Z filozoficznych rozważań nad nieskończonością

Mieczysław Lubański

Z filozoficznych rozważań nad

nieskończonością

Studia Philosophiae Christianae 10/1, 189-197

w p rzy szło ści m usi p o ja w ić się oso b liw o ść ro z u m ia n a ja k o św ie tln a niezu- p ełn o ść cza so p rz e strz e n i. 11. O so b liw o ści w k o sm o lo g ii — celem te g o ro z ­ d ziału je s t p rz e d s ta w ie n ie (w raz z o b szern y m i w y ja ś n ie n ia m i i zary se m dow odów ) d w ó ch tw ie rd z e ń sfo rm u ło w a n y c h przez S. W . H a w k in g a o nie- u n ik n io n o śc i w y s tę p o w a n ia p u n k tó w o so b liw y ch w m o d elach k o sm o lo g icz­ n y ch , je ż e li sp e łn io n e są p e w n e (fizycznie re a listy c z n e ) w a ru n k i. W je d ­ n y m tw ie rd z e n iu o so b liw o ść je s t ro z u m ia n a ja k o g e o d e z y jn a czaso w a nie- z u p ełn o ść, w d ru g im ja k o g e o d e z y jn a cza so w a lu b św ie tln a n iez u p e łn o ść c z a so p rzestrzen i. W śró d zało ż eń o b y d w u tw ie rd z e ń z n a jd u ją się i ta k ie , k tó ­ re, choć "fizy czn ie re a lis ty c z n e " n ie m uszą się re a liz o w a ć w rz e c z y w isty m

św iecie.

W y k ła d P e n ro s e 'a , choć w zasad zie p rzez c a ły czas sp e c ja listy c z n y , n ie w a h a się p o św ięcić — g d y te g o zajd z ie p o trz e b a — m a te m a ty c z n e j ścisło ści d la celó w p o g lą d o w y c h . T e m a ty k a k siążk i n a le ż y do n a jb u jn ie j ro z w ija ­ ją c e g o się dziś d ziału te o rii g ra w ita c ji. Tym w ię k sz a p o trz e b a p o g lą d o w y c h i p rz y n a jm n ie j w p ew n y m se n s ie p rz e g lą d o w y c h p u b lik a c ji z te j dziedziny.

O m a w ia n a k s ią ż k a n ie s te ty p o d z ie la los w sz y stk ic h te g o ro d z a ju w s tę ­ pów do a k tu a ln e j p ro b le m a ty k i — w ch w ili o p u b lik o w a n ia je s t ju ż p rz e ­ sta rz a ła . Ju ż po w y g ło sz e n iu w y k ła d ó w P e n ro s e 'a , ale p rzed u k a z a n ie m się ro s y js k ie g o w y d a n ia je g o k siążk i, A u to r w ra z z S. W . H aw k in g iem u z y s­ k a li z n a c z n y p o stę p w b a d a n iu p ro b lem u o so b liw o ści. Z a n a jw ię k s z e o sią g ­ n ię c ie w te j d zied z in ie u z n a je się tzw . tw ie rd z e n ie H a w k in g a -P e n ro se ’a (T h e S in g u la rities of G ra v ita tio n a l C ollapse an d C o sm o lo g y , P roc. R oy. Soc. Lond., A 314 (1970) 529—548) b ę d ą c e n a jm o c n ie jsz y m sp o śró d w szy stk ich z n a n y c h d o ty ch cz as (do c h w ili p is a n ia te j re c e n z ji, a n ie u k a z a n ia się je j drukiem !) tw ie rd z e ń o o so b liw o ściach , a z arazem ja k b y po d su m o w an iem tw ie rd z e ń re fe ro w a n y c h w k sią ż c e P e n ro s e 'a . W m ię d zy czasie ro z w in ę ły się ta k ż e , d z ię k i p raco m ró ż n y c h au to ró w , te c h n ik i i m e to d y b a d a n ia g lo b aln ej s tru k tu r y cza so p rz e strz e n i. Je d n a k ż e k sią ż k a P e n ro s e 'a , g łó w n ie ze w zglę­ du n a osobę A u to ra , n a d łu g o p o z o sta n ie p o z y c ją k lasy czn ą.

M ich a ł H eller

M IECZYSŁAW LUBAŃSKI

Z FILOZOFICZNYCH ROZW AŻAŃ N A D NIESKOŃCZONOŚCIĄ

Filozoficzne z a g a d n ie n ia p rz y ro d o z n a w stw a cieszą się o b e c n ie dużym z a in te re so w a n ie m . Raz po ra z u k a z u ją się n o w e p u b lik a c je z te g o zak resu . S p o ty k a m y w śró d n ic h k ró tk ie a rty k u ły , ja k i o b sz e rn e k siążk i. Spośród p ra c o c h a ra k te rz e p o d ręczn ik o w y m , w y d a n y c h o sta tn io w ZSRR, m ożna w y m ien ić: M. M. K arpow , F iło so isk ie w o p r o s y so w re m ie n n o g o je s te s tw o - zn a n ija , Iz d a tie lstw o R o sto w sk o g o u n iw e rs ite ta , 1972 oraz: F iło so iskie

pro-bierny je s te s tw o z n a n ija , Iz d a tie lstw o " F a n ” U z b ek sk o j SSR, T a sz k e n t 1972. W o b u ty c h p o z y c ja c h zaliczo n o do filo zo ficzn y ch z a g a d n ie ń p rz y ro d o ­ z n a w stw a ta k ż e filozoficzne z a g a d n ie n ia m a te m a ty k i. T eg o ro d z a ju p o ­ d e jś c ie m eto d o lo g iczn e w y d a je się b y ć słu szn e, g d y ż m a te m a ty k ę , u jm u ją c rzecz od stro n y n a u k p rz y ro d n ic z y c h , m o żn a u w a ż a ć za ję z y k fizy k i, a w ięc za ję z y k p o d sta w o w e j n a u k i o p rz y ro d z ie . W sp ó łc z e sn a m a te m a ty k a p o ­ sia d a p o w ią z a n ia z p rz y ro d o z n a w stw e m n ie ty lk o p o p rzez fizy k ę. Je s te ś m y św iad k am i m a te m a ty z o w a n ia się, i to w co ra z siln ie jsz y m sto p n iu , ta k ż e p o z o sta ły c h n a u k p rz y ro d n ic z y c h . D lateg o n ie sp o só b je s t oddzielić, m ó­ w iąc k ró tk o , filozofię m a te m a ty k i od filozofii p rz y ro d o z n a w stw a .

