Dane są ciągi

Nauczyciel: Marzena Mrzygłód Przedmiot: matematyka Klasa: 3 TIB

Temat lekcji: Własności ciągów w zadaniach Data lekcji: 30.03.2020

Wprowadzenie do tematu: Kontynuacja tematu o ciągach monotonicznych Instrukcje do pracy własnej:

W tym temacie zajmiemy się działaniami na ciągach. Ciągi można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić – ostatnie przy założeniu, ciąg przez który dzielimy nie ma wyrazów równych 0. W wyniku tych działań powstają nowe ciągi.

Przykład 1.

Dane są ciągi 𝑎𝑛 =^𝑛+2

𝑛 i 𝑏𝑛= ¹

𝑛² . Wyznacz ciąg 𝑐𝑛 = 𝑎_𝑛+ 𝑏_𝑛. 𝑐𝑛= 𝑎_𝑛+ 𝑏_𝑛 = ^𝑛+2

𝑛 + ¹

𝑛²=^{𝑛(𝑛+2)+1}

𝑛² =^{𝑛2+2𝑛+1}

𝑛² =^(𝑛+1)2

𝑛² . 𝑐_𝑛=^(𝑛+1)_𝑛2 ²

Przykład 2.

Dane są ciągi 𝑎_𝑛 =^4−4𝑛_𝑛 i 𝑏_𝑛= 1 − 𝑛 . Wyznacz ciąg 𝑐_𝑛 = 𝑎_𝑛− 𝑏_𝑛, które wyrazy ciągu 𝑐_𝑛 są równe 0.

𝑐𝑛= 𝑎_𝑛− 𝑏_𝑛 = ^4−4𝑛

𝑛 − (1 − 𝑛) =4−4𝑛−𝑛(1−𝑛)

𝑛 =^{4−4𝑛−𝑛+𝑛2}

𝑛 =^{𝑛2−5𝑛+4}

𝑛 . 𝑐𝑛=^{𝑛2−5𝑛+4}

𝑛 ; 𝑐𝑛= 0

𝑛²− 5𝑛 + 4 = 0

∆= 25 − 16 = 9; √∆= 3 𝑛1=⁵⁻³

2 = 1 lub 𝑛₂=⁵⁺³

2 = 4 Odp.: Pierwszy i czwarty Przykład 3.

Dane są ciągi 𝑎𝑛 = −𝑛²+ 𝑛 + 6 i 𝑏_𝑛= ¹

𝑛+2 . Wyznacz ciąg 𝑐𝑛= 𝑎_𝑛∙ 𝑏_𝑛, określ jego monotoniczność.

𝑐_𝑛= 𝑎_𝑛∙ 𝑏_𝑛= (−𝑛²+ 𝑛 + 6) ∙ ¹

𝑛+2=^{−𝑛2+𝑛+6}

𝑛+2 =−(𝑛+2)(𝑛−3)

𝑛+2 = −(𝑛 − 3) = 3 − 𝑛 . −𝑛²+ 𝑛 + 6 = 0

∆= 1 + 24 = 25; √∆= 5 𝑛₁=⁻¹⁻⁵

−2 = 3 lub 𝑛₂=⁻¹⁺⁵

−2 = −2

𝑐𝑛= 3 − 𝑛 ; Sprawdzamy monotoniczność

𝑐𝑛+1= 3 − (𝑛 + 1) = 2 − 𝑛 𝑐𝑛+1− 𝑐_𝑛= (2 − 𝑛) − (3 − 𝑛) = −1 < 0 Odp.: Ciąg jest malejący.

Przykład 4.

Ciąg 𝑐_𝑛 jest ilorazem ciągów 𝑎_𝑛= 2𝑛²+ 8𝑛 + 6 i 𝑏_𝑛= 𝑛³+ 7𝑛²+ 15𝑛 + 9 . Podaj wzór ogólny ciągu 𝑐_𝑛 w najprostszej postaci i oblicz jego 29 wyraz.

𝑐_𝑛=^𝑎𝑛

𝑏_𝑛𝑛 = ^{2𝑛2+8𝑛+6}

𝑛³+7𝑛²+15𝑛+9=2(𝑛+1)(𝑛+3) (𝑛+1)(𝑛+3)²= ²

𝑛+3 .

2𝑛²+ 8𝑛 + 6 = 0 𝑛³+ 7𝑛²+ 15𝑛 + 9 = 0 𝑛²+ 4𝑛 + 3 = 0 𝑤(−1) = −1 + 7 − 15 + 9 = 0 ∆= 16 − 12 = 4; √∆= 2

𝑛₁=⁻⁴⁻²₂ = −3 lub 𝑛₂=⁻⁴⁺²₂ = −1

(𝑛 + 1)(𝑛²+ 6𝑛 + 9) = 0 (𝑛 + 1)(𝑛 + 3)² = 0

𝑐_𝑛=_𝑛+3² ; 𝑐₂₉=₂₉₊₃² =₃₂² =₁₆¹ .

Przykład 5.

Uzasadnij, że ciąg { 𝑎1= −2

𝑎_𝑛+1= 𝑎_𝑛+ 4𝑛²− 1, 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 1 jest monotoniczny.

𝑎_𝑛+1− 𝑎_𝑛 = (𝑎_𝑛+ 4𝑛²− 1) − 𝑎_𝑛= 4𝑛²− 1 > 0 dla 𝑛 ≥ 1 . Ciąg jest rosnący.

Praca własna:

Zad. 1 Dane są ciągi a_n=ⁿ⁻²

n i b_n= ¹

n² . Wyznacz ciąg c_n= a_n+ b_n.

Zad. 2 Dane są ciągi a_n=⁵⁻⁴ⁿ_n i b_n= 2 − n . Wyznacz ciąg c_n= a_n− b_n, które wyrazy ciągu c_n są równe 0.

Zad. 3 Dane są ciągi an= n²+ 3n + 2 i b_n= ³

n+2 . Wyznacz ciąg cn= a_n∙ b_n, określ jego monotoniczność.

Zad. 4 Ciąg c_n jest ilorazem ciągów a_n= 3n²+ 9n + 6 i b_n= n³+ 5n²+ 8n + 4 . Podaj wzór ogólny ciągu cn w najprostszej postaci i oblicz jego 29 wyraz.

Zad. 5 Dane są ciągi a_n=_n+2⁵ i b_n=ⁿ⁻¹_n . Wyznacz ciąg c_n= a_n+ b_n. Informacja zwrotna:

Spotkanie online na platformie Discord – 30.03.2020 o godz. 11.00-11.45

Przesyłanie zadań, pytań od uczniów na adres email marzenamrzyglod@op.pl, do dnia 2.04.2020 r.

Opracowała: Marzena Mrzygłód 1 7 15 9

-1 1 6 9 0