C) rozwiązaniach równania różniczkowego

В. Kr z y w i c k a (Wrocław)

C) rozwiązaniach równania różniczkowego d n)+ A ( t ) x = o określonych warunkami, w kilku punktach

Wstęp. Z klasycznej teorii równań różniczkowych wiadomo, że rozwiązanie równania

(I) xSn) -\-A{t)x — 0

zależy od n parametrów Ax, A n.

Aby rozwiązanie było jedyne, można zadać n warunków (dla funkcji i jej pochodnych) w ustalonym punkcie. Są to tzw. warunki początkowe.

W wielu zagadnieniach zadaje się wartości nie w jednym, lecz w dwóch punktach. Są to tzw. warunki brzegowe, opracowane w literaturze obszer­

nie zwłaszcza dla równań drugiego rzędu. Celem tej pracy jest zbadanie, kiedy i jakie warunki można zadawać w r punktach (r > 2), ażeby okre­

ślały one rozwiązanie jednoznacznie. Liczba zadanych warunkówr musi być równa n, gdyż rozwiązanie zależy od n parametrów. Np. dla równania

#(6)+ A (t)x — 0 możemy zadać warunki

x{tx) = ax, a?'(<2) = 0lt x'(t3) = yx.

® (h) — azi ®^(^а) = /^2?

xW{tj) = a3,

Ogólnie, w danym punkcie możemy zadawać warunki aż do n —1 pochodnej włącznie w sposób zupełnie dowolny.

W części pierwszej tej pracy udowodnimy, że istnienie jedynego roz­

wiązania nie zależy od wartości zadanych, ani nawet od rzędu pochod­

nych, którym zadajemy te wartości, lecz tylko od liczby zadanych wa­

runków w poszczególnych punktach, co formułujemy dokładnie w twierdze­

niu pierwszym.

W części drugiej, stosując twierdzenie pierwsze do równań rzędu < 6, pokażemy, jak należy zadać warunki na pochodne rozwiązania równania, aby to rozwiązanie istniało i było określone jednoznacznie. Niektóre twierdzenia części drugiej dotyczą równania rzędu щ są to twierdzenia o warunkach dostatecznych istnienia jedynego rozwiązania równania (I).

Roczniki P, T. M. - Prace matematyczne II 22

338 E. К r z у w iс к a

I. Rozwiązania równania x{n)+A{t)oc — 0. Niech będzie danych r (r < n) punktów ax < ... < ari a ponadto r ciągów liczb naturalnych

< n j^i, jusu (у — 1 , 2 , ..., r), z których każdy jest rosnący, oraz

* n dowolnych liczb rzeczywistych Mech rozwiązanie x(t) równania x<n)-\-A(t)x — 0 ,

gdzie A(t) jest funkcją ciągłą i różną od zera, spełnia n następujących warunków:

(1)

Г

gdzie (л = 1 , 2 , . .. , r; v = 1 , 2 , . .. , д„; JJqt = n.

i=l

Równanie (I) jest równoważne układowi П

(II) x\ =

?=i

gdzie fii+1 = 1 (i = 1 , 2 , . . . , n —1), fnl = —A(t), fkl = 0 ( l - k > 1) i Xi =

Warunkom (1) odpowiadają warunki

(2) = <>•

Oznaczmy symbolem W wyznacznik układu równań П

(3) ^ A j Ф у , , , , ( a / i ) — G/IV 1

?:=i

gdzie , . . . , Xn oznaczają niewiadome, a funkcje

Я?1 — Ф%i j • • • j «®2 = ^г2 j • • • i ~ Ф\п > • • • (^ = 1 , 2 , ..., >1/) stanowią układ fundamentalny rozwiązań układu (II).

Wyznacznik ten jest funkcją r parametrów ax, ..., ar, a liczba ko­

lumn odpowiadających każdemu z punktów afl jest taka jak liczba wa­

runków (2) w tym punkcie, a więc wynosi ąfl. Ustalając w wyznaczniku r —1 spośród r punktów аи, otrzymujemy wyznacznik kombinowany (x), który jest funkcją jednej zmiennej t. Jeżeli kolumny, które są funkcjami t, czyli tak zwane kolumny główne (p. [2]), mają indeksy

•W ^ W j/i0«/<0 (/“ o ?

to wyznacznik kombinowany % , odpowiadający ustaleniu w wyznacz­

niku W wszystkich punktów a,, z wyjątkiem a^0, oznaczamy symbolem

W = IW

(l) Pojęcia te są zdefiniowane w pracy [2].

O r o z w ią z a n ia c h r ó w n a n ia r ó ż n ic z k o w e g o 339

Liczba q , odpowiadająca ilości warunków w jedynym nieustalonym punkcie a , jest liczbą kolumn głównych wyznacznika Uj, pozostałe kolumny tego wyznacznika w liczbie n —qM0 nazywamy uzupełniającymi (p. [2]). Różnych wyznaczników kombinowanych, odpowiadających nie-

(M .

