Geometria 3W

(1)

1 / 60

Grafika Komputerowa. Geometria 3W

Aleksander Denisiuk

Polsko-Japo ´nska Akademia Technik Komputerowych

Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55

80-045 Gda ´nsk

(2)

Geometria 3W

Przestrze ´n liniowa

_R

3 (Przypomnienie) Przestrze ´n afiniczna

_R

3 Przestrze ´n rzutowa

_RP

3*

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Przestrze ´n liniowa

_R

3 (Przypomnienie)

_R

3 (Przypomnienie) Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza Przekształcenia liniowe K ˛aty Eulera Macierze obrotów Eulera Przestrze ´n afiniczna

_R

_RP

3*

3 / 60

(4)

Definicja wektora

_R

_RP

3*

Wektorem nazywa si ˛e skierowany odcinek.

A

B

_{Kierunek wektora pokazuje strzałka.}

Punkt

A

jest pocz ˛

atkiem wektora

_Punkt

B

_{jest ko ´ncem wektora}

_Oznaczenie:

a

=

−−→

AB

(5)

Równo ´s ´c wektorów

_R

_RP

3*

5 / 60

Dwa wektory s ˛

a równe, je˙zeli jeden z nich mo˙ze zosta´c otrzymany

z drugiego poprzez przesuni ˛ecie równoległe.

_{Relcja równo´sci wektorów jest relacj ˛}

_{a równowa˙zno´sci:}

a

= a

(symetryczna)

a

= b ⇒ b = a

_(zwrotna)

(6)

Wektory, cd

_R

_RP

3*

_{Dwa wektory s ˛}

_{a zgodnie kolinearne, je˙zeli s ˛}

_{a równoległe i maj ˛}

_{a ten}

sam zwrot.

_{Dwa wektory s ˛}

_{a niezgodnie kolinearne, je˙zeli s ˛}

_{a równoległe i maj ˛}

_a

przeciwne zwroty.

_{Długo´s´c odcinka}

AB

_{, przedstawiaj ˛}

_{acego wektor}

a

_{, nazywa si ˛e jego}

długo´sci ˛

a

|AB| = |a| = kak

_{wektor nazywa si ˛e zerowym, je´sli jego pocz ˛}

_{atek i koniec si ˛e}

(7)

Dodawanie wektorów

_R

_RP

3*

7 / 60

_{Sum ˛}

_{a wektorów}

a

_i

b

_{nazywa si ˛e wektor}

a

+ b

_{, otrymany z tych}

wektorów b ˛

ad´z równych im wektorów jak na poni˙zszym rysunku

a +

b

a

b

(8)

Dodawanie wektorów przemienne i ł ˛

aczne

_R

_RP

3*

a

+ b = b + a

b +

a

a +

b

a

b

a

b

(a + b) + c = a + (b + c)

a

b

c

a

+

b

+

c

(9)

Odejmowanie wektorów

_R

_RP

3*

9 / 60

_Wektor

a

− b

_{— jest wektorem, suma którego z}

b

a

_{− b}

b

(10)

Nierówno ´s ´c trójk ˛

ata

_R

_RP

3*

|a + b| 6 |a| + |b|

|a + b + · · · + c| 6 |a| + |b| + · · · + |c|

(11)

Mno˙zenie wektora przez liczb ˛e

_R

_RP

3*

11 / 60

_{Iloczynem wektora}

a

_{i liczby}

λ ∈ R

_{jest wektor}

λa

|λa| = |λ| · |a|

λa

_i

a

_{s ˛}

_{a zgodnie kolinearne, je˙zeli}

λ > 0

_{oraz niezgodnie}

kolinearne, gdy

λ < 0

0 · a = 0

λ(µa) = (λµ)a

(λ + µ)a = λa + µa

λ(a + b) = λa + λb

(12)

Kombinacje liniowe wektorów

_R

_RP

3*

_{Niech dany b ˛edzie układ wektorów}

{ a

₁

, . . . , a

_k

}

_{oraz wagi (liczby}

rzeczywiste)

α

₁

, . . . , α

_k

Wektor

a

= α

₁

a

₁

+ · · · + α

k

a

k

(13)

