Podstawy wytrzymałości materiałów

Podstawy wytrzymałości materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

IMiR - MiBM - Wykład Nr 8

Zginanie prętów prostych - naprężenia

naprężenia towarzyszące zginaniu, warunek bezpieczeństwa na zginanie, dobór

wymiarów przekrojów poprzecznych prętów zginanych.

8.1. Zginanie belek – siły wewnętrzne i naprężenia

𝑵 = 𝝈 _𝒛

𝑨 𝒅𝑨

𝑻 _𝒙 = 𝝉 _𝒛𝒙

𝑨 𝒅𝑨

𝑻 _𝒚 = 𝝉 _𝒛𝒚

𝑨 𝒅𝑨

𝑴 _𝒈𝒙 = 𝝈 _𝒛

𝑨 𝒚 𝒅𝑨

𝑴 _𝒈𝒚 = 𝝈 _𝒛

𝑨 𝒙 𝒅𝑨

𝑴 _𝑺 = 𝝉 _𝒛𝒚 𝒙 − 𝝉 _𝒛𝒙 𝒚

𝑨 𝒅𝑨

- rozciąganie/ściskanie

- ścinanie

- zginanie - skręcanie

Czyste zginanie – przypadek obciążenia kiedy w przekroju poprzecznym belki działa jedynie moment zginający.

Proste zginanie – przypadek obciążenia kiedy wypadkowy moment zginający w przekroju poprzecznym belki działa wzdłuż jednej z głównych osi bezwładności, tj. M

 0  M

 0 lub M

 0  M

 0.

𝑴

𝑴

𝑷 _𝟏

𝑷 _𝒏 𝑴 _𝒊

𝒒 _𝒊

z≡ n x

y

O≡C

dA

y

A

𝝉 _𝒛𝒚

𝑻

𝑵

𝑻

𝝈 _𝒛

𝑴

x, y – główne osie bezwładności

© T. Machniewicz

8.2. Czyste zginanie 𝑷

y

z

a

𝑹 𝑹 ^𝒏 𝑭 _𝒊𝒚

𝒊=𝟏 = 𝟎 𝑴 _𝒊𝑩

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎

𝑹

= 𝑹

= 𝑹 = 𝑷

T

z

M

z

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒂

z

𝑴 _𝒈(𝒛) = −𝑷 ∙ 𝒛

𝑴 _{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎; 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝒂)} = −𝑷𝒂

z

𝒂 ≤ 𝒛 ≤ 𝒂 + 𝒍

a l

𝑷

A B

𝑷

𝑷

−𝑷𝒂

𝑷 𝑷

𝑷 𝑷

z

𝑴 _𝒈(𝒛) = −𝑷 ∙ 𝒛 + 𝑷 𝒛 − 𝒂 = −𝑷𝒂 𝟎 ≤ 𝒛

≤ 𝒂

𝑴 _{𝒈(𝒛𝟏)} = −𝑷 ∙ 𝒛 _𝟏

𝑴 _{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎; 𝑴 _{𝒈(𝒛𝟏=𝒂)} = −𝑷𝒂 Czyste zginanie – przypadek obciążenia kiedy w przekroju poprzecznym belki działa jedynie moment zginający.

Czyste zginanie

© T. Machniewicz

8.3. Odkształcenia pręta pod wpływem czystego zginania

𝑴

𝑴

Przekroje poprzeczne odkształconej belki pozostają płaskie.

Warstwy ściśnięte (skrócone)

Warstwy rozciągnięte (wydłużone)

© T. Machniewicz

8.3. Odkształcenia pręta pod wpływem czystego zginania

𝑴

𝑴

Warstwy rozciągane (wydłużone)

Warstwy ściskane (skrócone)

Warstwa obojętna – warstwa prostopadła do przekrojów poprzecznych belki, w której odległość pomiędzy tymi przekrojami nie ulega zmianie.

 Warstwa obojętna dzieli przekroje belki na część rozciąganą i ściskaną.

 W warstwie obojętnej włókna materiału belki nie ulegają zmianom długości

 naprężenia normalne w tej warstwie są równe zeru (zgodnie z prawem Hooke’a).

