WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII GRAFÓW wykład 5
Wielomiany chromatyczne
Wielomianem chromatycznym (funkcją chromatyczną) grafu G nazywamy funkcję PG : N → N \ {0} taką, że ∀k > 0 PG(k) jest liczbą sposobów dobrego k-pokolorowania wierzchołków grafu G.
Przykłady:
1) dla G = P3: PG(k) = k(k − 1)(k − 1) 2) dla G = K3: PG(k) = k(k − 1)(k − 2)
3) dla G = Kn: PG(k) = k(k − 1) . . . (k − (n − 1)).
Uwagi:
1) Jeśli k < χ(G), to PG(k) = 0.
2) Jeśli k χ(G), to PG(k) > 0.
Tw. Niech G będzie grafem oraz G \ e i G/e będą grafami otrzymanymi z G przez usunięcie oraz ściągnięcie krawędzi e. Wtedy
PG(k) = PG\e(k) − PG/e(k).
Dowód: Niech e = xy. W G \ e liczba dobrych k-pokolorowań, w których x i y mają różne kolory będzie taka sama jak liczba wszystkich w G, czyli PG(k) (bo nie zmieni się jak dodamy krawędź e). Liczba k dobrych pokolorowań grafu G \ e, w których x i y mają ten sam kolor nie zmieni się jeśli te wierzchołki ze sobą zidentyfikujemy (utożsamimy), czyli wynosi PG(k). Zatem
PG\e(k) = PG(k) + PG/e(k).
Przykład
Niech G = P4 (droga o 4 wierzchołkach). Jeśli e jest ostatnią krawędzią drogi, to G\e składa się z dwóch składowych: grafu izomorficznego z P3 oraz wierzchołka izolowanego, a G/e jest grafem izomorficznym z P3. Zatem:
PG(k) = kk(k − 1)(k − 1) − k(k − 1)(k − 1) = k(k − 1)(k − 1)(k − 1)
Uwaga: W ogólności, jeśli G = Pn, to PG(k) = k · (k − 1)n−1. Praca domowa:
1. Wykazać, że dla dowolnego grafu G funkcja chromatyczna PG(k) jest:
a) wielomianem, b) stopnia n,
c) którego współczynnik przy kn wynosi 1, d) kolejne współczynniki mają przeciwne znaki, e) współczynnik przy kn−1 wynosi −e(G), f) wyraz wolny wynosi 0.
(po 1 pkt za każdy podpunkt)
2. Wyznaczyć PG(k) dla a) G = K1,5 (1 pkt), b) G = C5 (1 pkt).
3. Wykaż, że jeśli PG(k) = k(k − 1)n−1, to G jest drzewem o n wierzchołkach. (1 pkt)