Iloczyn skalarny wektorów

_R

_RP

3*

13 / 60

_{K ˛}

_{atem mi ˛edzy wektorami}

a

_i

b

_{nawyzamy k ˛}

_{at mi ˛edzy wektorami}

a

i

b

, które maj ˛

a wspólny pocz ˛

atek

_{Iloczynem skalarnym wektorów}

a

_i

b

_{jest liczba}

a

· b

₍

ab

_):

ab

= |a||b| cos ϕ

₍

ϕ

_{jest k ˛}

_{atem mi ˛edy}

a

_i

b

₎

ab

= ba

a

2 = aa = |a|

2 (λa)b = λ(ab)

_je˙zeli

|e| = 1

_{, to}

(λe)(λe) = λµ

(14)

Projekcja wektora na prost ˛

a

_R

_RP

3*

_{Rzut (projekcja) wektora}

a

_{na prost ˛}

_{a jest wektor}

a

¯

_{, którego}

pocz ˛

atkiem jest rzut pocz ˛

atka wektora

a

na prost ˛

a, a ko ´ncem — rzut

ko ´nca wektora

a

na t ˛e prost ˛

a.

ab

= ¯

ab

_{, gdzie}

a

¯

_{jest rzutem}

a

_{na prost ˛}

_{a, zawieraj ˛}

_{ac ˛}

_a

b

(a + b)c = ac + bc

_Je˙zeli

a

_,

b

_,

c

_{s ˛}

_{a trzema niezerowymi wektorami, nie równoległymi}

jednocze´snie jednej płaszczy´znie, to

(15)

Iloczyn wektorowy

_R

_RP

3*

15 / 60

_{Iloczynem wektorowym wektorów}

a

_i

b

_{jest wektor}

a

× b

_:

0 _{, je˙zeli jeden z wektorów jest zerowy lub wektory s ˛}

_{a równoległe}

_{Wpozostałych przypadkach}

a

× b

jest prostopadły do płaszczyzny

a

, b

długo´s´c wektora

a

× b

jest równa polu powierzchni

równoległoboku wyznaczonego przez wektory

a

, b

układ wektorów

a

, b, a × b

jest zorientowany dodatnio

a

× b = −b × a

|a × b| = |a||b| sin θ

_{, gdzie}

θ

_{jest k ˛}

_{atem mi ˛edzy}

a

_i

b

(λa) × b = λ(a × b)

(16)

Projekcja wektora na płaszczyzn ˛e

_R

_RP

3*

_{Rzutem (projekcj ˛}

_{a) wektora}

a

_{na płaszczyzn ˛e jest wektor}

a

′

_{, którego}

pocz ˛

atek jest rzutem pocz ˛

atka

a

na płaszczyzn ˛e, a ko ´ncem — rzut

ko ´nca

a

.

_{Rzutu równych wektorów s ˛}

_{a równe}

_{Rzut sumy wektorów jest sum ˛}

_{a rzutów}

_{Je˙zeli wektor}

a

′

_{jest rzutem}

a

_{na płaszczyzn ˛e, prostopadł ˛}

_{a do}

b

_{, to}

a

_{× b = a}

′

_{× b}

(a + b) × c = a × c + b × c

1. c

= 0

2. |c| = 1

_Niech

a

′

_oraz

b

′

_{b ˛ed ˛}

_{a rzutami odpowiednio}

a

_oraz

b

_na

płaszczyzn ˛e, prostopadł ˛

a do

c

. Wtedy mno˙zenie wektorowe

przez

c

b ˛edzie obrotem o

π

₂

(a × b)

2 = |a|

2 |b|

2 − (|a||b| cos θ)

2 _{, gdzie}

θ

_{jest k ˛}

_{atem mi ˛edzy}

(17)

Współrz ˛edne wektora wzgl ˛edem bazy

_R

_RP

3*

17 / 60

Niech dane b ˛ed ˛

a trzy niezerowe, niekomplanarne wektory

e

₁

,

e

₂

,

e

₃

.

