Punktacja przy zadaniach. Rozwi¡zania prosz¦ redagowa¢ starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozu- mowanie, np. podaj¡c z którego kryterium zbie»no±ci si¦ korzysta.

(1)

28.11.2017 r. Imi¦: Nazwisko:

Kolokwium I nr albumu:

zestaw A

Punktacja przy zadaniach. Rozwi¡zania prosz¦ redagowa¢ starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozu- mowanie, np. podaj¡c z którego kryterium zbie»no±ci si¦ korzysta.

Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, je±li na karcie zada« jest odpowiednie miejsce wpisz odpowiedzi równie» tam zadania: 1c, cz¦±¢ 3, 4 i 5.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. [7p] Na prostej R dana jest funkcja ρ o wzorze

ρ(x, y) =

Z y x

1 1 + u ² du

a) [3p] Wyka», »e jest to metryka.

b) [2p] Narysuj kul¦ B(0, ^π ₄ ) w tej metryce.

c) [2p] Podaj jaka jest ±rednica prostej R w tej metryce, czyli oblicz diam R = 2. [8p] Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, warunkowo czy rozbie»ny:

a)

+∞

X

n=28

sin(2n + 3)

(3 − (−1) ⁿ ) ²ⁿ⁺³ b)

+∞

X

n=11

√ n ² + 4n ³

√

3

3n + n ⁸ c)

+∞

X

n=2017

(−1) ⁿ sin

3 n + 1

3. [5p] Zbadaj zbie»no±¢ ci¡gu funkcyjnego f n : (0, +∞) → R o wzorze f n (x) = ln

xn x + n

. Wy- znacz granic¦ punktow¡, podaj obszar zbie»no±ci. Sprawd¹, czy zbie»no±¢ jest jednostajna.

Dodatkowo zbadaj, czy zbie»no±¢ jest jednostajna na przedziale (0, 2].

zbie»no±¢ punktowa na zbiorze = funkcja graniczna f(x) = 4. [5p] Przy pomocy szeregów Taylora wyznacz przybli»on¡ warto±¢ √

⁵

40 (pami¦taj¡c, »e 2 ⁵ = 32 ) tak by bª¡d wyniósª mniej (ostro) ni» 0, 01. Oszacuj faktycznie otrzymany bª¡d.

√

5

40 ≈ bª¡d ≤

5. [6p] Rozwi« w szereg Taylora w punkcie 0 do wyrazu x ⁵ wª¡cznie funkcje a(x) = sin(2x) arctg(x) oraz b(x) = x ²

e ^x

²

+ cos(x) , a nast¦pnie oblicz granic¦

lim

x→0

⁺

a(x) − b(x)

x ⁵ =

a(x) = b(x) =

Powodzenia!

(2)

28.11.2017 r. Imi¦: Nazwisko:

Kolokwium I nr albumu:

zestaw B

Punktacja przy zadaniach. Rozwi¡zania prosz¦ redagowa¢ starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozu- mowanie, np. podaj¡c z którego kryterium zbie»no±ci si¦ korzysta.

Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, je±li na karcie zada« jest odpowiednie miejsce wpisz odpowiedzi równie» tam zadania: 1c, cz¦±¢ 3, 4 i 5.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. [7p] Na prostej R dana jest funkcja ρ o wzorze

ρ(x, y) =

Z y x

1 1 + u ² du

a) [3p] Wyka», »e jest to metryka.

b) [2p] Narysuj kul¦ B(0, ^π ₄ ) w tej metryce.

c) [2p] Podaj jaka jest ±rednica prostej R w tej metryce, czyli oblicz diam R = 2. [8p] Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, warunkowo czy rozbie»ny:

a)

+∞

X

n=28

cos(3n + 2)

(5 − (−1) ⁿ ) ³ⁿ⁺² b)

+∞

X

n=11

√ n + 2n ³

√

3

5n ² + n ⁷ c)

+∞

X

n=2017

(−1) ⁿ sin

5 n + 3

3. [5p] Zbadaj zbie»no±¢ ci¡gu funkcyjnego f n : (0, +∞) → R o wzorze f n (x) = ln

xn x + n

. Wy- znacz granic¦ punktow¡, podaj obszar zbie»no±ci. Sprawd¹, czy zbie»no±¢ jest jednostajna.

Dodatkowo zbadaj, czy zbie»no±¢ jest jednostajna na przedziale (0, 3].

zbie»no±¢ punktowa na zbiorze = funkcja graniczna f(x) = 4. [5p] Przy pomocy szeregów Taylora wyznacz przybli»on¡ warto±¢ √

⁵

36 (pami¦taj¡c, »e 2 ⁵ = 32 ) tak by bª¡d wyniósª mniej ni» 0, 002. Oszacuj faktycznie otrzymany bª¡d.

√

5

36 ≈ bª¡d ≤

5. [6p] Rozwi« w szereg Taylora w punkcie 0 do wyrazu x ⁵ wª¡cznie funkcje a(x) = sin(x) arctg(2x) oraz b(x) = x ²

Punktacja przy zadaniach. Rozwi¡zania prosz¦ redagowa¢ starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozu- mowanie, np. podaj¡c z którego kryterium zbie»no±ci si¦ korzysta.

28.11.2017 r. Imi¦: Nazwisko:

Kolokwium I nr albumu:

zestaw A

Punktacja przy zadaniach. Rozwi¡zania prosz¦ redagowa¢ starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozu- mowanie, np. podaj¡c z którego kryterium zbie»no±ci si¦ korzysta.

Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, je±li na karcie zada« jest odpowiednie miejsce wpisz odpowiedzi równie» tam  zadania: 1c, cz¦±¢ 3, 4 i 5.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. [7p] Na prostej R dana jest funkcja ρ o wzorze

ρ(x, y) =

Z y x

1 1 + u 2 du

a) [3p] Wyka», »e jest to metryka.

b) [2p] Narysuj kul¦ B(0, π 4 ) w tej metryce.

c) [2p] Podaj jaka jest ±rednica prostej R w tej metryce, czyli oblicz diam R = 2. [8p] Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, warunkowo czy rozbie»ny:

a)

+∞

X

n=28

sin(2n + 3)

(3 − (−1) n ) 2n+3 b)

+∞

X

n=11

√ n 2 + 4n 3

√

3n + n 8 c)

+∞

X

n=2017

(−1) n sin

 3 n + 1



3. [5p] Zbadaj zbie»no±¢ ci¡gu funkcyjnego f n : (0, +∞) → R o wzorze f n (x) = ln

 xn x + n

 . Wy- znacz granic¦ punktow¡, podaj obszar zbie»no±ci. Sprawd¹, czy zbie»no±¢ jest jednostajna.

Dodatkowo zbadaj, czy zbie»no±¢ jest jednostajna na przedziale (0, 2].

zbie»no±¢ punktowa na zbiorze = funkcja graniczna f(x) = 4. [5p] Przy pomocy szeregów Taylora wyznacz przybli»on¡ warto±¢ √

40 (pami¦taj¡c, »e 2 5 = 32 ) tak by bª¡d wyniósª mniej (ostro) ni» 0, 01. Oszacuj faktycznie otrzymany bª¡d.

√

40 ≈ bª¡d ≤

5. [6p] Rozwi« w szereg Taylora w punkcie 0 do wyrazu x 5 wª¡cznie funkcje a(x) = sin(2x) arctg(x) oraz b(x) = x 2 

e x

+ cos(x) , a nast¦pnie oblicz granic¦

lim

x→0

a(x) − b(x)

x 5 =

a(x) = b(x) =

Powodzenia!

28.11.2017 r. Imi¦: Nazwisko:

Kolokwium I nr albumu:

zestaw B

Punktacja przy zadaniach. Rozwi¡zania prosz¦ redagowa¢ starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozu- mowanie, np. podaj¡c z którego kryterium zbie»no±ci si¦ korzysta.

Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, je±li na karcie zada« jest odpowiednie miejsce wpisz odpowiedzi równie» tam  zadania: 1c, cz¦±¢ 3, 4 i 5.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. [7p] Na prostej R dana jest funkcja ρ o wzorze

ρ(x, y) =

Z y x

1 1 + u 2 du

a) [3p] Wyka», »e jest to metryka.

b) [2p] Narysuj kul¦ B(0, π 4 ) w tej metryce.

c) [2p] Podaj jaka jest ±rednica prostej R w tej metryce, czyli oblicz diam R = 2. [8p] Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, warunkowo czy rozbie»ny:

a)

+∞

X

n=28

cos(3n + 2)

(5 − (−1) n ) 3n+2 b)

+∞

X

n=11

√ n + 2n 3

√

5n 2 + n 7 c)

+∞

X

n=2017

(−1) n sin

 5 n + 3



Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, je±li na karcie zada« jest odpowiednie miejsce wpisz odpowiedzi równie» tam zadania: 1c, cz¦±¢ 3, 4 i 5.

1 1 + u ² du

b) [2p] Narysuj kul¦ B(0, ^π ₄ ) w tej metryce.

(3 − (−1) ⁿ ) ²ⁿ⁺³ b)

√ n ² + 4n ³

3n + n ⁸ c)

(−1) ⁿ sin

3 n + 1

xn x + n

. Wy- znacz granic¦ punktow¡, podaj obszar zbie»no±ci. Sprawd¹, czy zbie»no±¢ jest jednostajna.

40 (pami¦taj¡c, »e 2 ⁵ = 32 ) tak by bª¡d wyniósª mniej (ostro) ni» 0, 01. Oszacuj faktycznie otrzymany bª¡d.

5. [6p] Rozwi« w szereg Taylora w punkcie 0 do wyrazu x ⁵ wª¡cznie funkcje a(x) = sin(2x) arctg(x) oraz b(x) = x ²

e ^x

+ cos(x) , a nast¦pnie oblicz granic¦

x ⁵ =

Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, je±li na karcie zada« jest odpowiednie miejsce wpisz odpowiedzi równie» tam zadania: 1c, cz¦±¢ 3, 4 i 5.

1 1 + u ² du

b) [2p] Narysuj kul¦ B(0, ^π ₄ ) w tej metryce.

(5 − (−1) ⁿ ) ³ⁿ⁺² b)

√ n + 2n ³

5n ² + n ⁷ c)

(−1) ⁿ sin

5 n + 3

xn x + n

. Wy- znacz granic¦ punktow¡, podaj obszar zbie»no±ci. Sprawd¹, czy zbie»no±¢ jest jednostajna.

36 (pami¦taj¡c, »e 2 ⁵ = 32 ) tak by bª¡d wyniósª mniej ni» 0, 002. Oszacuj faktycznie otrzymany bª¡d.

5. [6p] Rozwi« w szereg Taylora w punkcie 0 do wyrazu x ⁵ wª¡cznie funkcje a(x) = sin(x) arctg(2x) oraz b(x) = x ²

cos(x) + e ^x

, a nast¦pnie oblicz granic¦

x ⁵ =