Oś obojętna – ślad warstwy obojętnej na płaszczyźnie przekroju poprzecznego belki

Linia ugięcia – linia łącząca środki ciężkości przekrojów poprzecznych odkształconej belki.

Linia ugięcia

© T. Machniewicz

8.4. Naprężenia normalne w pręcie poddanym zginaniu

𝑴

𝑴

dz

y

dz

y 

y d 

𝒅𝒛 = 𝝆 ∙ 𝒅𝝋

𝒅𝒛 + ∆𝒅𝒛 = (𝝆 + 𝒚) ∙ 𝒅𝝋 𝜺 = 𝒅𝒛 + ∆𝒅𝒛 − 𝒅𝒛

𝒅𝒛 = (𝝆 + 𝒚) ∙ 𝒅𝝋 − 𝝆 ∙ 𝒅𝝋

𝝆 ∙ 𝒅𝝋 = 𝒚 𝝆 Zgodnie z prawem Hooke’a: 𝝈 𝒈 = 𝑬 ∙ 𝜺 𝝈 _𝒈 = 𝑬

𝝆 𝒚

y



© T. Machniewicz

8.5. Rozkład naprężeń w pręcie zginanym

𝑴

= 𝟎 x

y

O

dA

y

A

𝑵 = 𝟎

𝝈 _𝒈

𝑴

x

y 𝝈 _𝒈 = 𝑬

𝝆 𝒚

𝑴 _𝒈𝒚 = 𝝈 _𝒈

𝑨 𝒙 𝒅𝑨 𝑵 = 𝝈 _𝒈

𝑨 𝒅𝑨

𝑺 _𝒙 = 𝟎

≡C

x – oś centralna

= 𝑬

𝝆 ∙ 𝒚

𝑨 𝒅𝑨 = 𝑬

𝝆 ∙ 𝑺 _𝒙 = 𝟎 (1) 𝑺 _𝒙

= 𝑬

𝝆 ∙ 𝒙 ∙ 𝒚

𝑨 𝒅𝑨 = 𝟎 𝑱 _𝒙𝒚

𝑱 _𝒙𝐲 = 𝟎

x-y – główne osie bezwładności (2) Wnioski:

 Osie x-y to główne (2) centralne (1) osie bezwładności.

 W przypadku czystego (i prostego) zginania oś obojętna pokrywa się z centralną (i główną) osią bezwładności, zgodną z kierunkiem działania momentu gnącego

© T. Machniewicz

8.5. Rozkład naprężeń w pręcie zginanym

𝑴

= 𝟎 x

y

O≡C

dA

y

A

𝑵 = 𝟎

𝝈 _𝒈

𝑴

x

y 𝝈 _𝒈 = 𝑬

𝝆 𝒚 𝑴 _𝒈𝒙 = 𝝈 _𝒈

𝑨 𝒚 𝒅𝑨 = 𝑬

𝝆 ∙ 𝒚 ^𝟐

𝑨 𝒅𝑨

𝑱 _𝒙 𝑴 _𝒈𝒙 = 𝑴 _𝒈 = 𝑬

𝝆 ∙ 𝑱 _𝒙 𝟏

𝝆 = 𝑴 _𝒈

𝑬 ∙ 𝑱 _𝒙 (𝑬 ∙ 𝑱 _𝒙 ) - sztywność giętna 𝝈 _𝒈 = 𝑬

𝝆 𝒚 𝟏

𝝆 = 𝝈 _𝒈 𝑬 ∙ 𝒚 𝝈 _𝒈

𝑬 ∙ 𝒚 = 𝑴 _𝒈

𝑬 ∙ 𝑱 _𝒙 𝝈 _𝒈 = 𝑴 _𝒈 𝑱 _𝒙 𝒚 Warunek bezpieczeństwa na zginanie

𝝈 _{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝑴 _𝒈

𝑱 _𝒙 ∙ 𝒚 _𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝒌 _𝒈

𝒌 _𝒈 - dopuszczalne naprężenia przy zginaniu

© T. Machniewicz

8.6. Warunek bezpieczeństwa na zginanie

𝝈 _{𝒈𝒎𝒂𝒙} = ^𝑴 _𝑱

𝒙

∙ 𝒚 _𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝒌 _𝒈 (𝒌 _𝒓 , 𝒌 _𝒄 ) 𝒌 _𝒈 - dopuszczalne naprężenia przy zginaniu