Wtedy ka˙zdy wektor

r

mo˙ze zosta´c jednoznacznie przedstawiony jako

suma

r

= r

₁

e

₁

+ r

₂

e

₂

+ r

₃

e

₃

_Niech

r

= r

₁

′

e

₁

+ r

₂

′

e

₂

+ r

₃

′

e

₃

_{b ˛edzie inn ˛}

_{a reprezentacj ˛}

_a

1. r

jest równoległy do jednego z wektorów

e

2. r

jest równoległy do płaszczyzny jednej z pary wektorów

e

3. r

nie jest równoległy do ˙zadnej z par wektorów

e

_Wektory

e

₁

_,

e

₂

_,

e

₃

_{nazywane s ˛}

_{a baz ˛}

_{a przestrzeni wektorów.}

Liczby

r

₁

,

r

₂

,

r

₃

nazywane s ˛

a współrz˛ednymi wektora

r

w bazie

e

₁

,

(18)

Działania liniowe na wektorach

_R

_RP

3*

Niech dana b ˛edzie baza

e

₁

,

e

₂

,

e

₃

.

_{Niech dane b ˛ed ˛}

_{a dwa wektory:}

r

_{o współrz˛ednych}

(r

₁

, r

₂

, r

₃

)

oraz

r

′

o współrz˛ednych

(r

₁

′

, r

₂

′

, r

₃

′

)

.

Wtedy wektor

r

± r

′

b ˛edzie miał współrz˛edne

(r

₁

± r

₁

′

, r

₂

± r

₂

′

, r

₃

± r

₃

′

)

.

Niech dane b ˛ed ˛

a wektor

r

o współrz˛ednych

(r

₁

, r

₂

, r

₃

)

oraz

liczba

λ ∈ R

.

(19)

Baza kartezja ´nska

_R

_RP

3*

19 / 60

_{Niech dana b ˛edzie baza}

i

_,

j

_,

k

_{— składaj ˛}

_{aca si ˛e z wektorów}

jednosktowych, wzajemnie prostopadłych i zorientowanych dodatnio.

_Baza

i

, j, k

_{nazywa si ˛e baz ˛}

_{a kartezja ´nska}

a

= x

_a

i

+ y

_a

j

+ z

_a

k

= (ai)i + (aj)j + (ak)k

_Liczby

cos α =

ai

|a|

,

cos β =

aj

|a|

,

cos γ =

ak

|a|

nazywane

s ˛

a cosinusy kierunkowe

(20)

Działania metryczne w bazie kartezja ´nskiej

_R

_RP

3*

_{Niech dana b ˛edzie kartezja ´nska baza}

i

_,

j

_,

k

_{. Wtedy}

ab

= x

_a

x

_b

+ y

_a

y

_b

+ z

_a

z

_b

a

× b

_{ma współrz˛edne}

y

a

z

a

y

b

z

b

, −

x

a

z

a

x

b

z

b

,

x

a

y

a

x

b

y

b

a

× b =

i

j

k

x

a

y

a

z

a

x

b

y

a

z

b

(21)

Zmiana bazy

_R

_RP

3*

21 / 60

_{Niech dane b ˛ed ˛}

_{a dwie bazy:}

E = { e

₁

, e

₂

, e

₃

}

oraz

F = { f

₁

, f

₂

, f

₃

}

. Wtedy

_Wektory

(e

₁

, e

₂

, e

₃

)

_{maj ˛}

_{a jednoznaczne rozło˙zenie po}

bazie

(f

₁

, f

₂

, f

₃

)

:











e

₁

_{= a}

₁₁

f

₁

_{+ a}

₂₁

f

₂

_{+ a}

₃₁

f

₃

_,

e

₂

_{= a}

₁₂

f

₁

_{+ a}

₂₂

f

₂

_{+ a}

₃₂

f

₃

_,

e

₂

= a

₁₃

f

₁

+ a

₂₃

f

₂

+ a

₃₃

f

₃

.

e

₁

e

₂

e

₃

= f

₁

f

₂

f

₃

A

_{, gdzie}

A

_{jest macierz ˛}

_a

kolumn współrz˛ednych wektorów

E

w bazie

F

_wektor

a

_{w bazie}

F

_{b ˛edzie miał współrz˛edne}

A





x

a

y

a

z

a





, gdzie





x

a

y

a

z

a





— jego współrz˛edne w

E

.

macierz

A

nazywa si ˛e macierz ˛

a zamiany bazy

_Uwaga:

e

₁

e

₂

e

₃

= f

₁

f

₂

f

₃

A ⇐⇒ f

₁

f

₂

f

₃

=

(22)

Przekształcenia liniowe

_R

_RP

3*

_{Niech dane b ˛ed ˛}

_{a: układ wektorów}

E = { e

₁

, e

₂

, e

₃

}

_oraz

baza

F = { f

₁

, f

₂

, f

₃

}

,

e

₁

e

₂

e

₃

= f

₁

f

₂

f

₃

A

.

