Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Zofia Zieli ´nska-Kolasi ´nska Teoria gier – równowaga Nasha Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

CWICZENIA ´

gry o sumie zerowej: równowaga Nasha i racjonalizowalno´s´c, strategie zdominowane, strategie optymalne i warto´s´c gry, twierdzenie o minimaksie

(wersja: 23 pa´zdziernika 2020)

Zakres materiału

1 . Poj ˛ecia:

(a) gra o sumie zerowej,

(b) strategie ´sci´sle/słabo dominuj ˛ ace i zdominowane, (c) równowaga w strategiach dominuj ˛ acych,

(d) najlepsza odpowied´z,

(e) iteracja i strategie racjonalizowane (f) równowaga Nasha

(g) strategie i zbiory kongruentne,

(h) równowaga Nasha w strategiach mieszanych.

Poj˛ecia wst˛epne

1 . Gra o sumie zerowej Z grami o sumie zerowej mamy do czynienia wsz ˛edzie tam, gdzie interesy graczy s ˛ a dokładnie przeciwstawne, czyli tam, gdzie zysk jednego gracza jest równy przegranej drugiego. Gry te słu ˙z ˛ a wi ˛ec do modelowania sytuacji czystego konfliktu, w których nie ma mowy o współpracy mi ˛edzy graczami, ze wzgl ˛edu na wyra´zn ˛ a sprzeczno´s´c ich interesów.

Dominacja i najlepsza odpowied´z

1 . Strategie ´sci´sle/słabo dominuj ˛ ace i zdominowane Strategia s

´sci´sle dominuje wszystkie inne strategie gracza i je ˙zeli wypłata ze strategii s

jest wi ˛eksza od wypłaty dla jakiejkolwiek innej strategii, niezale ˙znie od tego, jak ˛ a strategi ˛e wybior ˛ a pozostali gracze:

π ( s

,s

) > π ( s

,s

) , dla wszystkich s

i dla wszystkich s

,

gdzie s

oznacza wektor zło ˙zony ze strategii wybranych przez wszystkich graczy oprócz gracza i.

Strategia s

słabo dominuje strategi ˛e s

je ˙zeli wypłata ze strategii s

jest przynajmniej tak samo wysoka jak dla s

dla wszystkich mo ˙zliwych strategii pozostałych graczy, przy czym dla przynaj- mniej jednej z nich jest wy ˙zsza:

π ( s

,s

) ≥ π ( s

,s

) , dla wszystkich s

,

π ( s

,ˆs

) > π ( s

,ˆs

) , dla pewnego ˆs

.

W tym przypadku s

jest strategi ˛ a zdominowan ˛ a. Je ˙zeli s

słabo dominuje ka ˙zd ˛ a inn ˛ a strategi ˛e s

, to s

jest strategi ˛ a słabo dominuj ˛ ac ˛ a.

Strategia jest niezdominowana je ˙zeli nie jest zdominowana przez ˙zadn ˛ a inn ˛ a strategi ˛e.

Strategie zdominowane s ˛ a złe, strategie niezdominowane s ˛ a dobre. Strategia dominuj ˛ aca jest szcze- góln ˛ a strategi ˛ a niezdominowan ˛ a, która dominuje wszystkie inne. Jest to najlepsza strategia.

(a) Zadanie

i. Dlaczego rozstrzygaj ˛ ac, czy strategia s

dominuje nad strategi ˛ a s

, bierze si ˛e pod uwag ˛e jedynie wypłaty gracza i?

ii. Wykaza´c, ˙ze gracz mo ˙ze mie´c tylko jedn ˛ a strategi ˛e ´sci´sle dominuj ˛ ac ˛ a.

iii. Czy gracz mo ˙ze mie´c wi ˛ecej ni ˙z jedn ˛ a strategi ˛e słabo dominuj ˛ ac ˛ a?

iv. Wykaza´c, ˙ze w ka ˙zdej grze i dla ka ˙zdego gracza istnieje co najmniej jedna strategia niezdominowana, o ile ka ˙zdy gracz ma sko ´nczon ˛ a liczb ˛e strategii.

v. Poda´c przykład gry z niesko ´nczon ˛ a liczb ˛ a strategii, w której gracz nie ma ani jednej strategii niezdominowanej.

(b) Przykład - góra/dół, lewo/prawo

gracz I\gracz II lewo prawo góra 7 ,1 5 ,2

dół 7 ,4 3 ,8

i. Czy gracze maj ˛ a strategie ´sci´sle/słabo dominuj ˛ ace?

(c) Przykład - dylemat wi˛e´znia Posta´c strategiczna dylematu wi ˛e´znia, który omówiony był wcze´sniej.

wi ˛ezie ´n I\wi ˛ezie ´n II współpracuje nie współpracuje

współpracuje 0,0 7, − 2

nie współpracuje − 2,7 5,5

i. Czy gracze maj ˛ a strategie ´sci´sle/słabo dominuj ˛ ace?

(d) Przykład - walka płci M ˛ a ˙z i ˙zona chc ˛ a zdecydowa´c, czy pój´s´c do opery czy na mecz piłki no ˙znej. M ˛ a ˙z najbardziej chciałby pój´s´c na mecz, natomiast ˙zona - do opery. Ka ˙zde z nich wolałoby sp ˛edzi´c wieczór wspólnie, ni ˙z oddzielnie

m ˛ a ˙z\ ˙zona mecz opera mecz 3,1 0,0 opera 0,0 1,3

i. Czy gracze maj ˛ a strategie ´sci´sle/słabo dominuj ˛ ace?

ii. Zaproponowa´c takie warto´sci wypłat, aby pasowały one do sytuacji:

A. M ˛ a ˙z jest najbardziej nieszcz ˛e´sliwy, kiedy idzie sam do opery.

B. M ˛ a ˙z jest zadowolony, kiedy idzie sam na mecz.

C. M ˛ a ˙z jest jeszcze bardziej zadowolony, kiedy idzie z ˙zon ˛ a do opery.

D. M ˛ a ˙z jest najbardziej zadowolony, kiedy idzie razem z ˙zon ˛ a na mecz.

E. Analogicznie dla ˙zony, przy czym nale ˙zy zamieni´c oper ˛e z meczem.

iii. Zaproponowa´c takie warto´sci wypłat, aby pasowały do sytuacji, w której ka ˙zdy z mał-

˙zonków woli by´c samotnie w swoim ulubionym miejscu, ni ˙z sp ˛edza´c czas wspólnie z drug ˛ a osob ˛ a, ale robi ˛ ac to, czego nie lubi ˛ a.

(e) Przykład - gra w monety Dwa gracze pokazuj ˛ a jednocze´snie dwie strony monety. Je´sli poka-

˙z ˛ a t ˛e sam ˛ a stron ˛e, to wygrywa pierwszy gracz. W przeciwnym przypadku wygrywa gracz drugi.

gracz I\gracz II orzeł reszka orzeł 1, − 1 − 1,1 reszka − 1,1 1, − 1

i. Czy gracze maj ˛ a strategie ´sci´sle/słabo dominuj ˛ ace?

(f) Przykład - gra w tchórza Dwie osoby jad ˛ a na przeciwko siebie ulic ˛ a. Ka ˙zdy z nich mo ˙ze przyj ˛ a´c jedn ˛ a z dwóch strategii: agresywn ˛ a lub pokojow ˛ a.

• Je´sli obie osoby przyjm ˛ a strategi ˛e agresywn ˛ a, to obie osoby ucierpi ˛ a w wyniku zderze- nia.

• Je´sli jedna z osób przyjmie strategi ˛e pokojow ˛ a, a druga agresywn ˛ a, to gracz wybieraj ˛ acy strategi ˛e agresywn ˛ a zdob ˛edzie uznanie w oczach znajomych, a drugi straci powa ˙zanie.

• Je´sli obie osoby stchórz ˛ a, obie strac ˛ a powa ˙zanie, ale b ˛ed ˛ a si ˛e cieszy´c, ˙ze nie doznały uszczerbku na zdrowiu.

gracz I\gracz II postawa agresywna postawa pokojowa

postawa agresywna − 1, − 1 10,0

postawa pokojowa 0,10 5,5

i. Czy gracze maj ˛ a strategie ´sci´sle/słabo dominuj ˛ ace?

(g) Przykład - wojna Dwóch dowódców ma do dyspozycji jednostki piechoty, które mog ˛ a by´c wysłane do ró ˙znych lokalizacji (A, B, C, D). Pierwszy dowódca dysponuje jednym oddziałem piechoty, a drugi - dwiema.

• Je ˙zeli jednostka przybywa na miejsce i nie napotyka tam jednostki wroga, to zdobywa ona dan ˛ a lokalizacj ˛e.

• Je´sli jednostki spotykaj ˛ a si ˛e w tej samej lokalizacji, to wybucha walka, która ko ´nczy si ˛e przegran ˛ a obu jednostek.

