1 Ciągi
Jeśli (an)n=1,2,... jest ciągiem arytmetycznym, to
(1) Sn=
n
X
k=1
ak = a1+ an
2 n
Stosując wzór (1) otrzymujemy (2) 1 + 2 + · · · + n =
n
X
k=1
k = n(n + 1)
2 .
W szczególności z (2) mamy
1 + 2 + · · · + 100 = 100 · 101
2 = 5050.
Jeśli (an)n=1,2,... jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q (q 6= 0), to
(3) Sn =
n
X
k=1
ak=
( a11−q1−qn, gdy q 6= 1, na1, gdy q = 1.
Przykładowo, wobec (3) dostajemy
8
X
k=1
2k= 2 + 4 + 8 + · · · + 256 = 2 1 − 28
1 − 2 = 2 (28− 1) = 2 · 255 = 510.
2 Macierze i układy równań
Niech
(4) A =
2 1 3
1 0 −4
0 3 1
Macierz A postaci (4) jest macierzą główną układu równań liniowych postaci
2x + y + 3z = 6, x − 4z = −3,
3y + z = 4, 1
który można zapisać w formie bardziej przejrzystej
(5)
2x + y + 3z = 6,
x − 4z = −3,
3y + z = 4.
Zwykle układ równań zapisujemy z użyciem nawiasu klamrowego. Wtedy układ (5) wygląda następująco
2x + y + 3z = 6,
x − 4z = −3,
3y + z = 4
lub
2x + y + 3z = 6
x − 4z = −3
3y + z = 4
.
3 Pewna funkcja
Rozważmy funkcję g : R −→ R postaci
g(x) =
x
x−1 dla x < −1, 2 sin(πx) dla x ∈ h−1, 3),
3x+1
8x dla x ∈ h3, 6i, 4x3 dla x > 6.
2