Różniczkowanie wyznacznika Uj, gdzie UjeK , prowadzi do wyznacz­

ników kompletu K fl . Jeżeli bowiem j^qP0 < n, to przez różniczkowanie Uj otrzymamy wyznaczniki uK, dla których Tc^q < n, jeżeli zaś ji*0q/JQ — n, to jeden z wyznaczników uK otrzymanych przez różniczkowanie uj ma kolumnę o wskaźniku n-\-1 , wtedy jednak z ostatniego równania układu (II) wynika, że można zamiast n-\-\ napisać wskaźnik 1, a przed wyznacz­

nikiem wystąpi współczynnik —A(t). Ponieważ przy różniczkowaniu uT ilość kolumn głównych pozostaje niezmieniona, а < щ więc ик e К

Wyznaczniki kompletu Km spełniają układ równań Lf«0*

(5) ^{u j} — F JKuK,

к

gdzie J, К oznaczają wszystkie kombinacje q/lQ elementów (qMQ ^ n) spośród liczb 1 , 2 , . . . , n, a FJK są pewnymi funkcjami wyrażającymi się liniowo przez współczynniki fik.

Układ równań różniczkowych liniowych П

(Ó) x'i =

/=i

jest spójny (p. [2]) w punkcie f, jeżeli dla każdej pary sc*, xp istnieje taki ciąg

(7) i0, i i , ..., is (i0 = p) i8 — i) j że

(8) K i o - i W * 0 (o- = l , 2 , . . . , e ) .

Udowodnimy obecnie, że układ (II) jest spójny w każdym punkcie.

Dowolnie wybranej parze a?*, xp przyporządkowujemy ciągi (7) w nastę­

pujący sposób: Jeżeli i < p, to za ciąg (7) bierzemy ciąg liczb p, p —1 , . .. , i, jeżeli zaś i > p , to za ciąg (7) bierzemy ciąg liczb p, p — 1, ..., 1, n, n —1, . .., i. Ponieważ dla układu (II) zachodzi równość

/M+i(f) = 3 ( l < i < n - l ) , Ш ) =

więc warunek (8) jest spełniony dla każdego £.

К. Krzywicka 340

W dalszym ciągu korzystać będziemy z następujących znanych twier­

dzeń :

Twierdzenie A (por. [2J, str. 197). Jeżeli układ. równań różniczko­

wych liniowych

П

4 = У, (i = 1 , 2 , ..., n) i

jest spójny w punkcie £, to układ (5) jest spójny w punkcie |.

Twierdzenie В (por. [2], str. 190). Jeżeli układ równań (5) jest spójny w punkcie £ i jeżeli dla pewnego I 0 jest uIq(£) ф 0 (uJoeK /io), to dla każdego wyznacznika kombinowanego u,T należącego do układu (5) jest Uj(£) Ф 0.

Opierając się na twierdzeniach A i В udowodnimy następujące Twierdzenie 1. Dla ustalonego ciągu a1, . . . , a rf gdzie г ф. n i < ai7 istnienie jedynego rozwiązania równania (I), spełniającego wa­

runki (1), nie zależy ani od wybom, elementów ciągów \j^v\, ani od liczb cIM.

Oznacza to, że jedyność lub niejedyność rozwiązania jest w zupełności określona przez liczby

Np. dla równania a?(4)-j- A { t ) x — 0 (A(t) > 0) przyjmijmy = 0 , Ыo = .1 i zażądajmy, żeby rozwiązanie 9? spełniało następujące warunki:

? " ( 0) = 1 , У " ( 0) = 0 ; <p'{ 1) = 2, <p"(l) = l.

Jeżeli rozwiązanie spełniające te warunki istnieje i jest jedyne, to również rozwiązanie spełniające warunki

99(0) = cn p'(0) = c2; cp(l) = c8, (p"'{ 1) = c4

istnieje przy dowolnie ustalonych liczbach c1, c 2, c 3, c 4 i jest jedyne, ilość bowiem warunków zadanych na rozwiązanie w każdym z punktów 0, 1 została niezmieniona.

D o w ó d t w i e r d z e n i a 1. Aby istniało jedyne rozwiązanie równania (I) spełniające warunki (1), potrzeba i wystarcza, żeby wyznacznik W układu (3) był różny od zera. Jeżeli dla ustalonego ciągu {^„} wy­

znacznik W układu (3) spełnia warunek W ф 0, to warunek ten można napisać w postaci

(9) Щ^ о- г ) Ф- O?

gdzie Uj (t) oznacza wyznacznik kombinowany, który powstał przez usta­

lenie n —q1 kolumn wyznacznika W, a mianowicie wszystkich kolumn z wyjątkiem odpowiadających punktowi ax.

Ze spójności układu (TI), na mocy twierdzenia A, wynika spójność układu (5). Stosując twierdzenie В otrzymujemy wobec (9)

(10) ^ ( «i

O ro z w ią z a n ia c h r ó w n a n ia r ó ż n ic z k o w eg o 341

gdzie J\ oznacza dowolną kombinację qx elementów spośród liczb ^ n.