Zdobycie lokalizacji oznacza wypłat ˛e równ ˛ a 1, a przegrana - 0.

dowódca I\dowódca II A, B A, C A, D B, C B, D C, D A 0 ,1 0 ,1 0 ,1 1 ,2 1 ,2 1 ,2

B 0 ,1 1 ,2 1 ,2 0 ,1 0 ,1 1 ,2

C 1 ,2 0 ,1 1 ,2 0 ,1 1 ,2 0 ,1

D 1 ,2 1 ,2 0 ,1 1 ,2 0 ,1 0 ,1

i. Czy gracze maj ˛ a strategie ´sci´sle/słabo dominuj ˛ ace?

ii. Zało ˙zy´c, ˙ze dowódca II mo ˙ze tak ˙ze wysła´c oba oddziały do tej samej lokalizacji (np. (A, A), (B, B) itd.). Zapisa´c gr ˛e w postaci strategicznej. Wypisa´c przyj ˛ete zało ˙zenia.

iii. Zapisa´c posta´c strategiczn ˛ a gry w przypadku, gdy dwie pierwsze lokalizacje s ˛ a bardziej warto´sciowe, ni ˙z pozostałe (np. zdobycie tych lokalizacji daje wypłat ˛e podwójnej wyso- ko´sci).

(h) Przykład - gra koordynacyjna Trzech przyjaciół chce wspólnie sp ˛edzi´c wieczór. Spotkanie nie b ˛edzie udane je ˙zeli co najmniej jeden z nich si ˛e spó´zni.

gracz III przychodzi na czas

gracz I\gracz II przyj´s´c na czas spó´zni´c si˛e przyj´s´c na czas 1,1,1 0,0,0

spó´zni´c si˛e 0,0,0 0,0,0

gracz III spó´znia si ˛e

gracz I\gracz II przyj´s´c na czas spó´zni´c si˛e przyj´s´c na czas 0,0,0 0,0,0

spó´zni´c si˛e 0,0,0 0,0,0

i. Czy gracze maj ˛ a strategie ´sci´sle/słabo dominuj ˛ ace?

(i) Przykład - konkurencja cenowa Dwie firmy ustalaj ˛ a ceny towaru, na który popyt dany jest wzorem P = 6 − c, gdzie c jest ni ˙zsz ˛ a z cen.

• Firma, która ma ni ˙zsz ˛ a cen ˛e, zaspokaja cały popyt na towar.

• Je ˙zeli obie firmy ustal ˛ a tak ˛ a sam ˛ a cen ˛e towaru, to ka ˙zda z nich zaspokaja po połowie popytu.

• Mo ˙zliwe poziomy cen to: 0, 1,. . . , 6 zł.

• Przyj ˛ a´c zerowy koszt produkcji towaru.

i. Napisa´c posta´c strategiczn ˛ a gry przyjmuj ˛ ac, ˙ze ka ˙zda z firm troszczy si ˛e jedynie o swój własny zarobek.

ii. Pokaza´c, ˙ze strategia polegaj ˛ aca na ustaleniu ceny w wysoko´sci 5 zł słabo dominuje strategi ˛e odpowiadaj ˛ ac ˛ a cenie 6 zł.

iii. Dla poprzedniego podpunktu sprawdzi´c, czy zachodzi tak ˙ze ´scisła dominacja.

iv. Czy pierwsza firma posiada inne słabo zdominowane strategie?

v. Czy pierwsza firma posiada strategi ˛e dominuj ˛ ac ˛ a?

vi. Wykona´c zadanie od pocz ˛ atku przy zało ˙zeniu, ˙ze w przypadku, gdy obie firmy ustal ˛ a cen ˛e na takim samym poziomie, to pierwsza firma zaspokaja cały popyt (a druga firma pozostaje bez sprzeda ˙zy).

(j) Zadanie Poda´c przykład gry dla trzech graczy, w której:

i. dwóch graczy ma strategie dominuj ˛ ace, a trzeci nie ma, ii. tylko jeden gracz ma strategi ˛e dominuj ˛ ac ˛ a.

(k) Przykład - sprz ˛ atanie domu Dwoje mał ˙zonków mo ˙ze po´swi ˛eci´c swój czas na sprz ˛ atanie wspólnego domu.

• Oboje lubi ˛ a przebywa´c w czystym wn ˛etrzu, a wn ˛etrze staje si ˛e tym czystsze, im wi ˛ecej czasu mu po´swi ˛ecaj ˛ a.

• Ka ˙zdy z mał ˙zonków wolałby, ˙zeby druga osoba po´swi ˛eciła swój czas na sprz ˛ atanie.

• Ka ˙zdy z mał ˙zonków mo ˙ze po´swi ˛eci´c 0, 1, . . . 4 godziny.

• Je´sli ˙zona po´swi ˛eci x godzin, a m ˛ a ˙z y, ich wypłaty b ˛ed ˛ a wysoko´sci odpowiednio √

x + y − x i √

x + y − y.

i. Zapisa´c gr ˛e w postaci strategicznej.

ii. Pokaza´c, ˙ze strategia polegaj ˛ aca na sprz ˛ ataniu przez jedn ˛ a godzin ˛e słabo dominuje stra- tegi ˛e polegaj ˛ ac ˛ a na sprz ˛ ataniu przez dwie godziny.

iii. Dla poprzedniego podpunktu sprawdzi´c, czy zachodzi ´scisła dominacja.

iv. Czy ˙zona posiada strategi ˛e dominuj ˛ ac ˛ a?

v. Rozwi ˛ aza´c zadanie ponownie przy zało ˙zeniu, ˙ze u ˙zyteczno´s´c dla ˙zony wynosi 2 √

x + y − x.

2 . Równowaga w strategiach dominuj ˛ acych Kombinacja strategii jest równowag ˛ a w strategiach do- minuj ˛ acych (´sci´sle lub słabo) je ˙zeli ka ˙zdy gracz wybiera strategi ˛e dominuj ˛ ac ˛ a.

Mo ˙zna przewidywa´c, ˙ze gracze b ˛ed ˛ a wybiera´c strategie dominuj ˛ ace, bo s ˛ a one zawsze lepsze od innych strategii, niezale ˙znie od decyzji podejmowanych przez pozostałych graczy.

Je ˙zeli ka ˙zdy z graczy ma strategi ˛e dominuj ˛ ac ˛ a, to istnieje równowaga w strategiach dominuj ˛ a- cych.

Je ˙zeli chocia ˙z jeden z graczy nie ma strategii dominuj ˛ acej, gra nie ma równowagi w strategiach dominuj ˛ acych.

(a) Przykład - równowaga w strategiach dominuj ˛ acych Czy w poni ˙zszych grach istnieje rów- nowaga w strategiach dominuj ˛ acych?

i. Dylemat wi ˛e´znia

wi ˛ezie ´n I\wi ˛ezie ´n II współpracuje nie współpracuje

współpracuje 0,0 7, − 2

nie współpracuje − 2,7 5,5

ii. Walka płci

m ˛ a ˙z\ ˙zona mecz opera mecz 3,1 0,0 opera 0,0 1,3 iii. Gra w monety

gracz I\gracz II orzeł reszka orzeł 1, − 1 − 1,1 reszka − 1,1 1, − 1 iv. Gra

v. Wojna

3 . Najlepsza odpowied´z Strategia s

jest najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a na wektor strategii s

pozostałych graczy je ˙zeli

π

( s

,s

) ≥ π

( s

,s

)

gracz I\gracz II lewo prawo góra 7 ,3 5 ,3

dół 7 ,0 3 ,-1

dowódca I\dowódca II A, B A, C A, D B, C B, D C, D A 0 ,1 0 ,1 0 ,1 1 ,2 1 ,2 1 ,2

B 0 ,1 1 ,2 1 ,2 0 ,1 0 ,1 1 ,2 C 1 ,2 0 ,1 1 ,2 0 ,1 1 ,2 0 ,1 D 1 ,2 1 ,2 0 ,1 1 ,2 0 ,1 0 ,1

dla wszystkich strategii s

.

Najlepsza odpowied´z jest "strategi ˛ a dominuj ˛ ac ˛ a" w takim sensie, ˙ze jest najlepsz ˛ a strategi ˛ a pod warunkiem, ˙ze pozostali gracze wybior ˛ a kombinacj ˛e strategii s

.

4 . Porównania w grach sko ´nczonych i grach sko ´nczonych dwuosobowych

5 . Eliminacja strategii zdominowanych Jak ju ˙z było wcze´sniej powiedziane, strategie zdominowane s ˛ a złe, strategie niezdominowane s ˛ a dobre. Gracz nie powinien wybiera´c strategii zdominowanej, poniewa ˙z zgodnie z definicj ˛ a, wypłata z tej strategii nigdy nie jest wy ˙zsza od wypłaty ze strategii j ˛ a dominuj ˛ acej.

W teorii gier zakłada si ˛e, ˙ze gracz post ˛epuje racjonalnie i d ˛ a ˙zy do maksymalizacji wypłaty, zatem na pewno nie wybierze strategii, o której z góry wiadomo, ˙ze jest gorsza od jakiej´s innej. T˛e zł ˛a strategi ˛e mo ˙zna wyeliminowa´c, czyli w ogóle nie bra´c jej pod uwag ˛e. Po wyeliminowaniu jednej ze strategii, warto od nowa przyjrze´c si ˛e grze i wypłatom, poniewa ˙z mo ˙zliwe jest, ˙ze w "zmniej- szonej" grze, jaka´s inna strategia oka ˙ze si ˛e zdominowana i j ˛ a tak ˙ze b ˛edzie mo ˙zna wyeliminowa´c.

Powtarzanie tego procesu tak długo, jak to mo ˙zliwe, to iterowana procedura eliminacji strategii zdominowanych.