W y d a je się, że w m a te m a ty c e n a jw c z e śn ie j z aczęto p o słu g iw a ć się p o ję ­ ciem n iesk o ń c z o n o śc i w m ożliw ie p re c y z y jn y m u ję c iu . W p ra w d z ie ju ż A ry s to te le s z a jm o w a ł się z a g a d n ie n ia m i zw iązan y m i z p o ję c ie m n iesk o ń - szoności, je d n a k je g o p o d e jś c ie m oże b y ć n a z w a n e a n ty m a te m a ty c z n y m . W F izy c e (W arszaw a 1968, 93) p isze on: P o g ląd n asz n ie p o z b a w ia b y n a j­ m n iej m a te m a ty k ó w ich te o r ii p rzez o d rzu cen ie a k tu a ln e g o is tn ie n ia n ie ­ sk o ń czo n o ści w k ie ru n k u z w ię k sz a n ia się, w s e n s ie n iem o żn o ści p rz e k ro c z e ­ n ia. Bo w rz e c z y w isto śc i n ie p o trz e b n a im je s t n iesk o ń c z o n o ść an i te ż z n ie j n ie k o rz y s ta ją . P o słu g u ją się n a to m ia s t d o w o ln ie w ielk im i liczbam i, ale sk o ń czo n y m i. T ru d n o je s t dziś zgodzić się z ta k sfo rm u ło w an y m sta n o w is­ k iem , jeżli w eźm ie się p od u w a g ę istn ie n ie c a łe j a ry tm e ty k i liczb k a r d y n a l­ n y c h p o z a sk o ń czo n y ch . W a rto w spom nieć, że E u k lid es, w sp ó łc z e sn y A ry ­ sto te le so w i, p o d a ł d o w ó d n a is tn ie n ie n ie sk o ń c z e n ie w ielu liczb p ierw szy ch . P rz y p u ść m y bow iem , że je s t ich sk o ń czen ie w iele. N ie c h to b ę d ą liczby Pi ... , p n. U tw ó rzm y n o w ą liczbę p o sta c i (pi p n) + 1 . L iczba ta je s t b ądź p ierw sza, b ąd ź złożona. Je ż e li b y ła b y p ie rw sz ą , to m am y ju ż zap rzeczen ie p rz y p u sz c z e n ia o sk o ń czo n o ści zb io ru liczb p ie rw szy ch . Je ż e li n a to m ia st b y ła b y liczbą złożoną, to d z ie liła b y się przez p e w n ą liczbę p ierw szą. N ie m oże n ią b y ć ż a d n a z liczb cią g u pi, ... , p*. I s tn ie je w ięc liczba p ie rw sz a ró żn a od w sz y stk ic h w y m ie n io n y c h . Z now u o trz y m u je m y sp rzeczn o ść z p rz y ­ p uszczeniem . A w ięc ro zu m o w a n ie p rz e p ro w a d z o n e w y k a z u je , że do k a ż ­ d eg o d a n e g o c ią g u ró ż n y c h liczb p ie rw sz y c h m o żn a zaw sze zn ale źć liczbę p ie rw sz ą ró ż n ą od k a ż d e j z nich. P rzeto liczb p ie rw s z y c h je s t n ie sk o ń c z e n ie w iele. O czy w iście, m o żn a tu ta j b ro n ić sta n o w isk a A ry s to te le s a przez zw ró ­ cen ie u w a g i n a to, że p rz y to c z o n e ro zu m o w an ie w y k a z u je je d y n ie p o te n ­ c ja ln ą n ie sk o ń czo n o ść zb io ru liczb p ie rw sz y c h . Z aw sze d a się zb u d o w ać n o w ą liczbę p ie rw sz ą ró ż n ą od w y jśc io w y c h . T ak u ję te z a g a d n ie n ie je s t p o p ra w n e . N ie m o żn a je d n a k w n io sk o w a ć stą d o n ie is tn ie n iu n ie sk o ń c z o ­ n ości a k tu a ln e j. P o tra fim y w p ra w d z ie k o n stru o w a ć je d y n ie poszczególne, k o n k re tn e lic z b y p ierw sze, a le n ie z n a c z y to, a b y trz e b a b y ło opo w ied zieć się p rzeciw n iesk o ń c z o n o śc i a k tu a ln e j. P rz y ję c ie bo w iem te g o ro d z a ju s ta ­ n o w isk a nie p o z w a la ło b y m ów ić np. o w sz y stk ic h p u n k ta c h (lanego o d c in ­ ka, d a n e g o k o ła, d a n e g o sz e śc ia n u itd. Z b io ry te bow iem są n iesk o ń czo n e.

