Zginanie ukośne

(1)

Wytrzymałość Materiałów

Zginanie ukośne

Rozciąganie/ ściskanie mimośrodowe

Rozkłady naprężeń, warunki bezpieczeństwa, przykłady obliczeń Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

dr hab. inż. Kinga Nalepka B2, III p., pok. 312

e-mail: knalepka@agh.edu.pl tel. 12 617 30 98

(2)

Zginanie ukośne

Prosty pręt pryzmatyczny o dowolnym, litym przekroju poprzecznym utwierdzony na jednym końcu obciążono na swobodnej ściance poprzecznej momentem leżącym w płaszczyźnie przechodzącej przez oś pręta, ale nie zawierającej żadnej z osi głównych centralnych przekroju poprzecznego

 Pomijamy siły masowe.

 Oś x wzdłuż osi pręta, a y i z stanowią osie główne centralne przekroju poprzecznego .

cos sin

Zgodnie z zasadą superpozycji w przekroju poprzecznym

powstają naprężenia normalne o rozkładzie:

(3)

 dla przekrojów wykonanych z materiałów sprężysto plastycznych, gdzie maksymalne bezwzględne wartości naprężeń (wyłącznie rozciągających lub ściskających) wywołane momentem oraz występują w jednym punkcie: max !

_"

 dla innych przekrojów należy wyznaczyć położenie osi

obojętnej, a następnie punkty najbardziej od niej oddalone, w których występują największe naprężenia rozciągające lub ściskające. Wówczas:

^#$

!

_%

i

^#&'

!

₍

Zginanie ukośne Rozkład naprężeń

⇔ 0 cos sin

tan

 przechodzi przez środek ciężkości przekroju

 dla przekrojów o równych momentach głównych centralnych pokrywa się z wektorem

momentu ,

 dla przekrojów o różnych momentach głównych centralnych - odchyla się od kierunku

momentu w stronę osi mniejszej bezwładności Oś obojętna:

0 Warunek bezpieczeństwa:

Oś

obojętna

Oś

obojętna ._/^01/

.

_/⁰²³

._/^01/

.

_/⁰²³

(4)

Zginanie ukośne Przykład

4 2

4 ⁶

8 3 kNm 4 6 kN/m

2 m 1m

?

12 cm

1

3 kNm

@3.37 cm

3.37 cm

′

? ? 318.5254 cm^F G

H

⇒ H 75.7°

Oś obojętna: 0

Belka swobodnie podparta o długości 2 m o przekroju równoramiennego kątownika 120 x 120 x 10 została obciążona jak na rysunku. Wyznacz bryłę naprężeń w

przekroju niebezpiecznym (obciążonym największym momentem zginającym).

? ? 189.3913 cm^F

507.9167cm^F 129.1341cm^F

G 45 °

Centralne momenty bezwładności

Główne centralne

momenty bezwładności

Obrót pierwszej osi głównej centralnej 3

2^L 2 kNm 1.5 2^L kNm 507.9167 · 10^NOm⁶

1.5 2^L kNm 129.1341 · 10^NOm⁶ Składowe momentu w osiach

głównych centralnych:

Rozkład naprężeń w

przekroju niebezpiecznym:

⇒ 3.933 ·

?

(5)

Zginanie ukośne Przykład

Macierz przejścia

 Pierwszy wiersz stanowią współrzędne wersora pierwszej osi nowego układu w układzie starym.

 Drugi wiersz stanowią współrzędne wersora drugiej osi nowego układu w układzie starym.

L

2 2

L

2 2

L

2 2

L

2 2

?

Układ

centralny [cm]

Układ główny centralny [cm]

Naprężenie [MPa]

P′ 3.37, 8.63 P 3.72, 8.49 96,548 B^S 3.37, 3.37 B 4.77, 0.0 -78,281 C′ 8.63, 3.37 C 3.72, 8.49 25,671 D′ 8.63, 3.37 D 4.43, 7.78 40,240 E′ 2.37, 2.37 E 3.35, 0.0 -55,049 F′ 2.37, 8.63 F 4.43, 7.78 105,211

3 kNm

.

_/^X

.

_/^Y

.

_/^Z

.

_/^[

.

_/^\

?

(6)

Rozciąganie mimośrodowe

Prosty pręt pryzmatyczny o dowolnym, litym przekroju poprzecznym utwierdzony na jednym końcu obciążono na swobodnej ściance poprzecznej siłą skierowaną zgodnie z normalną zewnętrzną, ale przyłożoną w pewnej odległości od środka ciężkości

 Pomijamy siły masowe.

 Oś x wzdłuż osi pręta, a y i z stanowią osie główne centralne przekroju poprzecznego .

\

_/

\_/

?

Wykorzystując zasadę de Saint-Venanta redukujemy początkowe obciążenie do środka ciężkości przekroju.

W rezultacie otrzymujemy proste rozciąganie (\

_/

) oraz proste zginania momentami o kierunkach osi głównych centralnych , .

Zgodnie z zasadą superpozycji:

] P ] ·

_?

] ·

_?

⇒ ]

P

]

_?

]

_?

(7)

Odcinkowa postać prostej, gdzie ^

^&^_

`

,

^&^_

`

Rozciąganie mimośrodowe Rozkład naprężeń

]

P 1

^?

P

?

P

Promienie bezwładności: a

^b

c

L

, a

^b

c

L

⇒ ]

P 1

^?

a

⁶

?

a

⁶

Oś obojętna:

0 ⇒

a

⁶

?

a

⁶

?

1 ⇒ ^ 1

\

_/

?

^ oś obojętna:

Warunek bezpieczeństwa:

 dla przekrojów wykonanych z materiałów sprężysto

plastycznych, gdzie maksymalne bezwzględne wartości naprężeń (wyłącznie rozciągających lub ściskających) wywołane siłą ] oraz momentami i

występują w jednym punkcie:

max

^d^e

c

!

_"

 dla innych przekrojów należy wyznaczyć położenie osi

obojętnej, a następnie punkty najbardziej od niej oddalone, w których występują największe naprężenia rozciągające lub ściskające. Wówczas:

^#$

!

_%

i

^#&'

!

₍

\_/

._/^01/

.

_/⁰²³

(8)

Rozciąganie mimośrodowe Rdzeń przekroju

Rdzeniem przekroju nazywamy obszar

przekroju, w punktach, którego przyłożona siła normalna daje naprężenia jednego znaku

w całym przekroju, ściskanie albo rozciąganie

^?

a

⁶

^

^f

,

^f

,

?

a

⁶

f

,

^f

Współrzędne punktu

konturu rdzenia:

g

a

⁶

6

12 a

⁶

g

⁶

12 prosta AB:

2 ⇒ ^ ∞,

2 ⇒

_?

0,

_?

6 prosta CD: g

2 ⇒ ^ g

2 , ∞ ⇒

_?

g

6 ,

_?