Def. Ciąg sum częściowych (S

(1)

SZEREGI

Niech (a

_n

) będzie ciągiem rzeczywistym lub zespolonym ( Tworzymy ciąg ( S

_n

) „sum częściowych” ciągu (

Def. Ciąg sum częściowych (S

_n



^

1 n

a

n

.

Jeżeli ciąg sum częściowych (S symbolem 

^

1 n

a i nazywamy sumą szeregu.

n

Widać że pojęcie szeregu można rozszerzyć zastępując liczby obiektami, które umiemy dodawać i mnożyć przez skalary. Rozważać będziemy więc ciągi

Aby w przestrzeni wektorowej wprowadzić pojęcie granicy ciągu wygodnie jest użyć normy, k jest abstrakcyjnym uogólnieniem pojęcia długości wektora.

Niech X będzie przestrzeń liniow

Def. Normą w przestrzeni liniowej nad ciałem 0

:   

 x X x , przy czym:

1º 

_x__X

x  0  x  2º 

___K



_x__X

 x  3º 

_x_,_y_X

x  y  x

Parę (X , ) nazywamy przestrzenią unormowaną.

Np. X  C

_{[ b}_a_, _]

- zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych )

( max ) (

sup f x f x

f 

axb



axb

Rozważmy ciąg (a

_n

) w przestrzeni unormowanej Tworzymy ciąg ( S

_n

) „sum częściowych” ciągu (

Def. Ciąg sum częściowych (S

_n



^

n1

a

n

.

Jeżeli ciąg sum częściowych (S

n

) jest zbieżny, to jego granicę



^

1 n

a i nazywamy sumą szeregu.

n

) będzie ciągiem rzeczywistym lub zespolonym ( a : n  N  a ( n )  a ) „sum częściowych” ciągu (a

_n

) zdefiniowany wzorem S

_n



n

) nazywamy szeregiem generowanym przez ciąg (

S

_n

) jest zbieżny, to jego granicę

_n

n

S

S  lim



i nazywamy sumą szeregu.

można rozszerzyć zastępując liczby obiektami, które umiemy dodawać i mnożyć przez skalary. Rozważać będziemy więc ciągi (a

_n

) o wartościach w przestrzeni wektorowej Aby w przestrzeni wektorowej wprowadzić pojęcie granicy ciągu wygodnie jest użyć normy, k jest abstrakcyjnym uogólnieniem pojęcia długości wektora.

przestrzeń liniową (wektorową) nad ciałem K ( K  R )

. Normą w przestrzeni liniowej nad ciałem K (C lub R) nazywamy rzeczywistą funkcję , przy czym:

 0

 x



 y

nazywamy przestrzenią unormowaną.

zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych ciągłych na [ b a , ]

- norma supremum (sup=max bo f jest cg. na przedziale [

) w przestrzeni unormowanej ( X ,  ) a : n  N  a ( n )  a

_n

) „sum częściowych” ciągu (a

_n

) zdefiniowany wzorem S

_n



n

) nazywamy szeregiem generowanym przez ciąg (

) jest zbieżny, to jego granicę

_n

n

S



lim



oznaczamy również symbolem i nazywamy sumą szeregu.

) ( lub C R

a

_n

 )



 n

k

a

k 1

ciąg (a

_n

) i oznaczamy

oznaczamy również

można rozszerzyć zastępując liczby obiektami, które umiemy dodawać i o wartościach w przestrzeni wektorowej X.

