Wstęp do modelowania matematycznego – lista zadań
1. Niech 𝑚 i 𝑛 będą liczbami naturalnymi. Ile punktów kratowych leży na odcinku o końcach (0, 0) i (𝑚, 𝑛)?
2. Korzystając z twierdzenia Picka obliczyć pole powierzchni : a) czworokąta o wierzchołkach (0, 0), (−2, 7), (1, 10) i (9, 6) ;
b) czworokąta z podpunktu a) z wyciętym trójkątem o wierzchołkach (0, 2), (0, 6) i (4, 6).
Sprawdzić wynik metodami geometrycznymi.
3. Czy można umieścić trójkąt równoboczny w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie w taki sposób, aby wszystkie współrzędne wierzchołków były liczbami całkowitymi? A czy można w ten sposób umieścić czworościan foremny w przestrzeni ? 4. Wyznaczyć liczbę krawędzi i wierzchołków:
a) ośmiościanu foremnego;
b) dwunastościanu foremnego.
5. Wykazać, że każdy wielościan prosty (tzn. homeomorficzny ze sferą) ma albo ścianę o trzech krawędziach, albo wierzchołek, w którym schodzą się trzy krawędzie (albo jedno i drugie).
6. Niech 𝑆 oznacza liczbę ścian, 𝐾- liczbę krawędzi, a 𝑊- liczbę wierzchołków wielościanu prostego. Wykazać, że:
a) 𝑆 ≤ 2𝑊 − 4;
b) 𝐾 ≤ 3𝑊 − 6;
c) jeśli wielościan nie ma ścian trójkątnych, to 𝐾 ≤ 2𝑊 − 4.
7. Niech w wielościanie prostym każda ściana będzie pięcio- lub sześciokątem. Wykazać, ze:
a) wielościan musi mieć co najmniej 12 ścian pięciokątnych;
b) jeśli w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie trzy ściany, to ma on dokładnie 12 ścian pięciokątnych.
8. Niech dla parkietażu foremnego lub półforemnego symbol (𝑘, 𝑙, 𝑚) oznacza, że w dowolnym wierzchołku schodzą się trzy wielokąty o liczbie boków 𝑘, 𝑙 i 𝑚.
a) Wykazać, że 1
𝑘+1
𝑙+ 1
𝑚=1
2 (∗)
b) Narysować parkietaże odpowiadające symbolom (6, 6, 6), (3, 12, 12), (4, 6, 12), (4, 8, 8).
c) Wykazać, że spełnienie warunku (∗) nie wystarcza, aby istniał parkietaż odpowiadający danemu symbolowi (rozważyć przykład trójki (3, 10, 15)).
9. W podobny sposób możemy zdefiniować symbol (𝑘, 𝑙, 𝑚) dla wielościanu półforemnego.
Opisać wielościan (podać liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian poszczególnych typów) o symbolu
a) (4, 6, 8);
b) (5, 6, 6);
c) (4, 6, 10).
Wsk. (do przykładu a) Niech 𝑆𝑛 oznacza liczbę ścian, które są 𝑛-kątami. Wówczas spełnione są zależności: 2𝑆4= 3𝑆6 (każdy kwadrat przylega do dwóch sześciokątów, a każdy sześciokąt do trzech kwadratów), 2𝑆4= 4𝑆8 (analogicznie) i 4𝑆4+6𝑆6+ 8𝑆8= 2𝐾 (co wynika z
policzenia liczby krawędzi dwoma sposobami). (Można też zauważyć, że 𝑊 = 4𝑆4= 6𝑆6= 8𝑆8 , gdyż każdy wierzchołek należy tylko do jednej ściany danego typu, ale ta uwaga nie ma zastosowania w punkcie b).
10. Narysować wszystkie grafy proste o wierzchołkach oznaczonych 1, 2, 3.
11. Ile jest wszystkich grafów prostych o wierzchołkach oznaczonych 1, 2, …, 𝑛?
12. Narysować:
a) graf prosty
b) graf, który nie jest prosty, ale nie ma pętli
c) graf, który nie jest prosty, ale nie ma krawędzi wielokrotnych.
Każdy z grafów ma mieć 5 wierzchołków i 8 krawędzi.
13. Narysować wszystkie nieizomorficzne spójne grafy proste o 𝑛 wierzchołkach nieoznaczonych dla 𝑛 = 4 i 5 (jest ich odpowiednio 6 oraz 21).
14. Podać przykład grafu prostego o 𝑛 wierzchołkach, którego wszystkie wierzchołki mają stopień równy 3, dla 𝑛 = 8 oraz 𝑛 = 10. Czy jest to możliwe, jeśli 𝑛 = 9?
