10. Twierdzenia Tonellego, Fubiniego i o zamianie zmiennych
Ćw. 10.1 Policz całki iterowane i pokaż, że funkcja f nie jest całkowalna.
f (x, y) =
1, x < y < x + 1
−1, x − 1 < y < x
0, w przeciwnym przypadku.
Ćw. 10.2 Oblicz Z
A
sin x cos y l2(dxdy) dla A = [0, π/2]2 i A = [0, π]2.
Ćw. 10.3 Oblicz
Z
A
1
(1 + y)3 l3(dxdydz), gdzie A = {(x, y, z); x + z ¬ 1, y 1, z 0, x 0}.
Ćw. 10.4 Oblicz całkę
Z
D
q
x2+ y2 l2(dxdy),
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi o równaniach x2+y2 = 4 i x2+y2 = 9.
Ćw. 10.5 (1996) Niech f (x, y) =
lnq(x − 2)2+ (y + 1)2; (x, y) 6= (2, −1)
0; (x, y) = (2, −1).
Oblicz RUf (x, y) l2(dxdy), gdzie U = K((2, −1), 1).
Ćw. 10.6 (2001) Oblicz
Z
U
cos(x2+y2
4 )I(0,∞)(xy) l2(dxdy), gdzie
U = {(x, y); 4x2+ y2 ¬ 4}.
Ćw. 10.7 (1996) Oblicz
Z
U
z sin(x2+ y2) l3(dxdydz),
gdzie U jest zbiorem otwartym w R3 ograniczonym przez powierzchnie x = 0, y = 0, z = 0, z = 1, x2+ y2 = 1.
Ćw. 10.8 Oblicz
Z
A
z exp
(
−4x2+ y2 4
)
l3(dxdydz), gdzie A = {(x, y, z); x2+y42 ¬ 1; 0 ¬ z ¬ 1}.
Ćw. 10.9 (2004) Oblicz całkę
Z
A
(x + y + z) l3(dxdydz),
gdzie A jest stożkiem, którego podstawą jest K((0, 0), 2), a wierzchołkiem punkt (0, 0, 4).
Ćw. 10.10 Oblicz miarę Lebesgue’a zbioru
A = {(x, y, z); x2+ y2+ z2 < 4, z > 1}.
Ćw. 10.11 (2004) Oblicz całkę
Z
A
e1−z l3(dx dy dz), gdzie
A = {(x, y, z); x2+ y2+ z2 ¬ 1, z 0}.
Ćw. 10.12 (2003) Oblicz całkę
Z
Aexp
− x2 4 +y2
9 + z2
!3/2
l3(dx, dy, dz),
gdzie A =n(x, y, z) |x42 +y92 + z2 ¬ 16o.
Ćw. 10.13 Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami 2(z − 2) = xy, x + y = 2, x + y = −2, x − y = 2, x − y = −2, z = 0.
Ćw. 10.14 Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami 2z = x2+ y2 i z2 = x2+ y2.