S k ła d a ją się z n ie sk o ń c z e n ie w ielu elem en tó w . T o też n e g u ją c istn ie n ie n ie ­ sk o ń czo n o ści a k tu a ln e j, n ie m a się p ra w a m ów ić o is tn ie n iu c a łe g o o d cin ­ ka, całe g o k o ła, całe g o sześcian u . W y d a je się w ięc, że n ie m o żn a o g ra n i­ czyć tw o ró w m a te m a ty c z n y c h do sam ej ty lk o n iesk o ń c z o n o śc i p o te n c ja ln e j. P rzy p o m n ijm y tu ta j sto su n k i, ja k ie z a c h o d z iły m ięd zy m a te m a ty k ą a lo ­ g ik ą n a p rz e s trz e n i d z ie jó w m y śli lu d z k ie j. W sw y c h p o c z ą tk a c h o b ie te n a u k i n ie m ia ły ze so b ą w ie le w sp ó ln eg o . M a te m a ty k a p o w sta ła n a s k u te k p o trzeb d n ia c o d zie n n eg o . P o trz e b n a b y ła u m ie ję tn o ść liczenia, m ierzen ia. P ó źn iej d o łą c z y ły się p e w n e sp o strz e ż e n ia , k tó re n ie p o sia d a ły b e z p o śre d ­ n ich z asto so w ań , ale k tó r e b y ły cie k a w e . Co z n a c z y słow o "c ie k a w y " nie je s t łatw o w y ja śn ić . Z d an iem A. M o sto w sk ieg o (M a te m a ty k a a lo g ik a , „ W ia ­ dom ości M a te m a ty c z n e " 15 (1972), 79—81) id zie tu z a p e w n e o p ro s tą p r a ­ w idłow ość, k tó r a n ie je s t b e z p o śre d n io w id o czn a i do k tó re j m o żn a d o jść d o p ie ro p rzez p e w n e ro zu m o w an ie, n ie ra z tru d n e . Łączy się z ty m u czu cie zdziw ienia, k tó r e się o d czu w a p o z n a ją c n ie b a n a ln y fa k t m a te m a ty c z n y . N ie m n iej is to tn a je s t g łę b o k a sa ty sfa k c ja , o d c z u w a n a przez m a te m a ty k a , k ie d y p o z n a je o n n o w y n ie b a n a ln y dow ód. Z a p ew n e w sp o m n ia n e u czu cie z a d o w o le n ia b y ło p o w odem , d la k tó re g o ro z w in ę ła się te o r e ty c z n a m a te ­ m a ty k a . T en p ie rw o tn y ro zw ó j, ja k w iadom o, n a s tą p ił ju ż w s ta ro ż y tn e j G recji. N a d to w szk o le p ita g o re js k ie j u p ra w ia n ie m a te m a ty k i w iązało się z p e w n y m m isty cy zm em , z a c z e rp n ię ty m n a jp ra w d o p o d o b n ie j ze ź ró d eł w sch o d n ich . Te sam e e le m e n ty m isty cy zm u w y s tą p iły ta k ż e w p ó źn iejszej h is to rii m a te m a ty k i. L ogika n a to m ia s t b y ła w y tw o re m ra c jo n a ln e g o u m y s łu g re c k ie g o . C elem lo g ik i b y ło p rz e p ro w a d z a n ie a rg u m e n ta c ji w ta k i sposób, ab y n ie m o żn a b y ło je j obalić. J e s t in te re s u ją c e , że a n a liz y lo g iczn e s ta ro ­ ży tn o śc i b y ły d a le k ie od tw ó rc z o śc i m a te m a ty k ó w . L ogicy n ie w sła w ili się o d k ry c ia m i m ate m a ty c z n y m i, p o d o b n ie m a te m a ty c y — logicznym i. T en sam sta n rz e c z y m ia ł m ie jsc e i w śre d n io w ie c z u . W ie lu lo g ik ó w p ro w a ­ dziło b ard zo su b te ln e ro z w a ż a n ia . A le lo g ic y ci n ie b y li m a te m a ty k a m i. D o­ p ie ro od p o ło w y X IX w ie k u d a tu je się w za je m n e z a in te re s o w a n ie się lo g i­ k ó w — m a te m a ty k ą i m a te m a ty k ó w — lo g ik ą. I to z a in te re s o w a n ie trw a do c h w ili o b e c n e j. Co w ię c e j, p rz y jm u je się p o w szech n ie, że do rz e te ln e g o u p ra w ia n ia lo g ik i je s t n ie o d z o w n a w ied za m a te m a ty c z n a . W y d a je się, że d o k o n a n a w ty c h d zied z in ach e w o lu c ja je s t czym ś zn am ien n y m .

B. B olzano n a le ż y n ie w ą tp liw ie do teg o sze re g u u c z o n y c h , k tó rz y łącz y li w so b ie z arazem z a in te re s o w a n ia lo g iczn e o raz m a te m a ty c z n e . H u sse rl z a ­ liczy ł go do n a jw ię k s z y c h lo g ik ó w w sz y stk ic h czasó w (podaję za T. K o­ tarb iń sk im ). N a to m ia st w m a te m a ty c e n a le ż y do p io n ie ró w n o w y c h k r y te ­ rió w ścisło ści (D. J. S truik, K r ó tk i za r y s h isto rii m a te m a ty k i do k o ń c a X IX w ie k u , W a rs z a w a 1963, 226). W ś ró d lic z n y c h z a g a d n ie ń , k tó ry m i się zajm o w a ł, w y b itn e m ie js c e z a jm u je z a g a d n ie n ie n iesk o ń czo n o ści. N ie je s t to czym ś n iezw y k ły m . Id e a n ie sk o ń c z o n o śc i n a le ż y b o w iem do p o d sta w o ­ w y c h id e i m y śli lu d z k ie j. F ilozofow ie przez c a łe ty s ią c le c ia m ozolili się n a d

z a w a rty m i w n ie j g łęb o k im i p rz e c iw ie ń stw a m i o c h a ra k te rz e d ia le k ty c z ­ nym .

P ro b le m a ty c e n iesk o ń c z o n o śc i d ru g a z w y m ie n io n y c h n a p o c z ą tk u k s ią ­ żek p o św ię c a c a ły ro zd ział. O m aw ia się tam , od s tro n y m e to d o lo g iczn ej, za g a d n ie n ie n ie sk o ń c z o n o śc i w m a te m a ty c e . D y s k u tu je się p o d s ta w y m e ­ to d o lo g iczn e p ro b le m a ty k i n ie sk o ń czo n o ści o raz n ie k tó re z a g a d n ie n ia z w ią ­ z a n e z id e ą n iesk o ń c z o n o śc i w m a te m a ty c e . (P odobnej te m a ty c e je s t p o ­ św ięco n y ta k ż e in te re s u ją c y a rty k u ł B. W . B irju k o w a i N. N. N u cu b id ze, Idea b ie s k o n ie c z n o g o i p ro b lem a o p re d ie le n ija " b ie s k o n ie c z n y c h o b je k to w " w m a tie m a tik ie , „F iłosofskie N a u k i" 1973, N r 2, 63—74). P rz y jrz y jm y się n ieco b liżej to k o w i ro zu m o w a n ia w sp o m n ia n e g o ro zd ziału .

Za p u n k t w y jś c ia w eźm y zn a n ą te z ę d ie le k ty c z n ą g ło czącą, że z ja w is k a o raz p rz e d m io ty z a w ie ra ją w so b ie w ła sn e "n e g a c je " , k tó r e p o b u d z a ją je do zm ian y , do ro zw o ju , do sta n ia się "in n y m " z jaw isk iem , p rzed m io tem . Z a sto su jm y tę te z ę do ro z w a ż a n ia in te re s u ją c e g o n as p ro b lem u . Pow iem y, że k o n k re tn y sk o ń c z o n y p rzed m io t n ie je s t ty lk o sk o ń czo n y . O n n o si w so ­ b ie coś n iesk o ń czo n eg o , p rz y n a jm n ie j w p ła sz c z y ź n ie g n o se o lo g ic z n e j. J e s t rz e c z ą zn am ien n ą, że nie m o żn a "o d d zielić" sk o ń czo n eg o od n ie s k o ń c z o n e ­ go. Z d an iem D. H ilb e rta „ o p e ro w a n ie " n ie sk o ń c z o n y m s ta je się m ożliw e je d y n ie dzięk i sk ończonem u. Z n ie sk o ń c z o n o śc ią s p o ty k a m y się tam , gdzie je s t sk o ń czo n o ść. U w aża on, że n a u k i szczeg ó ło w e n ie są w sta n ie w y c z e r­ p ać p e łn e j tre ś c i p o ję c ia n iesk o ń czo n o ści. W e d łu g H. W e y la (T h e O pen W o r ld , O x fo rd 1932) m a te m a ty k a je s t n a u k ą o n iesk o ń czo n o ści. J e j celem je s t u m o żliw ien ie sk o ń czo n em u czło w iek o w i u jm o w a n ie n ie sk o ń czo n o ści za p o m o cą znaków .