_{przekwształceniem liniowym nawyza si ˛e odwzorowanie}

a

₌





x

a

y

a

z

a





7→ x

a

e

1 + y

a

e

2 + z

a

e

3 _{współrz˛edne wektora}

a

_{po przekształceniu b ˛ed ˛}

_{a równe}

A





x

a

y

a

z

a





A

_{nazywa si ˛e macierz ˛}

_{a przekształcenia}

wynik przekształcenia zapisuje si ˛e

Aa

(23)

Przekształcenia liniowe. Uwagi

_R

_RP

3*

23 / 60

_macierz

A

_{składa si ˛e z kolumn — współrz˛ednych układu}

E

_{w bazie}

F

_macierz

A

_{składa si ˛e z kolumn — współrz˛ednych wektorów bazy}

F

po przekształceniu

_{je˙zeli macierz}

A

_{jest odrwacaln ˛}

_{a, to}

E

_{te˙z jest baz ˛}

_{a oraz}

przekształcenie liniowe zgada si ˛e z zamian ˛

a bazy

E → F

_{przekształcenie}

φ : R

n

→ R

n

_{jest liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy}

1. dla dowolnych dwóch wektorów

a

, b

spełniono

φ(a + b) = φ(a) + φ(b)

2. dla dowolnego wektoru

a

oraz dowolnej liczby rzeczywistej

λ

spełniono

φ(λa) = λφ(a)

(24)

Przekształcenia liniowe. Zamiana bazy*

_R

_RP

3*

_{Niech dane b ˛ed ˛}

_{a dwie bazy:}

F = { f

₁

, f

₂

, f

₃

}

oraz

F

′

= { f

₁

′

, f

₂

′

, f

₃

′

}

,

f

₁

′

f

₂

′

f

₃

′

= f

₁

f

₂

f

₃

T

Niech przekształcenie liniowe b ˛edzie dane w bazie

F

macierz ˛

a

A

_Wtedy

(25)

Obrót

_R

_RP

3*

25 / 60

0 h1;0i h0;1i h0;0i h os;sini h sin; osi

Figure II.5: Ee t of a rotation through angle . The origin 0 is held xed by the rotation.

R

θ

=

cos θ − sin θ

sin θ

cos θ

(26)

Skalowanie

_R

_RP

3*

S

λ

1 ,λ

2 =

λ

₁

0

0 λ

2

(27)

Mno˙zenie przekształce ´n

_R

_RP

3*

27 / 60

_{Niech dane b ˛ed ˛}

_{a dwa przekształcenia liniowe:}

A

_oraz

B

_{Iloczynem (superpozycj ˛}

_{a) przekształce ´n}

A ◦ B

_{jest przekształcenie}

liniowe

AB(a) = A(Ba)

_{Macierz ˛}

_a

A ◦ B

_{jest macierz}

AB

Dlatego zamiast

A ◦ B

b ˛edziemy pisa´c

AB

_{Macierz ˛}

_{a przekształcenia odwrotnego do}

A

_{jest macierz}

A

−1

Twierdzenie 1. Ka˙zde przkształcenie liniowe mo˙zna rozło˙zy´c w iloczyn

obrotu oraz skalowania (o ró˙znych współczynnikach)

Twierdzenie 2. Ka˙zde przkształcenie liniowe sztywne, które nie zmienia

orientacji, jest obrotem

(28)

Obrót 3D

_R

_RP

3* 0 u v v 1 v 2 v 3 R ;u (v )

Figure II.14: The ve tor v being rotated around u. The ve tor v 1

is v's proje tiononto u. Theve torv

2

isthe omponentof v orthogonalto u. The ve tor v 3 is v 2 rotated 90 Æ

aroundu. Thedashedlinesegmentsinthegure allmeetatrightangles.

(29)

Macierz obrotu 3D

_R

_RP

3*

29 / 60

_{Obrót dookoła osi wychodz ˛}

_{acej z pocz ˛}

_{atku układu współrz˛ednych}

w kierunku

u = (u

₁

, u

₂

, u

₃

)

o k ˛

at

θ

stopni.