Wyznacznik kombinowany uj2{t), którego kolumny uzupełniające są identyczne z kolumnami wyznacznika uJx{ср), a kolumny główne (funkcje zmiennej t) mają indeksy j zl, . .., j m2, spełnia, wobec (10), warunek u,j2(a2) Ф ?fa podstawie twierdzenia В otrzymujemy

Ujz(a2) ^ ó ,

gdzie J 2 oznacza dowolną kombinację q2 elementów spośród liczb natu­

ralnych < n. Rozważając następnie kolejno wyznaczniki kombinowane uj {t), Uj3{t), ..., u-jr(t), otrzymamy po (r —2)-krotnym stosowaniu twier­

dzenia В

(11) uJr(ar) ^ 0 .

Warunek (11) oznacza, że wyznacznik układu (3) jest różny od zera dla dowolnie wybranych ciągów rosnących [j/lv\, jeżeli tylko elementy

tych ciągów są mniejsze lub równe n. ,

W d a l s z y m ciągu Avarunki (1) n a z y A v a ć będziemy warunkami typu (1‘2) («1, « 2, ••.,<&•),

gdzie liczba jest liczbą zadanych warunków na rozwiązanie w punkcie

<ц, liczba wszystkich zadanych Avarunkow wynosi n oraz op < ... < ar.

Jeżeli niezależnie od wyboru ciągu rosnącego {a,;} rozwiązanie równa­

nia (Г) spełniające warunki (1) istnieje i jest jedyne, to mówimy, że Avarunki typu (r/i, . .., qr) określają jednoznacznie rozwiązanie tego równania. Je­

żeli istnieje taki ciąg (аг|, że albo nie istnieje rozwiązanie równania (I) spełniające warunki (1), albo istnieją dAva różne rozwiązania spełniające te same warunki (1), to mówimy, że warunki typu (ąu . .., qr) nie określają jednoznacznie rozwiązania równania (T). W tym przypadku nie można wnioskować niczego o zachoAvaniu się rozwiązania równania (I), jeżeli warunki, które ma ono spełniać, zadamy w innych punktach a*, . .., a* — w szczególności takie rozwiązanie może być określone jednoznacznie.

W dalszym ciągu korzystać będziemy z następującego Avniosku z twierdzenia 1 i ze znanych Avłasności liniowych równań algebraicznych.

Rozwiązanie równania (I) spełniające warunki typu (qu . .., qr) jest określone jednoznacznie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ax, ..., ar funkcja ( p ~ 0 jest jedynym rozwiązaniem równania (I) spełniającym warunki

(1/) qPev~l\a(t) = 0 ,

gdzie elementy ciągów {j^v\ są kolejnymi liczbami naturalnymi.

II. Istnienie i jedyność rozwiązań równania x ^ + A l t ) x = 0, speł­

niających warunki typu (12). Zakładając ciągłość różnej od zera funkcji Л(£) zastosujemy obecnie twierdzenie 1 do zbadania rozwiązań równania

342 E. K r z y w i c k a

(I) spełniających warunki typu (12). W dalszym ciągu korzystać będziemy z następujących znanych pojęć i twierdzeń.

Tw i e r d z e n i e C (Knesera)(2). Rozwiązanie równania (I), w którym, A (t) > e > 0, jest oscylacyjne na prawo od każdego zera tego rozwiązania.

Dla równań rzędu parzystego rozwiązanie ma nieskończenie wiele zer także i na lewo od każdego swego zera.

Funkcja cp(t) ma w punkcie t0 zero rzędu p (p-krotne), jeśli wszystkie jej pochodne rzędu < p {p > 0) są w tym punkcie równe zeru, a pochodna rzędu p jest różna od zera. Zero nazywamy parzystym lub nieparzystym w zależności od tego, czy rząd zera jest parzysty czy nieparzysty.

Przedziałem nasyconym rozwiązania równania (I) nazywamy każdy przedział domknięty (a , &>, w którym liczba zer funkcji (liczonych według krotności) przekracza o n liczbę zmian znaku.

Twierdzenie D (por. [3]). Jeżeli n jest parzyste, to rozwiązanie rów­

nania (I) musi mieć w przedziale nasyconym pierwsze zero nieparzyste dla A(t) > 0, a parzyste dla A(t) < 0 .

Jeżeli n jest nieparzyste, to pierwsze zero rozwiązania równania (I) w przedziale nasyconym musi być parzyste dla A (i) > 0 i nieparzyste dla A (t) < 0.

Twierdzenie E (zob. [3]). Jeżeli funkcja n-krotnie różniczkowalna (p{t) ma w przedziale (a , b) wyłącznie zera rzędu ^ n, które (liczone według krotności) dają w sumie liczbę I, to liczba zmian znaku pochodnej <p(n\t) w przedziale <a ,b ) jest > I —n.

Udowodnimy następujące

Twierdzenie 2. Jeżeli A(t) > 0 i wszystkie liczby q:i (i > 2 ) są pa­

rzyste, to warunki typu (ąl , . . . , q r) określają jednoznacznie rozwiązanie równania (I).

Do wó d. Załóżmy, że oprócz rozwiązania znikającego tożsamościowo istnieje niezerowe rozwiązanie cp{t) równania (I) spełniające warunki

9>(a i) =<p'(a i) = •••■— <p{Ql~1}(a ^ = 0 , ( l " ) ...