A n a s tę p n ie zau w ażam y , że w m a te m a ty c e n ie m ów i się po p ro s tu o skoń- czo n o ści lub n iesk o ń czo n o ści, ale o sk o ń czo n o ści lu b n ie sk o ń c z o n o śc i cze­ goś. A w ięc ro z w a ż a się sk o ń c z o n e j d łu g o ści od cin k i, w e k to ry , sk o ń czo n e zb io ry liczb itp. J e s t w a ż n e d la d y sk u to w a n e g o z a g a d n ie n ia stw ie rd z e n ie fa k tu , że o k re ś le n ia " s k o ń c z o n y c h ” o raz " n ie sk o ń c z o n y c h " o b ie k tó w m a ­ te m a ty c z n y c h są ze sobą ściśle zw iązan e. T erm in "n ie sk o ń c z o n y " m oże być o k re ś lo n y p rz y p o m o cy te rm in u "s k o ń czo n y " i o d w ro tn ie . Z re g u ły w ty m c e lu p o s łu g u je m y się n e g a c ją . Z ilu stru je m y to n a p rz y k ła d z ie p o stę p o w a ­ n ia E. Z erm elo oraz R. D ed ek in d a. P ie rw sz y z n ich n a z y w a zb ió r u p o rz ą d ­ k o w a n y E skoń czo n y m , je ż e li sam ro z w a ż a n y zbiór, ja k i k a ż d a je g o część p o s ia d a ją z aró w n o ele m e n t p ierw szy , ja k i o statn i. N p. zbiór zło żo n y z liczb 2, 4, 6, 8 je s t sk o ń czo n y , g d y ż sp e łn ia w a ru n k i te j d efin icji. N a to m ia st zbiór' w sz y stk ic h liczb n a tu r a ln y c h n ie je s t sk o ń czo n y . N ie z a w ie ra bow iem on sani e le m e n tu o sta tn ie g o . Z biory, k tó re z a w ie ra ją teg o ro d z a ju p o d zb io ­ ry bez e le m e n tu p ierw szeg o b ądź o statn ieg o , n ie są zb io ram i skończonym i. Zw ie się je z b io ram i "n iesk o ń czo n y m i". J e s t w id o czn e, że Z erm elo w sk ie o k re ś le n ie zb io ru n ie sk o ń c z o n e g o je s t o k re ś le n ie m p rzez n e g a c ję . P o d o b ­ n ie p o s tę p u je D ed ek in d . U kład S n a z y w a on n iesk o ń czo n y m , je ż e li je s t po·

d o b n y do p e w n e j sw ej części w łaściw ej. Przez p o d o b ie ń stw o ro zu m ie się tu ró w n o liczn o ść. A w ięc zb ió r w sz y stk ic h liczb n a tu r a ln y c h je s t nieslcoń- ny, p o n ie w a ż je s t ró w n o lic z n y z p e w n ą sw ą częścią w łaściw ą, np. ze zb io rem w sz y stk ic h liczb p a rz y s ty c h . Z biór sk o ń c z o n y n ie m oże b y ć ró w n o ­ liczn y ze sw ą c z ęścią w łaściw ą. Z atem zb ió r je s t sk o ń czo n y , je ż e li n ie je s t n iesk o ń czo n y . W o bu w ięc p rz y p a d k a c h m am y te g o sam eg o ro d z a ju z a ­ b ieg n e g a c ji. T y lk o p u n k t w y jśc ia je s t in n y . Raz je s t nim p o ję c ie skończo- ności, d ru g i ra z — p o ję c ie n iesk o ń czo n o ści.