(1 − c)u

2 ₁

+ c

(1 − c)u

₁

u

₂

− su

₃

(1 − c)u

₁

u

₃

+ su

₂

(1 − c)u

1 u

2 + su

3 (1 − c)u

2 ₂

+ c

(1 − c)u

2 u

3 − su

1 (1 − c)u

1 u

3 − su

2 (1 − c)u

2 u

3 + su

1 (1 − c)u

2 ₃

+ c





,

(30)

K ˛

aty Eulera

_R

_RP

3*

30 / 60

Roll z Pit h x Yaw y

Figure XII.1: Yaw, pit h, and roll represent rotations around the y-axis, the x-axis and the z-axis. If the axes move with the obje t, then the rotations are performed in the order yaw, then pit h, and nally roll. If the axes are taken as xed, then the rotations are performed in the opposite order: roll, then pit h, then yaw. Rotation dire tions are determined by the righthand rule. The reader is warned that the rotation dire tions for pit h and yaw that are shown in the gure are opposite to ustomary usage in aviation. For us, a positive pit h means the nose dips down and a positive yaw steers to the left. However, aviation onventions are that a positive pit h means the nose moves up, and a positive yaw means turning to the right. It is ustomary for positive roll to mean that the right wing dips, whi h agrees with the our onvention. In aviation onventions, the dire tions of the x and y axes are reversed, with the

R = R

_θ

(31)

Macierze obrotów Eulera

_R

_RP

3*

31 / 60

R

_θ

p

,i

R

_θ

y

,j

R

_θ

r

,k

(32)

Skalowanie 3D

_R

_RP

3*

S

λ

1 ,λ

2 ,λ

3 =





λ

₁

0

0 λ

2

0

0 λ

₃





(33)

Przestrze ´n afiniczna

_R

3 _R

_R

3 Działania na punktach Układ współrz˛ednych Przekształcenia afiniczne Współrz˛edne jednorodne Obrót Skalowanie Przestrze ´n rzutowa

_RP

3*

33 / 60

(34)

Odejmowanie punktów

_R

_RP

3*

_{Ró˙znic ˛}

_{a punktów}

B

_i

A

_{jest wektor}

−−

AB

→

_.

A

B

B − A =

−−

AB

→

A = B ⇐⇒ B − A = 0

(35)

Dodanie do punktu wektora

_R

_RP

3*

35 / 60

_{Sum ˛}

_{a punktu}

A

_{oraz wektora}

a

_{jest punkt}

B

_{, który zgadza si ˛e}

z ko ´ncem wektora

a

, je˙zeli pocz ˛

atek tego wektora umie´sci´c w

A

.

A

B

a

B = A +

−−

AB

→

(A + a

₁

) + a

₂

= A + (a

₁

+ a

₂

)

(36)

Kombinacja afiniczna punktów

_R

_RP

3*

_{Niech dany b ˛edzie układ punktów}

{ A

₁

, . . . , A

_k

}

_{oraz wagi (liczby}

rzeczywiste)

α

₁

, . . . , α

_k

, takie ˙ze

α

₁

+ · · · + α

_k

= 1

Ustalmy dowolny punkt

O

_{Kombinacj ˛}

_{a afiniczn ˛}

_{a punkitów}

α

₁

A

₁

+ · · · + α

_k

A

_k

_{jest punkt}

O + α

1 −−→

OA

1 + · · · + α

k

−−→

OA

k

Twierdzenie 3. Kombinacja afiniczna punktów nie zale˙zy od wyboru

punktu

O

(37)

Układ współrz ˛ednych

_R

_RP

3*

37 / 60

_{Wybierzmy dowolny punkt}

O

_{, pocz ˛}

_{atek układu}

_{Przez ten punkt poprowad´zmy trzy niekomplanarne proste:}

Ox

_,

Oy

_,

Oz

, osie współrz˛ednych

_{Płaszczyzny współrz˛ednych}

Oxy

_,

Oxz

_,

Oyz

_{Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio}

e

₁

_,

e

₂

_,

e

₃

—baz˛e.

