10. Twierdzenia Tonellego, Fubiniego i o zamianie zmiennych – zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 10.1 Oblicz
Z
A
1
(2 − x)(y + 1)l2(dxdy), gdzie A = {(x, y); x ¬ 0, y ¬ 0; x + y ¬ 1}.
Zad. 10.2 Oblicz Z
A
e−x2 l2(dxdy), gdzie A = {(x, y); 0 < y < x}.
Zad. 10.3 Oblicz Z
yex2sin(x2+ y2) l2(dxdy), gdzie U = {(x, y); |x| + |y| < 1}.
Zad. 10.4 Oblicz całkę
Z
D
ln(x2+ y2) l2(dxdy), gdzie
D = {(x, y); 1 ¬ x2+ y2 ¬ 4, x 0, y 0}.
Zad. 10.5 (2004) Oblicz całkę
Z
A
y−2exy l2(dx, dy), gdzie A := {(x, y) | 1 < x2 + y2 < 4,
√3
3 x < y < x}.
Zad. 10.6 Oblicz
Z
A
sin(y2+ z2)
x2 l3(dxdydz), gdzie A = {(x, y, z); x > 1, y2+ z2 < π2}.
Zad. 10.7 Oblicz Z
V
y l3(dxdydz), gdzie V = {(x, y, z); 0 ¬ y ¬ 1; y2 ¬ x2 + z2 ¬ y}.
Zad. 10.8 (2004) Oblicz całkę
Z
A
tg√
x2 + y2 z√
x2+ y2 l3(dx dy dz), gdzie
A =
(
(x, y, z); π2
16 ¬ x2+ y2 < π2
9 , 1 ¬ z ¬ e
)
.
Zad. 10.9 (1998) Oblicz
Z
A
(18x2+ 8y2)ez l3(dxdydz), gdzie
A = {(x, y, z); x2 4 +y2
9 < 1, |z| < 2}.
Zad. 10.10 Oblicz Z
A
z l3(dxdydz), gdzie
A = {(x, y, z); x2 + y2+ z2 < 1,
q
x2+ y2 < z, z > 0}.
Zad. 10.11 (2003) Oblicz całkę
Z
A
√ 1
x2+ y2+ z2 ln(x2+ y2+ z2) l3(dx, dy, dz), gdzie A = {(x, y, z) | x2+ y2+ z2 ¬ 1}.
Zad. 10.12 (2004) Oblicz całkę
Z
A
exp{(x2+ y2+ z2)−1/2}
(x2+ y2+ z2)2 l3(dx dy dz),
gdzie A jest zbiorem ograniczonym sferami x2+ y2+ z2 = 14 i x2+ y2+ z2 = 1.
Zad. 10.13 Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchnią walcową x2+ (y − 1)2 = 1 i sferą x2 + y2+ z2 = 4.
Zad. 10.14 Oblicz masę kuli o promieniu 3 leżącej w pierwszej ósemce układu współrzędnych, jeżeli gęstość tej kuli jest w każdym punkcie równa odległości tego punktu od płaszczyzny Oxy.
Wskazówka: Masa bryły V o gęstości %(x, y, z) jest równa M =
Z
V
%(x, y, z) dx dy dz.