Aby w przestrzeni wektorowej wprowadzić pojęcie granicy ciągu wygodnie jest użyć normy, która

nazywamy rzeczywistą funkcję

jest cg. na przedziale [a,b])

 X )



 n

k

a

k 1

) nazywamy szeregiem generowanym przez ciąg (a

_n

) i oznaczamy

oznaczamy również symbolem

(2)

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 8 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

Tw.(warunek konieczny zbieżności szeregu)



^

1 n

a

n

jest zbieżny lim 0 





n

a

n

(wektor zerowy w przestrzeni ( X ,  ) Dow. a

_n

 S

_n

 S

_n_₁

 ^lim   ^lim

1

   ^lim  ^lim  ^lim

_1

   ⁰







 

 









S s S s a S S

_n

s s

n n n n n

n n n n

Z własności granic i definicji szeregu mamy Tw. Jeżeli szereg 

^

n1

a

n

jest zbieżny i 

^

n1

b

n

jest zbieżny, to zbieżne są szeregi: 

^

 





1 n

n

b

a i

 



^





1 n

n

b

a oraz     

^

















1 1

1 n

n n

n

b a b

a .

Tw. Jeżeli szereg 

^

n1

a

n

jest zbieżny, to 

___K

(K - ciało skalarów) zbieżny jest szereg 

^

1 n

a

n

 oraz



^







1

1 n

n n

n

a

a 

 .

Jeżeli przestrzeń unormowana jest zupełna, czyli jest przestrzenią Banacha, to zbieżność jest równoważna spełnieniu warunku Cauchy’ego.

Tw. Szereg 

^

n1

a

n

elementów przestrzeni Banacha X jest zbieżny 



          



_₀ _N _m_,_n

m n N S

_m

S

_n

a

_n_₁

... a

_m

Szeregi liczbowe o wyrazach nieujemnych

Jeżeli  n a

_n

 0 są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to ciąg sum częściowych (S

_n

) jest niemalejący, a wobec tego jest zbieżny  jest ograniczony.

Tw: (I kryterium porównawcze)

 

_n__n

0  a

_n

 b

_n

0

i 

^



1 n

b

n

zbieżny  

^



1 n

a

n

zbieżny

 

_n__n

0  a

_n

 b

_n

0

i 

^



1 n

a

n

rozbieżny  

^



1 n

b

n

rozbieżny

Dowód. (część 1)              











m b a

a a

a S

n

ⁿ

n

k k

n

k k

n

k k

n

k k

n

k k

n

0 0

0

0 1

1 1

, czyli S

_n

jest ograniczony, wiec (jako monotoniczny) zbieżny.

Tw. (II kryterium porównawcze) Jeżeli istnieje K b a

n n

n





lim



( 0  K   ) , to

 K   , 

^



1

n

b

n

zbieżny  

^



1

n

a

n

zbieżny

 K  0 , 

^



1

n

b

n

rozbieżny  

^



1

n

a

n

rozbieżny

 0  K    oba szeregi 

^

1

n

a

n

i 

^

1

n

b

n

są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

(3)

Dowód. Dla K<

0 n n0

n 

_



  a

_n

 ( K   ) b

_n

, dla K>0

0 n n0

n 

_



  0  ( K   ) b

_n

 a

_n

, dla 0<K<

0 n n0

n 

_



  0  ( K   ) b

_n

 a

_n

 ( K   ) b

_n

Stąd z I kryterium porównawczego otrzymujemy tezę.

Tw. (kryterium całkowe) Jeżeli funkcja f jest dodatnia i malejąca w [ 1 ,  oraz ) a

_n

 f (n ) , to



^

1

n

a

n

jest zbieżny 

^



1

) ( dx x

f jest zbieżna i ( ( ) )

1 1 1

1

 



^



 







n n

n

a

n

a f x dx a

Dowód. Rysunek  ^S

ⁿ

^ ^a ^ 

ⁿ

^f ^x ^dx ^ ^S

ⁿ^

1

( )

Jeżeli 

^

1

) ( dx x

f jest zbieżna , to ciąg sum częściowych ^ ^ 

^

^ ^

1

f ( dx x ) a

S

_n

jest ograniczony więc

(jako monotoniczny) jest zbieżny.

Jeżeli szereg 

^

1 n

a

n

jest zbieżny, to n  

^







1 1

)

1

(

n n

n

a

S dx x

f czyli całka (z funkcji nieujemnej ) jest ograniczona wiec zbieżna.