_{Dla ka˙zdego punktu}

A

_wektor

−→

OA

_{ma jednoznaczne przedstawienie}

−−→

OX = xe

1 + ye

2 + ze

3 _liczby

x

_,

y

_,

z

_{— współrz˛edne punktu}

A

_{układ jest prawym (dodatnim), je˙zeli}

{ e

₁

, e

₂

, e

₃

}

_{jest zorientoany}

dodatnio

_{układ jest lewym (ujemnym), je˙zeli}

{ e

₁

, e

₂

, e

₃

}

_{jest zorientowany}

ujemnie

_{kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy, nazywaj ˛}

_a

(38)

Układ współrz ˛ednych kartezja ´nskich

_R

_RP

3*

Układ współrz˛ednych nazywa si ˛e kartezja ´nskim, je˙zeli

_{osie s ˛}

_{a wzajemnie prostopadłe}

_wektory

e

₁

_,

e

₂

_,

e

₃

_{s ˛}

_{a jednostkowe (maj ˛}

_{a jednostkow ˛}

_{a długo´s´c).}

Dalej w prezentacji prawie zawsze układ b ˛edzie prawym kartezja ´nskim

układem

_{Dla wektorów bazy układu kartezja ´nskiego czasami stosuje si ˛e}

(39)

Działania na punktach w układzie współrz ˛ednych

_R

_RP

3*

39 / 60

_{Odejmowanie punktów:}

A

₂

− A

₁

=

−−−→

A

₁

A

₂

=





x

₂

− x

₁

y

₂

− y

₁

z

2 − z

1 



_{Dodanie wektora:}

A

₁

+ a =





x

₁

+ x

a

y

₁

+ y

a

z

1 + z

a





_{Kombinacja afiniczna:}

α

₁

A

₁

+ · · · + α

_k

A

_k

=





α

₁

x

₁

+ · · · + α

k

x

k

α

₁

y

₁

+ · · · + α

k

y

k

α

1 z

1 + · · · + α

k

z

k





(40)

Podział odcinka w danym stosunku

_R

_RP

3*

_{Dane s ˛}

_{a dwa punkty}

A

₁

(x

₁

, y

₁

, z

₁

)

_oraz

A

₂

(x

₂

, y

₂

, z

₂

)

_{Znale´z´c punkt}

A(x, y, z)

_{, który dzieli odcinek}

A

₁

A

₂

w stosunku

λ

₁

: λ

₂

λ

₂

−−→

A

₁

A − λ

₁

−−→

AA

₂

= 0

−→

OA =

λ

2 −−→

OA

1 +λ

1 −−→

OA

2 λ

1 +λ

2 x =

λ

2 x

1 +λ

1 x

2 λ

1 +λ

2 ,

y =

λ

2 y

1 +λ

1 y

2 λ

1 +λ

2 ,

z =

λ

2 z

1 +λ

1 z

2 λ

1 +λ

2 .

(41)

Odległo ´s ´c mi ˛edzy punktami

_R

_RP

3*

41 / 60

_{Dane s ˛}

_{a dwa punkty}

A

₁

(x

₁

, y

₁

, z

₁

)

_oraz

A

₂

(x

₂

, y

₂

, z

₂

)

|A

₁

A

₂

|

2 =

−−−→

A

₁

A

₂

2 = (x

₁

− x

₂

)

2 + (y

₁

− y

₂

)

2 + (z

₁

− z

₂

)

2

(42)

Zmiana układu współrz ˛ednych

_R

_RP

3*

42 / 60

_{Niech dane b ˛ed ˛}

_{a dwa ogólne układy współrz˛ednych:}

(O, e

₁

, e

₂

, e

₃

)

oraz

(O

′

, f

₁

, f

₂

, f

₃

)

Punkt

P

ma współrz˛edne

(x, y, z)

wzgl ˛edem jednego układu oraz

(z

′

, y

′

, z

′

)

wzgl ˛edem drugiego.

_Wektory

(e

₁

, e

₂

, e

₃

)

_{maj ˛}

_{a jednoznaczne rozło˙zenie po}

bazie

(f

₁

, f

₂

, f

₃

)

:











e

₁

= a

₁₁

f

₁

+ a

₂₁

f

₂

+ a

₃₁

f

₃

,

e

₂

_{= a}

₁₂

f

₁

_{+ a}

₂₂

f

₂

_{+ a}

₃₂

f

₃

_,

e

₂

_{= a}

₁₃

f

₁

_{+ a}

₂₃

f

₂

_{+ a}

₃₃

f

₃

_.

e

₁

e

₂

e

₃

= f

₁

f

₂

f

₃

A

_Punkt

O

_{w nowym układzie ma współrz˛edne}

(x

₀

, y

₀

, z

₀

)

_.