D ed ek in d p ró b o w a ł d o k o n a ć jeszcze czeg o ś w ię c e j. M ając o k re ś lo n e p o ję c ie zb io ru n iesk o ń czo n eg o , u siło w a ł u d o w o d n ić tw ie rd z e n ie o rz e k a ­ ją c e is tn ie n ie zb io ró w n ie sk o ń c z o n y c h . W c z e śn ie j je d n a k d ow ód ta k i p o d ał Bolzano, p isząc: " P rz y stę p u ję o b ecn ie do tw ie rd z e n ia , że n ie sk o ń czo n o ść is tn ie je n ie ty lk o w śró d rzeczy , k tó r e nie są rz e c z y w iste , lecz ta k ż e w d zie­ dzinie sam ej rzeczy w isto ści. K to ty lk o — czy to n a p o d sta w ie szereg u w n io sk ó w z p ra w d czy sto p o ję c io w y c h , czy w ja k iś in n y sp o só b d o szed ł do n a d e r w ażn eg o p rz e k o n a n ia , że je s t Bóg, Is to ta , k tó re j z a sa d a istn ie n ia n ie tk w i w ża d n e j in n e j isto c ie i k tó ra d la te g o w ła śn ie je s t n a jd o sk o n a lsz a , tj. je d n o c z y w so b ie w sz e lk ie d o sk o n a ło śc i i m oce, ja k ie ty lk o m o g ły b y is tn ie ć ob o k sieb ie, i k a ż d ą z n ic h w n a jw y ż sz y m sto p n iu , w ja k im obok sie b ie m o g ą w y stą p ić : te n u z n a je ju ż ty m sam y m b y t Is to ty , k tó r a pod w ię c e j niż je d n y m w zg lęd em je s t n iesk o ń c z o n a : w sw o je j w iedzy, w sw o jej w oli, w sw oim d z ia ła n iu n a ze w n ą trz (w sw o je j p o tęd ze), n ie sk o ń c z e n ie w ie le w ie (m ianow icie w sz y stk o ść p raw d), n ie s k o ń c z e n ie w ie le ch ce (m ia­ n o w ic ie chce su m y w szelk ieg o — ja k ie ty lk o je s t m o żliw e — do b ra) i w sz y ­ stk o czego chce, u rz e c z y w istn ia , d zięk i sw o je j m o c y d z ia ła n ia n a zew n ątrz. Z te g o o sta tn ie g o p rz y m io tu B oga w y n ik a d a ls z y w n io sek , że p o za nim is tn ie ją te ż b y ty stw o rzo n e, k tó r e w p rz e c iw ie ń stw ie do n ieg o n a z y w a m y isto tam i je d y n ie sko ń czo n y m i, w o d n ie sie n iu do k tó ry c h m o żn a je d n a k u k a z a ć coś n iesk o ń czo n eg o . Ju ż bow iem sam a m n o g o ść ty c h is to t m usi być n iesk o ń czo n a, a ta k ż e m n o g o ść stan ó w , k tó re się p rz y d a rz a ją k a ż d e j p o ­ szczeg ó ln ej isto c ie w czasie ja k k o lw ie k k ró tk im , m usi b y ć n iesk o ń c z o n a (poniew aż k a ż d y ta k i o d c in e k czasu z a w ie ra n ie s k o ń c z e n ie w ie le chw il) itd. Z atem i w d zied z in ie rz e c z y w isto śc i s p o ty k a m y się ró w n ie ż w szędzie z n ie sk o ń c z o n o śc ią " (P a ra d o ksy n ie s k o ń c zo n o śc i, P W N 1966, 39 n.). J e s t ja s n e , że p o w y ższy d ow ód n ie p o sia d a c h a ra k te ru k o n stru k ty w n e g o , w j a ­ k im k o lw iek p rz y jm o w a n y m zn aczen iu te g o słow a. R ozum ow anie B olzana n ie ty le w y k a z u je is tn ie n ie zb io ró w n ie s k o ń c z o n y c h w rzeczy w isto ści, ile ra c z e j je p o stu lu je . N a u k a n ie m oże w sp o só b fo rm aln o -lo g iczn y u d o w o d ­ nić, że n iesk o ń c z o n o ść is tn ie je . Je ż e li n a to m ia s t z a ło ż y się istn ie n ie n ie ­ sk o ń czo n o ści, to w ów czas , m ożna w y k a z a ć n iesk o ń c z o n o ść ja k ie g o ś k o n ­ k re tn e g o o b ie k tu m ate m a ty c z n e g o . Z au w ażm y , że w a k sjo m a ty c z n y m u ję c iu te o rii m n ogości p rz y jm u je się p o stu la t g ło szący is tn ie n ie co n a jm n ie j je d ­ n e g o zb io ru n iesk o ń czo n eg o .

F u n d a m e n ta ln e z n a c z e n ie d la id e i n iesk o ń c z o n o śc i w m a te m a ty c e p o ­ sia d a n iesk o ń c z o n o ść zb io ru liczb n a tu ra ln y c h . T o też z a g a d n ie n ie " n ie sk o ń ­ czoności m a te m a ty c z n e j" w iąże się z p ro b lem em o k re ś le n ia lic z b y n a tu ­ ra ln e j. J a k w iadom o p o ję c ie m w y jśc io w y m je s t p o ję c ie ró w n o liczn o ści d w u zb io ró w . M ów im y, że d w a z b io ry są ró w n o liczn e, je ż e li m ięd zy ich e lem en tam i d a je się o k re ślić p rz y p o rz ą d k o w a n ie w z a je m n ie je d n o zn a czn e, li c z b a n a tu r a ln a je s t to k la s a w sz y stk ic h zb io ró w ró w n o lic z n y c h z d an y m zbiorem . A w ięc zb ió r p o sia d a zero elem en tó w , je ż e li je s t ró w n o lic z n y ze z b io rem p u sty m . Z biór m a je d e n elem en t, je ż e li je s t on ró w n o lic z n y ze zbiorem , k tó re g o je d y n y m e le m e n te m je s t zb ió r p u sty . O g ó ln ie p ow iem y, że zb ió r m a n elem en tó w , je ż e li je s t ró w n o lic z n y ze zb io rem u tw o rzo n y m z liczb 0, 1, 2, ... , n —1. R e la c ja ró w n o liczn o ści je s t re la c ją ró w n o w ażn o ści, tzn. je s t re la c ją z w ro tn ą , sy m e try c z n ą i p rz e c h o d n ią . Z atem dzieli k la sę w sz y stk ic h p o d zb io ró w p e w n e g o zb io ru n a ro z łą c z n e k la s y zb io ró w ró w ­ n o liczn y ch . P rz y ję ło się m ów ić o z b io ra c h ró w n o lic z n y c h , że są te j sam ej m o cy lu b że m a ją tę sam ą liczbę k a rd y n a ln ą . Z a sy g n a liz o w a n y to k m y ś le ­ nia, p o c h o d z ą c y od C a n to ra , F re g e g o i R u ssella, p o z w a la o k re ś lić p o ję c ie liczb y w sp o só b o g ólny. P ow iem y, że liczbą je s t co k o lw iek , co je s t liczbą ja k ie jś k la s y . O k re śle n ie to p o sia d a ta k ą p o sta ć sło w n ą, k tó r a m oże się w y d a w a ć b łęd n y m kołem . J e d n a k ż e ta k n ie je st. N a jp ie rw bow iem d e fin iu je się p o ję c ie "liczb y d a n e j k la s y " bez p o słu g iw a n ia się p o ję c ie m liczby w o gó­ le, a p o tem d o p ie ro o k re ś la się liczbę w ogóle, k o rz y s ta ją c z p o ję c ia "licz­ b a d a n e j k la s y " . W te n sp o só b n ie p o p e łn ia się żad n eg o b łę d u logicznego. (B. R ussell, W s tę p do tilo z o îii m a te m a ty k i, W a rs z a w a 1958, 32) Je d n o c z e ś ­ n ie w sto su n k u do liczb y k a rd y n a ln e j zb io ru w sz y stk ic h liczb n a tu ra ln y c h (k tó rą się o zn acza lite r ą h e b ra js k ą alef ze w sk a ź n ik ie m zero) m o żn a w y ­ k a z a ć z a c h o d zen ie n a s tę p u ją c y c h tw ie rd z e ń : 1) d o w o ln a liczb a k a rd y n a ln a sk o ń c z o n a je s t m n ie jsz a od alef-zero, 2) zb ió r n ie sk o ń c z o n y je s t ró w n o lic z ­ n y z p e w n ą je g o częścią w łaściw ą, 3) zbiór, k tó r y je s t ró w n o lic z n y z p e w ­ ny m sw ym p o d zb io rem w łaściw y m , n ie m oże b y ć zbiorem sk o ń czo n y m . J e ­ żeli te r a z w eźm iem y d o w o ln y zb ió r M, to p o w iem y , że je s t on sk ończony, k ie d y je g o liczb ą k a rd y n a ln ą je s t p e w n a k o n k re tn a liczb a n a tu ra ln a . W p rz e ­ ciw n y m p rz y p a d k u zw ie się go n iesk o ń czo n y m . A zate m i tu ta j p o s łu g u ­ je m y się d ro g ą n e g a c ji. Z arazem w id ać, że o k re ś le n ie liczb k a rd y n a ln y c h o p ie ra się n ie ty lk o n a p o ję c ia c h czy sto lo g iczn y ch , lecz ta k ż e i m n o g o ś­ cio w y ch . B ogactw o c a łe j m a te m a ty k i n ie d a się zam k n ą ć w ra m a c h sam ej ty lk o logiki. W a rto jeszcze zw ró cić u w a g ę n a n a s tę p u ją c y fak t. J a k w ia ­ dom o P e a n o p o d a ł a k sjo m a ty k ę liczb n a tu ra ln y c h .. M ożna ją tr a k to w a ć ja k o p e w ie n zab ie g d e fin iu ją c y liczb y n a tu ra ln e . P o ja w ia się je d n a k p ew n a tru d n o ść . P o le g a o n a n a tym , że a k s jo m a ty k a P ean o p o sia d a (dopuszcza) c a ły szereg m o d eli n ieizo m o rficzn y ch . W y c h o d z ą c p rz e to z a k sjo m a ty k i P ean o , nie w iem y czy m ó w im y o liczb ach n a tu ra ln y c h , czy o in n y c h tw o ­ rach . Z a sy g n a liz o w a n a s y tu a c ja n ie je s t p rz y p a d k ie m o d o so b n io n y m . K