<р(щ) = <p'M = ••■ = <P^Łr~l\ar) =

gdzie щ < ai+1 (i = 1 , 2 , . . . , r — 1), a liczby (i > 2) są parzyste. W prze­

dziale ( a 1, ar} liczba zer funkcji cp (t) przekracza liczbę zmian znaku tej funkcji co najmniej o n (zera liczymy według krotności). Z twierdzenia E i kształtu równania (I) wynika, że liczba zer liczonych według krotności

(2) Twierdzenie to jest nieco silniejsze od tego, które Kneser podał w pracy

| ł], jednak dowód tak sformułowanego twierdzenia, jako analogiczny do dowodu Knesera, pomijam.

O ro z w ią z a n ia c h r ó w n a n ia ró ż n ic z k o w e g o 343

przekracza liczbę zmian znaku funkcji co najwyżej o n . Przedział <ax, ctr>

jest więc przedziałem nasyconym dla funkcji <p{t). Ponieważ liczba wszyst­

kich warunków, które ma spełniać rozwiązanie, jest równa n, więc dla n parzystego q1 jest liczbą parzystą, a dla n nieparzystego — nieparzystą.

Rząd zera funkcji <p(t) w punkcie ax wynosi dokładnie ql7 w przeciwnym razie bowiem liczba zer funkcji у (t) przekraczałaby liczbę zmian znaku o więcej niż n w przedziale <ax, ar>. Pierwsze zero funkcji <p{t) w przedziale nasyconym jest więc parzyste dla n parzystego i nieparzyste dla n nie­

parzystego, co jest sprzeczne z twierdzeniem D. Ponieważ nie istnieje niezerowe rozwiązanie równania (I) spełniające warunki (1")) więc na mocy wniosku z twierdzenia 1 teza jest słuszna.

Dla n < 6 udowodnimy, że warunek sformułowany w twierdzeniu 2 jest również warunkiem koniecznym istnienia jedynego rozwiązania rów­

nania (I).

Le m a t 1. Warunki typu (n —\ , ¹) nie określają jednoznacznie roz­

wiązania równania (I), gdzie A(t) > 0.

Dowód. Na mocy wniosku z twierdzenia 1 wystarczy udowodnić, że istnieje niezerowe rozwiązanie <p(t) równania (I), w którym A(t) — 1, spełniające warunki

(1" ') q>{ax) = ę>'(ax) = . . . = (/""^(«l) = 0, 9>(a8) = 0, gdzie ax < a2.

Niech W*(t) oznacza wyznacznik kombinowany powstały przez usta­

lenie w wyznaczniku W układu (3) odpowiadającego warunkom (1'") tych kolumn, których elementy są funkcjami ax. Kolumny, których ele­

menty są funkcjami a2, są kolumnami głównymi wyznacznika W*(t).

Ponieważ w punkcie ax funkcja ę>(t) i jej pochodne mają spełniać n —1 7j góry zadanych warunków, więc wyznacznik kombinowany W*(t) ma jedną kolumnę główną o wskaźniku 1 i n — 1 kolumn uzupełniających, a więc zgodnie z oznaczeniem (4)

W*(t) = |1|.

Załóżmy, że jedynym rozwiązaniem równania (I) spełniającym wa­

runki (1"'), jest tp(t) = 0, czyli że

(13) W * ( t ) ^ 0 (t > ax).

Różniczkując n —1 razy wyznacznik W*(t) otrzymujemy wszystkie wy­

znaczniki kompletu K l7 to jest wyznaczniki kombinowane powstałe przez ustalenie w wyznaczniku W kolumn, których elementy są funkcjami ax. Spełniają one układ równań

(14) \i\' = |i+l| (i = 1 , 2 , . . . , л - l ) , \n\' = —11|,

gdzie ogólnie symbol \j\ oznacza wyznacznik kombinowany kompletu K 1}

którego kolumna główna ma wskaźnik j.

344 E. K r z y w i c k a

Na podstawie twierdzenia A układ (14) jest spójny. Ponieważ indeksy kolumn uzupełniających we wszystkich wyznacznikach kompletu K x są 1 , 2 , . .. , n —1, więc wszystkie wyznaczniki tego kompletu, z wyjąt­

kiem wyznacznika \n\, stają się równe zeru w punkcie ax. Wyznacznik

\n\ spełnia w axnierówność \n\ > 0. Wszystkie wyznaczniki kombinowane kompletu K x są funkcjami ciągłymi. Ponieważ układ (14) jest spójny, a funkcja W*(t) spełnia warunek (13), więc na mocy twierdzenia В wszyst­

kie wyznaczniki kompletu K x muszą, jako funkcje ciągłe, zachować znaki na prawo od punktu ax. Z warunku \n\ > 0 oraz z postaci układu (14) wynika, że w prawostronnym otoczeniu punktu ax wszystkie wyznacz­

niki kompletu K x są dodatnie. Dla t > ax jest więc

(15) |w—f c | > 0 .