_Wówczas











x

′

= a

11 x + a

12 y + a

13 z + x

0 ,

y

′

= a

₂₁

x + a

₂₂

y + a

₂₃

z + y

₀

,

z

′

= a

₃₁

x + a

₃₂

y + a

₃₃

z + z

₀

.





x

′

y

′

z

′





= A





x

y

z





+





x

₀

y

0 z

0 



.

(43)

Przekształcenia afiniczne

_R

_RP

3*

43 / 60

_{Niech dany b ˛edzie układ współrz˛ednych}

O, f

₁

, f

₂

, f

₃

_{oraz punkt}

O

′

i układ wektorów

e

₁

_{, e}

₂

_{, e}

₃

_{przekwształceniem afinicznym nawyza si ˛e odwzorowanie}

P =





x

y

z





7→ O

′

+ xe

1 + ye

2 + ze

3 _{współrz˛edne punktu}

A

_{po przekształceniu b ˛ed ˛}

_{a równe}

A





x

y

z





+





x

₀

y

0 z

₀





, gdzie

e

₁

e

₂

e

₃

= f

₁

f

₂

f

₃

A

(x

₀

, y

₀

, z

₀

)

— współrz˛edne wektora

−−→

OO

′

(44)

Uwagi

_R

_RP

3*

_{Je˙zeli układ wektorów}

e

₁

, e

₂

, e

₃

_{jest baz ˛}

_{a, to przekształcenie}

afiniczne zgadza si ˛e z zamian ˛

a układu współrz˛ednych

_{Przekwształcenie afiniczne}

B

_{składa si ˛e z przekształcenia linowego}

A

i przesuni ˛ecia równoległego

T

_u

,

B = T

_u

◦ A

_{Wówczas przesuni ˛ecie}

T

_u

_{oraz przekształcenie liniowe}

A

okre´slone s ˛

a jednoznacznie.

Twierdzenie 4. Ka˙zde przkształcenie afiniczne mo˙zna rozło˙zy´c w iloczyn

obrotu, skalowania (o ró˙znych współczynnikach) oraz przesuni ˛ecia

równoległego

Twierdzenie 5. Ka˙zde przkształcenie afiniczne sztywne, które nie zmienia

orientacji, jest obrotem (afnicznym) lub przesuni ˛eciem równoległym

(45)

Współrz ˛edne jednorodne w

_R

2 _R

_R

_RP

3*

45 / 60

_{Trójka liczb}

x, y, w ∈ R

₍

w 6= 0

_{) reprezentuje punkt o współrz˛ednych}

(x/w, y/w) ∈ R

2 .

(46)

Współrz ˛edne jednorodne w

_R

3 _R

_R

_RP

3*

_{Czwórka liczb}

x, y, z, w ∈ R

₍

w 6= 0

_{) reprezentuje punkt}

o współrz˛ednych

(x/w, y/w, z/w) ∈ R

3 .

(47)

Macierz przekształcenia afinicznego w

_R

2 _R

_R

_RP

3*

47 / 60

_Niech

B = T

_u

◦ A

_{b ˛edzie przekształceniem afinicznym,}

u =

u

1 u

₂

,

A =

a

11 a

12 a

₂₁

a

₂₂

.

_{Macierz ˛}

_{a przekształcenia}

B

_{nazywa si ˛e macerz}

M

B

=





a

11 a

12 u

1 a

₂₁

a

₂₂

u

₂

0

1 







a

₁₁

a

₁₂

u

₁

a

₂₁

a

₂₂

u

₂

0

1 







x

y

1 



=





a

₁₁

x + a

₁₂

y + u

₁

a

₂₁

x + a

₂₂

y + u

₂

1 



(48)

Obrót

_R

_RP

3*

R

θ

=





cos θ − sin θ 0

sin θ

cos θ

0

1 



(49)

Skalowanie

_R

_RP

3*

49 / 60

S

λ

1 ,λ

2 =





λ

₁

0

0 λ

2

0

1 



(50)

Przesuni ˛ecie równoległe

_R

_RP

3*

T

u

1 ,u

2 =





1 0 u

₁

0 1 u

2 0 0

1 



(51)