ie-d.y m am y do c z y n ie n ia z ja k ą ś te o r ią u ję tą a k sjo m a ty c z n ie , to z re g u ły d o ­ p u szcza o n a dużo in te rp re ta c ji n ieizo m o rficzn y ch , Je ż e li w iem y czym są liczb y n a tu ra ln e , to ro zu m iem y , że s p e łn ia ją o n e a k sjo m a ty P ean o . Roz­ w a ż a ją c je d n a k tw o ry c z y n ią c e za d o ść a k sjo m a to m P ean o , a n ie w ied ząc czym są liczb y n a tu ra ln e , n ie p o tra filib y ś m y ic h w y ró żn ić. O p isa n a s y tu a ­ c ja m a, o czyw iście, c h a ra k te r te o re ty c z n y . P a trz ą c b o w iem od s tro n y p ra k ­ ty c z n e j, w ie m y czym są lic z b y n a tu ra ln e . J e d n a k ż e p o s ia d a n a w ty m p rz y ­ p a d k u w ied za n ie w ie le p o m a g a w p ró b a c h o k re ś la n ia lic z b y n a tu ra ln e j. J a k w iad o m o z a p ro p o n o w a n a p rzez F re g e g o m e to d a n ie d a ła o sta te c z n ie z a d a w a la ją c y c h ro zw iązań . N a d a l n ie p o tra fim y ud zielić w p ełn i a d e k w a tn e j o d p o w ied zi n a p y ta n ie co to je s t liczba n a tu ra ln a .

W e d łu g p ro p o z y c ji D. H ilb e rta i W . A c k e rm a n n a d a ją się o k re ś la ć k o ­ le jn e liczb y n a tu ra ln e . N iech F o znacza ja k iś d o w o ln y je d n o a rg u m e n to w y p re d y k a t. W ó w czas liczbę z ero o k re ś la się za p o m o cą fu n k c ji zd an io w ej: n ie is tn ie je p rzed m io t x, k tó r y b y sp e łn ia ł F. Liczbę je d e n d e fin iu je się: is tn ie je x ta k ie , k tó r e sp e łn ia F o raz k a ż d y p rz e d m io t y, s p e łn ia ją c y F, je s t id e n ty c z n y z x. Liczbę d w a o k re ś la się n a s tę p u ją c o : is tn ie ją d w a ró żn e p rz e d m io ty x o raz y, k tó r e sp e łn ia ją F, p rz y czym k a ż d y p rz e d m io t z, s p e ł­ n ia ją c y F, je s t id e n ty c z n y bądź z x, b ądź z y. I ta k p o s tę p u je się d a le j. J e ­ żeli p o p rz e s ta je m y n a o k re ś la n iu liczb sk o ń czo n y ch , to n ie p o ja w ia ją się tru d n o śc i. J e ż e li je d n a k ch cem y ro zw ażać p re d y k a t w ro d z a ju : "b y ć liczbą n a tu r a ln ą '1, to p o trz e b n y je s t do te g o celu a k sjo m a t n iesk o ń czo n o ści. W ta ­ k ie j czy in n e j p o sta c i je s t on tu n iezb ę d n y . A k sjo m a t te n p o sia d a w y ra ź n y w y d ź w ię k p o zalo g iczn y . W n a jp ro sts z y m sfo rm u ło w an iu , p o ch o d zący m od N. B o u rb ak ieg o p rz y jm u je p o sta ć z d a n ia : is tn ie je zb ió r n ie sk o ń c z o n y . D o­ chodzim y w te n sp o só b do dość c h a ra k te ry s ty c z n e g o w n io sk u . O k a z u je się, że w m a te m a ty c e is tn ie ją ró ż n e m e to d y w p ro w a d z a n ia p o ję c ia n iesk o ń c z o ­ ności. N ie k tó re z n ic h są ró w n o w a ż n e m ięd zy sobą, in n e nie. To sam o o d ­ n o si się ta k ż e do p o ję c ia sko ń czo n o ści. W sz y s tk o z a le ż y od c h a ra k te ru i ro d z a ju p rz y ję te j a k sjo m a ty k i. W iad o m o zaś, że n ie is tn ie je z a d a w a la ją c a a k s jo m a ty k a te o r ii m no g o ści, k tó r a b y c z y n iła z ad o ść p o trz e b o m c a łe j m a ­ te m a ty k i. W szczeg ó ln o ści je ż e li ro zw ażam y a k sjo m a t n iesk o ń czo n o ści, to m ożliw e są ró ż n e je g o fo rm a ln e u ję c ia . N ie są on e m ięd zy sobą ró w n o w a ż ­ ne. J e s t in te re s u ją c e , że w z a k sjo m a ty z o w a n e j te o rii m n o g o ści n ie is tn ie je o k re ś le n ie zb io ru sk o ń czo n eg o , k tó re b y ło b y n a jsiln ie jsz y m , b ą d ź n a js ła b ­ szym o k re ś le n ie m sk o ń czo n o ści. M ów im y, że o k re ś le n ie A je s t m o cn iejsze od o k re ś le n ia B, jeże li w d a n e j te o rii m o żn a w y k a z a ć , że k a ż d y zb ió r sk o ń ­ c zo n y w sen sie d e fin ic ji A je s t ta k ż e sk o ń c z o n y w se n s ie d e fin ic ji B. W y ­ n ik te n o trz y m a ł n ie d a w n o B. A . T ra c h te n b ro t (N ie w o z m o ż n o s f algoriim a dla p ro b le m y ra z re szim o s ti n a k o n ie c z n y c h k la ssa c h , D o k ład y A N SSSR 70, 1950, N r 4). Do p o d o b n y c h re z u lta tó w d o szed ł A. M o sto w sk i jeszcze w 1938 r.