6 . Iteracja i strategie racjonalizowane Stosuj ˛ ac iterowan ˛ a procedur ˛e eliminacji strategii zdominowa- nych, mo ˙zna czasem znale´z´c równowag ˛e całej gry. Taka równowaga nazywana jest równowag ˛ a w zakresie strategii racjonalizowanych.

(a) Przykład - góra/´srodek/dół, lewo/prawo Dana jest gra w postaci strategicznej:

gracz I\gracz II lewo prawo góra 1 ,1 0 ,1

´srodek 0 ,2 1 ,0 dół 0 ,-1 0 ,0

i. Czy gra posiada równowag ˛e w zakresie strategii racjonalizowanych?

(b) Przykład - model Bertranda Model Bertranda opisuje interakcje mi ˛edzy firmami w duopolu, które ustalaj ˛ a ceny i ich klientami, którzy wybieraj ˛ a ilo´sci po ustalonej cenie.

• Firmy mog ˛ a ustali´c ceny na jednym z trzech poziomów: niski, ´sredni, wysoki.

• Firma, która ustali ni ˙zsz ˛ a cen ˛e, przejmuje cały rynek.

• Je ˙zeli obie firmy ustal ˛ a jednakowe ceny, to ka ˙zda z nich zaspokaja połow˛e popytu.

Macierz wypłat:

firma I\firma II niska ´srednia wysoka wysoka 0 ,8 0 ,10 6 ,6

´srednia 0 ,8 5 ,5 10 ,0 niska 4 ,4 8 ,0 8 ,0

i. Czy gra posiada równowag ˛e w zakresie strategii racjonalizowanych?

(c) Przykład - model Bertranda II Dwie firmy w duopolu ustalaj ˛ a ceny towarów, dla których popyt dany jest zale ˙zno´sci ˛ a: p = 6 − c, gdzie c jest ni ˙zsz ˛ a z dwóch ustalonych cen.

• Firmy mog ˛ a ustali´c ceny w wysoko´sci 0 zł, 1 zł, 2 zł,. . . , 6 zł.

• Koszt produkcji wynosi zero.

• Firma, która ustali ni ˙zsz ˛ a cen ˛e, przejmuje cały rynek.

• Je ˙zeli obie firmy ustal ˛ a jednakowe ceny, to ka ˙zda z nich zaspokaja połow˛e popytu.

i. Pokaza´c, ˙ze ustalenie ceny na poziomie 0 zł i 6 zł to strategie zdominowane.

ii. Czy strategie polegaj ˛ ace na ustaleniu cen na poziomie 4 zł lub 5 zł s ˛ a zdominowane?

iii. Wykaza´c, ˙ze gdyby na rynku była tylko jedna firma, zysk w przypadku monopolu byłby maksymalny dla ceny równej 3 zł.

iv. Dlaczego firma w duopolu nigdy nie b ˛edzie chciała ustali´c ceny powy ˙zej poziomu ceny, któr ˛ a ustaliłaby w monopolu?

v. Znale´z´c rozwi ˛ azanie gry w strategiach racjonalizowanych.

(d) Przykład - model Bertranda III Uogólnienie poprzednich przykładów. Dwie firmy w du- opolu ustalaj ˛ a ceny towarów, dla których popyt dany jest zale ˙zno´sci ˛ a: p = f ( c ) , gdzie f ( c ) jest malej ˛ ac ˛ a funkcj ˛ a ceny. Przyj ˛ a´c, ˙ze c

jest cen ˛ a w monopolu tak ˛ a, ˙ze c

≥ _{2 zł.}

i. Pokaza´c, ˙ze ustalenie ceny powy ˙zej c

jest strategi ˛ a zdominowan ˛ a.

ii. Pokaza´c, ˙ze ustalenie ceny na poziomie c

− 1 dominuje cen ˛e c

, czyli pokaza´c, ˙ze

1

2

f ( c

) · c

< f ( c

− ₁ ) · ( c

− ₁ ) _.

iii. Pokaza´c, ˙ze je ˙zeli wiadomo, ˙ze ˙zadna z firm nie ustali ceny wy ˙zszej ni ˙z c, to cena c jest dominowana przez strategi ˛e polegaj ˛ ac ˛ a na ustaleniu ceny wysoko´sci c − 1, o ile c ≥ 2.

iv. Pokaza´c, ˙ze procedura iterowanej eliminacji strategii dominowanych prowadzi do roz- wi ˛ azania, w którym ka ˙zda firma ustala cen ˛e na poziomie 1 zł.

v. Przyj ˛ a´c, ˙ze koszt produkcji jest niezerowy. Wykaza´c, ˙ze zachodz ˛ a wyniki wykazane wy-

˙zej tak długo, jak cena c − 1 (przy której firma obsługuje cały popyt) jest bardziej opła- calne, ni ˙z dzielenie si ˛e popytem przy cenie c.

(e) Przykład - remont Agnieszka i Bartek chc ˛ a przeprowadzi´c remont mieszkania.

• Na to, ˙zeby remont był przeprowadzony dokładnie, potrzeba po´swi ˛eci´c ł ˛ acznie dwana-

´scie godzin pracy.

• Je ˙zeli po´swi ˛econe zostanie dziewi ˛e´c godzin pracy, remont zostanie przeprowadzony, ale niestarannie.

• Je ˙zeli po´swi ˛econe zostanie mniej ni ˙z dziewi ˛e´c godzin pracy, nie b ˛edzie wida´c efektów remontu.

• Ka ˙zda osoba mo ˙ze po´swi ˛eci´c na remont trzy, sze´s´c lub dziewi ˛e´c godzin.

Wypłaty ró ˙zni ˛ a si ˛e w zale ˙zno´sci od osoby:

• Oboje uwa ˙zaj ˛ a, ˙ze niestarannie przeprowadzony remont wart jest dwóch utyli.

• Agnieszka uwa ˙za, ˙ze:

– dokładnie przeprowadzony remont wart jest dziesi ˛eciu utyli;

– brak efektu remontu wart jest minus dziesi ˛e´c utyli.

• Bartek uwa ˙za, ˙ze:

– dokładnie przeprowadzony remont wart jest pi ˛eciu utyli.

– brak efektu remontu wart jest minus pi ˛e´c utyli.

• Wypłaty równe s ˛ a liczbie utyli pomniejszonej o liczb ˛e godzin pracy wło ˙zonej w remont.

i. Napisa´c posta´c strategiczn ˛ a gry.

ii. Czy gra posiada równowag ˛e w zakresie strategii racjonalizowanych?

7 . Strategie racjonalizowane - dyskusja

(a) Poziomy racjonalno´sci Mo ˙zna zało ˙zy´c, ˙ze ˙zaden gracz nie wybierze strategii, która jest zdo- minowana. Mo ˙zna tak ˙ze zało ˙zy´c, ˙ze ˙zaden gracz nie wybierze strategii, która b ˛edzie zdomi- nowana po wyeliminowaniu strategii zdominowanej. Takie zało ˙zenia wydaj ˛ a si ˛e racjonalne, ale na ile racjonalne jest zało ˙zenie, ˙ze gracze nie wybior ˛ a strategii, która oka ˙ze si ˛e zdomino- wana dopiero po kilku lub kilkunastu krokach iteracji? Czy gracz mo ˙ze zakłada´c tak dalece id ˛ ac ˛ a racjonalno´s´c pozostałych graczy? Problem pojawia si ˛e w sytuacji, gdy wypłaty gra- cza s ˛ a bardzo zró ˙znicowane i zbyt optymistyczne zało ˙zenie co do racjonalno´sci pozostałych graczy, mo ˙ze prowadzi´c do niskiej wypłaty.

(b) Przykład - zało˙zenie o racjonalno´sci graczy W tabeli przedstawiono gr ˛e w postaci strate- gicznej.

gracz I\gracz II lewo ´srodek prawo góra 8 ,10 2 ,12 10 ,12

´srodek 6 ,10 4 ,10 10 ,8 dół 4 ,10 4 ,0 14 ,0

i. Zakładaj ˛ ac, ˙ze gracze s ˛ a racjonalni, znale´z´c rozwi ˛ azanie gry w strategiach racjonalizo- wanych.

Uwaga: Gdyby gracz drugi wybrał strategi ˛e lewo, miałby zagwarantowan ˛ a wypłat ˛e wysoko-

´sci dziesi ˛e´c, co wydaje si ˛e kusz ˛ acym wyborem w porównaniu ze strategi ˛ a ´srodek, przy której istnieje ryzyko zerowej wypłaty. Wybór strategii ´srodek ma sens tylko w sytuacji, w której gracz drugi ma pewno´s´c, ˙ze gracz pierwszy nie wybierze strategii dół. Tak ˛ a pewno´s´c mo ˙zna uzyska´c w momencie, gdy gracz pierwszy b ˛edzie miał pewno´s´c, ˙ze gracz drugi nie wybierze strategii prawo.

Im wi ˛eksza liczba iteracji eliminacji strategii zdominowanych, tym poleganie na racjonalnych wyborach, wydaje si ˛e mniej pewnym rozwi ˛ azaniem.

