Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230
W iesław O S T A C H O W IC Z
Instytut M aszyn Przepływowych, G dańsk Polska A k ad em ia N auk w G dańsku Jacek JA C K IE W IC Z
W ydział M echaniczny,
A k ad em ia T echniczno-R olnicza, Bydgoszcz
M O D E L O W A N IE S P R Ę Ż Y S T Y C H T Y C H P Ó L N A P R Ę Ż E Ń 1 O D K S Z T A Ł C E Ń
P R Z E D W IE R Z C H O Ł K IE M P Ę K N IĘ C IA E L E M E N T A M I B R Z E G O W Y M I Streszczenie. W pracy przedstaw iono zasady m odelow ania sprężystych pól n a p rę ż e ń i odkształceń przed w ierzchołkiem pęknięcia. M odelow anie o p a rte jest na m eto d zie elem entów brzegow ych w połączeniu z m eto d ą rów nań całkowych dla sił wypadkowych i gęstości dyslokacji. R ozw ażania teoretyczne zostały zilustrow ane przykładam i obliczeniowymi.
M O D E L L IN G O F STR ESS A N D D IS P L A C E M E N T F IE L D S A H E A D O F T H E C R A C K BY T H E B O U N D A R Y E L E M E N T M E T H O D
Sum m ary. Principles o f m odelling o f stress an d displace-m ent fields aro u n d the crack tip is p re se n te d in this p a p e r. M odelling is b ased on th e integral equation re p re se n ta tio n o f resu ltan t forces and dislocation densities, coupled to th e direct b o u n d ary elem en t m ethod. N um erical exam ples illustrate the theoretical considerations.
MOflEJIHPOBAHHE nOJIEH HAnPHXEHHfi H IlEPEMEllIEHHH OKOJiC BEPU1HHH TPE1HHHH METOflOM KPAEBHX 3JIEMEHT0B
P e 3 io M e . B p a 6 o T e n p en cT aB JieH O npHHitHna M onennpoBaH H H nonet:
HanpstsceHHB h nepeM em eH H il b 6 j i h 3 h BepuiHHbi tpg u ih h b i - KoHKpeTHSis npHMephi HJinncTpHpyioT n on yu eH H H e p e a y n b T a T H n p n noMosii!
H H T erpanb H H x ypaBHeHHfi nnst paB H oneftcT B yiom H x c n n b c b s b h : w eT onoM x p a e B h ix o n etteH T O B .
1. W S T Ę P
Stany n a p rę ż e n ia i odkształcenia w bliskim sąsiedztw ie w ierzchołka pęknięcia, które jest um ieszczone w liniowo sprężystym ciele stałym ,poddanym działaniu złożonego obciążenia z e w n ę trz n e g o ; m ogą być scharakteryzow ane za p om ocą trzech współczynników intensyw ności n ap rężeń : k j, k 2> k j [2].
Jeżeli z o stan ą pom inięte nieosobliw e w yrażenia funkcji n a p rę ż e ń w okolicy w ierzchołka p ę k n ię c ia p o sp ełn io n a je st następująca zależność:
2 , , 0
, .
0,— ( J r . c o s — - J c , s i n — ,
I 1 2 2 2
( 1 )
Powyższe rów nanie m oże być w yrażone przez część rzeczywistą funkcji zespolonej
a x+oy=9i| s / 2 k
fz
(2)
J 6 gdzie : k = k j- ik 2>
z = x + iy = z + r e ‘",
*
z - w spółrzędna zespolona w ierzchołka pęknięcia.
Po poró w n an iu zależności (2) z w yrażeniam i funkcji n ap rężeń M uskhelishviliego [5]
0 x + o y =4Si [ « ^ ( z ) ]
a - o x + 2 i r =2 [z<t>"(z)
+W'(.z)
] , ( 3)gdzie : # (z) i 'P (z) - potencjały zespolone.