Ponieważ pochodna funkcji \n\ w punkcie ax jest równa zeru, a na prawo od tego punktu jest ujemna, więc sama funkcja \n\ maleje na prawo od punktu ax i w prawostronnym otoczeniu ax jest wklęsła. Oznacza to, że różnica rzędnych dla krzywej x(t) = \n\ i stycznej do tej krzywej wysta­

wionej w punkcie ax, jest ujemna w punkcie ax-\-h (h > 0). Żeby funkcja

\n\ na prawo od punktu axmogła być dodatnia, musi jako funkcja ciągła, malejąca i wklęsła mieć punkt przegięcia £ (£ > ax). W punkcie tym jest więc, na mocy (14),

M " = - | 1|' = - | 2| = 0 ,

co na mocy twierdzenia В jest sprzeczne z założeniem (13).

Lemat 2. Jeżeli A(t) > 0 i n = 5 lub n — 6, to warunki typu (n —3, 3) nie określają jednoznacznie rozwiązania równania (I).

Do wód. Udowodnimy tezę dla n = 5. Dowód dla n — ii jest podobny.

Załóżmy, że oprócz rozwiązania у (гр = 0) nie istnieje rozwiązanie <p(t) równania (I), gdzie A(t) = 1 , spełniające warunki

(16) <p(a i) = cp\ax) = 0

<P ( «2) = < Р ' Ы = 95" ( cta) = 0

Niech W*{t) oznacza wyznacznik kombinowany powstały przez usta­

lenie w wyznaczniku W układu (3) odpowiadającego warunkom (16) — kolumn, które są funkcjami ax. Zgodnie z oznaczeniem wyznaczników kombinowanych (4) jest W*(t) = |1 2 3|, gdzie liczby 1 , 2 , 3 są indeksami kolumn głównych wyznacznika kombinowanego W*. Ponieważ rozwią­

zanie yj 2= 0 równania (I) jest jedynym rozwiązaniem spełniającym wa­

runki (16), więc

(1 7 ) W {t) =£ 0 (t > ax) .

O rozwiązaniach równania różniczkowego Ш

Różniczkując kolejno wyznacznik W*{t) otrzymamy wyznaczniki kompletu K x, które spełniają spójny układ równań

il 2 3|' = |1 2 4|, |1 4 5|' = |2 4 5|, II 2 4|' = |1 3 4| + |1 2 5|, |2 3 4|' - |2 3 5|,

(18) |1 2 6Г = |1 3 6|, |2 3 5Г = |2 4 5|-|1 2 3|, jl 3 4|' == 12 3 4| + ll 3 5 1 12 4 5|' == |3 4 51 — 11 2 4|, LI 3 5Г = [2 3 5|+|1 4 6|, |3 4 5|' = -|1 3 4|.

Z założenia (17), na mocy twierdzenia 1, wynika, że wszystkie wyznaczniki kombinowane układu (18), jako funkcje ciągłe, zachowują znaki na prawo od punktu ax. W punkcie ax

(19) 13 4 5| > 0,

a wszystkie pozostałe wyznaczniki występujące w układzie (18) stają 1 się równe zeru, ponieważ mają dwie kolumny identyczne. Ustalając krotności tych zer oraz znaki wyznaczników kombinowanych na prawo od punktu ax łatwo widzimy, że funkcje (2 3 4[ i |1 3 5| są dodatnie na prawo od ax, więc

(20) |1 3 4|' > 0

na prawo od punktu ax, w którym |1 3 4|' = 0.

Funkcja |3 4 5[ maleje na prawo od punktu ax i jest wklęsła w prawo­

stronnym otoczeniu ax. Na to, żeby mogła zachować znak na prawo od ax musi, jako funkcja ciągła, mieć punkt przegięcia £ (I > a,), w którym

|3 4 5|" = - |1 3 4|' = - |2 3 4| — |1 3 5| = 0, co jest sprzeczne z warunkiem (20).

Le m a t 3. Niech A ( t ) > e > 0. Jeżeli warunki typu (qx, . . . , q r) nie określają jednoznacznie rozwiązania równania (I), to również warunki typu (<7и • ••> I? •••) 1) nie określają jednoznacznie rozwiązania tego równania.

Jeżeli ponadto n jest parzyste, to również warunki typu (1, ..., 1 , qx, ..., qr) lub ogólnie warunki typu (1 , ..., 1 , qx, . .. , qr, 1 , . .., 1), gdzie дг ^ qt , nie określają jednoznacznie rozwiązania tego równania. Sumę wszystkich liczb w każdym z nawiasów przyjmujemy równą n, zgodnie z definicją typu.

D o w ó d . Z założenia istnieje taki układ liczb al 7 . . . , a r, że oprócz rozwiązania ip{t) = 0 istnieje niezerowe rozwiązanie q> (t) równania (I), które w punkcie a* ma zero rzędu > qx. Funkcja q> (t), na mocy twier­

dzenia Knesera, ma dowolnie wiele zer na prawo od punktu ar, a dla n parzystego także na lewo od punktu ax. Ponieważ funkcja znikająca

i

346 E. K r z y w i c k a

tożsamościowo spełnia wszystkie rozważane warunki, więc istnieją dwa różne rozwiązania równania (I) spełniające te same warunki typu określo­

nego w tezie.