8 . Kolejno´s´c eliminacji strategii słabo zdominowanych W przypadku strategii słabo zdominowa- nych, wynik gry mo ˙ze zale ˙ze´c od kolejno´sci eliminacji strategii (czyli do tego, czy eliminacj ˛e przeprowadza si ˛e jednocze´snie dla wszystkich graczy, czy dla ka ˙zdego kolejno oraz od wybranej kolejno´sci graczy). Iterowane eliminowanie strategii raz dla jednego, a nast ˛epnie dla drugiego gracza, mo ˙ze nie prowadzi´c do jednoznacznego rozwi ˛ azania, co wi ˛ecdo jakiego rozwi ˛ azania do prowadziej, mo ˙ze prowadzi´c do ró ˙znych rozwi ˛ aza ´n.

W przypadku eliminacji strategii ´sci´sle zdominowanych, powy ˙zszy problem nie wyst ˛epuje.

gracz I\gracz II lewo prawo góra 0 , 0 0 ,1

dół 1 ,0 0 ,0

(a) Przykład - kolejno´s´c eliminacji Macierz wypłat:

i. Wyeliminowa´c strategie zdominowane jednocze´snie dla obu graczy. Do jakiego rozwi ˛ a- zania to prowadzi?

ii. Wyeliminowa´c strategie zdominowane kolejno - najpierw dla gracza pierwszego (czy prowadzi to do jednoznacznego rozwi ˛ azania?), a nast ˛epnie dla gracza drugiego (czy prowadzi to do jednoznacznego rozwi ˛ azania?).

9 . Nieistnienie rozwi ˛ aza ´n Nie wszystkie gry posiadaj ˛ a rozwi ˛ azanie w strategiach racjonalizowa- nych.

(a) Przykład - nieistnienie rozwi ˛ aza ´n Macierz wypłat:

gracz I\gracz II lewo ´srodek prawo góra 1 ,-1 -1,1 0 ,-2

´srodek -1,1 1 ,-1 0 ,-2 dół -2,0 -2,0 -2,-2

i. Wyeliminowa´c strategie zdominowane. Czy w wyniku przeprowadzenia eliminacji, otrzy- muje si ˛e jednoznaczne rozwi ˛ azanie?

10 . Procedura iterowanej eliminacji strategii silnie zdominowanych W procedurze iterowanej elimi- nacji strategii silnie zdominowanych kolejno´s´c eliminacji nie ma znaczenia. Innymi słowy, je ˙zeli jednoczesna eliminacja strategii silnie zdominowanych prowadzi do rozwi ˛ azania, to do tego same- go rozwi ˛ azania prowadzi tak ˙ze eliminacja wielokrotnie powtarzana kolejno dla ka ˙zdego gracza.

Mo ˙ze si ˛e zdarzy´c, ˙ze procedura eliminacji strategii silnie zdominowanych nie prowadzi do rozwi ˛ a- zania, podczas gdy dałoby si ˛e wyeliminowa´c strategie słabo zdominowane i znale´z´c rozwi ˛ azanie w taki sposób.

(a) Przykład - strategie racjonalizowane - silna/słaba dominacja

i. Wykaza´c, ˙ze je ˙zeli eliminowany s ˛ a jedynie strategie silnie zdominowane, to rozwi ˛ aza- nie racjonalizowane nie zale ˙zy od kolejno´sci eliminacji. Dowód przeprowadzi´c dla gry dwuosobowej, w której ka ˙zdy gracz posiada trzy strategie.

ii. Poda´c własny przykład gry, w którym kolejno´s´c eliminacji strategii słabo zdominowa- nych wpływa na rozwi ˛ azanie w strategiach racjonalizowanych.

iii. Poda´c własny przykład gry, która ma rozwi ˛ azanie w strategiach racjonalizowanych:

A. w przypadku iterowanej eliminacji strategii silnie zdominowanych;

B. w przypadku iterowanej elimincji strategii słabo zdominowanych.

iv. Poda´c własny przykład gry, która ma rozwi ˛ azanie w strategiach racjonalizowanych mi- mo, ˙ze te strategie pocz ˛ atkowo nie dominuj ˛ a ˙zadnych innych strategii. Rozwi ˛ aza´c to zadanie w dwóch przypadkach:

A. w przypadku iterowanej eliminacji strategii silnie zdominowanych;

B. w przypadku iterowanej elimincji strategii słabo zdominowanych.

Równowagi Nasha

1 . Równowaga Nasha Wektor strategii s

= _s

_,s

_{, . . . ,s}

jest równowag ˛ a Nasha je ˙zeli π

( s

,s

) ≥ π

( s

,s

)

dla wszystkich s

i wszystkich i.

Gracz i, wybieraj ˛ ac strategi ˛e s

, wybiera najlepsz ˛a odpowied´z dla strategii wybranych przez innych graczy. To oznacza, ˙ze nie mo ˙ze on zwi ˛ekszy´c swojej wypłaty poprzez wybranie innej strategii, je ˙zeli pozostali gracze pozostan ˛ a przy swoim dotychczasowym wyborze. Tak jest dla ka ˙zdego i, czyli dla ka ˙zdego gracza - ˙zaden gracz nie ma motywacji do jednostronnej zmiany swojej decyzji, je ˙zeli pozostali nie zmieni ˛ a swoich wyborów.

Alternatywna definicja: w gdzie dwuosobowej równowaga Nasha to taka para strategii, w której ka ˙zda ze strategii jest najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a dla pozostałej strategii z pary.

(a) Przykład - walka płci Najlepsze odpowiedzi dla gracza pierwszego:

m ˛ a ˙z\ ˙zona mecz (M) opera (O)

mecz (M) 3,1 0 ,0

opera (O) 0 ,0 1,3

Najlepsze odpowiedzi dla gracza drugiego:

m ˛ a ˙z\ ˙zona mecz (M) opera (O) mecz (M) 3 ,1 0 ,0 opera (O) 0 ,0 1 ,3

i. Uzasadni´c, ˙ze wypłaty wyró ˙znione w tabeli s ˛ a najlepszymi odpowiedziami: b

( M ) = M, b

( O ) = O, b

( M ) = M, b

( O ) = O.

ii. Uzasadni´c, ˙ze (M,M) i (O,O) s ˛ a równowagami Nasha.

(b) Przykład - dylemat wi˛e´znia Macierz wypłat:

wi ˛ezie ´n I\wi ˛ezie ´n II współpracowa´c nie współpracowa´c

współpracowa´c 0 ,0 7 ,-2

nie współpracowa´c -2,7 5 ,5

i. Uzasadni´c, ˙ze skoro strategia współpracowa´c jest strategi ˛ a dominuj ˛ ac ˛ a, to jest ona najlepsz ˛a odpowiedzi ˛a dla obu strategii drugiego wi ˛e´znia.

ii. Uzasadni´c, ˙ze para strategii (współpracowa´c, współpracowa´c) jest równowag ˛ a Nasha.

iii. Uzasadni´c, ˙ze para strategii (współpracowa´c, współpracowa´c) jest równowag ˛ a w strategiach racjonalizowanych.

(c) Przykład - model Bertranda Macierz wypłat:

i. Zaznaczy´c najlepsze odpowiedzi.

ii. Znale´z´c równowag ˛e Nasha.

iii. Uzasadni´c, ˙ze w tym przypadku równowaga Nasha równa jest równowadze racjonalizo-

wanej.

firma I\firma II wysoki ´sredni niski wysoki 6 ,6 0 ,10 0 ,8

´sredni 10 ,0 5 ,5 0 ,8 niski 8 ,0 8 ,0 4 ,4

Agnieszka\Bartek 3 godziny 6 godzin 9 godzin 3 godziny -13,-8 -1,-4 7 ,-4

6 godzin -4,-1 4 ,-1 4 ,-4 9 godzin 1 ,2 1 ,-1 1 ,-4

(d) Przykład - remont Macierz wypłat:

i. Zaznaczy´c najlepsze odpowiedzi.

ii. Znale´z´c równowagi Nasha.

iii. Która z równowag Nasha jest jednocze´snie równowag ˛ a w strategiach racjonalizowa- nych?

(e) Przykład - gra koordynacyjna Macierz wypłat:

gracz I\gracz II przyj´s´c na czas spó´zni´c si˛e przyj´s´c na czas 1 ,1 0 ,0

spó´zni´c si˛e 0 ,0 0 ,0

i. Zaznaczy´c najlepsze odpowiedzi.

ii. Znale´z´c równowagi Nasha.

(f) Zadanie

i. Poda´c przykłady gier, w których:

A. jest jedna równowaga Nasha, B. s ˛ a dwie równowagi Nasha, C. s ˛ a trzy równowagi Nasha.

ii. Uzasadni´c, ˙ze je ˙zeli iterowana eliminacja strategii ´sci´sle zdominowanych prowadzi do rozwi ˛ azania, to

A. rozwi ˛ azanie w strategiach racjonalizowanych jest równowag ˛ a Nasha, B. nie istniej ˛ a inne równowagi Nasha.

iii. Poda´c przykład gry (innej ni ˙z gra koordynacyjna), w której istnieje rozwi ˛ azanie w stra- tegiach racjonalizowanych i wi ˛ecej ni ˙z jedna równowaga Nasha.

(g) Przykład - wojna

dowódca I\dowódca II A, B A, C A, D B, C B, D C, D A 0 ,1 0 ,1 0 ,1 1 ,2 1 ,2 1 ,2

B 0 ,1 1 ,2 1 ,2 0 ,1 0 ,1 1 ,2 C 1 ,2 0 ,1 1 ,2 0 ,1 1 ,2 0 ,1 D 1 ,2 1 ,2 0 ,1 1 ,2 0 ,1 0 ,1

i. Znale´z´c równowagi Nasha.