Jako wniosek Przechodząc do granicy z n w nierówności ^S

ⁿ

^ ^a ^ 

ⁿ

^f ^x ^dx ^ ^S

ⁿ^

1

( ) mamy









1

f ( x ) dx S a

S , czyli 

^



^









1

1 1

) (

0 a f x dx a

n n

Wniosek. Szereg Dirichleta 

^

1

1

n

^

jest

 







 1

 dla rozbieżny

1 dla zbieżny

,

^bo ^całka 

^

1

x



dx jest

 







 1

 dla rozbieżna

1 dla zbieżna

.

Szereg 

^

1

1

n

n jest (bardzo wolno) rozbieżny ale 1 0 lim 





n

! (wobec tego warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest więc warunkiem wystarczającym zbieżności szeregu).

Szereg geometryczny o ilorazie q:

 

 





 

 







 





1 do 1 1

1 1

q

q aq a

aq q

_n

n

n n

gdy rozbieżny,

gdy zbieżny,

Z porównania danego szeregu do szeregu geometrycznego otrzymujemy dwa kryteria Tw. (kryterium d’Alamberta) Jeżeli istnieje g

a a

n n

n ^







lim

1

, to

a) 

^







1

n

a

n

g jest zbieżny

b) 

^







1

n

a

n

g jest rozbieżny

c) g  1  kryterium nie rozstrzyga.

(4)

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 8 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

Dowód części (a). g  1 , czyli można dobrać dowolnie małe  , tak aby g    1

















_ ^¹ ₁

1

0

g g

a a

n n n n

n



 ⁿ ⁿ ⁿ ⁿ

a g a

₁ ₁

0





_ _

Stąd kolejno otrzymujemy

0 0

0

0 0

1

2 1 1 1 2

1 1

n k k n

n n

n

n n

a g a

g a

a g a









Od pewnego n

₀

szacujemy wyrazy ciągu a

_n

wyrazami zbieżnego ciągu geometrycznego i stosujemy I kryterium porównawcze . Stąd teza. Podobnie dowodzimy punkt b.

Przykład Zbadać zbieżność szeregu 

^

1

!

n

n ‘

Dla rozważanego szeregu o wyrazach nieujemnych mamy

_n _n

n a  n ! >0

Z kryterium d’Alamberta

  ¹ ¹ ¹ ¹

) 1 ( ) 1 (

) 1 (

! ) 1 (

)!

1 (

1 1 1

1

 

 



 



 

_ _



n e n n

n n n n

n n a

a

n n n

n n

n

więc

szereg 

^

1

!

n

n jest zbieżny. Z warunku koniecznego zbieżności otrzymujemy, że ! 0 lim 



 n

n

n .

Tw. (kryterium Cauchy’ego) Jeżeli istnieje

ⁿ

a

_n

g

n





lim



, to

a) 

^







1

n

a

n

g jest zbieżny

b) 

^







1

n

a

n

g jest rozbieżny

c) g  1 kryterium nie rozstrzyga.

Dowód podobny do powyższego.

ⁿ

a

_n

g

n





lim



<1 

ⁿ

a

_n

 g    g

₁

 1  a

_n

 g

₁ⁿ

dla n>n

₀

itd.

Szeregi naprzemienne



^





 1

)

1

1 (

n n

n

a gdzie a

_n

 0 nazywamy szeregiem naprzemiennym.

0

2

...

1

 a  

a

Tw.(Leibniza) Jeżeli ciąg ( a

_n

) monotonicznie maleje do zera to szereg naprzemienny 

^





 1

)

1

1 (

n

a

jest zbieżny do sumy zawartej w ( a

₁

 a

₂

, a

₁

) . Dow. S

_n

 a

₁

 a

₂

 a

₃

 a

₄

...  (  1 )

ⁿ^¹

a

_n

) (

...

) (

)

(

₁ ₂ ₃ ₄ ₂ ₁ ₂

2n

a a a a a

n

a

n

S      

_

 rosnący podciąg o numerach parzystych )

( ...

