Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8.

CIĄGI LICZBOWE

Definicja (ciąg liczbowy)

Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i

oznaczamy przez a_n,b itp. Ciągi o takich wyrazach oznaczamy odpowiednio przez (_n a_n), ( )b itp. _n

Definicja (ciąg ograniczony z dołu)

Ciąg (a_n) jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór { }a_n jest ograniczony z dołu, tzn.

n .

m n a m

    

(czytamy istnieje m należące do R takie, że dla dowolnego n należącego do N { }a_n jest większe bądź równe m)

Definicja (ciąg ograniczony z góry)

Ciąg (a_n) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór { }a_n jest ograniczony z góry, tzn.

n .

M n a M

     Definicja (ciąg ograniczony)

Ciąg (a_n) jest ograniczony, jeżeli zbiór { }a_n jest ograniczony, tzn.

, _n .

m M n m a M

     

Przykład

Zbadać czy ciąg a_n 3^n jest ograniczony.

Definicja (ciąg rosnący)

Ciąg (a_n) jest rosnący, jeżeli a₁a₂ a₃  , tzn.  n a_n a_n1. Definicja (ciąg niemalejący)

Ciąg (a_n) jest niemalejący, jeżeli a₁a₂ a₃  , tzn.  n a_n a_n1.

Uwaga

Analogicznie definiujemy ciągi malejący i nierosnący. Ciągi rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące nazywamy ciągami monotonicznymi.

Przykład

Zbadać monotoniczność ciągu 1

n . a n

n

 

Definicja (granica właściwa ciągu)

Ciąg (a_n) jest zbieżny do granicy właściwej a , co zapisujemy

lim

n

an a



 wtedy i tylko wtedy, gdy       0 n₀ n n a_{0 n} a .

Twierdzenie (o jednoznaczności granicy ciągu) Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

Definicja (granica niewłaściwa ciągu)

Ciąg (a_n) jest rozbieżny do granicy niewłaściwej ,, co zapisujemy

lim

n

an



  wtedy i tylko wtedy, gdy      A 0 n₀ n n a_{0 n} A.

Ciąg (a_n) jest rozbieżny do granicy niewłaściwej ,, co zapisujemy

lim

n

an



  wtedy i tylko wtedy, gdy      B 0 n₀ n n a_{0 n} B.

Fakt (granice ciągu geometrycznego) 0 dla 1

1 dla q=1 nie istnieje dla q 1.

+ dla q 1

lim

q q







   

  



Przykład

Znaleźć granice podanych ciągów 1 5

a) ; b) 3 ; c) .

2 4

n n

n

n n n

a    a  a   

TWIERDZENIA O GRANICACH WŁAŚCIWYCH CIĄGÓW

Twierdzenie (o ograniczoności ciągu zbieżnego)

Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej, to jest ograniczony.

Twierdzenie (o monotonicznym i ograniczonym) Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Twierdzenie (o arytmetyce granic ciągów)

Jeżeli ciągi (a_n), ( )b_n są zbieżne do granic właściwych, to

1)

lim

lim lim

n n n

n n n n

a b a b

  

   2)

lim

lim lim

n n n

n n n n

a b a b

  

  

3)

lim

lim

n n

n n

ca c a

 

 gdzie c ; 4)

lim

lim lim

n n n

n n n n

a b a b

  

   

     

5) ( )

lim

lim lim

n

n

n n n

n n

a a

b b







 o ile

lim

n

bn



 6)

lim

lim

n n

p p

n n

a a

 

 

   ^gdzie p {0};

7)

lim lim

n n

k an k an

 

 gdzie k {1}.

Przykład

Obliczyć podane granice ciągów

2 3 2 5

2

3 2

3 3

a) ; b) ( ); c) .

1 4 1

lim lim lim

n n n

n n n n

n n n

n n

  

 

     

Twierdzenie (o trzech ciągach)

Jeżeli ciągi (a_n), ( ), ( )b_n c_n spełniają warunki 1) a_n b_n c_n dla każdego nn₀; 2)

lim lim

n n

n n

a c b

 

 

to

lim

n

bn b





Przykład

Obliczyć granicę ciągu korzystając z tw. o trzech ciągach

lim

n

n n n n



 

Twierdzenie (określenie liczby e)

Ciąg 1

lim

n

n

en

 n

 

    jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy przez e:

1 1 .

lim

n

n e



   

 

 

Liczba e z dokładnością do 10 cyfr po przecinku jest równa 2,7182818285.

Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy przez ln: log_exln .x Funkcję wykładniczą przy podstawie e nazywamy eksponentą i oznaczamy przez exp: expxe^x. Uwaga

Powyższy fakt jest także prawdziwy dla ciągu ;

lim

n

n n

a a



 , tzn. 1

1 .

lim

n

an

a

n

a e



 

 

 

 

Przykład

Obliczyć granicę 3 1 3 4 .

lim

n n

 n

  

  

 

Twierdzenie (o granicach niewłaściwych ciągów)

1) a    dla     a ; 2) a 0 dla ;

     a



3) a^ 0 dla 0^  a 1; gdzie a ; 4)  ^b 0 dla    b 0;

5) a   dla 0  a ; 6) dla 0 ; 0

a_     a

7) a^   dla 1  a ; 8)   ^b dla 0  b . Definicja (wyrażenia nieoznaczone)

Wyrażenia

   ^{0 } 0 0





1^ ⁰ 0⁰

Nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi. Ich wartości zależą od postaci ciągów je tworzących.

Przykład

Ciągi (x_n) i (y_n) spełniają warunki

lim

lim

n n

n n

x y

 

    jednak granica

lim

n n n

x

 y

przyjmuje różne wartości albo nie istnieje.

a) Niech x_n n² oraz y_n n. Wtedy

lim lim

n n

n n

x n

 y 

  

b) Niech x_n  a n, gdzie a0oraz y_n n. Wtedy

lim lim

n n

n n

x a a

 y 

 

c) Niech x_n n, gdzie a0oraz y_n n². Wtedy 1

lim lim

n n

n n

x

y n

 

 

d) Niech x_n (2 ( 1) )ⁿ n oraz y_n n. Wtedy

lim lim

n n

n n n

x

 y 

  

Obliczanie procentu prostego

Oznaczenia:

 K0 -– kapitał początkowy

 Kt – kapitał końcowy

 r - roczna stopa procentowa

 n - czas oprocentowania w latach

Wówczas zachodzi:

Kt = K0 (1+r n).

Obliczanie procentu składanego (złożonego)

Kt = K0 (1+r)ⁿ.