Z espolony w spółczynnik intensywności nap rężeń m oże być w yrażony w następujący sposób:
( 4)
W celu ok reślen ia pól n ap rężeń i odkształceń w dwuwym iarowym ciele stałym do rów nania (4) podstaw iono zależność definiującą p o ten cjał zespolony ł ’(z ) [3] w zględem gęstości dyslokacji. W wyniku uzyskano n astęp u jące zależności definiujące współczynniki intensyw ności n a p rę ż e ń dla osobliwych elem entów liniowych:
*x=- V27t<d [G iS in Y -G 2 * co sY ] ,
( 5 >
jrjJ=-^dj-j -v/2nd[G1 ‘cosvt -G2 ‘sinY]
,gdzie : d - długość osobliw ego elem entu liniowego zaw ierającego w ierzchołek pęknięcia, G | ,G 2 - gęstości dyslokacji w punkcie węzłowym w ierzchołka
pęknięcia,
/i, k - stałe sprężyste, a 7rk^ - K j , 7^ —K j j .
G ęstości dyslokacji w p unktach węzłowych w ierzchołków pęknięć w przytoczonych p rzykładach obliczeniow ych zostały wyznaczone za p o m o cą m etody elem entów brzegow ych o ra z rów nań całkowych dla sił wypadkowych i gęstości dyslokacji wzdłuż linii p ęknięcia.
2. W Y Z N A C Z A N IE W SPÓ Ł C Z Y N N IK Ó W IN T E N S Y W N O Ś C I N A P R Ę Ż E Ń M E T O D Ą E L E M E N T Ó W B R Z E G O W Y C H
N a rys. 1 przedstaw iono dwuwymiarowy o b s z a r d o m k n ię ty fi o g ra n ic z o n y z ew n ętrzn ą linią brzegow ą r b = r b l + r b 2 i w ew nętrzną linią pęknięcia r c = r c ^ + r c9.
O b szar te n je st obciążony zadanym i siłami pow ierzchniow ym i Tj w zdłuż brzegu r |j j + r c j o r a z z a d a n y m i przem ieszczeniam i Uj w zdłuż brzegu r b 2 + r c2 ' D E dom kniętego obszaru fi brzegow e rów nanie całkow e sform ułow ane w sposób b e zp o śred n i przy uw zględnieniu notacji C ru se ’a [1] przyjm uje następującą postać:
Ct j (P) Uj ( P) + $ T±j ( P, Q) Uj (Q) dT= f Ui j ( P, Q) t j (O) dT, (6 ) iv r „
Rys. 1. D w uw ym iarow y o b sza r zaw ierający pęk n ięcie
Fig. 1. P ia n e re g io n c o n ta in in g a crack
gdzie :
C y(P ) - współczynniki zależące od lokalnego kształtu brzegu d r w punkcie P e r ^ + r ^ T ”(P ,Q ) i U jj(P ,Q ) - podcałkow e funkcje wpływu.
R ó w n an ie całkow e (6) rozw iązuje się num erycznie za p o m o cą elem entów brzegowych.
B ezp o śred n ie zastosow anie m etody elem entów brzegowych do m odelow ania pól nap rężeń i odkształceń p rzed w ierzchołkiem pęknięcia nie daje w pełni pozytywnych rezultatów . G eo m etry czn e pokryw anie się górnej i dolnej linii pęknięcia ( r + c, r ' c-* rc ) często prow adzi do u kładu rów nań, którego nie m ożna rozwiązać. N ierozw iązalnego układu rów nań m ożna u niknąć, wykorzystując m eto d ę elem entów brzegowych w połączeniu z m e to d ą rów nań całkowych dla sił wypadkowych F j'(P ) i gęstości dyslokacji, określonych w zdłuż dolnej linii pęk n ięcia r c". Całkow ym sform ułow aniem tej m etody je st następujący układ rów nań:
p ert - c i,u J.= fu JJTj d r - f r iJuJ.dr+/w iJ. ^ | - [ i u / i ds~,
r * T u p -r;
9 r * . . c i d s - + c P e T l- F ; = f F f r j d T - j F ^ d T * ¡ F f j ¿ [ A u .