15. Uzasadnić, że każdy graf prosty ma przynajmniej dwa wierzchołki tego samego stopnia.
16. Podać przykład symetrycznej sieci komunikacyjnej pomiędzy 10 miastami takiej, że z dowolnego miasta można dostać się do każdego innego miasta z co najwyżej jedną
przesiadką, a z każdego miasta są co najwyżej trzy połączenia. Czy taka sieć jest możliwa dla 𝑛 miast, jeśli 𝑛 = 8 , 𝑛 = 9, 𝑛 = 11?
17. Podać przykład grafu spójnego:
a) eulerowskiego, ale nie hamiltonowskiego b) hamiltonowskiego, ale nie eulerowskiego c) ani hamiltonowskiego, ani eulerowskiego
d) hamiltonowskiego i eulerowskiego jednocześnie.
18. Kiedy graf pełny jest grafem eulerowskim, a kiedy hamiltonowskim? To samo pytanie dla grafów pełnych dwudzielnych.
19. Które z grafów platońskich są eulerowskie? Które są hamiltonowskie?
20. Wykazać, że w dowolnej grupie 6 osób zawsze znajdą się 3 osoby znające się nawzajem, albo 3 osoby, z których żadna nie zna dwóch pozostałych.
Podać przykład grupy 5 osób, w której nie ma ani 3 osób znających się nawzajem, ani 3 osób takich, że żadna nie zna dwóch pozostałych.
21. Kostką 𝑛-wymiarową nazywamy graf, którego wierzchołkami są ciągi zerojedynkowe długości 𝑛, a dwa wierzchołki uznajemy za sąsiednie, jeśli różnią się na dokładnie jednej współrzędnej.
a) Jaki stopień mają wierzchołki kostki 𝑛-wymiarowej?
b) Ile wierzchołków i ile krawędzi ma kostka 𝑛-wymiarowa?
22. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej określonej równaniem:
a) 𝑥3+ 𝑦3− 2𝑥𝑦 = 0 w punkcie (1, 1);
b) 𝑥𝑒𝑦+ 𝑦𝑒𝑥− 𝑒𝑥𝑦 = 0 w punkcie (1, 0);
c) 𝑥𝑦= 𝑦𝑥 w punkcie (2, 4);
d) 𝑥2+ 𝑦2− 𝑥2/3𝑦 − 1 = 0 w punktach (1, 0) oraz (1, 1).
23. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanych:
a) 𝑦 = 𝑦(𝑥) b) 𝑥 = 𝑥(𝑦)
określonych równaniem 𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2+ 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0.
24. Wyznaczyć półosie i ogniska elipsy o równaniu 16𝑥2+ 25𝑦2 = 400. Sporządzić rysunek.
25. Narysować hiperbolę określoną równaniem 𝑥2− 4𝑦2= 4. Wyznaczyć ogniska i asymptoty.
26. Opisać we współrzędnych biegunowych i narysować krzywe określone równaniami:
a) 𝑥2+ 𝑦2= 1;
b) 𝑥2+ 𝑦2= 2𝑥;
c) 𝑥2+ 𝑦2= 2𝑥 + 2𝑦;
d) (𝑥2+ 𝑦2)2= 4(𝑥2− 𝑦2) (lemniskata Bernoulliego);
e) (𝑥2+ 𝑦2− 𝑥)2= 𝑥2+ 𝑦2 (kardioida).
27. Opisać we współrzędnych biegunowych i narysować następujące obszary:
a) {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ≤ 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 𝑦, 𝑦 ≥ 0 };
b) {(𝑥, 𝑦): 4 ≤ 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 9, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 };
c) {(𝑥, 𝑦): 2 ≤ 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 2𝑦 }.
28. Narysować powierzchnie określone równaniami:
a) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2+ 𝑦2 ; b) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2+ 𝑦2 ; c) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2− 𝑦2 ; d) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos 𝑥 ;
e) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − |𝑦| ; f) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2− 𝑦2 . 29. Narysować następujące bryły:
a) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 0 ≤ 𝑧 ≤ 8 − 𝑥2− 𝑦2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 2};
b) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥2− 𝑦2, |𝑦| ≤ 𝑥 ≤ 2};
c) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥2+ 𝑦2≤ 9, 0 ≤ 𝑧 ≤ 4};
d) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥2+ 𝑦2≤ 𝑅2, 𝑥2+ 𝑧2≤ 𝑅2}, 𝑅 > 0;
e) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): √𝑥2+ 𝑦2≤ 𝑧 ≤ √1 − 𝑥2− 𝑦2};
f) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2≤ 𝑅2, 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2≤ 2𝑅𝑧}, 𝑅 > 0 g) {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥2+ 𝑦2≤ 2𝑥, 0 ≤ 𝑧 ≤ √𝑥2+ 𝑦2}.
30. Bryły z przykładów 8c-g opisać we współrzędnych walcowych, a bryłę z przykładu 8e również we współrzędnych sferycznych.
31. Wykazać, że część wspólna dwóch (dowolnej liczby) zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym. Czy suma zbiorów wypukłych musi być zbiorem wypukłym?