) (

)

(

₂ ₃ ₄ ₅ ₂ ₂ ₁

1 1

2_n

 a  a  a  a  a   a

_n

 a

_n

S malejący podciąg o numerach nieparzystych

1 1 2 1 2 2 2 2

1

a S S a S a

a  

_n



_n



_n_



_n_



(5)

Ciągi sum częściowych S

₂_n

i S

₂_n_₁

są więc monotoniczne i ograniczone, czyli zbieżne i to do tej samej granicy, gdyż lim (

₂ ₁



₂

)  lim

₂ _₁

 0



 



 n n n n

n

S S a (z WK zbieżności szeregu)

Wniosek. Szereg anharmoniczny: 

^



  1

11 ) 1 (

n n

n

jest zbieżny do g  (

₂¹

, 1 ) Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnych

Def. Szereg 

^

1 n

a

n

nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli zbieżny jest 

^

1 n

a

n

.

Tw. Jeżeli szereg 

^

1 n

a

n

jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny (ale ).

Dow. z zupełności R wynika, że wystarczy spełnienie warunku Cauchy’ego dla ciągu 



ⁿ

k k

n

a

S

1

: Dla m  n  n

₀

mamy S

_m

 S

_n

 a

_n_₁

 ...  a

_m

 a

_n_₁

 ... a

_m

  , czyli jest spełniony warunek Cauchy’ego dla S

_n

, gdyż jest spełniony warunek Cauchy’ego dla zbieżnego 

^

1 n

a

n

Def. Szereg zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym Przykład. Szereg anharmoniczny jest warunkowo zbieżny.

Uogólnienie na przypadek szeregu o wartościach w przestrzeni unormowanej ( X ,  )

Def. Szereg 

^

1 n

a

n

nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli zbieżny jest szereg norm 

^

1 n

a

n

. Tw. W przestrzeniach Banacha (istotna jest zupełność), jeżeli szereg 

^

1 n

a

n

jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. (dowód jak powyżej)

Zmiana porządku wyrazów w szeregu

Szeregi 

^

1 n

a

n

i 

^

1

n ⁿ

a

_

różnią się tylko porządkiem wyrazów jeżeli w ciągu 

₁

, 

₂

,..., 

_n

,... każda liczba naturalna występuje dokładnie jeden raz.

Tw. Jeżeli szereg 

^

n1

a

n

jest bezwzględnie zbieżny, to nie zmienia swej sumy, przy dowolnej zmianie porządku wyrazów (także w przestrzeni unormowanej).

Tw. (Riemanna) W szeregu warunkowo zbieżnym można zmienić porządek wyrazów tak, aby nowy

szereg był zbieżny do dowolnie wcześniej zadanej sumy lub by nowy szereg był rozbieżny.

(6)

Automatyka i Robotyka –Analiza

Iloczyn Cauchy’ego szeregów (splot)



^

0 n

a i

n



^

0 n

b - dane szeregi liczbowe.

n

Def. Szereg 

^

n0

c

n

, gdzie 



ⁿ

k

c

n

Uwaga. Wyrazy 

 



ⁿ

k k n k

n

a b

c

0

uzyskuje się tak jak współczynniki ...)(

( a

₀

 a

₁

x  a

₂

x

²

 b

₀

 b

₁

x 

Tw. Jeżeli szereg 

^

0 n

a

n

jest bezwzględnie zbieżny do Cauchy'ego 

^

0 n

c ( gdzie

n

Uwaga. Iloczyn Cauchy’ego szeregów można zdefiniować w ogólniejszym przypadku. Aby to zrobić trzeba mieć taką strukturę w której umiemy mnożyć elementy np. algebra Banacha

Ciągi i szeregi funkcyjne

Rozważać będziemy funkcje zespolone zmiennej zespolonej Rozważmy funkcję f

_n

: C  E 

Jeżeli 

_x_E

ciąg (liczb zespolonych) ciągu funkcyjnego f (x ) Def Ciąg ( f

_n

) jest punktowo zbieżny



 



