Bł ˛ adzenie losowe

Bł ˛ adzenie losowe

mateusz.kwasnicki@pwr.wroc.pl

Okre´slamyci ˛ag losowy

Sn = X1 + X2+ X3+ ... + Xn.

X₁, X₂, X₃, ... — wynikiniezale˙znychrzutów monet ˛a,

Okre´slamyci ˛ag losowy

Sn = X1 + X2+ X3+ ... + Xn.

X₁, X₂, X₃, ... — wynikiniezale˙znychrzutów monet ˛a,

P(X_k = 1) = 1

2, P(X_k = −1) = 1 2.

Okre´slamyci ˛ag losowy

Sn = X1 + X2+ X3+ ... + Xn.

X₁, X₂, X₃, ... — wynikiniezale˙znychrzutów monet ˛a,

P(X_k = 1) = 1

2, P(X_k = −1) = 1 2. Niezale˙zno´s´c:

P(X₁ = a₁, X₂ = a₂, ..., X_n = a_n) = 1 2ⁿ .

Okre´slamyci ˛ag losowy

Sn = X1 + X2+ X3+ ... + Xn.

S_n przyjmuje warto´sci n, n − 2, n − 4, ..., −n;

P(S_n = k ) =P



w n rzutach było n + k

2 sukcesów

 .

Okre´slamyci ˛ag losowy

Sn = X1 + X2+ X3+ ... + Xn.

S_n przyjmuje warto´sci n, n − 2, n − 4, ..., −n;

P(S_n = k ) =P



w n rzutach było n + k

2 sukcesów

 .

Wobec tego (schemat Bernoulliego):

P(S_n = k ) = n

n+k 2

 1 2ⁿ .

Okre´slamyci ˛ag losowy

Sn = X1 + X2+ X3+ ... + Xn.

S_n przyjmuje warto´sci n, n − 2, n − 4, ..., −n;

P(S_n = k ) =P



w n rzutach było n + k

2 sukcesów

 .

Wobec tego (schemat Bernoulliego):

P(S_n = k ) = n

n+k 2

 1 2ⁿ .

Pytanie: Co mo˙zna powiedzie´c o S_n dla du˙zych n?

Wykres Sn

Obserwacje:

Sn

n ≈ 0 dla du˙zych n.

S_n

√n ≈ S_k

√

k dla du˙zych n, k .

n = 1000 n = 100

n = 20 n = 5

Rozkład Sn

n

n = 1000 n = 100

n = 20 n = 5

Rozkład Sn

√n

n = 1000 n = 100

n = 20 n = 5

Rozkład Sn

√n

Twierdzenie: Zachodzi

n→∞lim P S_n

√n ∈ (a, b)



= Z b

a

√1

2πe^{−x 22}dx .

Twierdzenie: Zachodzi

n→∞lim P S_n

√n ∈ (a, b)



= Z b

a

√1

2πe^{−x 22}dx . Dowód: Dla du˙zych n,

P(S_n = k ) ≈ 2

√2πne^{−k 22n} = 2

√n f

 k

√n



(o ile 2|k + n, w przeciwnym razieP(S_n = k ) = 0).

Twierdzenie: Zachodzi

n→∞lim P S_n

√n ∈ (a, b)



= Z b

a

√1

2πe^{−x 22}dx . Dowód: Dla du˙zych n,

P(S_n = k ) ≈ 2

√2πne^{−k 22n} = 2

√n f

 k

√n



(o ile 2|k + n, w przeciwnym razieP(S_n = k ) = 0).

"

n! ≈√ 2πnnⁿ

eⁿ,

 n

n+k 2

1

2ⁿ ≈ 1

r 2πn

1 −^k2

n²



1

 1 +^k_nk

1 −^k2

n²

^n−k₂

#

P Sn

√n ∈ (a, b)



=P S_n ∈ (a√ n, b√

n)

= X

k ∈(a√ n,b√

n)

P(S_n = k )

≈ X

k ∈(a√ n,b√

n) 2|k +n

√2 nf

 k

√n

 .

P Sn

√n ∈ (a, b)



=P S_n ∈ (a√ n, b√

n)

= X

k ∈(a√ n,b√

n)

P(S_n = k )

≈ X

k ∈(a√ n,b√

n) 2|k +n

√2 nf

 k

√n

 .

— suma cz ˛e´sciowa całki Riemanna Z b

a

f (x )dx

Pytanie: A co je´sli X₁, X₂, X₃, ... s ˛a inne?

(Xk— skoki)

Pytanie: A co je´sli X₁, X₂, X₃, ... s ˛a inne?

(Xk— skoki)

Na przykład: X_k s ˛a wybierane losowo z przedziału [−1, 1].

(albo lepiej [−√ 3,√

3])

Pytanie: Czy granica nie zale˙zy od X₁, X₂, X₃, ...?

(Xk— skoki)

Pytanie: Czy granica nie zale˙zy od X₁, X₂, X₃, ...?

(Xk— skoki)

Przykład: Y_k s ˛a wybierane losowo z przedziału



−π 2,π

2

 ,

X_k = tg Y_k.

www.microscopy-uk.org.uk