(h) Przykład - sprz ˛ atanie domu Ka ˙zdy z dwóch graczy mo ˙ze po´swi ˛eci´c 0, 1, . . . , 4 godziny na sprz ˛ atanie domu. Je ˙zeli gracz pierwszy po´swi ˛eci x godzin, a gracz drugi y godzin, to wypłaty graczy wynios ˛ a odpowiednio √

x + y − x, √

x + y − y.

i. Znale´z´c najlepsz ˛ a odpowied´z gracza pierwszego dla ka ˙zdej strategii drugiego gracza.

ii. Znale´z´c równowagi Nasha.

iii. Jaki ł ˛ aczny czas powinien zosta´c po´swi ˛econy na sprz ˛ atanie, ˙zeby suma wypłat była najwy ˙zsza?

(i) Przykład - model Bertranda

• Popyt na towar dany jest zale ˙zno´sci ˛ a P = 6 − c, gdzie c oznacza ni ˙zsz ˛ a z dwóch cen ustalonych przez firmy w duopolu.

• Firma oferuj ˛ aca ni ˙zsz ˛ a cen ˛e zaspokaja cały popyt.

• Je ˙zeli obie firmy ustal ˛ a tak ˛ a sam ˛ a cen ˛e, to ka ˙zda z firm zaspokaja połow˛e popytu:

.

• Koszty produkcji towaru s ˛ a zerowe.

i. Pokaza´c, ˙ze najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a dla ceny 4 zł jest cena monopolowa c

= 3 zł.

ii. Jakie s ˛ a najlepsze odpowiedzi dla cen 5 zł i 4 zł?

iii. Pokaza´c, ˙ze najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a dla ceny 3 zł s ˛ a 2 zł.

iv. Pokaza´c, ˙ze równowag ˛ a Nasha jest ustalenie przez ka ˙zd ˛ a z firm ceny na poziomie 1 zł.

v. Rozwi ˛ aza´c powy ˙zsze zadanie w przypadku, w którym byłyby na rynku trzy firmy.

vi. Rozwi ˛ aza´c powy ˙zsze zadanie w przypadku, w którym byłoby na rynku N firm.

(j) Przykład - model Bertranda II

• Popyt na towar dany jest zale ˙zno´sci ˛ a P = f ( c ) , gdzie c oznacza ni ˙zsz ˛ a z dwóch cen ustalonych przez firmy w duopolu, a f jest malej ˛ ac ˛ a funkcj ˛ a ceny.

• p

oznacza cen ˛e monopolow ˛ a i p

≥ 2.

i. Pokaza´c, ˙ze je ˙zeli firma konkurencyjna ustala cen ˛e na poziomie wy ˙zszym ni ˙z cena mo- nopolowa, to najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a jest ustalenie ceny p

.

ii. Pokaza´c, ˙ze je ˙zeli firma konkurencyjna ustala cen ˛e p > 1 na poziomie p

lub poni ˙zej, to najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a jest ustalenie ceny poni ˙zej poziomu p (innymi słowy, na przykład ustalenie ceny p − 1 jest bardziej korzystne o przyj ˛ecia ceny p lub powy ˙zej).

iii. Uzasadni´c, ˙ze jedyn ˛ a równowag ˛ a Nasha jest przyj ˛ecie przez obie firmy ceny równej 1 zł.

(k) Przykład - gra w tchórza Macierz wypłat

gracz I\gracz II postawa agresywna postawa pokojowa

postawa agresywna x,x 10,0

postawa pokojowa 0,10 5,5

i. Znale´z´c równowag ˛e Nasha w przypadku, gdy

A. straty fizyczne w wyniku walki s ˛ a wi ˛eksze, ni ˙z oczekiwany zysk z wygranej, czyli dla wypłaty x zachodzi: x  _0,

B. x  0.

ii.

2 . Strategie i zbiory kongruentne Zachowanie graczy mo ˙ze by´c skoordynowane (zgodne, kongru-

entne). Zgodno´s´c mo ˙ze odnosi´c si ˛e do sytuacji, w której gra grana jest wielokrotnie, a zachowania

graczy s ˛ a stałe i regularne, a tak ˙ze do sytuacji, w której gra jest jednokrotna, ale poprzedzona ko- munikacj ˛ a (przekonania graczy mog ˛ a by´c tak ˙ze kształtowane przez histori ˛e, czy inne czynniki, i przez to spójne ze sob ˛ a).

Zgodno´s´c mo ˙ze dotyczy´c przypadku, w którym ka ˙zdy gracz wybiera jedn ˛ a strategi ˛e b ˛ed ˛ ac ˛ a naj- lepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a na strategie pozostałych graczy i jednocze´snie wierzy, ˙ze pozostali gracze wybior ˛ a swoje strategie analogicznie. W ten sposób wybrane strategie s ˛ a wzajemnie najlepszymi odpowiedziami. Tak wybrany profil strategii jest równowag ˛ a Nasha.

W niektórych sytuacjach oczekiwanie, ˙ze gracze b ˛ed ˛ a tak mocno skoordynowani, ˙ze wybior ˛ a je- den profil strategii, nie ma racji bytu. Mo ˙ze to wynika´c z braku zewn ˛etrznej instytucji, która wpływałaby na koordynacj ˛e przekona ´n graczy, lub fakt, ˙ze wybór pojedy ´nczego profilu strategii mo ˙ze nie by´c spójny zachowaniem graczy, maj ˛ acych tendenj ˛e do wybierania najlepszej odpowie- dzi.

Niech X = X

× . . . × X

, gdzie X

s ˛ a podzbiorami zbiorów strategii S

. Zbiór profili strategii X jest słabo kongruentny je ˙zeli dla ka ˙zdego gracza i ka ˙zda strategia w X

ma racjonalne uzasad- nienie dla X

(czyli istnieje przekonanie o takim wyborze strategii przez pozostałych graczy, ˙ze strategia s

jest dla nich najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a). X jest kongruentny je ˙zeli X

zawieraj ˛ a dokładnie te strategie, które maj ˛ a racjonalne uzasadnienie.

(a) Przykład - zbiory kongruentne I Macierz wypłat:

gracz I\gracz II a b c x 8 ,6 6 ,8 0 ,0 y 6 ,8 8 ,6 0 ,0 z 0 ,0 0 ,0 5 ,5

Nie zawsze racjonalnie jest oczekiwa´c, ˙ze wszyscy gracze zgodz ˛ a si ˛e skoordynowa´c na jed- nym profilu strategii (tak, jak to jest w równowadze Nasha). Tak mo ˙ze by´c w przypadku, gdy wypłaty w równowadze Nasha s ˛ a ni ˙zsze ni ˙z te, które gracze otrzymaliby, gdyby podj ˛eli inne decyzje.

i. Znale´z´c równowag ˛e Nasha.

ii. Czy w tym przypadku wybór równowagi Nasha jest racjonalny? Innymi słowy, czy gdy- by gracze mogli porozumie´c si ˛e przed gr ˛ a, to zdecydowaliby si ˛e na wybór strategii (c,z)?

iii. Co by było, gdyby gracze skoordynowali si ˛e i wspólnie zdecydowali nie wybiera´c stra- tegii (c,z)?

Taki rodzaj koordynacji nie mo ˙ze by´c uchwycony za pomoc ˛ a równowagi Nasha, poniewa ˙z w tej grze jest tylko jedna równowaga Nasha.

(b) Przykład - zbiory kongruentne II Macierz wypłat:

gracz I\gracz II a b c x 5 ,2 3 ,4 8 ,4 y 6 ,2 2 ,3 8 ,8 z 1 ,1 0 ,1 9 ,2

i. Znale´z´c równowagi Nasha.

ii. Która równowaga jest efektywna (tj. maksymalizuje "dobrobyt społeczny", czyli ł ˛ aczne wypłaty wszystkich graczy)?

iii. Czy zbiór X = { x,y } × { b,c } jest słabo kongruentny?

Je ˙zeli gracz pierwszy wierzy, ˙ze gracz drugi wybierze strategi ˛e b lub c, to wybierze x lub z.

Strategii z nie ma w profilu X. Zatem profil strategii X nie jest słabo kongruentny.

3 . Równowaga w grze partnerstwa

• W grze bierze udział dwóch graczy, którzy dziel ˛ a si ˛e wypracowanym zyskiem.

• Zysk dany jest zale ˙zno´sci ˛ a p = 4 ( x + y + cxy ) , gdzie x oznacza wysiłek wło ˙zony przez pierwszego gracza, y wysiłek wło ˙zony przez drugiego gracza, przy czym x,y ∈ [ 0,4 ] , a c ∈ ( 0,4 ) jest stał ˛ a, która wyra ˙za jak dopełniaj ˛ a si ˛e wysiłki obu graczy (gdyby c = 0 wtedy nie byłoby sensu współpracy, bo efekt byłby sum ˛ a wysiłków ka ˙zdego z graczy).

• Gracze ponosz ˛ a koszt od wkładanego wysiłku. Pierwszy gracz ponosi koszt wysoko´sci x

, a drugi wysoko´sci y

.

• Nie ma mo ˙zliwo´sci spisania kontraktu, który gwarantowałby wło ˙zenie okre´slonego wysiłku w prac ˛e.