_ __ _

( )

0

0 _n _n

f

_n

x

n E x

Np.: f

_n

( x )  x

ⁿ

E  [ 0 , 1 ]

Zazwyczaj w przejściach granicznych nie zachowują się własności funkcji

różniczkowalność, itp.) gdyż zbieżność punktowa jest za słaba. Zdefiniujemy więc mo zbieżność jednostajną

Analiza – Wykład 8 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

Iloczyn Cauchy’ego szeregów (splot)

dane szeregi liczbowe.



  n

k n k

b a

0

nazywamy iloczynem Cauchy’ego szeregów.

uzyskuje się tak jak współczynniki iloczynu wielomianów (

) (

...)

₀ ₀ ₀ ₁ ₁ ₀ ₀ ₂ ₁

2

     

 b x a b a b a b x a b a b

jest bezwzględnie zbieżny do A oraz 

^

0 n

b

n

jest zbieżny do

( gdzie 

 



ⁿ

k k n k

n

a b

c

0

) jest zbieżny do A  B .

Iloczyn Cauchy’ego szeregów można zdefiniować w ogólniejszym przypadku. Aby to zrobić trzeba mieć taką strukturę w której umiemy mnożyć elementy np. algebra Banacha

Ciągi i szeregi funkcyjne

ć będziemy funkcje zespolone zmiennej zespolonej

 C n  1 , 2 ,... (w szczególności f

_n

: R  E  ciąg (liczb zespolonych) f

_n

(x ) jest zbieżny, to możemy określić tzw.

) ( lim ) f

_n

x

n

 :

punktowo zbieżny do f na zbiorze E co zapisujemy f

_n

 

_E





 ( )

) f x .

Granicznie:

Zazwyczaj w przejściach granicznych nie zachowują się własności funkcji

różniczkowalność, itp.) gdyż zbieżność punktowa jest za słaba. Zdefiniujemy więc mo h.edu.pl

nazywamy iloczynem Cauchy’ego szeregów.

iloczynu wielomianów ...

)

²

0 2

1

 a b x  b

jest zbieżny do B, to iloczyn

Iloczyn Cauchy’ego szeregów można zdefiniować w ogólniejszym przypadku. Aby to zrobić trzeba mieć taką strukturę w której umiemy mnożyć elementy np. algebra Banacha

R )

jest zbieżny, to możemy określić tzw. punktową granicę

 gdy f

Zazwyczaj w przejściach granicznych nie zachowują się własności funkcji f

_n

(ciągłość,

różniczkowalność, itp.) gdyż zbieżność punktowa jest za słaba. Zdefiniujemy więc mocniejszą

(7)

Def. Ciąg ( f

_n

) jest jednostajnie zbieżny do f na zbiorze E co zapisujemy f

_n

f , gdy



     



__ _n₀ _n__n₀ _x__E

f

_n

( x ) f ( x ) .

Równoważnie f

_n

f  

_

    

 





sup ( ) ( )

0

f

_n

x f x

E n x n

n

.

Uwaga. Zbiór funkcji X  { f : C  E  C , f  ograniczon a } ograniczonych na zbiorze E jest przestrzenią metryczną z metryką Czebyszewa ( f , g ) sup | f ( x ) g ( x ) |

E x







 . Jest on także

przestrzenią unormowaną z normą f sup | f ( x ) |

xE

 . Zbieżność jednostajna ciągu funkcji ograniczonych jest więc zbieżnością w sensie metryki (normy) Czebyszewa. Pojawia się naturalne pytanie. Czy zbieżność punktowa ciągu funkcyjnego jest równoważna zbieżności według odpowiednio dobranej metryki (lub normy). Odpowiedź jest negatywna. Nie istnieje żadna metryka w przestrzeni X realizująca zbieżność punktową.

Tw. f

_n

f  f

_n

 

_E

f

Ponieważ szereg to ciąg sum częściowych, można mówić o jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego.