32. Podać przykład trzech zbiorów wypukłych na płaszczyźnie, z których każde dwa mają punkt wspólny, ale nie istnieje punkt wspólny dla wszystkich trzech zbiorów.
33. Na płaszczyźnie dane są cztery zbiory wypukłe, z których każde trzy mają punkt wspólny.
Wykazać, że wszystkie cztery zbiory mają punkt wspólny.
34. Na prostej danych jest 𝑛 odcinków, z których każde dwa mają punkt wspólny. Wykazać, że wszystkie te odcinki mają punkt wspólny.
35. Na płaszczyźnie danych jest 𝑛 prostokątów o bokach równoległych do osi układu
współrzędnych. Każde dwa z nich mają punkt wspólny. Wykazać, że istnieje punkt należący do wszystkich prostokątów.
36. Na płaszczyźnie danych jest 𝑛 punktów, przy czym każde trzy z nich należą do pewnego koła o promieniu 1. Wykazać, że wszystkie te punkty leżą w kole o promieniu 1.
37. Udowodnić, że w dowolnym siedmiokącie wypukłym istnieje punkt, który nie należy do żadnego czworokąta o wierzchołkach będących kolejnymi wierzchołkami tego siedmiokąta.
38. Podać przykład zbioru wklęsłego, którego jądro jest:
a) punktem; b) odcinkiem; c) półprostą; d) trójkątem; e) kwadratem.
39. Niech 𝑊 będzie wielokątem o kolejnych wierzchołkach (0, 3), (1, 1), (3, 0), (1, −1), (0, −3), (−1, −1), (−3, 0) i (−1, 1). Niech 𝐴 = (0, 3), 𝐵 = (2,1
2) Wyznaczyć i narysować zbiory st(𝐴, 𝑊), st(𝐵, 𝑊), ker(𝑊) i conv(𝑊).
40. Za pomocą indukcji matematycznej wykazać, że dla dowolnego 𝑛 ≥ 1:
a) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ⋯ + (𝑛 − 1)𝑛 =1
3(𝑛 − 1)𝑛(𝑛 + 1);
b) 1∙41 + 1
4∙7+ 1
7∙10+ ⋯ + 1
(3𝑛−2)∙(3𝑛+1)= 𝑛
3𝑛+1; c) 12+ 22+ 32+ ⋯ + 𝑛2=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6 .
41. Ciąg (𝑎𝑛) jest określony indukcyjnie wzorem: 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛= 2𝑎𝑛−1+ 1 dla 𝑛 ≥ 2. Wykazać, że dla każdego 𝑛 ≥ 1 𝑎𝑛 = 2𝑛− 1.
42. Na odcinku 𝐴𝐵 wyznaczyć taki punkt 𝑋, że 𝑋𝐵𝐴𝑋=𝐴𝑋𝐴𝐵 (złoty podział odcinka).
43. Ciąg (𝐹𝑛) określamy indukcyjnie: 𝐹1= 𝐹2= 1, 𝐹𝑛= 𝐹𝑛−1+𝐹𝑛−2 dla 𝑛 ≥ 3. Wyrazy ciągu (𝐹𝑛) nazywamy liczbami Fibonacciego. Wykazać, że dla dowolnego 𝑛 ≥ 1:
a) 𝐹1+ 𝐹2+ ⋯ + 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛+2− 1 ; b) 𝐹12+ 𝐹22+ ⋯ + 𝐹𝑛2= 𝐹𝑛∙ 𝐹𝑛+1 ;
c) 𝐹𝑛−1∙ 𝐹𝑛+1= 𝐹𝑛2+ (−1)𝑛 (przyjmujemy, że 𝐹0 = 0) . 44. Niech 𝑎𝑛 =𝐹𝑛+1
𝐹𝑛 . Wykazać, że ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny i obliczyć lim
𝑛→∞𝑎𝑛.
Wsk. Wywnioskować z zad. 42c, że 𝑎1< 𝑎3 < 𝑎5< ⋯ < 𝑎6< 𝑎4< 𝑎2 oraz 𝑎𝑛+1−𝑎𝑛→ 0, a następnie zauważyć, że 𝑎𝑛+1= 1
𝑎𝑛+ 1.
45. Wykazać, że dla dowolnego 𝑛 ≥ 1 𝐹𝑛 = 1
√5[(1+√52 )
𝑛
− (1−√5
2 )
𝑛
] (wzór Bineta).
46. Na ile sposobów można przedstawić liczbę naturalną 𝑛 w postaci sumy składników, które są liczbami naturalnymi:
a) nie większymi niż 2;
b) nie mniejszymi niż 2;
c) nieparzystymi?
Uwaga: Liczba składników jest dowolna, a ich kolejność uważamy za istotną, np. dla liczby 3 zadanie z podpunktu a) ma trzy rozwiązania: 1+1+1=1+2=2+1.