• Ka ˙zdy z partnerów chce zmaksymalizowa´c swój zysk, czyli gracz pierwszy d ˛ a ˙zy do maksy- malizacji warto´sci

− x

, a drugi:

− y

.

• Zbiory strategii s ˛ a niesko ´nczone dlatego nie mo ˙zna zapisa´c gry w postaci tablicy.

• Trzeba sprawdzi´c co jest najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a gracza pierwszego na ka ˙zd ˛ a mo ˙zliw ˛ a decy- zj ˛e gracza drugiego.

• W przypadku niesko ´nczonej przestrzeni strategii, warto przyjrze´c si ˛e wykresowi przedsta- wiaj ˛ acemu najlepsze odpowiedzi dla ka ˙zdego z graczy.

• Najlepsza odpowied´z gracza pierwszego na decyzj ˛e y gracza drugiego to taka strategia, która maksymalizuje wypłat ˛e:

max

2 ( x + y + cxy ) − x

W celu jej znalezienia, trzeba obliczy´c pierwsz ˛ a pochodn ˛ a funkcji wypłaty po x:

2 ( 1 + cy ) − 2x

Przy strategii, która jest najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a, pochodna b ˛edzie równa zero:

2 ( 1 + cy ) − 2 ˆx = 0 co po przekształceniu daje

ˆx = 1 + cy = BR

( y ) .

Uwaga: Dla ˆx wypłata jest maksymalna (a nie minimalna), bo druga pochodna funkcji wy- płaty po x jest ujemna ( − 2 < 0).

• Analogicznie dla drugiego gracza:

ˆy = 1 + cx = BR

( x ) .

• W grach, w których zbiór najlepszych odpowiedzi jest jednoelementowy, mo ˙zna traktowa´c BR

jako funkcj ˛e i pisa´c ˆx = BR

( y ) zamiast ˆx ∈ BR

( y ) .

• Wykres najlepszych odpowiedzi.

Rysunek 1: Wykres najlepszych odpowiedzi graczy.

– Wykresami s ˛ a proste, poniewa ˙z zale ˙zno´s´c mi ˛edzy zmiennymi jest liniowa, a w zwi ˛ az- ku z tym wystarczy wyznaczy´c najlepsze odpowiedzi tylko dla dwóch warto´sci (dwa punkty wystarcz ˛ a do narysowania prostej).

– Je ˙zeli gracz drugi wybiera strategi ˛e zero, to najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a gracza pierwszego jest 1 + c · 0 = 1.

– Je ˙zeli gracz drugi wybiera strategi ˛e cztery, to najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a gracza pierwszego jest 1 + c · 4 = 1 + 4c.

– Wykres najlepszych odpowiedzi dla gracza drugiego jest symetryczny wzgl ˛edem prostej y=x.

– Jak korzysta´c z wykresu? Znale´z´c na osi pionowej wybran ˛ a warto´s´c y strategii gracza drugiego, przej´s´c poziomo do wykresu prostej BR

( y ) , a nast ˛epnie zej´s´c pionowo w dół do dolnej osi, z której odczyta´c warto´s´c najlepszej odpowiedzi x gracza pierwszego.

• Jak ju ˙z wiadomo, gracze nie powinni wybiera´c strategii, które nie s ˛ a najlepszymi odpowie- dziami na strategie wybrane przez innych.

• Z wykresu wida´c, ˙ze najlepsze odpowiedzi graczy zawieraj ˛ a si ˛e w przedziale [ 1,1 + 4c ] . War- to´sci spoza tego przedziału nie s ˛ a najlepszymi odpowiedziami dla ˙zadnych strategii innego gracza (innymi słowy, na przykład gracz drugi nie ma takiej strategii, dla której najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a gracza pierwszego byłoby wybranie strategii mniejszej od jeden lub wi ˛ekszej od 1 + 4c). Nale ˙zy wyeliminowa´c strategie spoza przedziału [ 1,1 + 4c ] .

• Po wyeliminowaniu strategii spoza przedziału [ 1,1 + 4c ] wykres przedstawia si ˛e nast ˛epuj ˛ aco:

• Przygl ˛ adaj ˛ ac si ˛e nowemu wykresowi wida´c, ˙ze najlepszymi odpowiedziami dla "skrajnych"

strategii s ˛ a:

– dla strategii 1, strategia 1 + c · 1 = 1 + c,

– dla strategii 1 + 4c, strategia 1 + c ( 1 + 4c ) .

Rysunek 2: Na niebiesko zaznaczono strategie, które nie s ˛ a najlepszymi odpowiedziemi i podlegaj ˛ a eliminacji.

Rysunek 3: Wykres najlepszych odpowiedzi po wyeliminowaniu strategii spoza przedziału [ 1,1 + 4c ]

• Strategie spoza przedziału [ 1 + c,1 + c ( 1 + 4c )] były najlepszymi odpowiedziami dla pew- nych strategii, ale ju ˙z nie s ˛ a, bo strategie, dla których były one najlepszymi odpowiedziami, zostały wcze´sniej wyeliminowane. W zwi ˛ azku z tym nale ˙zy wyeliminowa´c strategie spoza wskazanego przedziału.

• Eliminuj ˛ ac strategie w analogiczny sposób po niesko ´nczonej liczbie kroków wynik zbiegnie do punktu, w którym proste si ˛e przecinaj ˛ a: x

= 1 + cy

, y

= 1 + cx

. Z faktu, ˙ze gra jest symetryczna wynika, ˙ze x

= y

. St ˛ ad:

x

= y

= ¹ 1 − c .

Wybieraj ˛ ac powy ˙zszy profil strategii, ka ˙zdy gracz gra najlepsz ˛ a odpowied´z, czyli ˙zaden z nich nie ma motywacji, ˙zeby wybra´c inn ˛ a strategi ˛e, je´sli jego partner nie zmieni swojego wyboru. Zatem znalezione rozwi ˛ azanie jest równowag ˛ a Nasha.

• Czy wybieraj ˛ ac ten profil strategii gracze pracuj ˛ a wydajnie, czy poni ˙zej lub powy ˙zej poziomu najbardziej wydajnej pracy? Parnerzy wiedz ˛ a, ˙ze wkładany przez nich wysiłek nie przekłada si ˛e w cało´sci na zysk, poniewa ˙z ponoszony koszt jednostki wysiłku daje tylko połow˛e wy- pracowanego zysku (zysk dzielony jest na połow˛e pomi ˛edzy graczy). Z tego powodu gracze maj ˛ a tendencj ˛e do wkładania mniejszego wysiłku i ich praca nie jest tak wydajna, jak by mogła by´c, gdyby istniał pomi ˛edzy nimi spisany kontrakt.

• Im mniejsza warto´s´c parametru c odpowiadaj ˛ acego za synergi ˛e, tym wykres najlepszej od- powiedzi BR

( y ) bardziej pionowy, a wykres BR

( x ) bardziej poziomy. Punkt przeci ˛ecia wykresów przesuwa si ˛e na lewo i w dół, co oznacza, ˙ze gracz pierwszy wie, ˙ze gracz drugi b ˛edzie wkładał mniej pracy, gracz drugi wie, ˙ze gracz pierwszy b ˛edzie wkładał mniej pra- cy, gracz pierwszy wie, ˙ze gracz drugi wie itd. W rezultacie partnerzy b ˛ed ˛ a wkłada´c mniej pracy, a ł ˛ aczny efekt b ˛edzie jeszcze mniej wydajny, ni ˙z przy wy ˙zszej warto´sci parametru c.

• Najbardziej wydajne rozwi ˛ azanie jest wtedy, kiedy ł ˛ aczna warto´s´c wypłat jest najwi ˛eksza.

˙Zeby znale´z´c to rozwi ˛azanie nale ˙zy zmaksymalizowa´c funkcj ˛e b ˛ed ˛ac ˛a sum ˛a wypłat obu graczy

max

4 ( x + y + cxy ) − x

− y

.

Po obliczeniu pochodnych cz ˛ astkowych funkcji wzgl ˛edem x i y i po przyrównaniu ich do zera otrzymujemy:

4 + 4cy = 2x, 4 + 4cx = 2y.

St ˛ ad najbardziej efektywne rozwi ˛ azanie jest dla strategii ˆx = ²

1 − 2c , ˆy = ² 1 − 2c .

Jak wida´c

<

, wi ˛ec w strategiach racjonalizowanych gracze wkładaj ˛ a mniej wysiłku ni ˙z potrzeba do tego, aby uzyska´c rozwi ˛ azanie najbardziej efektywne.

(a) Przykład - gra partnerstwa Rozwa ˙zy´c gr ˛e partnerstwa opisan ˛ a powy ˙zej. Rozwa ˙zy´c dwa przypadki:

i. c < _0, ii. c >

.

Dla ka ˙zdego przypadku

i. narysowa´c wykres funkcji najlepszych odpowiedzi,

ii. wyja´sni´c czy ró ˙zni si ˛e on od przypadku omówionego powy ˙zej,

iii. korzystaj ˛ ac z wykresu znale´z´c rozwi ˛ azanie w strategiach racjonalizowanych.

4 . Równowagi Nasha w strategiach mieszanych

• Wypłata ze strategii mieszanej to ´srednia wa ˙zona wypłat ze strategii czystych, wi ˛ec najwi ˛ek- sza wypłata jest zawsze uzyskiwana kiedy gra si ˛e strategi ˛e czyst ˛ a.

