
£ = 4 -û Ç —AT ç?=4-Æ
J / > ( | ) l n | ; c — | | r f | = J p ( l ) l n ( * — | ) d | + J p ( l ) l n (I - x ) d l
1 = 0 1 = 0
Nach d ie sen U m form ungen läßt sich G l. (14a), w enn man noch den resu ltieren d en Druck
~ — + a P
(15). t
- — i
= j p f ä d S [in kg/cm ]
in die o b ig e R echnung einführt, in der Form sch reib en :
V
(16)
— 2 ln h
+
2 ( \ - r 2) 71 E
>5 -v C*
f p (i) ln (JC - 1) d g + J P (I) ln (I - x ) d £
? == 0 |=AT^
S — a
+ l ’p ( S ) l n ( x + S ) d l
1 r y _ , | 2 + 2) , 2 J ( x 2 + y 2Y 2 [ 1 l y > +
^ = o
1 f ! ± /2!_4 PL
~~ 2 x 2 ~ + 2 \ x 2 + h 2 x 2
Durch E insetzen d iese r Integrale in G l. (11a) erhält man für die Ver
sch ieb u n g v von Punkten der O berfläche m it k lein em A bstand x vom K oordinatenursprung:
d - r 2) Q i _____________
111 E \ x - 1 V !
oder, da v , w ie es auch sein muß, sich sym m etrisch zur _y-Achse ergibt:
(12a) ¿ _ _ ( L = * g 5 ( 2 ln * 1 - y j U -
v ' ' " p \ \ x \ \ — v )
y hat man e s jedoch m it ein er sym m etrisch zur j/-A ch se v erlau fen d en kon tinuierlichen D ruckspannungs
verteilu n g p ( I) (z. B. in k g/cm 2) zu tun. Der D ruckbereich m it den ver
änderlichen A n griffsstellen I in Richtung der x -A ch se erstreck e sich dab ei von + ii bis — a (B ild 3). Dann beträgt der A n teil d v der V ersch ieb ung an der S te lle x , hervorgerufen durch d ie an der S te lle £ w irkende Sp annun g p (|), ind em in der F orm el (12a) sin n gem äß y - durch p ( | ) d | und i x durch \ x — 1 | (K oord in atenverschieb un g um | ) zu ersetzen ist:
0 3 , '
und dem nach von der g esa m ten B ela stu n g durch A u fsum m ieru ng (Inte
gration von | = — a bis | = + a) der E in flü sse aller Elem entardrücke:
Bild 5.
Sp ann un gszu stan d zu g eh ö rig e
t 71 t n “ x
N ach G l. (8) erhält man dann die ob en a n g eg eb en en Form eln (10a);
sie h e z. B. L ove-T im p e 1907, S. 250; ferner auch H. L o r e n z , T ech nische E lastizitätslehre 1913, § 56; A. und L. F ö p p l , Drang und Z w ang, Eine höh ere F estig k eitsleh re für Ingenieure, Bd. 1. 1924, § 44.
6) S ie h e z. B. H öhere M athem atik von R. R o t h e , Bd. II, 1929, § 3 5 .
D ie se s Ergebnis w ird nun auf die Frage der B erührung z w eier W alzen d ie längs der E rzeu gen d en von der Länge l m it der Kraft P kg au fein
andergedrückt w e rd en , a n g ew en d et.
Man den k e sich zunächst d ie b eiden W alzen im drucklosen Z ustand in Berührung gebracht. D ie s e erfolgt längs einer m athe
m atischen L inie von der Länge /. ln die g e m ein sa m e T a n g en tia leb en e se i ein recht
w in k lig es K oordin aten system g e le g t , b ei dem d ie m athem atisch e B erührungslinie als z-A ch se gew ä h lt wird, w ährend die im M iltei
querschnitt der W alzen lie g e n d e g em ein sa m e (horizontale) T an gente der b e id en K reisquer
schn itte die X -A ch se darstellt. D ie dritte dazu senk rechte K oordinate ist d a n n y , so daß das xy-K o o rd in a ten sy stem in der Q u ersch n ittseb en e lie g t (Bild 5).
Durch das Z usam m en drücken w erd en nun d ie O berflächen der b eid en W alzen Form änderungen erleid en , d ie b e so n d ers stark in der U m g e b u n g der ursprünglichen m ath em atisch en B erührungslinie hervortreten und zu einer g em ein sa m en B erü hrungsfläche, der so g . Druckfläche, führen. D ie sich berührenden O berfläch en teile so llen d ab ei als vo llk o m m en glatt an
g en o m m en w erd en , d. h. es so llen also nur N orm aldrücke zw isch en den sich berührenden T eilen vorhand en se in , w ährend die T angentialkom p on en ten g leic h N u ll sind . D ie Druckkraft P zw isch en den b eid en W alzen, d ie der e in e Körper auf den anderen ausübt, ist dab ei die resultierend e Kraft ein er üb er d ie D ruckfläche sich nach ein em noch unbekannten G e
se tz v e rte ile n d e n N orm aldruckspannung p k g /c m 2. Jed och wird vorau s
g e s e tz t, daß sich P gleich m ä ß ig über d ie Z ylinderlänge v e rte ilt. W enn die W alzen lang g e n u g sind, dann kann man, w e n ig ste n s in den von den S eiten flä ch en (Endflächen) entfernt lie g e n d e n T eilen der W alzen, die
9) D ie se ela stisch e V ersch ieb u n g v der O berfläch enpu nk te in der N äh e d es D ruckbereiches ist also b erech n et in b e z u g auf die hiervon entfernten, undeform ierten T eile d es Körpers (sie h e später d ie B em erku ng auf S. 71). i = 0
» ) denn :
f
p ( |) ln ( x - 1) d i = | f J p ( - 1) ln ( x - I ) d ( - 1) , = + a= f p ( ! ) l n ( x + i ) d $ .