W sk a ż m y m oże n a w ażn o ść te o re ty c z n ą a k sjo m a tu n iesk o ń czo n o ści. N a j­ p ro ś c ie j b ęd zie to u cz y n ić przez z ilu stro w a n ie z a g a d n ie n ia n a p rz y k ład zie.

P rzy p u śćm y , że w e W sz e c h św ie c ie is tn ie je d o k ła d n ie n rz e c z y in d y w id u a l­ n y ch . W ó w czas k la s a o n + 1 e le m e n ta c h b y ła b y k la s ą zero w ą, p u stą . P o­ d o b n ie b y ło b y z k la sa m i n a stę p n y m i. T o też k o le jn e liczb y n a tu r a ln e nie sta n o w iły b y ciąg u ro sn ą c e g o liczb. N ie b y ło b y w te j s y tu a c ji p ra w d ą , że ró ż n e liczby n a tu r a ln e p o s ia d a ją ró ż n e n a stę p n ik i. Z atem p o trz e b a a k s jo ­ m a tu n iesk o ń c z o n o śc i je s t w y ra ź n a .

Z p rz e p ro w a d z o n e j d y s k u s ji w id ać, że z a g a d n ie n ie o k re ś le n ia zb io ru sk o ń czo n eg o o raz n ie sk o ń c z o n e g o sta n o w i p ro b le m b a rd z o złożony. T ak je s t ju ż w z a k re s ie m a te m a ty k i, n a u k i w p ew n y m zn a c z e n iu n a jp ro sts z e j. N ic w ięc d ziw nego, że z a g a d n ie n ie to w ra m a c h filozofii s ta je się jeszcze b a rd z ie j złożone. N a rz u c a się p rz e d e w szy stk im p ro b le m o c h a ra k te rz e s e ­ m a n ty czn y m : ja k d o chodzi do n a d a n ia zn a c z e n ia teg o ro d z a ju term inom ? Czy n asze p rz e św ia d c z e n ia o ro z u m ie n iu w sp o m n ia n y c h p o ję ć są u z a s a d ­ n io n e i n a ile? M ożna p y ta ć d a le j, w ja k i sposób n a s tę p u je w o g ó le n a d a ­ w a n ie z n a c z e ń słow om . N a su w a się tu ta j c a ły sz e re g p o d sta w o w y c h z a ­ g a d n ie ń n a tu r y b ard zo o g ó ln ej. R ozw ażanie te j p ro b le m a ty k i w y k ra c z a je d ­ n a k p oza ra m y teg o sp ra w o z d a n ia . W y d a je się, że n a jw ła ś c iw sz ą d ro g ą do je j ro z w ią z a n ia je s t p rz y ję c ie e w o lu c y jn e g o c h a ra k te ru z a ró w n o w o d n ie ­ sien iu do p o w sta w a n ia sk o ja rz e ń m ięd zy w y ra z a m i a ich tre ś c ią , ja k i do tw o rz ą c y c h się zm ian z n a c zen io w y ch . S p raw a ta z a słu g u je n a w n ik liw e p rz e b a d a n ie .

P ro b le m a ty k a n ie sk o ń c z o n o śc i n a d a l z a c ie k a w ia i n ie p o k o i zarazem . N ie n a le ż y się tem u sta n o w i rz e c z y dziw ić. P rzecież w sz y stk ie sto so w a n e w je j z a k re s ie zab ie g i n a u k o w e są je d y n ie h is to ry c z n ie u w a ru n k o w a n y m i tw o ­ ram i, k tó ry m n ie p rz y s łu g u je c h a ra k te r b y c ia czym ś ab so lu tn y m . A w ięc ani b a d a n ia m a te m a ty c z n e n ie m ogą b y ć o g ra n ic z o n e do sa m e j m e to d y ak sjo m a ty c z n e j, ani te ż p ro b le m y filozoficzne n ie z o sta n ą ro z w ią z a n e przy p o m o cy sam ej a n a liz y ję z y k a . W y m ie n io n e m e to d y są w ażn e, m oże n a w e t is to tn e , je d n a k n ie sta n o w ią czegoś w ro d z a ju p a n a c e u m n a w sz y stk ie tr u d ­ n o ści n a u k o w e. N a d to n a le ż y m ieć n a u w ad ze, że lu d zie n a jp ie rw d ziałali, a d o p iero p o tem tw o rz y li te o r ie d ziałan ia. N a jp ie rw d o k o n y w a li o p e ra c ji a ry tm e ty c z n y c h , g e o m e try c z n y c h , m e ch a n iczn y ch , a d o p ie ro w d a lsz e j k o ­ le jn o śc i za c z y n a li się z a sta n a w ia ć n a d ty m , czym je s t a ry tm e ty k a , g e o ­ m e tria , m e c h a n ik a . J e s t to fa k t n ie z a p rz e c z a ln y . S p raw ę tę a k c e n tu je L. G ey- m o n a t (F ilozoiia a filo z o fia n a u k i, W a rs z a w a 1966). U w aża ta k ż e , że p rz e d ­ m iotem filozofii n a u k i, w szczeg ó ln o ści lo g ik i, są ro z u m o w a n ia fa k ty c z n ie p rz e p ro w a d z a n e przez ludzi, n ie zaś "m etafizy czn e p o ję c ie " ro zu m o w an ia. C hodzi w ięc o is tn ie ją c y k o n k re t, n ie zaś o a b s tra k c ję . C el, ja k i lo g ik chce o sią g n ą ć p rzez sw e d o c ie k a n ia p o sia d a n ie ty lk o w y d ź w ię k te o re ty c z n y , lecz ta k ż e i p ra k ty c z n y . W y ja ś n ia ją c b o w iem w sp o m n ia n e ro zu m o w an ia p rz y c z y n ia się w te n sp o só b do z a p e w n ie n ia im w ię k sz e j sk u teczn o ści. A p rzez to ta k ż e do p o stę p u w iedzy.