• Z powy ˙zszego wynika, ˙ze w´sród najlepszych odpowiedzi na strategi ˛e mieszan ˛ a znajduje si ˛e przynajmniej jedna strategia czysta.

• (Twierdzenie) Strategia mieszana gracza jest najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a na strategie mieszane pozostałych graczy je ˙zeli ka ˙zda strategia czysta w jej no´sniku jest najlepsz ˛ a odpowiedzi ˛ a na te mieszane strategie innych graczy.

• ´Sci´sle zdominowana strategia czysta nigdy nie wyst ˛epuje w no´sniku równowagi Nasha w strategiach mieszanych (nie dotyczy to strategii słabo zdominowanej).

• Gry dwuosobowe o sumie zero:

– (Twierdzenie (von Neumann 1928)) Ka ˙zda sko ´nczona gra dwuosobowa o sumie zerowej ma przynajmniej jedn ˛ a równowag ˛e Nasha w strategiach mieszanych. S ˛ a to mieszane strategie maksyminowe.

– (Twierdzenie (Julia Robinson)) Je ˙zeli dwóch graczy gra wielokrotnie w gr ˛e o sumie zero w postaci normalnej i w ka ˙zdej rundzie gracze wybieraj ˛ a najlepsze odpowiedzi w strate- giach czystych na obserwowane mieszane strategie innych graczy, to mieszane strategie zbiegaj ˛ a do pary strategii mieszanych tworz ˛ acych równowag ˛e Nasha.

• (Twierdzenie (John F. Nash 1950)) Ka ˙zda gra sko ´nczona ma przynajmniej jedn ˛ a równowag ˛e Nasha w strategiach czystych lub mieszanych.

(a) Przykład - kamie ´n-no˙zyce-papier

• W grze kamie ´n-no ˙zyce-papier nie ma równowagi Nasha w strategiach czystych.

• Je ˙zeli w grze wyst ˛epuje równowaga Nasha w strategiach czystych, gracze chcieliby za- komunikowa´c swoj ˛ a strategi ˛e innym przed rozpocz ˛eciem gry i tym samym zwi ˛ekszy´c szanse, ˙ze równowaga zostanie osi ˛ agni ˛eta.

• W grze kamie ´n-no ˙zyce-papier kluczowe jest, aby pozostawi´c drugiego gracza w niepew- no´sci co do wybranej strategii. Celem jest zaskoczenie przeciwnika, co najłatwiej zrobi´c poprzez zaskoczenie samego siebie, czyli przez podejmowanie decyzji losowo, stosuj ˛ ac strategie mieszane.

• Macierz wypłat gracza pierwszego:

gracz I\gracz II kamie ´n no˙zyce papier

kamie ´n 0 1 -1

no˙zyce -1 0 1

papier 1 -1 0

i. Zagra´c w gr ˛e kamie ´n-no ˙zyce-papier i uzyska´c przewag ˛e trzypunktow ˛ a:CoproRobot1a.

ii. Przyj ˛ a´c, ˙ze gracz pierwszy wybrał strategi ˛e mieszan ˛ a: 50% kamie ´n, 25% no ˙zyce, 25%

papier. Uzasadni´c, ˙ze oczekiwane wypłaty gracza pierwszego przeciwko strategiom czy-

stym gracza drugiego s ˛ a takie, jak w tabeli.

gracz I\gracz II kamie ´n no˙zyce papier

kamie ´n 0 1 -1

no˙zyce -1 0 1

papier 1 -1 0

50-25-25 mix 0 0 ,25 -0,25

iii. Przyj ˛ a´c dodatkowo, ˙ze gracz drugi wybiera strategi ˛e mieszan ˛ a: 25% kamie ´n, 50% no ˙zyce, 25 % papier. Uzasadni´c, ˙ze oczekiwane wypłaty gracza pierwszego przeciwko tej strategii mieszanej gracza drugiego s ˛ a takie, jak w tabeli.

gracz I\gracz II kamie ´n no˙zyce papier 25-50-25 mix

kamie ´n 0 1 -1 0 ,25

no˙zyce -1 0 1 0

papier 1 -1 0 -0,25

50-25-25 mix 0 0 ,25 -0,25 0 ,0625

iv. Do poprzedniego podpunktu: dlaczego fakt, ˙ze warto´s´c w prawym dolnym rogu tabeli jest nieujemna, nie powinien by´c zaskoczeniem?

v. Wymy´sli´c dobr ˛ a strategi ˛e przeciwko graczowi, który w grze kamie ´n-no ˙zyce-papier gra strategi ˛e mieszan ˛ a 25% kamie ´n, 50% no ˙zyce, 25% papier. Zweryfikowa´c swój pomysł graj ˛ ac w gr ˛e CoproRobot1b i uzyskuj ˛ ac przewag ˛e trzypunktow ˛ a.

(b) Przykład - walka płci Macierz wypłat: Przyj ˛ a´c, ˙ze m ˛ a ˙z wybiera oper˛e z prawdopodobie ´n- m ˛ a ˙z\ ˙zona mecz opera

mecz 3 ,1 0 ,0 opera 0 ,0 1 ,3

stwem

, a ˙zona gra strategi ˛e czyst ˛ a mecz.

i. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze oboje mał ˙zonkowie wybior ˛ a mecz?

ii. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze m ˛ a ˙z pójdzie samotnie do opery?

iii. Jaka jest oczekiwana wypłata m ˛e ˙za?

Przyj ˛ a´c, ˙ze m ˛ a ˙z wybiera oper˛e z prawdopodobie ´nstwem

, a ˙zona gra strategi ˛e czyst ˛ a opera.

i. Jaka jest oczekiwana wypłata m ˛e ˙za?

ii. Czy wypłata m ˛e ˙za, który wybiera strategi ˛e mieszan ˛ a, zale ˙zy od strategii wybranej przez

˙zon ˛e?

Przyj ˛ a´c, ˙ze m ˛ a ˙z wybiera oper˛e z prawdopodobie ´nstwem

, a ˙zona wybiera oper˛e z prawdopo- dobie ´nstwem

.

i. Uzasadni´c, ˙ze oczekiwana wypłata m ˛e ˙za wynosi

· 3 +

· 0 +

· 0 +

· 1 =

. (c) Zadania

i. Macierz wypłat:

A. Gracz pierwszy wybiera strategi ˛e A z prawdopodobie ´nstwem

, a drugi zawsze wybiera strategi ˛e B. Obliczy´c oczekiwan ˛ a wypłat ˛e gracza pierwszego.

B. Gracz pierwszy wybiera strategi ˛e A z prawdopodobie ´nstwem p, a drugi zawsze

wybiera strategi ˛e B. Obliczy´c oczekiwan ˛ a wypłat ˛e gracza pierwszego.

gracz I\gracz II A B A 1 ,-1 -1,1 B -1,1 1 ,-1

C. Gracz pierwszy wybiera strategi ˛e A z prawdopodobie ´nstwem p, a drugi zawsze wybiera strategi ˛e A. Obliczy´c oczekiwane wypłaty graczy.

ii. Macierz wypłat:

gracz I\gracz II A B A -1,-1 10 ,0 B 0 ,10 5 ,5

A. Gracz pierwszy wybiera strategi ˛e A z prawdopodobie ´nstwem

, a drugi zawsze wybiera strategi ˛e A. Obliczy´c oczekiwan ˛ a wypłat ˛e gracza pierwszego.

B. Gracz pierwszy wybiera strategi ˛e A z prawdopodobie ´nstwem

, a drugi zawsze wybiera strategi ˛e B. Obliczy´c oczekiwan ˛ a wypłat ˛e gracza pierwszego.

C. Gracz pierwszy wybiera strategi ˛e A z prawdopodobie ´nstwem

, a drugi wybiera strategi ˛e A z prawdopodobie ´nstwem

. Wykaza´c, ˙ze oczekiwana wypłata gracza pierwszego wynosi

. Obliczy´c oczekiwan ˛ a wypłat ˛e drugiego gracza.

iii. Macierz wypłat:

gracz I\gracz II B

B

B

B

A

1 ,0 4 ,2 2 ,4 3 ,1 A

2 ,4 2 ,0 2 ,2 2 ,1 A

4 ,2 1 ,4 2 ,0 3 ,1

A. Gracz pierwszy wybiera strategie A

, A

, A

z prawdopodobie ´nstwami odpowiednio 0 ,2, 0,3, 0,5, a drugi wybiera strategie B

i B

z prawdopodobie ´nstwami odpowiednio 0 ,4 i 0,6. Wykaza´c, ˙ze oczekana wypłata gracza pierwszego wynosi 2,32. Obliczy´c oczekiwan ˛ a wypłat ˛e gracza drugiego.

B. Gracz pierwszy wybiera strategie A

, A

, A

z prawdopodobie ´nstwami odpowiednio p

, p

, p

, a drugi wybiera strategie B

i B

z prawdopodobie ´nstwami odpowiednio q i 1 − q. Obliczy´c oczekiwan ˛ a wypłat ˛e gracza pierwszego.