Tw. (Kryterium Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego) f

n

f  

___



_n₀



_m_,_n__n₀



_x__E

f

_n

( x )  f

_m

( x )   . Tw. (Weierstrassa) Jeżeli 

_n



_x__E

f

_n

( x )  a

_n

oraz 

^

1

n

a

n

- zbieżny, to szereg 

^

1

n

f

n

jest jednostajnie zbieżny na E.

Dowód. Wykażemy, że dla ciągu sum częściowych 



ⁿ

k k

n

x f x

S

1

) ( )

( spełniony jest warunek z kryterium Cauchy’ego . Dla m  n  n

₀

mamy xE



















_n _n_ _m _n_ _m _n_ _m

m

x S x f x f x f x f x a a

S ( ) ( )

₁

( ) ... ( )

₁

( ) ... ( )

₁

... , (bo szereg liczbowy 

^

1

n

a

n

jest zbieżny, czyli spełnia też warunek Cauchy’ego).

SZEREGI POTĘGOWE

 )

( c

_n

ciąg liczb zespolonych



^





0

) (

n

z z

c - szereg potęgowy,

gdzie ( c

_n

)- ciąg współczynników szeregu, z

₀

C - środek, „centrum” (ustalone), z C - zmienna.

Dla dowolnego ustalonego z C szereg potęgowy może być zbieżny albo rozbieżny. Jeżeli szereg



^





0

) (

n

z z

c jest zbieżny w pewnym punkcie wC , to jest on zbieżny w każdym kole domkniętym

r z z  | 

|

₀

, gdzie r<|w-z

₀

|. Rzeczywiście ze zbieżności szeregu 

^





0

(

0

)

n

w z

c i z WK zbieżności

(8)

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 8 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

szeregu mamy lim ( 

₀

)  0





n

c

n

w z , a stąd | c

_n

( w  z

₀

)

ⁿ

|  K . Wobec tego dla z C spełniających warunek 0< | z  z

₀

|  r , gdzie r<|w-z

₀

| dostajemy

n n

n

Kq

z w

z z z

w c z

z

c   

 







 



 | |

|

| | ) (

|

| ) (

|

0 0 0

0

, gdzie 0<q<1. Stąd teza

Podobnie jeśli szereg jest rozbieżny w pewnym punkcie w , to jest rozbieżny dla z C spełniających warunek | z  z

₀

|  r , gdzie r<|w-z

0

|.

Wobec tego, z każdym szeregiem potęgowym związane jest tzw. koło zbieżności. Jeżeli z C leży we wnętrzu koła zbieżności, to szereg jest zbieżny. Jeżeli na zewnątrz – to rozbieżny, zaś jeżeli z leży na okręgu koła, to badanie zbieżności wymaga stosowania specjalnych metod.

Tw: ( O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica

n n

n

c

₁

lim

^









(d’Alambert)

lub

n n

n

c



 lim





^(Cauchy)

,

to

 



 

















  0

0 1 0

R

Dow. (fragment) z C – dowolnie ustalone, badamy bezwzględną zbieżność 

^





0

) (

n

z z

c .

Dla ustalonego z C szereg liczbowy 

^





0

) (

n

z z

c jest szeregiem o wyrazach nieujemnych.

Z kryterium d’Alamberta

¹ ₀ ₀

0 1 0

1

lim

lim z z z z

c c z

z c

z z g c

n n n n

n

n n

n

   



 

^











 ,

więc gdy  z  z

₀

 1 szereg jest zbieżny. Wobec tego dla z C spełniających warunek

 1

0



z  z (   0     ) – szereg jest zbieżny czyli jest także zbieżny w kole z  z

₀

 R o promieniu



 1

R . (Podobnie dla   0     ).

Z kryterium Weierstrassa wynika ponadto, że szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżny, w każdym kole domkniętym zawartym w kole zbieżności (bez brzegu!)