Lemat 4. Niech A(t) > e > 0. Jeżeli warunki typu (qt , . . . , qr) nie określają jednoznacznie rozwiązania równania (I), to również warunki typu

(?i ? 1 > • • • > 1 ) Ч гj -i > • • •» 1 > •••) 1-■ > • • • > l )? gdzie qi ^ , wie określają jednoznacznie rozwiązania tego równania. Jeżeli ponadto n jest parzyste, to również warunki typu

(1, l , q 2, l , 1), gdzie

>ne określają jednoznacznie rozwiązania równania (I), tfu ma wszystkich liczb w każdym z nawiasów jest równa n.

D o wód. Na mocy lematu 3 warunki typu (qx, q2, . .., qr, 1, ..., 1) nie określają jednoznacznie rozwiązania równania (I). Istnieje taki układ liczb ax, ar, że oprócz rozwiązania y)(t) — 0 istnieje niezerowe rozwią­

zanie q> (t), dla którego w punkcie щ znika kolejnych pochodnych począw­

szy od pochodnej rzędu zero. W pewnym punkcie £ z przedziału (a1? a2) musi być ę/(£) = 0. Istnieje więc niezerowe rozwiązanie, które spełnia warunki typu (qx, 1, q2, qz, . . . , q r, 1, ..., 1). Funkcja гр(t) ~ 0 również spełnia te same warunki, a więc warunki tego typu nie określają jedno­

znacznie rozwiązania równania (I). Zmniejszając ilość warunków zadanych na rozwiązania na prawo od punktu ar i nakładając taką samą liczbę warunków między punktami щ i a,+1 otrzymamy, po odpowiedniej ilości kroków podobnych do opisanego, dwa różne rozwiązania równania (I) spełniające te same warunki typu (qxi 1 , ..., 1 , qz, . . . , q r, 1, ..., 1).

Dla udowodnienia drugiej części tezy wystarczy zauważyć, że zgodnie z twierdzeniem Knesera, pewne rozwiązanie spełniające warunki typu (qx,1 , . .. , 1 , §2> ...,?«•> 1 > • • •, 1), a. mianowicie funkcja, która w punkcie щ ma wszystkie pochodne rzędu < n — l równe zero, ma dowolną liczbę zer na lewo od punktu ax. Funkcja tp(t) = 0 spełnia te same warunki, istnieją więc dwa różne rozwiązania, które spełniają te same warunki, typu określonego w tezie.

Twierdzenie 3. Jeżeli A(t) > 0, n < 6 i warunki typu (qx, . .. , qr) określają jednoznacznie rozwiązanie równania (I), to qt ( i ^ 2) są parzyste.

D o w ó d . Załóżmy, że co najmniej jedna spośród liczb q2, q3, . .. , qr jest nieparzysta. Udowodnimy, że nie istnieje taki typ warunków, który określa jednoznacznie rozwiązanie równania (I), gdzie A{t) > 0.

Dla n — 3 warunki typu (2 1), na mocy lematu 1, warunki typu (1 1 1), na podstawie lematów 1 i 3 — nie określają jednoznacznie roz­

wiązania równania (I).

O ro z w ią z a n ia c h r ó w n a n i a r ó ż n ic z k o w e g o 347

Dla n — 4 warunki typu (3 1), na mocy lematu 1, typu (1 3), (2 1 1), ( 1 2 1 ) , ( 1 1 2 ) ( 1 1 1 1 ) , na podstawie lematów 1 i 3 — nie określają jednoznacznie rozwiązania równania (I).

Dla n — 5 warunki typu (4 1), na mocy lematu 1, typu (2 3), na mocy lematu 2, typu (3 1 1), (2 2 1), (1 3 1), (2 1 1 1), (1 2 1 1) i (1 1 1 1 1), na mocy lematów 1, 2, 3, a pozostałe na mocy lematów 1, 2, 4, nie określają jednoznacznie rozwiązania równania (I).

Dla n = 6 warunki typu (5 1), na mocy lematu 1, typu (3 3), na mocy lematu 2, typu (3 1 2), (2 1 3) i (2 1 1 2), na mocy lematów 1, 2, 4, a pozostałe na mocy lematów 1, 2, 3, nie określają jednoznacznie rozwią­

zania.

Tw i e r d z e n i e 4. Jeżeli A(t) < 0 i liczby q2, . .., уг_ г są parzyste, a qr jest nieparzysta, to warunki typu (q1, ..., qr) określają jednoznacznie rozwiązanie równania (I).

D o wó d . Załóżmy, że istnieje niezerowe rozwiązanie równania (I), spełniające warunki

gdzie ciąg {«*} jest rosnący, a liczby q2, ..., qr_n qr+ l są parzyste. Bozu- mując podobnie jak w dowodzie twierdzenia 2, dochodzimy do wniosku, że pierwsze zero funkcji cp w przedziale nasyconym <a1? ar) jest parzyste dla n nieparzystego, a nieparzyste dla n parzystego, co jest sprzeczne z twierdzeniem D.

Le m a t 5. Jeżeli dla A(t) < 0 warunki typu (q17 ..., qr) nie określają jednoznacznie rozwiązania równania (I), to warunki typu (q1, 1, ..., 1, q2, ..., qr_i, 1 , ..., 1 , qr), gdzie < qif a między liczbami qt i qi+1 jest pi je­

dynek, nie określają jednoznacznie rozwiązania równania (I).