(d) Przykład - równowaga w strategiach mieszanych, gra 2x2 Macierz wypłat:

gracz I\gracz II lewo prawo

Góra 0 1

Dół -1 0

i. Znale´z´c równowag ˛e Nasha w strategiach mieszanych. Odnie´s´c otrzymany wynik do trzech mo ˙zliwych przypadków:

A. gracz pierwszy stosuje strategi ˛e mieszan ˛ a, a gracz drugi - strategie czyste,

(wskazówka: Granie strategii czystej lewo jest równowa ˙zne graniu strategii mieszanej

100 %-0%. Gdyby dla takiej strategii mieszanej drugiego gracza mo ˙zliwa była równo-

waga Nasha, jakie równanie powinno zachodzi´c dla oczekiwanych wypłat gracza

pierwszego?)

B. gracz drugi stosuje strategi ˛e mieszan ˛ a, a gracz pierwszy - strategie czyste, C. obaj gracze stosuj ˛ a strategie mieszane.

(e) Przykład - równowaga w strategiach mieszanych, gra 3x3 Macierz wypłat:

gracz I\gracz II lewo centrum prawo góra 3 ,4 1 ,2 4 ,1

´srodek 4 ,2 2 ,2 1 ,4 dół 3 ,1 4 ,3 2 ,4

i. Znale´z´c równowag ˛e Nasha w strategiach mieszanych. Odnie´s´c otrzymany wynik do 49 mo ˙zliwych przypadków:

A. gracz pierwszy stosuje strategi ˛e mieszan ˛ a, w której no´sniku s ˛ a trzy strategie (jeden przypadek),

(wskazówka: przyj ˛ a´c za prawdopodobie ´nstwa poszczególnych strategii p

, p

, ( 1 − p

− p

) (dla gracza pierwszego) i q

, q

, 1 − q

(dla gracza drugiego). Rozwi ˛ aza´c układ czterech równa ´n liniowych. Czy wyliczone warto´sci mog ˛ a by´c warto´sciami prawdopodobie ´nstwa?)

B. gracz pierwszy stosuje strategi ˛e mieszan ˛ a, w której no´sniku s ˛ a dwie strategie (trzy przypadki),

Wskazówka: Gracz pierwszy: dwie strategie czyste w no´sniku strategii mieszanej;

Gracz drugi: trzy strategie czyste w no´sniku strategii mieszanej

• przyj ˛ a´c na pocz ˛ atek, ˙ze gracz pierwszy miesza wył ˛ acznie strategie góra i ´srodek z prawdopodobie ´nstwami odpowiednio p i 1 − p, a drugi gracz miesza wszystkie trzy strategie z prawdopodobie ´nstwami q

, q

, 1 − q

− g

. Rozwi ˛ aza´c powstały układ trzech równa ´n. Czy układ ma rozwi ˛ azanie ze wzgl ˛edu na zmienn ˛ a p?

• Co si ˛e dzieje w przypadku, gdy pierwszy gracz miesza strategie góra i dół (czy zbiór rozwi ˛ aza ´n jest sko ´nczony?)?

• Cztery pozostałe przypadki tego typu prowadz ˛ a do sprzecznych układów równa ´n.

Wskazówka c.d.: Gracz pierwszy: dwie strategie czyste w no´sniku strategii miesza- nej; Gracz drugi: strategia czysta

• W równowadze Nasha prawdopodobie ´nstwo wybrania strategii czystej z no´snika strategii mieszanej jest tak dobrane, aby oczekiwane wypłaty z ka ˙zdej ze strategii czystych były równe. W tym przypadku w kolumnie odpowiadaj ˛ acej strategii wy- branej przez drugiego gracza powinny by´c dwie równowagi Nasha w strategiach czystych - czy co´s takiego tutaj ma miejsce?

Wskazówka c.d.2: Gracz pierwszy: dwie strategie czyste w no´sniku strategii miesza- nej; Gracz drugi: dwie strategie czyste w no´sniku strategii mieszanej

• Ten przypadek sprowadza si ˛e do przypadku gier danych macierzami 2x2.

C. gracz pierwszy stosuje strategie czyste (trzy przypadki), (wskazówka:

D. analogiczne siedem przypadkow dla gracza drugiego.

(f) Zadania

i. Znale´z´c równowagi Nasha w strategiach mieszanych.

A. Macierz wypłat:

B. Macierz wypłat:

gracz I\gracz II lewo prawo Góra 1 ,4 2 ,1

Dół 4 ,1 2 ,3 gracz I\gracz II lewo prawo

Góra 1 ,2 2 ,3 Dół 2 ,1 2 ,3

ii. Znale´z´c jak najwi ˛ecej równowag Nasha.

A. Macierz wypłat:

gracz I\gracz II B

B

B

A

3 ,2 1 ,1 2 ,3 A

2 ,3 3 ,2 1 ,1 A

1 ,1 2 ,3 3 ,2 B. Macierz wypłat:

gracz I\gracz II B

B

B

A

3 ,3 1 ,2 3 ,1 A

4 ,2 2 ,2 1 ,4 A

3 ,1 3 ,3 2 ,3

5 . Gry ´sci´sle konkurencyjne i strategie bezpiecze ´nstwa

• ´Sci´sle konkurencyjna (antagonistyczna) gra dwuosobowa jest to taka gra dwuosobowa, ˙ze dla ka ˙zdych dwóch profilów strategii s,s

∈ S, u

( s ) > u

( s

) wtedy i tylko wtedy u

( s ) <

u

( s

) .

• Przykład:

gracz I\gracz II X Y A 3 ,2 0 ,4

B 6 ,1 1 ,3

• Gracz maj ˛ a dokładnie przeciwstawne rankingi mo ˙zliwych wyników (je´sli wypłata jednego gracza ro´snie, to wypłata drugiego gracza maleje).

• Brak mo ˙zliwo´sci wspólnych korzy´sci i kompromisu.

• Mo ˙zliwe wyniki w grze ´sci´sle konkurencyjnej:

– gracz 1 wygrywa, a gracz 2 przegrywa, – gracz 2 wygrywa, a gracz 1 przegrywa, – gracze remisuj ˛ a.

Gracze wol ˛ a wygra´c ni ˙z zremisowa´c i zremisowa´c ni ˙z przegra´c.

• Najgorsza wypłata, jak ˛ a mo ˙ze uzyska´c gracz i, stosuj ˛ ac strategi ˛e s

: w

( s

) ≡ min

s_j∈S_j

u

( s

,s

) .

Jest to najgorsza wypłata na przestrzeni wszystkich mo ˙zliwych strategii gracza j przy zało ˙ze- niu, ˙ze gracz i wybiera strategi ˛e s

. Je ˙zeli gracz i wybiera strategi ˛e s

, to ma zagwarantowan ˛ a wypłat ˛e co najmniej w

( s

) .

• Strategia s

∈ S

gracza i nazywa si ˛e strategi ˛ a bezpiecze ´nstwa, gdy maksimum max

w

( s

) jest osi ˛ agane w s

.

• Poziomem bezpiecze ´nstwa gracza i jest liczba max

w

( s

) = max

si∈Si

min

u

( s

,s

) .

• Przy uwzgl ˛ednieniu strategii mieszanych poziomem bezpiecze ´nstwa gracza i jest liczba max

min

u

( σ

,s

) _.

• Je ˙zeli dwuosobowa gra ´sci´sle konkurencyjna ma równowag ˛e Nasha s

∈ S, to s

jest strategi ˛ a bezpiecze ´nstwa gracza pierwszego, a s

jest strategi ˛ a bezpiecze ´nstwa gracza drugiego.

• Twierdzenie minimaksowe W grach o sumie zerowej, w których interesy graczy s ˛ a cał- kowicie ze sob ˛ a sprzeczne (zysk jednego oznacza strat ˛e drugiego), jeden gracz powinien próbowa´c zminimalizowa´c maksymaln ˛ a wypłat ˛e rywala, podczas gdy rywal próbuje zmak- symalizowa´c swoj ˛ a minimaln ˛ a wypłat ˛e. Minimum z maksimum (minimaks) wypłaty równa si ˛e maksimum z minimum (maksimin) wypłaty. Aby pozna´c zysk ka ˙zdego z graczy, gdy stosuj ˛ a swoje najlesze strategie mieszane, wystarczy liczy´c zysk jednego z nich.

6 . Zadanie

(a) Na przykładzie gry o podanej postaci normalnej uzasadni´c, ˙ze strategia bezpiecze ´nstwa nie gracz I\gracz II X Y

A 3 ,5 -1,1 B 2 ,6 1 ,2

musi by´c jednocze´snie strategi ˛ a racjonalizowan ˛ a.

(b) Dane s ˛ a cztery gry zapisane w postaci normalnej.

gracz I\gracz II B

B

B

A

2 ,9 6 ,5 7 ,4 A

5 ,6 8 ,2 3 ,8 A

9 ,1 4 ,7 7 ,3

gracz I\gracz II B

B

B

A

8 ,1 7 ,2 3 ,6 A

9 ,0 2 ,8 4 ,5 A

7 ,2 8 ,1 6 ,4

gracz I\gracz II X Y A 1 ,1 2 ,1

B 0 ,2 1 ,1

gracz I\gracz II X Y A 1 ,1 2 ,2

B 4 ,4 3 ,3

i. Zbada´c, które z gier s ˛ a ´sci´sle konkurencyjne.

ii. Znale´z´c strategie bezpiecze ´nstwa graczy.

Bibliografia

1 . Sztuka strategii A. K. Dixit, B. J. Nalebuff

2 . Strategia J. Watson