Przykład. Zbadać obszar zbieżności 

^





1 1

4 3

n

n n n

n z

(9)

3 4 4

3 3 4 lim 3 4

lim 3

1

   











R

n

ⁿ ⁿ

n n

n



n

jeżeli z leży na okręgu  z=

₃⁴

(cos   i sin  ) 

₃⁴

e

ⁱ^

i wówczas    

^











1

1 34

1

3 4 3

n in n

n in n n

n e n e



Tw. Kryterium Dirichleta. Jeżeli

 ciąg (a

n

) jest ciągiem monotonicznie malejącym do zera

 S z

ⁿ

f z M

k k n

E z

n

  

 





| ( ) | | ( ) |

0

(czyli ciąg sum częściowych 

 n

k k

z f

0

)

( jest ograniczony)

to szereg 

^

0

) (

n n n

f z

a jest jednostajnie zbieżny w zbiorze E

Jeżeli w powyższym kryterium ustalimy z C, to otrzymamy jeszcze jedno kryterium zbieżności szeregu liczbowego ( 

^

0

n

a

n

b

n

, gdzie b

_n

 f

_n

(z ) ).

Ciąg dalszy przykładu

 0



³_n

 0   ^...

1 1



  



n

k i k n

k k i

n

e e

S

^ ^

ciąg geometryczny

_

  i i in

e e e



  1 ... 1

1

0

2 



 



_ _

n i

S e , stąd dla   0 szereg jest zbieżny.

Dla   0 dostajemy szereg harmoniczny (rozbieżny)

W przypadku rzeczywistym kołem zbieżności jest przedział na osi, a jego brzegiem końce przedziału.

Zbieżność jednostajna a ciągłość

Tw. Jeżeli

 f

_n

: E  R jest ciągiem funkcji ciągłych na E

 f

_n

f

to f jest ciągła na E

Dow. Pokażemy ciągłość granicznej funkcji f w dowolnym punkcie x

₀

 E .



  















 (

₀

) | | ( ) ( ) | | ( ) (

₀

) | | (

₀

) (

₀

) |

₃ ₃ ₃

)

(

| f x f x f x f

_n

x f

_n

x f

_n

x f

_n

x f x ,

gdy x  x

₀

  .

Nierówności | f ( x )  f

_n

( x ) | 

^₃

i | f

_n

( x

₀

)  f ( x

₀

) | 

₃^

są konsekwencjami jednostajnej zbieżności ciągu ( f

_n

) do f  

___



_n₀



_n__n₀



_x__E

f

_n

( x )  f ( x ) 

^₃

, a nierówność | f

_n

( x )  f

_n

( x

₀

) | 

^₃

wynika z ciągłości funkcji f

_n

w punkcie x

₀



___



_



_x__E

x  x

₀

   f ( x )  f ( x

₀

) 

^₃

.

Wnioski: lim lim ( ) lim ( ) (

₀

)

0 0

x f x f x

f

n x x n

x

 







= lim ( ) lim lim ( )

0

f x

x

f

_n

x x n n

n



 

(zmiana kolejności granic)

(10)

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 8 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

Tw. (wariant dla szeregu) Jeżeli

 f

_n

: E  R jest ciągiem funkcji ciągłych na E

 Szereg 

^





1

) (

n n

x

f zbieżny jednostajnie na E

to 

^

1

) ( szeregu

suma

n n

x

f jest funkcją ciągłą na E

Wniosek:   

^





 



 

   

 





1 0

1 1

) ( )

( lim )

( lim

0

0 n n

n x x n

n n

x

f x f x f x

Jeżeli szereg funkcji ciągłych jest jednostajnie zbieżny, to można przejść do granicy wyraz po wyrazie.