𝝈 _{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝑴 _𝒈

𝑾 _𝒈 ≤ 𝒌 _𝒈

𝑾 _𝒈 - wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie:

x C

y y

y

𝝈 _{𝒈𝒎𝒂𝒙}

𝑾 _𝒈 = 𝑱 _𝒙 𝒚 _𝒎𝒂𝒙 gdzie

… 𝐦𝐦

𝐜𝐦

𝐦

…

𝑴

Uwaga: Wskaźniki wytrzymałości przekrojów nie są addytywne (nie można ich dodawać ani odejmować)

© T. Machniewicz

8.7. Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie

𝑾

= 𝑱

𝒚

𝑱

= 𝑱

= 𝝅 ∙ 𝒅

𝟔𝟒

𝒚

= 𝒅 𝟐

𝑾 _𝒈𝒙 = 𝝅 ∙ 𝒅 ^𝟑 𝟑𝟐

𝑱

= 𝑱

= 𝝅 ∙ 𝑫

− 𝒅

𝟔𝟒

y

O x O x

y

y

𝒚

= 𝑫

y

𝟐

𝑾

= 𝑱

𝒚

𝑾

= 𝝅 ∙ 𝑫

− 𝒅

𝟔𝟒 ∙ 𝟐 𝑫

𝑾 _𝒈𝒙 = 𝝅 ∙ 𝑫 ^𝟒 − 𝒅 ^𝟒 𝟑𝟐𝑫

𝑾

= 𝑱

𝒚

𝑱

= 𝑩 ∙ 𝑯

𝟏𝟐

𝒚

= 𝑯 𝟐

𝑾 _𝒈𝒙 = 𝑩 ∙ 𝑯 ^𝟐 𝟔

𝑾

= 𝑱

𝒚

𝑾

= 𝑩 ∙ 𝑯

− 𝒃 ∙ 𝒉

𝟏𝟐 ∙ 𝟐 𝑯

𝑾 _𝒈𝒙 = 𝑩 ∙ 𝑯 ^𝟑 − 𝒃 ∙ 𝒉 ^𝟑 𝟏𝟐𝑯

C x y

y

B

H O

y

B

H h

y

x

b 𝑱

= 𝑩 ∙ 𝑯

− 𝒃 ∙ 𝒉

𝟏𝟐

𝒚

= 𝑯 𝟐

𝝈 _{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝑴 _𝒈

𝑾 _𝒈 ≤ 𝒌 _𝒈 𝑾 _𝒈 = 𝑱 _𝒙 𝒚 _𝒎𝒂𝒙

gdzie Wskaźniki wytrzymałości przekrojów nie są addytywne, np. :

© T. Machniewicz

8.8. Wymiarowanie elementów poddanych zginaniu - przykłady

Przykład 8.1:

Belka o przekroju jak na rysunku obciążona jest maksymalnym momentem M

= 40 kNm.

Sprawdzić, czy spełniony jest warunek bezpieczeństwa, jeżeli k

=160 MPa.

Dane: Szukane:

M

= 40 kNm, k

=160 MPa 

=?

20

20 200

200 y 𝒚 _𝑪 = 𝑺 _𝒙

𝑨

x

= 𝟐𝟎 ∙ 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟎

𝟐𝟎 ∙ 𝟐𝟎𝟎 + 𝟐 ∙ 𝟐𝟎𝟎 = 𝟓𝟓 mm

x

y

= 55

𝑱 _𝒙𝑪 = 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟎 ^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟎 − 𝟓𝟓 ^𝟐 + + 𝟐𝟎 ∙ 𝟐𝟎𝟎 ^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟎 ∙ 𝟓𝟓 ^𝟐 (𝐦𝐦 ^𝟒 ) 𝑱 _𝒙𝑪 = 𝟑 𝟏𝟔𝟐 ∙ 𝟏𝟎 ^𝟒 (𝐦𝐦 ^𝟒 )