Dowód. Z założenia równanie (I) ma niezerowe rozwiązanie <p(t), dla którego w punkcie a,; znikają kolejne pochodne aż do pochodnej rzędu qi—l. Funkcja q>'(t) ma więc w przedziale (ax, a2) co najmniej jedno zero.

Ponieważ

więc zmniejszając o jeden liczbę warunków zadanych na rozwiązanie w punkcie a{ , dla którego qi~qi > 0, a nakładając na rozwiązanie jeden warunek w punkcie znajdującym się między at a a2, otrzymamy taki typ warunków, który nie określa jednoznacznie rozwiązania równania (I).

Postępując w podobny'sposób p x razy, z zastrzeżeniem, żeby zmniejszając kolejno liczbę warunków w punkcie nie otrzymać liczby mniejszej niż щ, otrzymujemy taki typ warunków, który nie określa jednoznacznie

( p { a j = . . . = (p{<łv ^(ах) = . . . = ^ (a r) = 0

348 E. K r z y w i c k a

rozwiązania równania (1). Między punktami ax i a2 rozwiązanie spełnia pi warunków w p x punktach. Następnie postępujemy podobnie z przedzia­

łem (a2, ce3). Po £pi podobnych krokach, otrzymujemy dwa różne rozwią­

zania równania (I), w którym A(t) < 0, spełniające takie same warunki typu określonego w tezie. Drugim rozwiązaniem jest tp(t) = 0.

Tw i e r d z e n i e 5. Jeżeli A(t) < 0 , n < 6 i warunki typu {qx, ..., qr) określają jednoznacznie rozwiązanie równania (I), to liczby q2, , qr_ 1 są parzyste, a liczba qr jest nieparzysta.

D o w ó d . Dla n nieparzystego, stosując w równaniu (I) podstawienie t = — r, otrzymujemy równanie

(U) d n\ - r ) + A * { - x ) x { - r ) = 0 , gdzie funkcja A *{ —x) jest dodatnia.

Wobec założenia , że 'П jest liczbą nieparzystą, wszystkie liczby O.r-1 są parzyste. Warunkom typu (qx, . - . , q r) dla równania (I) odpowiadają warunki typu (qr, . .. , qx) dla równania (I'). Na mocy twier­

dzenia 3 warunkiem koniecznym istnienia jedynego rozwiązania równa­

nia (Г) jest, by liczby były parzyste, co należało udo­

wodnić.

Załóżmy teraz, że dla n parzystego co najmniej jedna spośród liczb

•••> 3r-n f f r + 1 j e8t nieparzysta. Udowodnimy, że nie istnieje taki typ warunków, który określa jednoznacznie rozwiązanie równania (I), gdzie A(t) < 0.

Dla n parzystych, na mocy lematu (5), wystarczy udowodnić niejedno­

znaczność typu (2 2) dla równania (I), gdy n — 4, i typów (4 2), (1 3 2), (2 2 2), (2 3 1), (2 4), gdy n = 6. Rozpatrywać będziemy równania x^ ^ — oo, oA ^ — oo, dla których wraz z funkcją <p(t) rozwiązaniem jest również rp(— t). Dla n = 6 wystarczy więc udowodnić niejednoznaczność trzech pierwszych typów.

Oprócz funkcji ip(t) = 0 rozwiązaniem jest również funkcja niezerowa (rozpatrujemy równanie я?(4) = x) q> — cos/ + A cosh/, która dla odpowied­

nio dobranego A ma dwa zera dwukrotne (symetryczne).

Wszystkimi rozwiązaniami liniowo niezależnymi równania x^ = x są funkcje

sinh/

sinh-- cos— t

2 2

t / 3

cosh—-sin — t

2 2

t . / 3

cosh—cos— t.

2 2

t 1/3

O ro z w ią z a n ia c h r ó w n a n ia r ó ż n ic z k o w e g o 349

W dalszym ciągu skorzystamy z następujących rozwiązań:

t V3

<Px = coshż— cosh — cos— t,

2 2 ’

. t . / З (po, = smh— sm— i.

2 2

v's . Ł Ł t .

«a = — sinhtf—cosh—sin*— t

r& 2 2 2

1 . , . t ^3 wA = — smhi—sinh — cos— i.

2 2 2

Łatwo sprawdzić, że funkcje parzyste 9^ i y % mają w punkcie i — 0 zera dwukrotne, funkcje nieparzyste срг i cpA zera trzykrotne, roz­

wiązanie parzyste (p5 — 994 — ma w zerze zero 4-krotne, a rozwiązanie nieparzyste <p6 = 994 — V3(p3 zero б-krotne. Z funkcji tych skonstruujemy rozwiązania równania x ^ —x — 0, spełniające żądane warunki.

T y p (2 2 2). Łatwo sprawdzić, że istnieje takie Я, dla którego rozwią­

zanie 994-1-^.992 mające zero dwukrotne w punkcie t — 0 ma również dwa symetryczne zera podwójne. (Widać to od razu z wykresu funkcji).

T y p (4 2). Rozwiązanie g>s+X(pb ma w punkcie t — 0 zero poczwórne.

Dla odpowiednio dobranego Я (0 < Я < 1) funkcja ta ma również zero dwukrotne na prawo od t = 0 .

