Ciągi. Granice - zadania
1. Oblicz lim
𝑛→∞
1∙3∙5∙…∙(2𝑛−1) 2∙4∙6∙…∙2𝑛 .
2. Oblicz sumę 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3+ ⋯ + 𝑎99 , jeśli 𝑎𝑛= 1
(𝑛+1)√𝑛+𝑛√𝑛+1 . 3. Oblicz granice ciągów:
a) 𝑎𝑛 = (1 −1
3) ∙ (1 −1
6) ∙ … ∙ (1 −𝑛(𝑛+1)1
2
) ; b) 𝑏𝑛=23−1
23+1∙33−1
33+1∙ … ∙𝑛3−1
𝑛3+1 . 4. Oblicz lim
𝑛→∞3𝑛√∑𝑛𝑘=0(3𝑛3𝑘) .
5. Ciągi (𝑎𝑛) i (𝑏𝑛) liczb naturalnych są zdefiniowane zależnością (2 + √3)𝑛= 𝑎𝑛+ 𝑏𝑛√3 . Oblicz lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 𝑏𝑛 . 6. Niech 𝑎𝑛 = (1 +1
𝑛)𝑛, 𝑏𝑛= (1 +1
𝑛)𝑛+1. Wykaż, że (𝑎𝑛) jest rosnący, (𝑏𝑛) malejący i oba ciągi są zbieżne do tej samej granicy (granicę tę oznaczamy przez 𝑒).
7. Wykaż, że 0 < 𝑒 − (1 +𝑛1)𝑛<3
𝑛 dla 𝑛 = 1, 2, 3, … . 8. Niech 𝑥𝑛= ∑ 1
𝑘!= 1 + 1 +1
2!+1
3!+ ⋯ + 1
𝑛!
𝑛𝑘=0 . Wykaż, że lim
𝑛→∞𝑥𝑛= 𝑒.
Wykaż, że dla dowolnego 𝑛 = 1, 2, 3, … istnieje taka liczba 𝑞𝑛∈ (0,1), że 𝑒 = 𝑥𝑛+ 𝑞𝑛
𝑛∙𝑛! . 9. Udowodnij, że 𝑒 jest liczbą niewymierną.
10. Wykaż, że dla dowolnego 𝑛 = 1, 2, 3, … 𝑛+11 < ln (1 +1
𝑛) <1
𝑛 (logarytm naturalny ln określamy wzorem ln 𝑥 = log𝑒𝑥).
11. Niech 𝐻𝑛 = 1 +12+13+ ⋯ +𝑛1 (𝐻𝑛 nazywamy 𝑛-tą liczba harmoniczną).
a) Wykaż, że dla 𝑛 > 1 𝐻𝑛 nie jest liczbą całkowitą.
b) Oblicz lim
𝑛→∞𝐻𝑛 .
12. Udowodnij , że istnieje skończona granica γ = lim
𝑛→∞ (1 +1
2+1
3+ ⋯ +1
𝑛− ln 𝑛). (Liczbę γ nazywamy stałą Eulera. W przybliżeniu 𝛾 ≈ 0,5772. Do dziś nie wiadomo, czy 𝛾 jest liczbą wymierną.)
13. Oblicz lim
𝑛→∞( 1
𝑛+1+ 1
𝑛+2+ ⋯ + 1
2𝑛).
14. Załóżmy, że istnieje granica (skończona lub nie) lim
𝑛→∞𝑎𝑛= 𝑔. Wykaż, że:
a) lim
𝑛→∞
𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛
𝑛 = 𝑔 ;
b) lim
𝑛→∞𝑛√𝑎1∙ 𝑎2∙ … ∙ 𝑎𝑛= 𝑔 (przy dodatkowym założeniu 𝑎𝑛> 0 dla 𝑛 = 1, 2, 3, …).
15. Wykaż, że jeśli 𝑎𝑛> 0 i lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛 = 𝑔 , to lim
𝑛→∞𝑛√𝑎𝑛= 𝑔.
16. Oblicz granicę lim
𝑛→∞
1 𝑛𝑛√𝑛! .
