Algebra 2
∗, seria 9
Zadania na 18 kwietnia: rozszerzenia normalne i rozdzielcze, rozszerzenia proste, wielomiany cyklotomiczne.
1. Wyznacz ciało rozkładu wielomianu x4+ 1 ∈ Z3[x]: znajdź jego stopień i wybierz bazę nad Z3. Następnie opisz automorfizmy tego ciała jako przekształcenia liniowe nad Z3. 2. Znajdź przykład ciała K charakterystyki p > 0 i rozszerzenia L ⊃ K stopnia p, które
nie jest rozdzielcze.
3. Niech p będzie liczbą pierwszą i Fp niech oznacza ciało o p elementach. Połóżmy q = pn dla pewnego n > 0.
(a) Pokaż, że pierwiastki wielomianu xq− x są różne i stanowią ciało, które jest roz- szerzeniem ciała Fp stopnia n.
(b) Pokaż, że każde ciało o q elementach składa się z pierwiastków wielomianu xq− x.
(c) Pokaż, że istnieje dokładnie jedno (z dokładnością do izomorfizmu) ciało o q ele- mentach.
(d) Pokaż, że jeśli r = pm i n|m to (xq− x)|(xr− x). Wywnioskuj z tego, że ciało o pm elementach zawiera ciało o pn elementach wtedy i tylko wtedy gdy n|m.
4. Rozszerzenie K ⊂ L nazywamy prostym (lub pojedynczym) jeśli istnieje a ∈ L takie, że L = K(a).
(a) Pokaż, że każde rozszerzenie ciał skończonych jest pojedyncze.
(b) Załóżmy, że K ⊂ K(a) jest algebraiczne; niech f ∈ K[x] będzie wielomianem minimalnym dla a. Pokaż, że jeśli K ⊂ L ⊂ K(a) jest rozszerzeniem pośrednim to wielomian minimalny g ∈ L[x] dla a (o współczynnikach w ciele L) dzieli f w L[x].
(c) Pokaż, że każde pojedyncze rozszerzenie algebraiczne dopuszcza skończoną liczbę rozszerzeń pośrednich.
(d) Pokaż, że powyższe zdanie nie jest prawdziwe o ile opuścimy w nim założenie o algebraiczności rozszerzenia.
(e) Niech K będzie ciałem nieskończonym i załóżmy, że rozszerzenie K ⊂ K(a, b) ma jedynie skończoną liczbę ciał pośrednich. Pokaż, że dla pewnego c ∈ K mamy K(a, b) = K(ac + b).
(f) Pokaż, że jeśli rozszerzenie K ⊂ L zawiera skończona liczbę ciał pośrednich to jest algebraiczne i pojedyncze.
5. Niech K ⊂ L będzie rozszerzeniem ciał skończonych. Załóżmy, że |K| = pn i |L| = pm. Pokaż, że grupa automorfizmów AutK(L) jest cykliczna rangi m/n i jest generowana przez n-ty automorfizm Frobeniusa φn(a) = apn.
6. Ciało K nazywamy doskonałym, jeśli każde jego rozszerzenie algebraiczne jest rozdziel- cze.
(a) Pokaż, że każde ciało skończone jest doskonałe.
(b) Pokaż, że ciało charakterystyki p > 0 jest doskonałe wtedy i tylko wtedy gdy jego endomorfizm Frobeniusa jest automorfizmem.
(c) Pokaż, że ciało K charakterystyki p > 0 jest doskonałe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a ∈ K wielomian xp− a ma pierwiastek w K.
7. Niech εn= e2πin oraz Φn(x) =Q(k,n)=1,k¬n(x − εk). Wykaż, że (a) xn− 1 =Qd|nΦn(x),
(b) Φn(x) ∈ Z[x],
(c) Φn(x) jest wielomianem unormowanym, nierozkładalnym nad Q, (d) deg Φn(x) = ϕ(n) (funkcja Eulera),
(e) jeśli (n, m) = 1, to Q(εn) ∩ Q(εm) = Q, (f) (xn− 1, xm− 1) = x(n,m)− 1,
(g) jeśli liczba pierwsza p dzieli n, to Φpn(x) = Φn(xp),
(h) niech α będzie pierwiastkiem x6+ x3+ 1, znaleźć wszystkie homomorfizmy Q(α) → C,
(i) (Q(cos2πp ) : Q) = p−12 (p jest pierwsza).
8. Czy istnieje wielomian cyklotomiczny Φn(x), którego pewien współczynnik jest różny od 0, 1 i −1?