ib r;
gdzie : W y, F jjT, F jjU, F - ^ - podcałkow e funkcje wpływu, Cj - stałe całkow ania,
a jej szczegółow y opis zo stał przedstaw iony w pracach [3,6],
( 7 )
3. P R Z Y K Ł A D Y O B L IC Z E N IO W E 3.1. P rzy k ład pierwszy
Rys. 2. P r o s to k ą tn a tarcza z p ęk n ięciem w k ształcie lite ry Z
F ig . 2. R e c ta n g u la r p la te c o n ta in in g th e Z -slta p e d c rack
N a rys. 2 przedstaw iono p ro sto k ątn ą tarczę z pęknięciem w kształcie litery Z, której górny b rzeg je s t obciążony jednorodnym , jednostkow ym obciążeniem pow ierzchniow ym P q = F D olny b rzeg tej tarczy je st utw ierdzony z m ożliwością sw obodnego przem ieszczania się w kierunku osi x^. N a rys. 2 przem ieszczony brzeg zew nętrzny tarczy oznaczono cienką linią, przy czym w artości przem iesz-czeń pow iększono 15 razy. Linia pęknięcia została p odzielona n a 76 elem entów liniow ych; a zew nętrzny b rzeg tarczy na 120 liniowych elem en tó w brzegow ych. Na rys. 3 i 4 przedstaw iono odpow iednio przem ieszczenia w zględne w kierunku osi Xj i X2, określone w zdłuż lokalnej w spółrzędnej s dolnej linii pęknięcia.
Przem ieszczenia te zostały w yznaczone dla
£ /Pq= 205 i v = 0 .3 . U zyskane w artości w spółczynników intensyw ności n a p rę ż e ń w w ierzchołkach A i B pęknięcia w kształcie litery Z (tablica 1) p o rów nano z wynikami obliczeń num erycznych zam ieszczonym i w pracach [4,7].
T ab lica 1
W a rto śc i w spółczynników intensyw ności n a p rę że ń w w ierzchołkach p ęk n ięcia w kształcie litery Z
k i a k i i a k i b k i i b
B EM + R F 4.53 0.32 4.42 0.40
Lit. [4] 4.52 0.32 4.41 0.36
Lit. [7] 4.50 0.33 4.40 0.41
(X 1E-3) 8 FF
0 2 4 6 8 10 12
s [mml
R ys. 3. Przem ieszczen ia w zględne A u^ p o w ierzchni p ęk nięcia Fig. 3. R e la tiv e c rack su rface d isp lacem en ts A u j
s Cnm]
Rys. 4. P rzem ieszczenia w zględne AU2 pow ierzchni p ęk nięcia Fig. 4. R elativ e c rack su rface d isp lacem en ts AU2
3.2. P rzykład d rugi
N a rys. 5 przedstaw iono p ro sto k ątn ą tarczę zaw ierającą pęknięcie w pobliżu jej górnego brzegu, którego pow ierzchnia jest obciążona jednostkow ym ciśnieniem Pq= 1- N a rysunku tym przem ieszczony brzeg zew nętrzny tarczy oznaczono cienką linią,
przy czym w artości p rzem ieszczeń pow iększono 2 razy. Linię pęknięcia zdyskretyzow ano za p om ocą 28 elem entów liniowych. N atom iast zew nętrzny brzeg tarczy podzielono na 74 liniowe elem enty brzegow e. Na rys. 6 i 7 przedstaw iono odpow iednio przem ieszczenia w zględne w k ieru n ku osi i X2 , o kreślone wzdłuż lokalnej w spółrzędnej s dolnej linii pęknięcia. P rzem ieszczenia te zostały w yznaczone dla E /P q = 2 0 5 i v = 0 .3 . P o p r z y ł o ż e n i u o b c i ą ż e n i a zew nętrznego Pq do pow ierzchni w okolicy pęknięcia wystąpiły duże
Rys. 5. P ro sto k ą tn a tarcza zaw ierająca p ę k n ię cie w p o b liżu jej gó rn eg o brzeg u
Fig. 5. P la n e w ith th e su b su rfac e crack
p ęk n ięcia w zdłuż górnej linii brzegow ej tarczy gradienty przem ieszczeń.
