Znale¹¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt P i zawieraj¡cej prost¡ l

dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I⁰.in». 7 grudnia 2017

Zadania przygotowuj¡ce (przykªadowe) do kolokwium II

Uwaga: To s¡ jedynie zadania przykªadowe, ilustruj¡ce przypuszczalny poziom.

Prosz¦ spodziewa¢ si¦ równie» innych zada« o podobnym stopniu trudno±ci.

1. Dla czworo±cianu ABCD, gdzie A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (3, 2, −1), D = (−1, 3, 5) oblicz jego obj¦to±¢ i dªugo±¢ wysoko±ci poprowadzonej z wierzchoªka D.

2. Znale¹¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt P0 = (3, 2, 1) i zawieraj¡cej prost¡

l :







x = −2 + t y = 1 − 3t z = 3.

3. Wyznacz odlegªo±¢ punktu A = (1, 1, 1) od prostej l :

(2x − y + z = 3 x − 3y + 3z = 4 .

4. Zbada¢ wzajemne poªo»enie pªaszczyzny π : 2x+4y+3z−5 = 0 i prostej l :

(3x + y + 2z = −11 2y + z + 7 = 0 . W przypadku:

• równolegªo±ci wyznaczy¢ odlegªo±¢ pomi¦dzy nimi,

• je»eli maj¡ punkt wspólny wyznacz ten punkt oraz k¡t mi¦dzy prosta a pªaszczyzn¡.

5. Wyznacz punkt P0⁰ symetryczny do punktu P0 = (7, 5, −3)wzgl¦dem pªaszczyzny przechodz¡cej przez punkt P1 = (3, 2, 2) i równolegªej do wektorów ~u1 = [1, 2, 1], ~u₂ = [3, 1, 2].

6. Znale¹¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez o± Ox i tworz¡cej z pªaszczyzn¡

π : √

5x + y + 2z − 1 = 0 k¡t ^π₃.

7. Napisz równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej prost¡ l1 : ^x−2₁ = ^y+3₂ = ^z−4₃ oraz jej prostok¡tny rzut na pªaszczyzn¦ π : 3x − y + 2z + 1 = 0.

8. Napisz równanie prostej k przechodz¡cej przez punkt P0 = (2, 3, 1) i przecinaj¡c¡ proste o

równaniach: l1 :







x = 1 − 3t y = t z = −t

oraz l2 :

(x + 3y − 1 = 0 y + z = 0.

9. Na prostej l :

(2x + y + z + 8 = 0

z − 4y − 2z − 5 = 0 znale¹¢ punkt oddalony o 5 od pªaszczyzny π : 3x − 6y + 2z − 10 = 0.

10. Napisz równanie prostej k przechodz¡cej przez punkt P0 = (2, 3, 1), prostopadªej do prostej l₁ : ^x−1₂ = ^y−3₂ = ₋₁² i przecinaj¡c¡ prost¡ l2 : x = y = z.

1

dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I⁰.in». 7 grudnia 2017

11. Zbadaj wzajemne poªo»enie prostych

l₁ : x − 7

−6 = y − 2 9 = z

12 i l2 :

(3x − 2y + 3z + 9 = 0 2x + z − 3 = 0.

W przypadku gdy:

• si¦ przecinaj¡ wyznacz punkt przeci¦cia i równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej te proste i k¡t miedzy nimi;

• s¡ sko±ne wyznacz odlegªo±¢ miedzy nimi;

• s¡ równolegªe (ale nie pokrywaj¡ si¦ ) równanie pªaszczyzny zawieraj¡cej proste l1 i l2 oraz odlegªo±¢ pomi¦dzy nimi.

2