T y p (1 3 2). Szukamy rozwiązania postaci 995+ 2Я993+ 2^994. W zerze ma ono zero potrójne. Okazuje się, że jeżeli Я-f^ = (istotne jest, że wartość ta jest bliska jedności i mniejsza od niej) i Я jest wartością ujemną, to rozpatrywana funkcja ma na prawo od punktu t — 0 zero podwójne, a na lewo co najmniej jedno zero. Tym samym dowód jest zakończony.

Wyniki zawarte w tej pracy są uogólnieniem pewnych wyników M.

Sveca(3). Praca niniejsza została wykonana pod kierunkiem profesora J. Mikusińskiego.

Prace cytowane

[1] A. K n e s e r , Untersuchungen iiber die reellen Nullstellen der Integrate linearer Differentialgleichungen, Mathematische Annalen 42 (1893), str. 409-435.

[2] J. M ik u siń sk i, Sur un probUme <Vinterpolation pour les integrates des equations diffćrentiUes lineaires, Annales de la Society Polonaise de Mathómatiąue

19 (1946), str. 165-205.

[3] — O wielokrotnych zerach fu n kcji rzeczywistych (w przygotowaniu).

[4] M. S v e c, tJber einige neue Eigenschaften der (oscillatorischen) Lósungen der linearen homogenen Differentialgleichung vierter Ordnnng, Ćecliosł. Żurnał 4 (79), (1954), str. 75-94.

(3) Zobacz [4]. Twierdzenia 2' i 4 (dokładniej: pierwsza część twierdzenia 4), jak również podane bez dowodu wnioski dotyczące równania x(n)+ A (t)x = ⁰. są szczególnymi wnioskami twierdzeń 2 i 4 udowodnionych w niniejszej pracy.

350 E. K r z y w i c k a

E. Кр ж и в и ц к а я (Вроцлав)

О РЕШ ЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ж(»)+1(<)ж = 0, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ ЗАДАННЫМ В НЕСКОЛЬКИХ ТО Ч КАХ

Р ЕЗ Ю М Е

Рассматривается вопрос о существовании и единственности решения ура­

внения

(1) ,Ап) -\-A(t)x = 0,

где A(t) — непрерывная функция Ф 0.

Когда значение этого решения или его производные заданы в г (г ^ п) различных точках а, < ... < аг . Пусть дано г возрастающих последователь­

ностей натуральных чисел ^ п

(2) fVrt.fyrt (t* = l ’ r; ql + qi + . .. + q r = n)

и n действительных чисел eftv. Предполагается, что решение удовлетворяет условиям

П ри фиксированных точках а х, ..., аг и числах qx, ..., qr существование един­

ственного решения, удовлемворяющего условиям (3), не зависит, от выбора последо­

вательностей (1) и чисел Срр.

Если для всякой возрастающей последовательности а г, . . . , а г существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям (3), то мы будем говорить, что условия типа (qr, ..., qr) однозначно определяют это решение.

Условия типа (qx, . . . , qr) однозначно определяют региеня уравнения (2), если

а) A(t) > 0 и числа q2, . . . . qr четны,

б) A (t) < 0 и числа q2, . . . . q r -i и gy-f-l четны,.

Если (2) является уравнением порядка < 6 и A(t) < 0, то условия послед­

него утверждения не только достаточны, но также необходимы.

Е. Kr z y w i c k a (Wrocław)

ON THE SOLUTIONS OF THE DIFFERENTIAL EQUATION d n)+ A {t)x = 0 SATISFYING THE CONDITIONS AT SEVERAL POINTS

We consider the problem of the existence and unicity of the solution of the equation

(3) ,Д?>-1)(а/4) = Gfiv.

S U M M A R Y

( 1 ) r(M) + A {t)x — 0

where A (t) is a continuous function Ф 0.

O r o z w ią z a n ia c h r ó w n a n i a r ó ż n ic z k o w e g o 351

The value of that solution or of its derivatives is given at r (r n) different points ax < a2 < ... < ar . Suppose that we are given r increasing sequences of na­

tural numbers ^ n

(2) * • • ■ > = l , 2 , . . . , r ; q x +<?2 + - ■ ■ + < ir — n )

and n arbitrary natural numbers сцр. We assume that the solution of equation (1) satisfies the conditions:

(3) .rfrw -i)^ ) = v

F or fixed points a x, __ , ur and numbers c(xv the existence of a unique solution of equation (1) satisfying conditions (3) depends neither on the choice of sequences (2) nor on numbers c^ .

Conditions of the type {qx, . . . , qr) are said to define the solution of equation (¹) in a unique manner if, for an arbitrarily chosen increasing sequence ax, . . . , a r , there exists a uniquely defined solution of equation (1) satisfying conditions (3).

Conditions of the type (qx, . . . , qr) define in a unique manner the solution of equa­

tion (¹) i f :

a) A (t) > ⁰ and the numbers q%, . . . , qr are even.

b) A (t) < ⁰ and the numbers q%, . . . , qr-¹ and qr + 1 «re even.

For A (t) < 0 and n ^ ⁶ the conditions formulated above are also necessary.