Temat: Ciągi monotoniczne.
Ciąg liczbowy nazywamy rosnącym, gdy każdy wyraz tego ciągu, za wyjątkiem pierwszego, jest większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego.
an+1 > an (czyli an+1 - an >0)
Ciąg liczbowy nazywamy malejącym, gdy każdy wyraz tego ciągu, za wyjątkiem pierwszego, jest mniejszy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego.
an+1 < an (czyli an+1 - an < 0)
Ciąg nazywamy stałym, gdy wszystkie wyrazy tego ciągu są równe.
an = an+1 (czyli an+1 - an = 0)
Aby zbadać monotoniczność ciągu o podanym wzorze, musimy wykonać odejmowanie i zinterpretować otrzymany wynik:
Przykład:
Dany jest ciąg:
Zapisujemy wyrażenie:
Interpretacja wyniku
Zasady interpretacji wyniku są proste:
- gdy wynik jest liczbą dodatnią, ciąg jest rosnący, - gdy wynik jest liczbą ujemną, ciąg jest malejący, - gdy wynik wynosi zero, ciąg jest stały,
- gdy wynik jest wyrażeniem (z „n”) określenie monotoniczności ciągu jest bardziej skomplikowane. Ciąg może być rosnący, malejący albo być ciągiem, który nie jest
monotoniczny (ani rosnący, ani stały, ani malejący). Należy ustalić, czy niezależnie od „n”
otrzymane wyrażenie będzie zawsze dodatnie (ciąg rosnący), zawsze ujemne (ciąg malejący), czy czasem ujemne czasem dodatnie (ciąg nie jest monotoniczny).
Otrzymaliśmy wynik: -2, co oznacza, że badany ciąg jest malejący.
Przedstawię jeszcze kilka przykładów:
Na podstawie powyższych przykładów proszę o zrobienie zadań 7.20/230, 7.21/230 i 7.22/230 po trzy dowolne przykłady z każdego zadania.