𝑾 _𝒈 = 𝑱 _𝒙𝑪

𝒚 _𝒎𝒂𝒙 = 𝟑 𝟏𝟔𝟐 ∙ 𝟏𝟎 ^𝟒

𝟏𝟓𝟓 = 𝟐𝟎𝟒 ∙ 𝟏𝟎 ^𝟑 (𝐦𝐦 ^𝟑 ) 𝝈 _{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝑴 _{𝒈𝒎𝒂𝒙}

𝑾 _𝒈 = 𝟒𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ^𝟔

𝟐𝟎𝟒 ∙ 𝟏𝟎 ^𝟑 = 𝟏𝟗𝟔 𝐌𝐏𝐚 > 𝒌

Warunek bezpieczeństwa nie jest spełniony ! y

= 155

© T. Machniewicz

8.8. Wymiarowanie elementów poddanych zginaniu - przykłady

Przykład 8.2:

Dobrać wymiar przekroju poprzecznego belki jak na rysunku.

Dane: Szukane:

q= 400 N/m, l=1 m, k

=120 MPa d=?

A

y

z B

l

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒍

𝑴 _𝒈(𝒛) = −𝟐𝒒𝒍 ∙ 𝒛 − 𝒒 𝒛 ^𝟐 𝟐 𝑴 _{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎

𝑹

𝑻 _(𝒛) = 𝟐𝒒𝒍 + 𝒒𝒛 𝒒

𝑻 _(𝒛=𝟎) = 𝟐𝒒𝒍 𝑻 _(𝒛=𝒍) = 𝟑𝒒𝒍

𝑷 = 𝟐𝒒𝒍

z

T z

𝑴

Q

=qz

𝑷 𝟑𝒒𝒍

𝑹

M

z

𝑴 _{𝒈(𝒛=𝒍)} = − 𝟓 𝟐 𝒒𝒍 ^𝟐

− 𝟓 𝟐 𝒒𝒍

𝑴

𝟐𝒒𝒍

y x

d

d

𝟐 𝟑 𝒅

𝑴 _{𝒈𝒎𝒂𝒙} = − 𝟓

𝟐 𝒒𝒍 ^𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵𝒎

© T. Machniewicz

8.8. Wymiarowanie elementów poddanych zginaniu - przykłady

Przykład 8.2:

Dobrać wymiar przekroju poprzecznego belki jak na rysunku.

Dane: Szukane:

q= 400 N/m, l=1 m, k

=120 MPa d=?

A

y

z B

l

𝑹

𝒒 ^{𝑷 = 𝟐𝒒𝒍}

z

T z

𝑴

Q

=qz

𝑷 𝟑𝒒𝒍

𝑹

M

z

− 𝟓 𝟐 𝒒𝒍

𝑴

𝟐𝒒𝒍

y x

d

d

𝟐 𝟑 𝒅

𝑴 _{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝝈 _{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝑴 _{𝒈𝒎𝒂𝒙}

𝑾 _𝒈 ≤ 𝒌 _𝒈

𝑾 _𝒈 = 𝑱 _𝒙 𝒚 _𝒎𝒂𝒙 𝑱 _𝒙 = 𝒅 ^𝟒

𝟏𝟐 − 𝝅 𝟐 𝟑 𝒅

𝟒

𝟔𝟒 𝒚 _𝒎𝒂𝒙 = 𝒅

𝟐

= 𝒅 ^𝟒

𝟏𝟐 𝟏 − 𝝅 𝟐𝟕

= 𝒅 ^𝟑

𝟔 𝟏 − 𝝅 𝟐𝟕 𝝈 _{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝟔 ∙ 𝑴 _{𝒈𝒎𝒂𝒙}

𝒅 ^𝟑 𝟏 − 𝝅 𝟐𝟕

≤ 𝒌 _𝒈

𝒅 ≥ 𝟔 ∙ 𝑴 _{𝒈𝒎𝒂𝒙} 𝒌 _𝒈 𝟏 − 𝝅

𝟐𝟕

𝟑

= 𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ^𝟑

𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝟏 − 𝝅 𝟐𝟕

𝟑

= 𝟑𝟖. 𝟑𝟗 𝒎𝒎 ≈ 𝟒𝟎 𝒎𝒎

© T. Machniewicz