go. " J e ż e li je s t p ra w d ą — pisze L. G ey m o n at (Op. cit., 95) — że d z ia ła n ie p o p rz e d z a m y śle n ie , to re z u lta ty n o w o czesn ej lo g ik i o raz c a ły ru c h ry g o ­ ry s ty c z n y , k tó r y o b e jm u je lo g ik ę, w y k a z u ją n iezb icie, że fu n k c ja c z y n n ik a re f le k s ji n a d n a u k ą je s t is to tn a w d ia le k ty c e p o stę p u n a u k o w e g o . Je ż e li je d n a k chcem y, ż e b y m ó g ł on fa k ty c z n ie ta k ą fu n k c ję sp ełn iać, to m usim y n a sz ą re fle k s ję zw iązać ściśle z tą d ia le k ty k ą , tzn . p rzed m io tem n a sz y c h d o c ie k a ń u czy n ić to, czego czło w ie k n a p ra w d ę d o k o n u je w to k u b a d a n ia n a u k o w e g o , a n ie z a s ta n a w ia ć się n a d a b s tra k c y jn y m p o ję c ie m te g o , czym p o w in n a b y ć n a u k a , w m y śl ja k ie jś a p rio ry c z n e j k o n c e p c ji w ied zy . Je ż e li, w szczeg ó ln o ści, u w a ż n a re f le k s ja n a d rz e c z y w isty m i o p e ra c ja m i d o k o n y w a ­ n y m i w to k u b a d a n ia n a u k o w e g o d o p ro w ad zi n as — przez c ią g ły ro zw ó j te g o b a d a n ia — do w y n ik ó w sp rz e c z n y c h z d a w n y m i sc h e m a ta m i filozo­ ficznym i, sta n o w ią c y m i re z u lta t ro z w a ż a ń n a d p o p rz e d n im i fazam i p o zn a­ n ia n a u k o w e g o , m u sim y te sc h e m a ty odrzucić, b y k sz ta łto w a ć in n e, lep iej o d p o w ia d a ją c e n o w ej rz e c z y w isto śc i".

L o g ika i e m p iric ze sk o je p o zn a n ie, Iz d a tie lstw o „ N au k a", M o sk w a 1972, K siążk a ta z o sta ła o p ra c o w a n a w Z ak ład zie L ogiki I n s ty tu tu F ilozofii A k a d e m ii N a u k ZSRR. N a je j tr e ś ć s k ła d a się 13 a rty k u łó w p o św ię c o n y c h ró ż n o ro d n e j p ro b le m a ty c e , d a ją c e j się je d n a k sc h a ra k te ry z o w a ć ogó ln y m ty tu łe m , ja k i n a d a n o c a łe j książce. D y sk u to w a n e z a g a d n ie n ia n a le ż ą do te m a tó w słab o do te j c h w ili o p ra c o w a n y c h , a je d n o c z e śn ie w a ż n y c h w e w sp ó łczesn y m p rz y ro d o z n a w stw ie . R o z p a try w a n e są p ro b le m y o c h a r a k ­ te rz e lo g iczn o -m eto d o lo g iczn y m o d n o szące się do n a u k p rz y ro d n ic z y c h . O to a u to rz y o raz ty tu ły zam ieszczo n y ch ro z p ra w . A. I. U jom ow , In te n sjo - n a ln e u ję c ie w n io sk ó w z d a n y c h d o św ia d c z a ln y c h . B. N. P ja tn ic y n , A . Ł. Sub- b o tin , O c h a ra k te rz e i te o r ii w n io sk o w a ń in d u k c y jn y c h . W . I. M ietło w , Z a g a d n ie n ie u s p ra w ie d liw ie n ia in d u k c ji. G. I. R uzaw in, M e to d a h ip o te- ty c z n o -d e d u k c y jn a . E. P. N ik itin , W y ja ś n ia n ie i p rz e w id y w a n ie S. P. Bud- b a je w a , B. N. P ja tn ic y n , H e u ry s ty c z n e m e to d y i z a g a d n ie n ie k o n firm a c ji w n a u k a c h e m p iry czn y ch . D. P. G órski. Z a g a d n ie n ie d e fin ic ji w te o ria c h p rz y ro d o z n a w stw a m ate m a ty c z n e g o . A. Ł. N ik ifo ró w , D efin io w an ie p re d y ­ k a tó w d y sp o z y c y jn y c h . A. A. Iw in, A k sjo m a ty c z n e te o r ie czasu. G. P. Disz- k a n t, O ję z y k a c h m ech a n ik i. S. P. Bożicz, O sp o so b a c h o c e n y p raw d ziw o ści z d a ń p rz y ro d n ic z y c h . G. A. K uzniecow , C iąg ło ść a fo rm a g e o m e try c z n a . W . N . K o stju k , Losow ość, je j o k re ś le n ie i z a sto so w a n ia . Z a k re s p o ru s z a n y c h za g a d n ie ń , ja k w id ać, je s t d ość o b szern y . T o też n ie sp o só b je s t om ów ić, n a w e t w te le g ra fic z n y m sk ró c ie , c a łe j p ro b le m a ty k i. Z te g o w z g lę d u p rz y j­ rz y m y się b liżej d w u w y b ra n y m tem ato m . B ędą to : a rty k u ł N ik itin a p o ­ św ię c o n y z a g a d n ie n iu w y ja ś n ia n ia i p rz e w id y w a n ia o raz a rty k u ł Iw in a p re z e n tu ją c y ró ż n e a k sjo m a ty c z n e u ję c ia te o rii czasu.