s [mm]
Rys. 6. P rzem ieszczen ia w zględne A u j p o w ierzchni p ęknięcia Fig. 6. R e la tiv e c rack su rface d isp lacem en ts A u j
s [nn]
Rys. 7. P rzem ieszczenia w zględne A112 pow ierzchni pęk n ięcia Fig. 7. R e la tiv e c rack su rface d isp lacem en ts AU2
4. W N IO SK I
P rzed staw io n a w pracy m eto d a obliczeniow a, b ęd ąca połączeniem m etody rów nań całkow ych dla sił wypadkowych i gęstości dyslokacji określonych wzdłuż dolnej linii pęk n ięcia z m eto d ą elem entów brzegowych jest efektywnym n arzędziem służącym do m odelow ania pól n ap rężeń i odkształceń przed w ierzchołkiem pęknięcia. U zyskane rezu ltaty w skazują n a możliwość wykorzystania tej m etody do num erycznej symulacji w zrostu pęk n ięcia zm ęczeniow ego w dwuwymiarowych izotropow ych ośrodkach sprężystych, zachodzącego w obecności zjawiska k o n tak tu m iędzy pow ierzchniam i pęknięcia.
L IT E R A T U R A
[1] C ruse T. A.: Tw o D im ensional B IE F ra c tu re M echanics Analysis.
A p p lied M ath em atical M odeling, Vol. 2, 1978, ss.287-293.
[2] E rd o g an F.: Stress Intensity Factors. Jo u rn al o f A pplied M echanics, Vol. 50, 1983, ss.992-1002.
[3] Jackiew icz J., O stachow icz W.: Rozwiązywanie płaskich pęknięć m e to d ą rów nań całkowych. ZN Pol. SI., ser. M echanika, z. 113, Gliwice, 1993, ss.135-140.
[4] Liu N., A itiero N., Sur U.: Kinked Cracks in Finite Plane Bodies. C o m p u te r M eth o d s in A pplied M echanics and E ngineering, Vol. 84, 1990, ss.211-226.
[5] M uskhelishvili I. N.: Som e Basic Problem s o f the M athem atical T h eo ry o f Elasticity. P. N oordhoff Ltd., G roningen, H olland,
1953.
[6] O stachow icz W., Jackiew icz J.: M odelow anie propagacji pęknięć zm ęczeniow ych elem en tam i brzegowymi. ZN Pol. Śl.,
ser. M echanika, z. 107, Gliwice, 1992, ss.311-318.
[7] Z an g W. L., G u d m ondson P.: A B oundary Integral M eth o d for In tern al Piece-W ise Sm ooth C rack Problem s. International Jo u rn a l o f F ractu re, Vol. 38, 1988, ss.275-294.
R ecenzent: P ro f d r hab. inż. T ad e u sz Burczyński W płynęło do redakcji w grudniu 1993r.
A b stract
T h e p ro b lem o f m odelling o f stress and displacem ent fields aro u n d th e crack tip (m odes 1 and II) w as solved by an application o f the integral eq u atio n s for the resu ltan t forces along th e crack line, coupled to the direct integral expression for the displacem ents on the o u te r boundary. T h e integral equations (7) utilized in this m eth o d w ere developed for tre a tm e n t o f cracks in plane finite bodies. L in ear elem en ts have b een em ployed for ali the integrals.
Tw o o f som e finite dom ain exam ples a re p resen ted in this p ap er. T h e Z -sh ap ed crack shown in Fig. 2 is situ ated in th e rectangular plate, which is loaded a t one end by an uniform ten sio n Pq and has a sliding su p p o rt on th e opposite end. T h e o u te r boundary of the p la te was discretized into 120 linear B EM elem ents. T h e crack line w as discretized into 76 elem en ts. In Figs. 3 and 4 the crack opening displacem ents A u j and An-, with E/pQ =205, v= 0.3 a re plotted.
In th e second exam ple th e sub-surface crack loaded by uniform p ressu re Pq on its surface is situ ated in th e rectan g u lar plate, as shown in Fig. 5. T h e o u te r b o u n d ary o f the p late was discretized into 74 linear B EM elem ents. T h e crack line was discretized into 28 elem en ts. In Figs. 6 an d 7 th e crack opening displacem ents Au^ an d Au-, with E /p g = 2 0 5 , v =0.3 a re plotted.