Zbieżność jednostajna a całkowanie

Tw: (zbieżność jednostajna a całkowanie) Jeżeli

 ^

_n

f

_n

^ R [ b a , ] (całkowalna w sensie Riemanna)

 f

_n

f , gdzie E  [ b a , ] to f ^ R [ b a , ] ⁱ  





^b

a n n b

a

dx x f dx

x

f ( ) lim ( ) Tw. (wariant dla szeregu)

 ^

_n

f

_n

^ R [ b a , ]

 Szereg 

^





1

) (

n n

x

f jednostajnie zbieżny

to ( ) [ , ]

1

b a x

f

n n

^ R



^



i   ^ _ ^

^_

^ _ ^ ^ 

^_

1 1

) ( )

(

n b

a n b

a n

f

n

x dx f x dx

Szereg jednostajnie zbieżny funkcji całkowalnych w sensie Riemanna można całkować wyraz po wyrazie.

Zbieżność jednostajna a różniczkowalność

Uwaga: Ciąg f

_n

( x ) 

¹_n

sin( nx ) funkcji różniczkowalnych na R jest jednostajnie zbieżny do 0

) ( x 

f , a ciąg pochodnych f

_n^'

( x )  cos( nx ) nie jest nawet punktowo zbieżny (np. rozbieżny dla

2

 x ) Tw. Jeżeli

 

_n

f

_n

: [ a , b ]  R różniczkowalna na [ b a , ]

 ciąg liczbowy f

_n

( x

₀

) jest zbieżny dla pewnego x

₀

 [ a , b ]

 f 

_n

jest jednostajnie zbieżny na [ b a , ]

to ciąg funkcyjny f

_n

jest jednostajnie zbieżny na [ b a , ] do pewnej różniczkowalnej funkcji f ( f

_n

f ) i

_[ _,_]

lim f

_n

( x ) f ' ( x )

b n a

x

 



 

Tw: (wariant dla szeregu) Jeżeli

 

_n

f

_n

różniczkowalne na [ b a , ]

(11)

 Szereg 

^





1

0

) (

n n

x

f zbieżny dla pewnego x

₀

 [ a , b ]

 

^





1

) (

n n

x

f jednostajnie zbieżny na [ b a , ]

to szereg 

^

1

) (

n n

x

f jest jednostajnie zbieżny na [ b a , ] i  

^







 



 

 





1 1

) ( )

(

n n n

n

x f x

f

Zastosowanie do szeregów potęgowych ^.

Def. Jeżeli f ma przedstawienie w postaci 

^







0

) ( )

(

n

z z

c z

f , c

_n

, z , z

₀

 C , to f nazywamy funkcją analityczną.

Ponieważ nie wprowadzono pojęcia pochodnej funkcji f : C  C , ani całki takiej funkcji, ograniczmy się do funkcji zmiennej rzeczywistej.



^







0

) ( )

(

n

x x

c x

f , c

_n

, x , x

₀

 R

Załóżmy, że szereg 

^





0

) (

n

x x

c jest zbieżny w przedziale | x  x

₀

|  R . Wówczas

 szereg ten jest jednostajnie zbieżny w każdym przedziale postaci [ x

₀

 R   , x

₀

 R   ] .

 suma szeregu 

^







0

) ( )

(

n

x x

c x

f jest ciągła i różniczkowalna na ( x

₀

 R , x

₀

 R ) , oraz



^



 





 

0

1 0 0

) ( )

(

n

n n

n

nc x x

f x

f (szereg po zróżniczkowaniu ma taki sam promień

zbieżności jak szereg wyjściowy)



^















0

0 )

(

( ) ( 1 ) ... ( 1 ) ( )

n

k n n

k

x n n n k c x x

f = 

^













k n

n

x x

c k n n

n ( 1 ) ... ( 1 ) (

₀

)

k

x k c

f

⁽ ⁾

(

₀

)  !

! ) (

₀

) (

k x c f

k k

 Stąd f(x)= 

^





0

0 0 ) (

)

! ( ) (

n n n

x n x

x

f jest sumą swojego szeregu Taylora



₀ ¹

0 1

( )

) (

0

 

 





^x

 

ⁿ

x n n

c

x x

dt t

f

ⁿ

szereg potęgowy można całkować wyraz po wyrazie

Przykład. Znaleźć promień zbieżności i sumę wewnątrz przedziału zbieżności