Macierz przekształcenia afinicznego w

_R

3 _R

_R

_RP

3*

51 / 60







a

₁₁

a

₁₂

a

₁₃

u

₁

a

21 a

22 a

23 u

2 a

₃₁

a

₃₂

a

₃₃

u

₃

0

1 











a

11 a

12 a

13 u

1 a

₂₁

a

₂₂

a

₂₃

u

₂

a

₃₁

a

₃₂

a

₃₃

u

₃

0

1 











x

y

z

1 





=







a

11 x + a

12 y + a

13 z + u

1 a

₂₁

x + a

₂₂

y + a

₂₃

z + u

₂

a

₃₁

x + a

₃₂

y + a

₃₃

z + u

₃

1 





(52)

Przesuni ˛ecie równoległe

_R

_RP

3*

_{Przesuni ˛ecie o wektor}

u = (u

₁

, u

₂

, u

₃

)







1 0 0 u

1 0 1 0 u

₂

0 0 1 u

₃

0 0 0

1 





.

(53)

Obrót

_R

_RP

3*

53 / 60

_{Obrót dookoła osi wychodz ˛}

_{acej z pocz ˛}

_{atku układu współrz˛ednych}

w kierunku

u = (u

₁

, u

₂

, u

₃

)

o k ˛

at

θ

stopni. Kierunek obrotu

okre´slany jest orientacj ˛

a.





(1 − c)u

2

1 + c

(1 − c)u

1 u

2 − su

3 (1 − c)u

1 u

3 + su

2

0 (1 − c)u

1 u

2 + su

3 (1 − c)u

₂

2 + c

(1 − c)u

2 u

3 − su

1

0 (1 − c)u

1 u

3 − su

2 (1 − c)u

2 u

3 + su

1 (1 − c)u

2 ₃

+ c

0

1 



,

(54)

Skalowanie

_R

_RP

3*







α

₁

0

0 α

2

0

0 α

₃

0

1 











−1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







(55)

Jednorodno ´s ´c macierzy przekształcenia afinicznego

_R

_RP

3*

55 / 60

(56)

Macierz superpozycji przekształce ´n

_R

_RP

3*

_{Niech dane b ˛ed ˛}

_{a dwa przekształcenia afiniczne:}

A

_oraz

B

_{iloczynem (superpozycj ˛}

_{a) przekształce ´n}

A ◦ B

_{jest przekształcenie}

afiniczne

AB(a) = A(Ba)

_{Macierz ˛}

_a

A ◦ B

_{jest macierz}

AB

Dlatego zamiast

A ◦ B

b ˛edziemy pisa´c

AB

(57)

Teoria transponowana

_R

_RP

3*

57 / 60

_{Wektory i punkty s ˛}

_{a zapisywane jako wiersze}

v

= (v

_x

, v

_y

, v

_z

)

_,

P = (x : y : x : w)

Mno˙zenie przez macierz przekształcenia po prawej stronie

v

x

v

y

v

z

M

,

x y z w A

_{Macierze s ˛}

_{a zamieniane na transponowane:}

przesuni ˛ecie o wektor

u = (u

₁

, u

₂

, u

₃

)

:







1

0

1

0

1

0 u

1 u

2 u

3

1 





,

etc

_{Mno˙zenie macierzy w innej kolejno´sci}

(58)

Przestrze ´n rzutowa

_RP

3 *

_R

_RP

3* Przestrze ´n rzutowa

(59)

Przestrze ´n rzutowa

_R

_RP

59 / 60

_{Składa si ˛e z czwórek współrz˛ednych}

(x : y : z : w)

_—

współrz˛ednych jednorodnych

w

_{mo˙ze by´c zerem}

_{Dwie proporcjonalne czwórki reprezentuj ˛}

_{a ten sam punkt:}

(x

₁

: y

₁

: z

₁

: w

₁

)

∼ (x

2 : y

2 : z

2 : w

2 ) ⇐⇒

x

1 x

₂

=

y

1 y

₂

=

z

1 z

₂

=

w

1 w

₂

(60)

Przekształcenia rzutowe

_R

_RP

_{Przekształceniem rzutowym (projektywicznym) nazywa si ˛e}

przekształcenie

RP

3 → RP

3 





x

y

z

w







7→ A







x

y

z

w







,